【精编】2016-2017学年山东省济南市历城区八年级(下)期末数学试卷及答案
人教版山东省济南市历下2016-2017学年八年级下学期期中考试数学试卷(含答案)
2016-2017学年度历下区八年级数学下学期期中试卷2017年八年级教学质量检测 数学试题（2017．4） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B2．分式13x -有意义，则x 的取值为（ ）．A ．0x ≠B ．3x ≠C ．3x ≠-D ．3x ≠±【答案】B3．下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ） A ．21x -B ．221x x +-C ．221x x ++D ．21x x ++【答案】C4．平面直角坐标系中，点)(2,0P 平移后对应的点为()5,4Q ，则点P 平移距离为（ ）．QP xyOA ．3个单位长度B ．4个单位长度C ．5个单位长度D ．7个单位长度【答案】C 5．函数y kx b =+（k 、b 为常数，0k ≠）的图象如图所示，则关于x 的不等式0kx b +>的解集为（ ）．A ．2x >B ．2x <C ．1x <D ．1x >【答案】B6．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）． A ．11 B ．16 C ．17 D ．16或17【答案】D7．把不等式组123x x >-⎧⎨+⎩≤的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）．A ．B ．C ．1 D ．1【答案】B8．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，BF 平分ABC ∠，交AD 于点F ，CE 平分BCD ∠，交AD 于点E ，8AB =，6CD =，2EF =，则AD 长为（ ）．E FDA BCA ．8B ．10C ．12D ．14【答案】C9．如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，CAB ∠的平分线交BC 于D ，DE 是AD 的垂直平分线，垂足为E ，若3BC =，则DE 的长为（ ）．ABCEA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A10．已知1112a b -=，则aba b -的值是（ ）．A ．12B ．12- C ．2D ．2-【答案】D11．如图，在ABC △中，70CAB =︒∠，在同一平面内，将ABC △绕点A 旋转到AB C ''△的位置，使得CC AB '∥则BAB '=∠（ ）．B'C'ABCA ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒【答案】C12．已知等边三角形边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）． ABC ．32D ．不能确定【答案】B第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．分解因式：24a -=__________． 【答案】(2)(2)a a +-14．若分式211x x -+的值为零，则x 的值为__________．【答案】14.115．如图，等边ABC △的边长为4，AD BC ⊥，把ABD △沿BC 向右平移得到A B D '''△，1BB '=，则图中阴影部分的面积为__________．16．在三角形纸片ABC 中，90C =︒∠，30B =︒∠，点D （不与B ，C 重合）是BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF 的长度为a ，则DEF △的周长为__________．（用含a 的式子表示）．30°C BAB (D )30°ABCF E【答案】16.3a三、解答题（本大题共8题，满分74分） 17．（本小题满分8分） 已知代数式：211211x x x ÷+++，请你解决下列问题．（1）化简．（2）在1-1【答案】见解析 （1）211211x x x ÷+++211(1)1x x +=⨯+ 11x =+． （2）当x =时，原式1===，当1x =时，原式2=． 18．（本小题满分8分）（1）将ABC △沿x 轴负方向平移2个单位，沿y 轴正方向平移4个单位，得到111A B C △，请画出111A B C △．（2）将ABC △绕点A 顺时针旋转90︒，得到22AB C △，请画出22AB C △．（3）111A B C △绕点P 顺时针旋转90︒，得到22AB C △，则点P 的坐标为__________．【答案】见解析 （3）P 点坐标为(1,2)．19．（本小题满分8分）关于x 的不等式组32(3)215x a x x -+⎧⎨-+<⎩≤①②．【注意有①②】（1）当1a =，解这个不等式组．（2）若这个不等式组的解集为28x -<≤，求a 的值． 【答案】见解析 （1）当1a =时，312(3)215x x x -+⎧⎨-+<⎩≤①②，【注意有①②】解①得：7x ≤， 解①得：2x >-，∴不等式组的解集为27x -<≤． （2）32(3)215x a x x -+⎧⎨-+<⎩≤①②【注意有①②】解①得：6x a +≤， 解①得：2x >-，∵不等式组的解集为28x -<≤． ∴68a +=， ∴2a =．20．（本小题满分9分）如图，AB AC =，CD AB ⊥，BE AC ⊥，BE 与CD 相交于点O ． （1）求证：ACD △≌ABE △．（2）连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系，并说明理由．ODABCE【答案】见解析 （1）证明：∵CD AB ⊥，BE AC ⊥， ∴90ADC AEB ==︒∠∠， 又∵A A =∠∠，AB AC =，∴ACD △≌(AAS)ABE △． （2）连接AO 、BC ， ∵CD AB ⊥，BE AC ⊥， ∴90ADC AEB ==︒∠∠， ∵OA OA =，AD AE =， ∴Rt ADO △≌(HL)AEO △，∴DAO EAO =∠∠，即OA 是BAC ∠的平分线， 又∵AB AC =， ∴OA BC ⊥．ADE OBC21．（本小题满分9分） 仔细阅读下面例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++，则225(2)2x x m x n x n ++=+++， ∴25n +=，2m n =， 解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6． 依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式2712x x -+可分解为(3)()x x a -+，则a =__________． （2）若二次三项式226x bx +-可分解为(23)(2)x x +-，则b =__________． （3）已知二次三项式229x x k +-有一个因式是21x -，求另一个因式以及k 的值． 【答案】见解析 （1）4a =-． （2）1b =-．（3）解：设另一个因式为x n +，得229(21)()x x k x x n +-=-+，则22292(21)x x k x n x n +-=+--， ∴219n -=，k n -=-， 解得5n =，5k =-，∴另一个因式为5x +，k 的值为5-． 22．（本小题满分10分）如图，Rt ABC △中，90ABC =︒∠，DE 垂直平分AC ，垂足为O ，AD BC ∥． （1）求证：OD OE =．（2）若3AB =，4BC =，求AD 的长．ODABCE【答案】见解析（1）证明：∵DE 垂直平分AC ， ∴90∠∠°AOC COE ==，OA OC =， ∵∥AD BC ，∴∠∠DAC C =，∴△AOC ≌(AAS)△COE ， ∴OD OE =． （2）连接AE ， ∵DE 垂直平分AC ， ∴AE EC =， 设EC 长度为x ， ∴AE x =，4BE x =， 在Rt △ABE 中，222AE AB BE =+，∴2223(4)x x =+-，解得258x =， 又∵△AOC ≌△COE ， ∴AD EC =， ∴258AD =． ECBADO23．（本小题满分10分）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱，供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元．方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取，工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．（1）若需要这种规格的纸箱x 个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用1y （元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用2y （元）关于x （个）的函数关系式． （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由． 【答案】见解析（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：14y x =， 蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：2 2.416000y x =+． （2）当12y y =时，4 2.416000x x =+，10000x =， 选择两个方案的费用相同．当12y y <时，4 2.416000x x +<，10000x <， 选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低．