真空中的静电场
大学物理学 第五章 真空中的静电场
q
l 2
O
l 2
q
E
r
E
r
q
l 2
1
O
l 2
q
E
r
P
E
r
q E 2 4 0 ( r l / 2)
E E E
q E 2 4 0 ( r l / 2)
1
E E E
r l
q 2rl 4 0 ( r 2 l 2 / 4)2 1 2ql 1 2p E E 3 3 4 0 r 4 0 r
与 r2 成反比，r , E 0
思考： r 0
E ?
二、点电荷系的电场
E Ei
i i
1 qi e 2 ri 4 π 0 ri
dE
er q0
三、连续带电体的电场
E dE 1 dq e 2 r q 4 π 0 r
电荷密度
二.恒定电流与稳恒磁场的基本性质及规律
（第七章）
三.电磁感应现象及规律（第八章）
第五章
主要内容
§ 1 库仑定律 § 2 静电场 § 3 高斯定律 § 4 电势 电场强度
教学基本要求
一 了解电荷及性质；掌握库仑定律. 二 理解电场的概念；明确电场的矢量性和可 叠加性；会利用电场叠加原理求解简单带电体的电 场分布. 三 理解高斯定理的物理意义；能够利用高斯 定理求解特殊场分布.
q1q2 F12 k 2 e12 F21 r12
1 令 k （ 0 为真空电容率） 4 π0 1 0 8.8542 1012 C2 N 1 m 2 4πk 12 1 8.8542 10 F m
大学物理第6章真空中的静电场课后习题与答案
第6章真空中的静电场习题及答案1.电荷为q 和2q 的两个点电荷分别置于x1m 和x1m 处。
一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷 q 位于点电荷 0q 的右侧，它受到的合力才可能为0，所以2qqqq00224(x 1)4(x1) ππ 00故x3222.电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。
试问：(1)在这三角形的中心放 一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都 为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解：(1)以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q 为负电荷，所以2 4 1 π 0 q a 22 cos304 1 π 0 ( q 33qa 2 )3故qq3(2)与三角形边长无关。
3.如图所示，半径为R 、电荷线密度为1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。
求该直线段受到的电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。
在带电圆环上取dqdl 1，dq 在带电圆环轴 线上x 处产生的场强大小为 dE 4 dq20(xRy2 )根据电荷分布的对称性知，yE0E zdEdEcos x41xdq 1R 3 22 2O(xR) 02xl式中：为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。
E x4x 220(xR) 3 2dqzx21R R 1 x4x 2R2()3 2 2xR 2( 02 )3 2下面求直线段受到的电场力。
在直线段上取dqdx2，dq受到的电场力大小为Rx12dFxdxEdq32222(xR)0方向沿x轴正方向。
直线段受到的电场力大小为Rlx12FdxdF3202220xR)(11R1121/22R22lR方向沿x轴正方向。
4.一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为。
求：（1）圆心处O点的场强；（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O点场强。
第10章 真空中的静电场
尚未找到自由状态的夸克。但无论今后实验上是否能发现自由夸克，均不改变电荷的量 子性这一基本性质。
10.1.2 电荷守恒定律
大量实验证明，在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论其内部发生怎样的物理过 程，系统内正负电荷量的代数和保持不变，即孤立系统内的电荷是守恒的。电荷守恒定律 说明，电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从 物体的一个部分转移到另一个部分。
3
Fi F1i F2i
Fni
n
F ji
j 1
n j 1
qiq j 4π 0 rj2i
r joi
ji
ji
式中 F ji 是第 j 个点电荷 q j 对 qi 的静电力， Fi 是点电荷 qi 受到的总静电力。
（10.4）
§10.2 电场 电场强度
10.2.1 电场
实验指出，电荷与电荷之间存在相互作用力。那么这种作用力是通过什么途径传递 的呢？历史上关于这个问题曾长期有两种不同的观点。一种观点认为：电荷与电荷之间 的相互作用不需要任何中间物质来传递，也不需要时间，这称为“超距作用”观点。另一 种观点认为：电荷与电荷之间的相互作用是通过一种特殊的物质----电场（electric field） 来传递的。根据这种观点，任何电荷的周围都存在着电场，当一个电荷处于另一个电荷 产生的电场中时，它就会受到另一个电荷通过电场对它的作用力。因此这种观点可形象 地表示为
(dipole moment)。 电偶极子是一个重要的物理模型。电介质中的原子或分子都有正、负电荷中心，如
§10.1 库仑定律
10.1.1 电荷的量子性
