均值不等式 含答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
课时作业15 均值不等式
时间:45分钟 满分:100分
课堂训练
1.已知5x +3
y =1(x >0,y >0),则xy 的最小值是( ) A .15 B .6 C .60 D .1
【答案】 C
【解析】 ∵5x +3
y =1≥215
xy ,
∴xy ≥60,
当且仅当3x =5y 时取等号.
2.函数f (x )=x +4
x +3在(-∞,-2]上( ) A .无最大值,有最小值7 B .无最大值,有最小值-1 C .有最大值7,有最小值-1 D .有最大值-1,无最小值 【答案】 D
【解析】 ∵x ≤-2,∴f (x )=x +4
x +3
=-⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
(-x )+⎝ ⎛⎭⎪⎫-4x +3≤-2
(-x )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
-4x +3
=-1,当且仅当-x =-4
x ,即x =-2时,取等号,
∴f (x )有最大值-1,无最小值.
3.已知两个正实数x ,y 满足x +y =4,则使不等式1x +4
y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________.
【答案】 ⎝
⎛
⎦⎥⎤-∞,94 【解析】 1x +4y =⎝ ⎛⎭⎪
⎪⎫x +y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y =54+y 4x +x y ≥54
+214=94.
4.求函数y =x 2+7x +10
x +1
(x >-1)的最小值.
【分析】 对于本题中的函数,可把x +1看成一个整体,然后将函数用x +1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的形式特点,从而能用均值定理来处理.
【解析】 因为x >-1, 所以x +1>0.
所以y =x 2+7x +10x +1=(x +1)2+5(x +1)+4
x +1
=(x +1)+4
x +1
+5≥2
(x +1)·4
x +1
+5=9
当且仅当x +1=4
x +1
,即x =1时,等号成立.
∴当x =1时,函数y =x 2+7x +10
x +1(x >-1),取得最小值为9.
【规律方法】 形如f (x )=
ax 2+bx +c mx +n
(m ≠0,a ≠0)或者g (x )=
mx +n ax 2
+bx +c
(m ≠0,a ≠0)的函数,可以把mx +n 看成一个整体,设
mx +n =t ,那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数.
课后作业
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设x >0,则y =3-3x -1
x 的最大值是( ) A .3 B .3-3 2 C .3-2 3 D .-1
【答案】 C
【解析】 y =3-3x -1x =3-(3x +1
x )≤3-23x ·1x
=3-2 3.
当且仅当3x =1x ,即x =3
3时取“=”. 2.下列结论正确的是( ) A .当x >0且x ≠1时,lg x +1
lg x ≥2 B .当x >0时,x +1
x ≥2
C .当x ≥2时,x +1
x 的最小值为2 D .当0 x 无最大值 【答案】 B 【解析】 A 中,当x >0且x ≠1时,lg x 的正负不确定,∴lg x + 1lg x ≥2或lg x +1lg x ≤-2; C 中,当x ≥2时,(x +1x )min =5 2;D 中当0 2. 3.如果a ,b 满足0 2,a,2ab ,a 2+b 2中值最大的是( ) A.12 B .a C .2ab D .a 2+b 2 【答案】 D 【解析】 方法一:∵02a ,∴a <1 2, 又a 2+b 2≥2ab , ∴最大数一定不是a 和2ab , 又a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab , ∵1=a +b >2ab ,∴ab <1 4, ∴1-2ab >1-12=12,即a 2+b 2 >12. 方法二:特值检验法:取a =13,b =23,则2ab =49,a 2+b 2 =59,∵59>12>49>1 3,∴a 2+b 2最大. 4.已知a >b >c >0,则下列不等式成立的是( ) A.1a -b +1b -c >2a -c B.1a -b +1b -c <2a -c C.1a -b +1b -c ≥2a -c D.1a -b +1b -c ≤2a -c 【答案】 A 【解析】 ∵a >b >c >0, ∴a -b >0,b -c >0,a -c >0, ∴(a -c )⎝ ⎛⎭ ⎪⎪⎫1a -b +1b -c =[(a -b )+(b -c )]·⎝ ⎛⎭ ⎪⎪⎫ 1a -b +1b -c =2+b -c a - b +a -b b -c ≥2+2 b - c a -b ·a -b b -c =4. ∴1a -b +1b -c ≥4a -c >2a -c . 5.下列函数中,最小值为4的是( ) A .f (x )=x +4 x B .f (x )=2×x 2+5 x 2+4 C .f (x )=3x +4×3-x D .f (x )=lg x +log x 10 【答案】 C 【解析】 A 、D 选项中,不能保证两数为正,排除;B 选项不能取等号,f (x )=2× x 2+5x 2+4 =2× x 2+4+1x 2+4 =2×( x 2+4+