当12y y >时，4 2.416000x x +>，10000x >，选择方案二，加工厂自己加工制作纸箱所需的费用低． 24．（本小题满分12分） 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．EA DBC在等边ABC △中，点E 在AB 上， 点D 在CB 的延长线上，且ED EC =， 如图，请尝试确定线段AE 与BD 的 大小关系，并说明理由．组长小敏带领全组同学讨论，进行了如下探究，请你一起完成． （1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE __________DB （填“>”“<”“=”）． （2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE __________DB （填“>”“<”“=”）．理由如下： 如图2，过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ． （请你完成接下来解答过程） （3）拓展结论，设计新题在等边ABC △中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =．若ABC △的边长为1，2AE =，直接写出CD 的长．图1DABCE图2DA BCEF【答案】见解析（1）=． （2）=．（3）证明：∵∥EF BC ， ∴∠∠ECB FEC =， ∵ED EC =， ∴∠∠D ECB =， ∴∠=∠D FEC ， ∵∥EF BC ，∴180120∠°∠°EFC BCA =-=， ∵180120∠°-∠°EBD ABC ==， ∴∠∠EFC EBD =，在△EDB 与△CEF 中， ∠∠∠∠EBD EFC BDE FEC ED EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△EDB ≌(AAS)△CEF ， ∴BD EF =， ∵∥EF BC ，∴60∠∠°AEF ABC ==，60∠°A =， ∴△AEF 为等边三角形， ∴EF AE =， 又∵EF BD =， ∴AE BD =． （3）1或3．附加题1．已知x 、y 都是正实数，且满足222120x xy y x y ++++-=，则(1)x y -的最小值为__________． 【答案】254-2．等腰直角三角形BAC 与等腰直角三角形DAE 按图1位置放置，AB 、AD 在同一直线上，AC 、AE 在同一直线上，2AB =，AD = （1）试判断线段BE 、CD 的关系．（2）如图2，将BAC △绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段CD 上时，求此时线段BE 的长． （3）如图3，将BAC △绕点A 继续逆时针旋转，线段BE 与线段CD 将相交，交点为F ，请判断DFE △与BFC △面积之和有最大值吗?若有，请直接写出最大值．图1ECBAD图2BDCEA图3FBA ECD【答案】见解析（1）解：BE CD =且⊥BE CD ， ∵△BAC 与△DAE 都是等腰直角三角形， ∴AC AB =，90∠∠°DAC BAE ==，AD AE =， ∴△ACD ≌(SAS)△ABE ， ∴BE CD =，∠∠ADC AEB =， 如图1所示，延长EB 交DG 于点H ， ∵90∠∠°ADC ACD +=， ∴90∠∠°AEB ACD +=， ∴90∠°EHC =，八年级下数学∴⊥BE CD ．M A C DB（2）如图2，过点A 作⊥AM CD ， ∵45∠°ACB =，2AB =，∴CM AM ==， 在Rt △AMD 中，MD ，∴CD =，∴BE = （3）△DFE 与△BFC 面积之和的最大值为6．MBA E C D。
2023-2024学年山东省济南市历城区八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）1．（4分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．﹣x﹣1＜﹣y﹣1B．x+1＞y+1C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y3．（4分）若分式的值为0，则a的值为（）A．﹣3B．0C．2D．54．（4分）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），∠AOC＝60°．将菱形OABC 沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣，1）D．（﹣，﹣1）5．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．若CD ＝1，则AB的长为（）A．B．C．D．6．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤4且a≠0B．a≤4C．a＜4且a≠0D．a＜47．（4分）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC 的大小是（）A．24°B．26°C．28°D．30°8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，甲乙两位同学给出的下列结论：甲说：关于x的不等式ax+b＞﹣4的解集为x＞0；乙说：当x＞4时，ax+b＜kx；其中正确的结论有（）A．甲乙都正确B．甲正确，乙错误C．乙正确，甲错误D．甲乙都错误9．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．将△ABC绕点B旋转得△A′BC′，分别取AA′，BC′的中点E，F，则EF的取值范围是（）A．1≤EF≤9B．C．D．1＜EF＜910．（4分）如图，正方形ABCD边长为，E从B出发沿对角线BD向D运动，连接CE，将线段CE 绕C点顺时针旋转90°得到CF，连接DF，EF，设BE＝m，下列说法：①△DEF是直角三角形；②＝12.5；④取EF中点G，连接BG，CG，当m＝4时，；③有且只有一个实数m，使得S△DEF△BCG的面积随着m的增大而增大．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的横线上．）11．（4分）因式分解：a2﹣9＝．12．（4分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m＝．13．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝3，则线段AE的长度等于．14．（4分）近来房地产市场进入寒冬期，某楼盘原价为每平方米10000元，连续两次降价后售价为8100元，则平均每次降价的百分率是．15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F 为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若AE＝12，BF＝8，则AB的长为．16．（4分）如图，矩形ABCD中，点E是AB上一点，AE＝1，BE＝3，AD＝6，点H是AD边上的动点，以EH为边作菱形EFGH，使顶点F落在BC上，连接CG，则△FCG面积的最小值为．三、解答题（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解．18．（6分）先化简：，再从﹣1，0，1，2中选取一个适当的数代入求值．19．（10分）解分式方程：（1）；（2）．20．（8分）解下列方程．（1）x2﹣6x+5＝0；（2）x2+4x﹣1＝0．21．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：DE＝BF．22．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为；（4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是．23．（8分）已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P 运动的时间为t（0＜t＜8）．（1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值；（2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值．24．（10分）根据如表所示素材，探索完成任务．如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润素材1某书店为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．素材2已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本．素材3书店准备用不超过28200元购进A，B两种图书共2000本，且A种图书不少于600本，经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售．问题解决任务1探求图书的标价请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价．任务2确定如何获得最大利润书店应怎样进货才能获得最大利润？25．（12分）求代数式x2﹣4x+3的最小值时，我们通常运用“a2≥0”这个结论对代数式进行配方来解决．比如x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣1≥﹣1，∴x2﹣4x+3的最小值是﹣1，试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2+6x+13＝（x+）2+；（2）如图1所示的是一组邻边长分别为5，2a+9的长方形，其面积为S1；如图2所示的是边长为a+7的正方形，其面积为S2，a＞0，请比较S1与S2的大小，并说明理由．