人类认识电现象，是从摩擦起电开始的，比如，毛皮摩擦过的橡胶棒（或梳子）、 丝绸摩擦过的玻璃棒，可以吸引纸屑、羽毛等轻小物体，这是因为橡胶棒、玻璃棒带上 了电荷。这一现象至今仍在催生一些新奇的应用，如在静电复印机和激光打印机中，带 上静电荷的纸张可以吸附细微的墨粉。带有较强静电的陶瓷片还能用作静电吸盘，吸住 大面积的晶圆（硅片）。
题解1-真空中的静电场(已修改)
3 2 3 大小： 区：E i i i 2 0 2 0 2 0 2 0 2 区：E i i i 大小： 2 0 2 0 2 0 2 0 2、 E dS Q E 0 S a 0
大小： 2 0
i (i )
杆 0
EP dE
2
i
P
以无穷远处电势为零， P点电势为：
Ld x
U P dU
杆
L
0
(q / L)dx (q / L) L d ln 4 0 ( L d x) 4 0 d 1
2、一电荷面密度为σ 的“无限大”平面，在距离平面 a米远处一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径 为R的圆面积范围内的电荷产生的。试求该圆半径的大 小。 解：圆盘在其轴线上P点场强：
根据电势叠加原理，P点处的电势也与电荷在环L上的 分布状况无关，为： dq
UP
4 0 r Nq 4 0 r
L
dq
4 r
0
1
L
R dq
L
r
P
dE
Z
9、C 空间各点处的总场强为：（方法与选择题第5小题 的方法相同）
0 (r R1 ) 2 E Eer er Q1 /(4 0 r ) ( R1 r R2 ) e (Q Q ) /(4 r 2 ) (r R2 ) 2 0 r 1
'
R
dl
R
Rd
d
y
dE
θ位置处的一窄条在轴线上的一点产生的场强为：
' ' dE i sin j cos 2 0 R 2 0 R d d i sin j cos 2 2 2 0 R 2 0 R
真空中的静电场
r x R
dq( xi R) dE 4 0 ( x 2 R2 )3 / 2
R R(cos j sin k )
x E i 2 2 3/ 2 4 0 ( x R )
•若
Q
y
o
x R
Q E 2 4 0 x Q 2 4 0r
x
x
z
qi
fi q
f E q
i 1
n
fi
E Ei
E
i 1
q
i 1
n
ir
q
i n
或：
4 0ri
qi
3
ri
—场强叠加原理！
3. 任意带电体的场强
若为电荷连续分布的带电体，如图示
可以把带电体切割成无穷多个电荷 元，每个电荷元可看
在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代 数和在任何物理过程中保持不变。 讨论
q const.
i i
•电荷守恒定律是物理学 中普遍的基本定律 •电荷可以成对产生或湮 灭，保持代数和不变
-e +e
-e
+e
•电中性-物体带等量的正 负电荷 •物质的原子构成与带电 —原子的电中性、离子等
1. 点电荷的场强
根据库仑定律和场强的定义
q
Q r
er
Qq f e 2 r 4 0r
球对称
f E q E
Q 4 0r
e 2 r
E( x, y, z) E(r )
E(r)
const. r c
2. 点电荷系的场强 如果带电体由 n 个点电荷组 成，如图 由电力叠加原理：
真空中静电场环路定理
静电场环路定理的公式：D=ρL/S。
符号规定：穿过回路L的电流方向与L的环绕方向服从右手关系时I为正，否则为负。
安培环路定理反映了磁场的基本规律。
和静电场的环路定理相比较，稳恒磁场中B 的环流，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。
安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。
扩展资料：
利用安培环路定理求磁场的适用范围：在磁场中能否找到上述的环路，取决于该磁场分布的对称性，而磁场分布的对称性又来源于电流分布的对称性。
因此，只有下述几种电流的磁场，才能够利用安培环路定理求解。
1、电流的分布具有无限长轴对称性；
2、电流的分布具有无限大面对称性；
3、各种圆环形均匀密绕螺绕环。
利用安培环路定理求磁场的基本步骤：
1、首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析；
2、根据磁场的对称性和特征，选择适当形状的环路；
3、利用公式求磁感强度。
5.3 真空中静电场的高斯定理
0 0 n 1 qi 0 i 1
q1
q2
0
qn
qn1
s
q1
q2
qn qi
qn2
qN
（因 1 ~ n 电荷在曲面 内，n +1 ~ N 电荷在曲 面外）
第五章
真空中的静电场
24
大 学 物理学
5.3
真空中静电场的高斯定理
静电场的高 斯定理
1 Φe E dS ε0 S
第五章
真空中的静电场
18
大 学 物理学
5.3
真空中静电场的高斯定理
既然电场是由电荷所激发的，那么，通过电 场空间某一给定闭合曲面的电场强度通量与激发 电场的场源电荷必有确定的关系。高斯通过缜密 运算论证了这个关系,这就是著名的高斯定理。 下面以点电荷为例，得出相关结论，而后导 出高斯定理。 例 求下列情况中通过曲面S、S及 S的电 场强度通量： (1) 点电荷+q位于半径为r 的球面S 的球心 处； (2) 若q 位于任意曲面S 内； (3) q位于任意闭合曲面S 以外。
S S
“穿出”θ
90 90
θ
en
“穿进”θ
E
E
en
第五章
θ
S
14
真空中的静电场
大 学 物理学
5.3
真空中静电场的高斯定理
练习
1. 三棱柱体放置在如图所示的匀强电场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量.