（3）如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用59m长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边AB加建1m宽的门（用其他材料）．设BC＝x m，矩形ABCD的面积为y m2．当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？26．（12分）【探索发现】（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边A1O与边AB相交于点E，边C1O与边CB相交于点F，连接EF．在实验与探究中，小新发现无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE≌△BOF即可推导出来．①请你猜想AE，CF，EF之间的数量关系是．②小新对图1的进一步研究中发现，延长EO与DC交于一点G，通过证明△AOE≌△COG也可推导出AE，CF，EF之间的数量关系，请你证明△AOE≌△COG．【类比迁移】（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断AE，CF，EF之间的数量关系并进行证明；【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，点D是边AB的中点，∠EDF=90°，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE=4cm时，请直接写出线段CF的长度．2023-2024学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）1．【分析】根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答．【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；B、是中心对称图形，故选项正确，符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2．【分析】根据不等式的性质进行分析判断．【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时乘﹣1，不等号的方向改变，即﹣x＞﹣y，两边再同时减去1，即﹣x﹣1＞﹣y﹣1，不符合题意；B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．3．【分析】根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可．【解答】解：由题可知，a﹣2＝0且a+3≠0，解答a＝2．故选：C．【点评】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分母不为零且分子为零的条件是解题的关键．4．【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据菱形的性质得出AB＝2，∠EAB＝∠AOC＝60°，于是求出AE 的长，在Rt△ABE中根据勾股定理求出BE的长，从而得出点B的坐标，再根据平移规律即可得出点B′的坐标．【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，∴∠BEA＝90°，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，∵四边形OABC是菱形，∴AB＝OA＝2，AB∥OC，∴∠EAB＝∠AOC＝60°，∴∠ABE＝30°，∴，由勾股定理得，∴OE＝AE+OA＝1+2＝3，∴点B的坐标是，将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，∴点B′的坐标为，故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系中点的平移规律，求出点B的坐标，根据平移规律得出点B′的坐标是解题的关键．5．【分析】由AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝1，得DE＝CD＝1，∠B＝45°＝∠EDB，即可得AB．【解答】解：由AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝1，得DE＝CD＝1，∠B＝45°＝∠EDB，得BE＝DE＝1，BD＝＝，得CB＝1+，得AB＝CB＝2+．故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰直角三角形，解题关键是找准直角三角形．6．【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4a≥0且a≠0，解得：a≤4且a≠0．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根是解题的关键．7．【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB ＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．8．【分析】根据所给函数图象，利用数形结合的数学思想对甲，乙两人的说法作出判断即可．【解答】解：由函数图象可知，当x＞0时，一次函数y＝ax+b的图象在直线y＝﹣4的上方，即ax+b＞﹣4，所以关于x的不等式ax+b＞﹣4的解集为x＞0．故甲的结论正确．由函数图象可知，当x＜4时，一次函数的图象在正比例函数图象的下方，即ax+b＜kx，所以x＜4时，ax+b＜kx．故乙的结论错误．故选：B．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．9．【分析】利用勾股定理求出AB的长，在根据旋转的性质可得A'C'＝AC＝8，A'B＝AB＝10，BC'＝BC＝6，利用中位线的性质可求EG＝5，FG＝4，再根据三角形的三边关系即可求出结果．【解答】解：取A'B的中点G，连接EG、FG，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，由旋转的性质可知：A'C'＝AC＝8，A'B＝AB＝10，BC'＝BC＝6，∵点E、F、G分别是AA'、BC'、A'B的中点，∴EG是△A'AB的中位线，FG是Rt△BCA′的中位线，∴EG＝5，FG＝4，当点E、F、G不共线时，EG﹣FG＜EF＜EG+FG，即1＜EF＜9，当点G在线段EF上时，EF＝EG+FG＝5+4＝9，当点F在线段EG上时，EF＝EG﹣FG＝5﹣4＝1，综上所述，1≤EF≤9，故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质、三角形中线的性质、三角形三边关系及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中线的性质求出EG、FG的值是解题的关键．10．【分析】根据正方形的性质得到BC＝DC＝5，∠BCD＝90°，求得∠CBE＝∠CDE＝45°，根据旋转的性质得到CE＝CF，∠ECF＝90°，求得∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，根据全等三角形的性质得到EDF＝∠CDE+∠CDF＝45°+45°＝90°，求得△DEF是直角三角形，故①正确；根据勾股定理得到BD＝＝BC＝×5＝10，BE＝DF＝m＝4，求得DE＝BD﹣BE＝10﹣4＝6，得到EF＝＝＝2，故②正确；根据三角形的面积公式列方程得到m＝5，推＝12.5，故③正确；连接DG，作GH⊥CD于点H，则∠GHD＝∠出有且只有一个实数m，使得S△DEFBCD＝90°，得到CH与△BCG的边BC上的高相等，根据三角形的面积公式得到S△BCG＝BC•CH＝×5×＝，推出△BCG的面积不随着m的增大而增大，故④错误．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为5的正方形，∴BC ＝DC ＝5，∠BCD ＝90°，∴∠CBE ＝∠CDE ＝45°，∵将线段CE 绕C 点顺时针旋转90°得到CF ，∴CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，∴∠BCE ＝∠DCF ＝90°﹣∠DCE ，在△BCE 和△DCF 中，，∴△BCE ≌△DCF （SAS ），∴∠CBE ＝∠CDF ＝45°，BE ＝DF ＝m ，∴∠EDF ＝∠CDE +∠CDF ＝45°+45°＝90°，∴△DEF 是直角三角形，故①正确；∵BD ＝＝BC ＝×5＝10，BE ＝DF ＝m ＝4，∴DE ＝BD ﹣BE ＝10﹣4＝6，∴EF ＝＝＝2，故②正确；∵DF •DE ＝S △DEF ，且DF ＝m ，DE ＝10﹣m ，S △DEF ＝12.5，∴m （10﹣m ）＝12.5，解得m ＝5，∴有且只有一个实数m ，使得S △DEF ＝12.5，故③正确；连接DG ，作GH ⊥CD 于点H ，则∠GHD ＝∠BCD ＝90°，∴GH ∥BC ，∴CH 与△BCG 的边BC 上的高相等，∵∠EDF ＝∠ECF ＝90°，点G 为EF 的中点，∴DG ＝CG ＝EF ，∴CH＝DH＝DC＝×5＝，＝BC•CH＝×5×＝，∴S△BCG∴△BCG的面积不随着m的增大而增大，故④错误，故选：C．【点评】此题重点考查旋转的性质，正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，证明△BCE≌△DCF是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的横线上．）11．【分析】a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．12．【分析】把x＝1代入一元二次方程得到1+m＝3＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝1代入x2+mx+3＝0得1+m+3＝0，解得m＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13．【分析】连接BE，先求出∠ABC＝60°，根据线段垂直平分线性质得AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝30°，进而得∠CBE＝30°，由此得BE＝2CE＝6，据此可求出AE的长．【解答】解：连接BE，如图所示：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠A＝∠ABE＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△CBE中，CE＝3，∠CBE＝30°，∴BE＝2CE＝6，∴AE＝BE＝6．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．14．【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该楼盘的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意得：10000（1﹣x）2＝8100，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．故答案为：10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．【分析】设AE与BF相交于点O，由作图过程可知，AB＝AF，AO⊥BF，可得OB＝OF＝＝4，AO平分∠BAF，结合平行四边形的性质可得AB＝BE，由等腰三角形的性质可得OA＝OE＝＝6．在Rt△BOE中，由勾股定理得，BE＝＝，进而可得答案．【解答】解：设AE与BF相交于点O，由作图过程可知，AB＝AF，AE⊥BF，∴OB＝OF＝＝4，AO平分∠BAF，∴∠FAE＝∠BAE．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∴△ABE为等腰三角形，∵BO⊥AE，∴OA＝OE＝＝6．在Rt△BOE中，由勾股定理得，BE＝＝，∴AB＝．故答案为：．【点评】本题考查作图—基本作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理是解答本题的关键．16．【分析】通过辅助线构造Rt△IFG，由△AHE≌△IFG推出△FCG的底边FC上的高IG＝AE＝1，然后根据动点H的位置，以及直角三角形三边的关系，计算出线段FC的最小值，即可求出答案．【解答】解：如图，过点G作BC的垂线，交BC延长线于点I．∵四边形EFGH为菱形，∴FG＝EH＝EF，FG∥EH．四边形ABCD为矩形，则AD∥BC，连接FH，∴∠AHF＝∠HFI，∠EHF＝∠HFG，∴∠AHF﹣∠EHF＝∠HFI﹣∠HFG，即∠AHE＝∠IFG，在△AHE和△IFG中，∠A＝∠FIG，∠AHE＝∠IFG，EH＝FG，∴△AHE≌△IFG．∴GI＝AE＝1．＝FC•GI＝FC．∵S△FCG的最小值即FC的最小值．∴S△FCG在Rt△AHE和Rt△EBF中，AE和BE为定值，AH的最大值为AD，则EH的最大值为ED．∵ED＝＝＝．∴EH和EF的最大值为．∵BF2+BE2＝EF2，∴BF的最大值：＝＝．又∵FC＝BC﹣BF＝AD﹣BF，∴FC的最小值为：6﹣．的最小值为：FC＝×（6﹣）＝3﹣．∴S△FCG故△FCG面积的最小值为3﹣．【点评】本题考查了矩形、菱形的性质，以及全等三角形的判定和性质．构造△∠IFG与△AHE全等，得出IG为定值，将△FCG面积的最小值转化为线段FC的最小值是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，写出它的所有整数解即可．【解答】解：，由①得，x＜1；由②得，x≥﹣，故不等式组的解集为：﹣≤x＜1，它的所有整数解为：﹣1，0．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．18．【分析】先因式分解，通分，去括号化简，再选值计算即可．【解答】解：＝＝＝，∵x﹣1≠0，x﹣2≠0∴x≠1，x≠2∴当x＝﹣1时，原式＝；当x＝0时，原式＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分是解题的关键．19．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2（x+2）＝3（x﹣2），去括号得：2x+4＝3x﹣6，移项合并得：﹣x＝﹣10，解得：x＝10，检验：把x＝10代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝10；（2）去分母得：2（x﹣4）+1＝x﹣3，去括号得：2x﹣8+1＝x﹣3，移项得：2x﹣x＝﹣3+8﹣1，合并同类项得：x＝4，检验：把x＝4代入得：x﹣4＝0，∴x＝4是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．【分析】利用因式分解法及配方法对所给方程进行求解即可．【解答】解：（1）x2﹣6x+5＝0，（x﹣1）（x﹣5）＝0，则x﹣1＝0或x﹣5＝0，所以x1＝1，x2＝5．（2）x2+4x﹣1＝0，x2+4x＝1，x2+4x+4＝1+4，（x+2）2＝5，则x+2＝，所以．【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．21．【分析】首先利用平行四边形的性质，证出AD＝CB，AD∥CB，进而证出∠DAE＝∠BCF，再结合已知证得△ADE≌△CBF，最后利用全等三角形的性质证出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF．【点评】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，找到图中的全等三角形是解本题的关键．22．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用中心对称变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；（3）作出旋转中心M，可得结论；（4）根据题目要求以及平行四边形的判定作出点D即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）旋转中心M的坐标为（﹣3，0）；故答案为：（﹣3，0）；（4）点D的坐标是（0，6）．故答案为：（0，6）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质．23．【分析】（1）根据题意用t表示CQ与AP，证明四边形APCQ为平行四边形，得AP＝CQ，由此列出t 的方程即可；（2）根据题意用t表示CQ与BP，证明△ABP≌△BCQ得BP＝CQ，由此列出t的方程即可．【解答】解：（1）由题意得DQ＝t cm，AP＝2t cm，∵四边形ABCD是边长为8cm的正方形，∴CQ＝（8﹣t）cm，当PQ，AC互相平分时，四边形APCQ为平行四边形，∴AP＝CQ，∴2t＝8﹣t，解得t＝，即t的值为s；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°，∵AP⊥BQ，∴∠BAP+∠ABH＝∠ABH+∠CBQ＝90°，∴∠BAP＝∠CBQ，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，∵BP＝2t﹣AB＝2t﹣8，CQ＝8﹣t，∴2t﹣8＝8﹣t，解得t＝，即t的值为s．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，行程问题，平行四边形的性质与判定，关键是正确列出t的方程．24．【分析】任务1：设B种图书的标价是x元，则A种图书的标价是1.5x元，根据“购买数量＝金额÷标价”列方程并求解即可；任务2：设购进A种图书m本，则购进B种图书（2000﹣m）本，根据“A种图书进价×购进A种图书数量+B种图书进价×购进B种图书数量≤28200”和“A种图书不少于600本”列关于m的一元一次不等式组并求解；设获得的利润是w元，根据“获得的利润＝（A种图书售价﹣A种图书进价）×购进A种图书数量+（B种图书售价﹣B种图书进价）×购进B种图书数量”写出w关于m的函数关系式，根据该函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时w的值最大，并求出此时2000﹣m的值即可．【解答】解：任务1：设B种图书的标价是x元，则A种图书的标价是1.5x元．根据题意，得﹣＝10，解得x＝18，经检验，x＝18是所列分式方程的解，1.5×18＝27（元），∴A种图书的标价是27元，B种图书的标价是18元．任务2：设购进A种图书m本，则购进B种图书（2000﹣m）本．根据题意，得，解得600≤m≤700．由题意可得，A种图书的售价是0.8×27＝21.6（元），B种图书的售价是18元，设获得的利润是w元，则w＝（21.6﹣18）m+（18﹣12）（2000﹣m）＝﹣2.4m+12000，∵﹣2.4＜0，∴w随m的减小而增大，∵600≤m≤700，∴当m＝600时，w值最大，2000﹣600＝1400（本），∴购进A种图书600本、B种图书1400本可获得最大利润．【点评】本题考查一次函数和分式方程的应用，掌握分式方程和一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键．