解
y
5 i 1
P
Φe Φei
Φe1 Φe 2
第五章
q
i 1
n
i
在真空静电场中，穿过任一闭合曲面的电场 强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数 和除以 ε 0 . 高斯面 连续分布带电体
大学物理课后习题答案 真空中的静电场
第八章 真空中的静电场 1、[D] 2、[C]要使p 点的电场强度为零，有两种可能：1、在p 点的右侧放正电荷；2、在p 点的左侧放负电荷。
根据题意为负电荷，根据点电荷强度的公式：204rQ E πε=。
其中r=1,负电荷产生的电场：2442120210=⇒=r rQ r Q πεπε，该点在原点的左边。
3、[D]1、粒子作曲线运动的条件必须存在向心力。
2、粒子从A 点出发经C 点运动到B 点是速率递增，存在和运动方向一致的切向力。
3、依据粒子带正电荷，作出作用在质点上的静电力后，符合上诉1、2条件的是[D]。
4、[C]5、[B]6、[D]1、点电荷的电场强度：r e rq E204πε=；2、无限长均匀带电直导线：r rq e rq E r20022πεπε==；3、无限大均匀带电平面：r e E2εσ=4、半径为R 的均匀带电球面外的电场强度：r r R r R r e rq E r302230204414εσσππεπε=⋅==7、[C]对高斯定理的理解。
E是高斯面上各处的电场强度，它是由曲面内外所有静止点和产生的。
∑=0q 并不能说明E有任何特定的性质。
8、[A]应用高斯定理有:⎰=⋅sS d E 0,即:⎰⎰⎰⎰=∆Φ+⋅=⋅+⋅=⋅∆ses s s S d E S d E S d E S d E 0⎰∆Φ-=⋅seS d E9、[B]10、[C]依据公式:R r rQ E ≥=,420πε已知:,4,22σπR Q R r ==代入上式可得:2024444εσπεσπ==RR E11、[D]先构建成一个边长为a 的立方体,表面为高斯面,应用高斯定理,一个侧面的磁通量为: 0661εq S d E S d E ss=⋅=⋅⎰⎰12、[D]13、[D]半径为R 的均匀带电球面:R r R Q U <=,40πεR r r Q U >=,40πε半径为R 的均匀带电球体: R r r Q U >=,40πεR r RQ r R RQ U <+-=,4)(802230πεπε正点电荷: ,40rQ U πε=负点电荷: ,40rQ U πε-=14、[C]分析:先求以无限远处为电势的零点.则半径为R 电量为Q 的球面的电势： 0)(,4)(0=∞=U RQ R U πε,4)()(0RQ R U U U R πε-=-∞=∞对15、[B]利用电势的叠加来解。
大学物理 真空中的静电场
电荷守恒定律说明：物质带电现象的本质是电荷的转移。 二、真空中的库仑定律：点电荷的相互作用规律 1、点电荷（理想化模型） 点电荷：没有形状和大小的带电体。 对实际带电体，当其线度比电荷间距小很多时，可视为点 电荷。 2、库仑定律 真空中，两个静止的点电荷之间相互作用力的大小，与 它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。 作用力的方向沿着它们的联线。同号电荷相斥，异号电荷相 吸。 q1 q 2 r 数学表述： f k
q0 放在电场中P点，受力 F ，而比值 F / q0 。与q0 无关。
单位：N/C 或 V/m
3) 点电荷 q 在外电场 E 中受电场力 F = q E
三、电场强度的计算
1. 点电荷Q 所产生电场的电场强度
试探电荷q 在点电荷Q 的电场中受力为 F
由电场强度定义：
Q
r0
+
P
F
2
dS 4 r
0
4r
2
q
q
0
2) 通过包围一个点电荷的任意闭合曲面的电通量
q Φe E dS E dS S S 0
具有相同立体角的不同曲面dS 和dS 的电通量相同。 3) 通过不包围点电荷的任意闭合曲面的电通量
S q S
n E E1 E 2 E 3 E n E i i 1
F1
q0
F2
Q1 Q2 r0 i
Qi
Fi
即: E
Qi 4 r 2 ri i 1 0 i 1
n
所以，电场强度满足矢量叠加原理
3. 电荷连续分布的带电体所产生的电场强度 若电荷连续分布，可在带电体上取微元电荷 dq，由点 电荷的场强公式写出场强，根据场强叠加原理求矢量和 （即求积分）