25．【分析】（1）根据完全平方公式求解；（2）先根据矩形的面积公式表示S1，S2，再根据作差法求解；（3）根据矩形的面积公式列出函数关系式，再配方求解．【解答】解：（1）x2+6x+13＝x2+6x+9+4＝（x+3）2+4，故答案为：3，4；（2）S2＞S1；理由：∵S1＝5（2a+9）＝10a+45，S2＝（a+7）2＝a2+14a+49，∴S2﹣S1＝a2+14a+49﹣10a﹣45＝a2+4a+4＝（a+2）2＞0，∴S2＞S1；（3）由题意得：y＝x（59﹣2x+1）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，∴当x＝15时，y有最大值，为450平方米．【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式和非负数的性质是解题的关键．26．【分析】（1）①先证明△AOE≌△BOF（ASA），可得AE＝BF，推出BE＝CF，再运用勾股定理即可证得结论；②延长EO交DC于点G，由正方形性质可得OA＝OC，∠OAE＝∠OCG＝45°，再利用ASA可证得△AOE≌△COG；（2）延长EO交CD于点G，连接FG，可证得△AEO≌△CGO（AAS），得出AE＝CG，OE＝OG，再由线段垂直平分线的性质可得EF＝FG，再运用勾股定理即可求得答案；（3）设CF＝x cm，分两种情况讨论：①当点E在线段AC上时，②当点E在CA延长线上时，结合勾股定理，即可求解．【解答】（1）①解：猜想：AE2+CF2＝EF2，理由如下：如图1，∵四边形ABCD和四边形A1B1C1O均为正方形，∴OA＝OB，AB＝BC，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝∠A1OC1＝90°，∴∠AOB﹣∠BOE＝∠A1OC1﹣∠BOE，即∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE＝BF，∴AB﹣AE＝BC﹣BF，即BE＝CF，在Rt△BEF中，BF2+BE2＝EF2，∴AE2+CF2＝EF2，故答案为：AE2+CF2＝EF2．②证明：如图1′，延长EO交DC于点G，∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCG＝45°，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG（ASA）．（2）解：结论：AE2+CF2＝EF2，证明：如图2，延长EO交CD于点G，连接FG，∵O是矩形ABCD的中心，∴点O是AC的中点．∴AO＝CO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CGO，∴△AEO≌△CGO（AAS），∴AE＝CG，OE＝OG，∵四边形A1B1C1O是矩形，∴∠A1OC1＝90°，即OF⊥EG，∴OF垂直平分EG，∴EF＝FG，在Rt△FCG中，CG2+CF2＝GF2，∴AE2+CF2＝EF2；（3）解：设CF＝x cm，①当E在线段AC上时，如图3，连接EF，∵AE＝4cm，AC＝5cm，BC＝12cm，∴CE＝1cm，在Rt△FCE中，∠C＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴12+x2＝EF2，又由（2）易知EF2＝AE2十BF2，∴EF2＝42+BF2，∴12+x2＝42+（12﹣x）2，解得：x＝，∴此时线段CF的长度为cm；②当点E在CA延长线上时，如图4，过点B作BG⊥BC，交ED的延长线于G，连接EF，GF，同理可证EF2＝AE2十BF2，∴EF2＝42+（12﹣x）2，在Rt△FCE中，EF2＝x2+（5+4）2，∴x2+（5+4）2＝42+（12﹣x）2，解得：x＝，∴此时线段CF的长度为cm；综上所述，线段CF的长度为cm或cm．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形根据勾股定理列方程解决问题。
济南市市中区2016-2017年北师大八年级下数学期末试题含答案
济南市市中区八年级下期末试题（2017.06）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．若a ＞b ，则下列各式中一定成立的是( )A ．a ＋2＜b ＋2B ．a 一2＜b 一2C ．a 2＞b2 D ．－2a ＞－2b2．下面式子从左边到右边豹变形是因式分解的是( )A ．x 2－x －2＝x (x 一1)－2B ．x 2—4x ＋4＝(x 一2)2C ．(x ＋1)(x —1)＝x 2 － 1D ．x －1＝x (1－1x )3下列所培图形中·既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A B C D 4．多项式x 2－1与多项式x 2一2x ＋1的公因式是( )A ．x 一1B ．x ＋1C ．x 2一1D ．(x －1)2 5己知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是( )A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形 6. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的有 ( )A ．m 2－mn ＋n 2B ．x 2＋4x – 4 C. x 2－4x ＋4 D. 4x 2－4x ＋47．如图，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，得点B ，A ，C ′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB ′的度数是( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°8．运用分式的性质，下列计算正确的是( )A ．x 6x 2 ＝x 3 B ．－x ＋y x －y ＝－1 C ．a ＋x b ＋x ＝a b D ．x ＋y x ＋y ＝09．如图，若平行四边形ABCD 的周长为40cm ，BC ＝23AB ，则BC ＝（ ）A ．16crnB ．14cmC ．12cmD ．8cm10．若分式方程x －3x －1＝mx －1有增根，则m 等于（ ）30°B'C 'CAOCBDA ．－3B ．－2C ．3D ．211．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝15，AD 平分∠BAC ，点E 为AC 的中点，连接DE ，若△CDE 的周长为24，则BC 的长为( )A ．18B ．14C ．12D ．612．如图，己知直线y 1＝x ＋m 与y 2＝kx —1相交于点P (一1，2)，则关于x 的不等式x ＋m ＜kx —1的解集在数轴上表示正确的是( )A ．B ．C ．D ．13．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相较于点O ，BD ＝8，BC ＝5，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长为( ) A ．5B ．125C ．245D ．18514.定义一种新运算：当a ＞b 时，a ○＋b ＝ab ＋b ；当a ＜b 时，a ○＋b ＝ab －b ．若3○＋(x ＋2)＞0，则x 的取值范围是（ ）A ．－1＜x ＜1或x ＜－2B ．x ＜－2或1＜x ＜2C ．－2＜x ＜1或x ＞1D ．x ＜－2或x ＞2 15．在平面直角坐标系xOy 中，有一个等腰直角三角形AOB ，∠OAB ＝90°，直角边AO 在x 轴上，且AO ＝1．将EDBCAxy2-1POA DOBCERt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O ＝2AO ，再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O ＝2A 1O ……，依此规律，得到等腰直角三角形A 2017OB 2017．则点B 2017的坐标( )A ．(22017，－22017)B ．(22016，－22016)C ．(22017，22017)D ．(22016，22016)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）16.若分式1x －1有意义，则x 的取值范围是_______________.17.若m ＝2，则m 2－4m ＋4的值是_________________.18.如图，已知∠AOB ＝30°，P 是∠AOB 平分线上一点，CP //OB ，交OA 于点C ，PD ⊥OB ，垂足为点D ，且PC ＝4，则PD 等于_____________.19.不等式组⎩⎨⎧x ＞4x ＞m（m ≠4）的解集是x>4，那么m 的取值范围是_______________.20.如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 方向平移2个单位后得到△DEF ，连接DC ，则DC 的长为________________.21.如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝CG ；③AG //CF ；④S △EFC ＝125．其中正确结论的是____________（只填序号）.x y BA 2B 1A 1ABO C D AP22．（本小题满分7分） (1)分解因式：ax 2－ay 2；(2)解不等式组⎩⎨⎧x －1＜2 ①2x ＋3≥x －1 ②，并把不等式组的解集在数轴上表出来．23（本小题满分7分）(1)如图，在〉ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，AE ＝CF ．求证：DE ＝BF ．