真空中的静电场(含答案,大学物理作业,考研真题)
班级：
姓名：
学号：
第十章 真空中的静电场（3）
一 、选择题 1、静电场中某点电势的数值等于 (A)正试验电荷 q0 置于该点时具有的电势能； (B) 把正试验电荷 q0 从该点移到电势零点处电场力所作的功； (C) 把单位正电荷从该点移到电势零点处电场力所作的功
(D)把单位正电荷从该点移到电势零点处外力所作的功。
P(x,0) xx
[
]
3、（2010 年北京科技大学）两个带有等量同号电荷，形状相同的金属小球１和２，相互
作用力为 F，它们之间的距离远大于小球本身直径．现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的相
同金属小球３去和小球１接触，再和小球２接触，然后移去．这样小球１和２之间的作用力变
为：
(A) F/2；
(B) F/4；
S1
S2
S3
3、（2012 年北京科技大学）两个平行的“无限大”均
+σ +2σ
匀带电平面，其电荷面密度分别为 和 2 ，如图所示，则 A、
B、C 三个区域的电场强度分别为：
EA
EB
A
B
C
EC
3
三 、计算题 1、两个无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和 R2（R2>R1），带有等值异号电荷，每单位长 度的电量为λ（即电荷线密度）。试分别求（1）r < R1，（2）r > R2，（3）R1< r<R2 时，离轴线 为 r 处之电场强度。
若将 q 移至 B 点，则：
（A）、S 面上的总电通量改变，P 点的场强不变； （B）、S 面上的总电通量不变，P 点的场强改变；
P· S B·
q·
（C）、S 面上的总电通量和 P 点的场强都不变； （D）、S 面上的总电通量和 P 点的场强都改变。
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真空中的静电场
课前练习
1.写出高斯定理的数学表达式.
2.试推导无限长直带电导线空间某点的场强表达式.
3. 两同心均匀带电球面，半径为R1和R2，分别带电q1和q2, 求空间电场分布.
例题分析
两同心均匀带电球面，半径为R1和R2，分别带电q1和q2, 求空间电场分布。
分析及解析
由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。
由球对称中的Gauss定理
知识回顾
高斯定理(Gauss theorem)
通过一个任意封闭曲面S的电通量e等于该面所包围的所有电荷量的代数和iq除
以0,与闭合面外的电荷无关.
数学表达式 ieqdSESdE01cos
R1
R2
O
q1
q2
2
o
21
2
π4
:rεqqERr
2
o
1
21
π4
:rεqERrR
0π40:2o1rεERr
2
o
π4r
q
E
内
四、应用高斯定理求场强
【例题】“无限长”均匀带电直线的场强
线电荷密度，S内的hqi
由高斯定理得02hahE
aE02
【例题】“无限大”均匀带电平面的场强
由高斯定理
【例题】均匀带电球面的场强
作同心封闭球面S
21
,EE
是否可相互抵消另作别论，但其合场强E的
大小在S面上各点必相同，其方向必与该点的面元
法线共线。
这与电荷元场强微元法结果是一致的
典型例题的回顾
【例题】电场强度的叠加
一无限长均匀带电细线弯成如图所示的平面图形,其中AB是半圆弧, AA′和BB ′是两
平行直线, A′ 和B ′向右端无限延伸,
试求圆心O 处的电场强度.
A′
A
B ′
B
O
分析及解析
ab圆弧
a′b′线段
【例题】“无限长”均匀带电直线的场强 线电荷密度
RkR
RkEΔΔ
2
1
2
2
sin/sinΔ
r
αθrλ
kE
βαθθsinsin,ΔsinΔ
R
θλkEΔ
2
0OE
aελa
λk
EP0π22
ay2Δ
yaλkEExPΔΔ2
yθθaΔsin)Δ(
θ
a
θaλ
kθEExsin)Δ(sinΔΔ22
21
ΔΔEE
a
θλkaθaλkEΔΔ
Δ
2
2
aθλkθrθλkrθθrλkrlλkEΔsin
Δ
sin/ΔΔ
Δ
22
1
直线与圆弧的场强等效
任取某三角形框架,使其均匀带电,试在全空间找出场强为零的一个非无穷远点.