(2)先化简，再求值：(1a ＋2－1a －2)÷1a －2，其中a ＝624.（本小题满分8分）在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）． (1)将△ABC 沿x 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A 1B 1C 1； (2)将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB 2C 2； (3)直接写出点B 2、C 2的坐标．25.（本小题满分8分）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵10元，用350元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同． (1)求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？(2)计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过3200元，那么，最多可购买多少件甲种商品？26.（本小题满分9分）探索发现：11×2＝1－12；12×3＝12－13；13×4＝13－14……根据你发现的规律，回答下列问题：(1) 14×5＝___________，1n ×(n ＋1)＝___________；(2)利用你发现的规律计算：11×2＋12×3＋13×4＋……＋1n ×(n ＋1)(3)灵活利用规律解方程：1x (x ＋2)＋1(x ＋2)(x ＋4)＋……＋1(x ＋98)(x ＋100)＝1x ＋100.27.（本小最满分9分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH．(1)如图1，点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF，直接写出BH和AF的数量关系：(2)将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转①如图2，判断BH和AF的数量关系，并说明理由；②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中不劝图形；如果四方形ABCD的边长为\R(,2)，求正方形EFGH的边长．28．（本小题满分9分）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（一6，8）．矩形ABCO沿直线BD 折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．(1)直接写出线段BO的长：(2)求点D的坐标；(3)若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使咀M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由．。
2023—2024学年度下学期济南市八年级期末考试数学试卷及参考答案
2023—2024学年度下学期八年级数学学科参考答案及评分标准一、选择题(每小题3分，共计30分)二、填空题(每小题3分，共计30分)三、解答题（其中21题6分，22-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21.（本题6分）解：22231x x x -+=+22410x x -+=......................................................................1分241a b c ==-=，，224(4)b ac D =-=--4×2×1=8＞0.....................................................2分方程有两个不等的实数根................................2分即12222222x x +-==，........................................................1分22.（本题8分）解：（1）如图1，正确画图（答案不唯一）...................................................4分（2）如图2，正确画图....................................................................4分12345678910ABBBCDCDAC题号1112131415答案x≠2-18x≥223题号1617181920答案5.8205±12②③（第22题答案图1）（第22题答案图2）23.（本题8分）解：（1）14.5.............................................................................2分+分（2）∠BCD 是直角，理由：连接BD.由勾股定理得，2222420BC =+=，222125CD =+=，2223425BD =+=......................................................................1分∴22220525BC CD BD +=+==.........................................................2分∴∠BCD 是直角...........................................................................1分24.（本题8分）解：（1）设(0)y kx b k =+≠根据题意，得0.2200.2822k b k b +=⎧⎨+=⎩...............................................................2分解得2515k b =⎧⎨=⎩.............................................................................2分2515y x ∴=+............................................................................1分（2）当0.3x m =时，250.31522.5()y m =⨯+=................................................2分∴当这种树的胸径为0.3m 时，其树高为22.5m ................................................1分25.（本题10分）解：（1）450.............................................................................2分6750....................................................................................2分（2）设销售单价定位x 元时，利润为8000元.根据题意，得[](40)50010(50)8000x x ---=.................................................2分解得126080x x ，==......................................................................1分当x=60时，销售量为500-10(60-50)=400（套），成本为400×40=16000＞10000...................1分当x=80时，销售量为500-10(80-50)=200（套），成本为200×40=8000＜10000....................1分∴x=80答：月销售成本不超过10000元的情况下，该商品的销售单价应定为每套80元可使月销售利润达到8000元......................................................................................1分26.（本题10分）解：（1）①∠DEF 的大小不发生变化，∠DEF=90°............................................1分理由：如图1，作EG⊥AB，EH⊥AD，垂足分别为点G、H.∵四边形ABCD 是正方形∴∠DAB=90°，∠BAC=∠DAC=12∠DAB=45°，AC⊥BD ∴EG=EH又∵EF=DE∴Rt△EFG≌Rt△EDH.............................................1分∴AG=AH，∠FEG=∠DEH 在四边形AGEH 中，∠GEH=360°-90°-90°-90°=90°∴∠DEF=∠DEH+∠FEH=∠FEG+∠FEH=∠GEH=90°..............................................1分∴∠DEF 的大小不发生变化，∠DEF=90°②AF=2OE..............................................................................1分理由：如图1，令AG=m，OE=2n ，则AH=m.在Rt△AEH 中∵∠AEH=90°-∠EAH=90°-45°=45°=∠EAH∴EH=AH=m∴22222AE AH EH m m m =+=+=.....................................................1分∴OA=AE+OE=222()m n m n +=+同理：在Rt△OAD 中，22()2()AD m n m n =⨯+=+∴DH=AD-AH=2(m+n)-m=m+2n=FG ∴AF=FG-AG=m+2n-m=2n∴AF=2OE......................1分（2）AF=CE理由：如图2，作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分别为点M、N.