ADB边上电荷对内心O的贡献等于圆弧A′DB′电荷对内心O的场强贡献.同理可得其他边
的情况.因此,三角形内心为场强的零点.
均匀带电球面与带电圆环的等效
半径为R的圆环带有电量Q,已知圆环的某条直径AOB上(除去两个端点外)所有位置场强为
零,试求环上电荷分布.
带电面元
与无穷大
带电平面
的等效
均匀带电球壳半径为R，带正电，电量为Q，若在球面上划出很小一块，它所带电量为q(q<
分析及解析
这个问题中，待求力是带电球壳的内力，且对称分布，宜用微元法求解。
如图所示，A是球面上划出的很小一块面积元，因
带电量q，故可视作一点电荷，其在A内、
外两侧引起的场强大小相等设为Eq、方向
相反。现设球壳其余部分在A处的场强为
EA，则A内侧面作为球壳内部，场强应为
零，故有
而A外侧，由均匀球壳场强公式，可得
由以上两式可得
则点电荷q在A处所
受球壳其余部分对它
的力为
缺口内侧
B
O
R
A
lRθQlθRRQQΔ4sinΔsinπ2π421Δ2
π)0(,4sinΔΔθRθQlQλ
0qAEE
2
R
Q
kEEqA
2
2R
Q
kEA
2
2R
Qq
kF
Eq
Eq
q
A
22
2π4π2π2RkQR
Q
kσkE
内
缺口外侧
缺口处场强为
则点电荷q在缺口处所受球壳其余部分对它的力
为
无限靠近带电面元的点,则带电面元与无穷大带电平面等效!
电势能
一、在电场中移动电荷电场力做功的讨论
匀强电场
在匀强电场中，沿任意路径移动电荷电场力做的功，均与路径无关，只跟始末位置有关。
qEdWab
点电荷电场
在点电荷电场中，沿任意路径移动电荷电场力做的功，均与路径无关，只跟始末位置有关。
22
2π2RkQR
kQ
σkE
外
2
2R
Q
kE
2
2R
Qq
kF
E
a
b
在电场中移动电荷电场力做功的特点
若沿任意闭合路线绕行一周，则电场力所做的功为零。
banbnbaaabrrkqQ
rrrrkqQrrrrkqQrrrrkqQW11)()()(
1112211
1
即此结果表明0,qq一旦给定，电场力所作的功取决于移动试验电荷的始、末位置，而与移动
路径无关。
在点电荷系的电场中，试验电荷沿任意闭合路线绕
行一周，合电场力所做的功为零。连续带电体的静
电场也有相同的性质。
可见
对任何形式分布的电荷所产生的静电场均成立。
由于沿任一闭合回路做功为零的力称为保守力，
故
静电场力是保守力，静电场是保守力
场。
二、静电场的环路定理
由0qW0ldE闭，其中00q
故0ldE
积分ldE称场强E的环流
静电场的环路定理：在静电场中，单位正
电荷沿任一闭合回路的总功恒等于零。
(场强沿任一闭合回路的线积分恒等于
零.)
三、电势能
设试验电荷0q位于a点b点，静电系统具有电势能bEaE
0
q
沿任意路径从a到b
静电场力做的功abW
其功能关系为baaEEEbabE-W
电场力做正功，系统的电势能减少。
电势能是空间坐标的函数，其量值具有相对性。
电势能零点的选择具有任意性。
设试验电荷0q位于a点0P点，静电系统具有电势能
0,EpaE
0
q
沿任意路径从a到0P
静电场力做的功aPW
ldEqEldEqa0a0aPE0W即
试验电荷0q在电场某点a的电势能，在量值上等于将试
验电荷沿任意路径移至电势能为零处的过程中，电场力
所做的功。
例题分析
在图所示的电场中，已知A、B两点间的电势差UAB＝－10V。
（1）电荷q=+4×10-9C由A点移到B点，电场力所做的功是多少？电势能是增加还是减少？
（2）电荷q=－2×10-9C由A点移到B点，电场力所做的功是多少？电势能是增加还是减少？
答案：-4×10-8J，电势能增加；2×10-8J，电势能减少