令AM=a，OE=b.∵四边形ABCD 是菱形∴AB=BC=AD ，∠BAC=∠DAC，AC⊥BD，AC=2OA......................1分∴EM=EN 又∵EF=DE∴Rt△EFM≌Rt△EDN.............................................1分∴FM=DN∵AB=BC，∠ABC=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠DAC=∠BAC=60°，AC=AB∵∠EAM=∠EAN，∠EMA=∠ENA=90°，AE=AE ∴△AEM≌Rt△AEN∴AN=AM=a在Rt△AEN 中∵∠AEN=90°-∠EAN=90°-60°=30°∴AE=2AN=2a...........................1分∴OA=AE+OE=2a+b ∴AC=2OA=4a+2b=AD∴CE=AC-AE=4a+2b-2a=2a+2b∵FM=DN=AD-AN=4a+2b-a=3a+2b ∴AF=FM-AM=3a+2b-a=2a+2b=CE.............................1分27.（本题10分）解：（1）y=3x+3当x=0时，y=3×0+3=3∴C（0，3）当y=0时，0=3x+3∴x=-1∴B（-1，0）..........................................1分∴OB=1∴OA=3×1=3∴A（3，0）设直线AC 解析式为y=kx+b∴303bk b=⎧⎨=+⎩解得13k b =-⎧⎨=⎩（第26题答案图1）（第26题答案图2）∴直线AC 的解析式为y=-x+3...............................................................1分（2）如图1，∵点D 是线段AC 上一个动点，且横坐标为t∴D（t，-t+3）过点D 作DK⊥x 轴于K，则DK=-t+3..........................................................1分∵A（3，0），B（-1，0）∴AB=3-（-1）=4∴12ABC ABD S S S △△=-=×AB×OC-12×AB×DK=12×4×3-12×4×（-t+3）=2t.....................2分（3）过点D 作DR⊥x 轴于R，过点G 作GP⊥AE 于P，过点G 作直线l∥x 轴交y 轴于T，过点A 作AN⊥l于N，过点E 作EM⊥l 于M，交x 轴于L.∵AE∥BD，BF//AC ∴四边形ADBF 是平行四边形，∠DAR=∠FBO ∴AD=BF又∵∠ARD=∠BOF=90°∴△ADR≌△BFO∴AR=OB=1，OF=DR∴t=OR=OA-AR=3-1=2∴OF=DR=-t+3=1，S=2t=4∴F（0，-1）.................................................1分设直线AF 的解析式为y=mx+n∴103n m n -=⎧⎨=+⎩解得131m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线AF 的解析式为113y x =-由33113y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴E（32-，32-）∵MN∥AL ∴∠ALE+∠M=180°∴∠ALE=180°-90°=90°=∠M=∠N ∴四边形ALMN 为矩形∴AN=ML，MN=AL=3+32=92在Rt△AEL 中，2222333()(3)10222AE EL AL =+=++=∵454545432328AEG S S ==´=△∴12×3102×GP=458∴GP=3104...................1分∵GE=GA，GP⊥AE∴AP=EP=12AE=3104=GP ∴∠PEG=∠PGE，∠PAG=∠PGA，2222333(10)(10)5442EG EP GP =+=+=又∵∠PEG+∠PGE=90°，∠PAG+∠PGA=90°∴∠PGE=∠PGA=45°∴∠EGA=90°（第27题答案图1）（第27题答案图2）∴∠AGN+∠EGM=90°又∵∠GEM+∠EGM=90°∴∠AGN=∠GEM 又∵∠N=∠M=90°，AG=EG∴△AGN≌△GEM∴GN=EM，AN=MG 令EM=c，则GN=c，MG=AN=ML=c+32∵MG+GN=MN ∴c+32+c=92∴c=32∴MG=3=AN=ML ∴GT=MG-MT=3-32=32∵∠OLM=∠M=∠LOT=90°∴四边形OLMT 为矩形∴OT=ML=3∴G（32，-3）..............1分当点G，E，H 在同一条直线时，GH EH EG-=当点G，E，H 不在同一条直线时，在△EGH 中，GH EH EG -＜综上所述：GH EH EG -£=，GH EH -...........................1分此时点H 是直线EG 与x 轴的交点设直线EG 的解析式为y=ex+f∴3322332e f e f ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩解得1294e f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线EG 的解析式为1924y x =--当y=0时，19024x =--∴x=92-∴H（92-，0）....................................1分（以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分）。
2015-2016学年山东省济南市历下区八年级(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷一．选择题（本大题共12个小题，每小题三分，共36分，在每小题给出的4个选项中，只有一项，符合题目要求的）1．（3分）计算的结果是（）A．B．C．2x D．2y2．（3分）下列几何图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．四边形B．等腰三角形C．菱形D．梯形3．（3分）下列多项式中，能运用公式法进行因式分解的是（）A．a2+b2B．x2+9C．m2﹣n2D．x2+2xy+4y2 4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和45．（3分）分式﹣可变形为（）A．﹣B．C．﹣D．6．（3分）如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定7．（3分）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5B．4C．7D．148．（3分）要使分式为零，那么x的值是（）A．﹣2B．2C．±2D．09．（3分）解分式方程+＝3时，去分母后变形正确的是（）A．2+（x+2）＝3（x﹣1）B．2﹣x+2＝3（x﹣1）C．2﹣（x+2）＝3D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）10．（3分）已知＝3，则的值为（）A．B．C．D．﹣11．（3分）如图，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于，点O1以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形AB∁n O n的面积为（）A．10cm2B．cm2C．cm2D．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④二．填空题（共7小题）13．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝．14．（3分）菱形的周长是40cm，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长．15．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．16．（3分）已知两个分式：A＝，B＝，其中x≠±2，则A与B的关系是．17．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连结CE，则∠BCE的度数是度．18．（3分）若x＝3是分式方程＝0的根，则a的值是．19．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动．给出以下四个结论：①AE＝AF；②∠CEF＝∠CFE；③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大．上述结论中正确的序号有．（把你认为正确的序号都填上）三．解答题（本大题共8小题，共63分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）20．（8分）（1）当时，求的值（2）解方程．21．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．22．（6分）已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．23．（6分）一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？24．（7分）已知：如图所示，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB 的度数．25．（8分）甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．（3）若AC＝6，DE＝4，则DF＝．27．（12分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH＝CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．四、选择题（共1小题，每小题0分，满分0分）28．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16B．17C．18D．19五、解答题（共2小题，满分0分）29．分解因式：4x2+4xy+y2﹣4x﹣2y﹣3．30．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b＝++16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）（1）求B、C两点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．2015-2016学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12个小题，每小题三分，共36分，在每小题给出的4个选项中，只有一项，符合题目要求的）1．【解答】解：原式＝×＝x，故选：B．2．【解答】解：A、不一定是轴对称图形，也不一定是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不一定是轴对称图形，也不一定不是中心对称图形．故选：C．3．【解答】解：A、a2+b2，无法分解因式，故此选项错误；B、x2+9，无法分解因式，故此选项错误；C、m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），故此选项正确；D、x2+2xy+4y2，无法分解因式，故此选项错误；故选：C．4．【解答】解：∵AE平分∠BAD∴∠BAE＝∠DAE∵▱ABCD∴AD∥BC∴∠DAE＝∠AEB∴∠BAE＝∠BEA∴AB＝BE＝3∴EC＝AD﹣BE＝2故选：B．5．【解答】解：﹣＝﹣＝，故选：D．6．【解答】解：∵三角形三个外角度数之比是3：4：5，设三个外角分别是α，β，γ，则α＝360°×＝90°，∴此三角形一定是直角三角形．故选：B．7．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE＝AB＝×7＝3.5．故选：A．8．【解答】解：由题意可得x2﹣4＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2．故选：A．9．【解答】解：方程变形得：﹣＝3，去分母得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1），故选：D．10．【解答】解：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得，＝＝．故选：B．11．【解答】解：∵设平行四边形ABC1O1的面积为S1，∴S△ABO1＝S1，又∵S△ABO1＝S矩形，∴S1＝S矩形＝5＝；设ABC2O2为平行四边形为S2，∴S△ABO2＝S2，又∵S△ABO2＝S矩形，∴S2＝S矩形＝＝；，…，∴平行四边形AB∁n O n的面积为＝10×（cm2）．故选：D．12．【解答】解：∵AE＝AB，∴BE＝2AE，由翻折的性质得，PE＝BE，∴∠APE＝30°，∴∠AEP＝90°﹣30°＝60°，∴∠BEF＝（180°﹣∠AEP）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠EFB＝90°﹣60°＝30°，∴EF＝2BE，故①正确；∵BE＝PE，∴EF＝2PE，∵EF＞PF，∴PF＜2PE，故②错误；由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ＝∠EFB＝30°，∴BE＝2EQ，EF＝2BE，∴FQ＝3EQ，故③错误；由翻折的性质，∠EFB＝∠EFP＝30°，∴∠BFP＝30°+30°＝60°，∵∠PBF＝90°﹣∠EBQ＝90°﹣30°＝60°，∴∠PBF＝∠PFB＝60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选：D．二．填空题（共7小题）13．【解答】解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）．14．【解答】解：如图，∵菱形的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm，∵两邻角的比是1：2，∴∠B＝×180°＝60°，∵菱形的边AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴较短的对角线AC＝AB＝10cm．故答案为：10cm．15．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥2且x≠3．故答案是：x≥2且x≠3．16．【解答】解：B＝＝＝＝，而A＝，∴A与B的关系是互为相反数．17．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝∠BCA＝45°；△ACE中，AC＝AE，则：∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠CAE）＝67.5°；∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝22.5°．故答案为22.5．18．【解答】解：去分母得：（a﹣2）（x﹣2）﹣x＝0，把x＝3代入整式方程得：a﹣2﹣3＝0，解得：a＝5，故答案为：519．【解答】解：∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，∴BE＝DF，∵AB＝AD，∠B＝∠D，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，①正确；∴CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE，②正确；∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴当点E，F分别为边BC，DC的中点时，BE＝AB，DF＝AD，∴△ABE和△ADF是直角三角形，且∠BAE＝∠DAF＝30°，∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∴△AEF是等边三角形，③正确；∵△AEF的面积＝菱形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△ADF的面积﹣△CEF的面积＝AB2﹣BE•AB××2﹣××（AB﹣BE）2＝﹣BE2+AB2，∴△AEF的面积是BE的二次函数，∴当BE＝0时，△AEF的面积最大，④错误．故正确的序号有①②③．三．解答题（本大题共8小题，共63分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）20．【解答】解：（1）原式＝﹣•a＝﹣＝，当a＝1﹣时，原式＝﹣；（2）去分母得：2（x﹣1）+3（x+1）＝6，去括号得：2x﹣2+3x+3＝6，移项合并得：5x＝5，解得：x＝1，经检验，x＝1是增根，原方程无解．21．【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴平行四边形OBEC是矩形．22．【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠F AD，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF为菱形．23．【解答】解：设这个多边形边数为n，则（n﹣2）•180＝360+720，解得：n＝8，∵这个多边形的每个内角都相等，∴它每一个内角的度数为1080°÷8＝135°．答：这个多边形的每个内角是135度．24．【解答】解：∵AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠AED＝∠ADE＝75°，∴∠DAE＝30°，在正方形ABCD中，∵AB＝AD．∴AB＝AE，∵∠BAD＝90°∴∠BAE＝120°，∴∠AEB＝30°．25．【解答】解：设列车提速前的速度为x千米/时，则提速后的速度为3.2x千米/时．根据题意得：．解这个方程得：x＝80．经检验；x＝80是所列方程的根．∴80×3.2＝256（千米/时）．答：列车提速后的速度为256千米/时．26．【解答】解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF＝DE，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDB＝∠B∴DF＝BF∴DE+DF＝AB＝AC；（2）图②中：AC+DE＝DF．图③中：AC+DF＝DE．（3）当如图①的情况，DF＝AC﹣DE＝6﹣4＝2；当如图②的情况，DF＝AC+DE＝6+4＝10．故答案是：2或10．27．【解答】（1）证明：如图1，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1，∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，∴∠EBC＝∠DBC＝22.5°，由（1）知△BCE≌△DCF，∴∠EBC＝∠FDC＝22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD＝90°（三角形内角和定理），∴∠BGF＝90°；在△DBG和△FBG中，，∴△DBG≌△FBG（ASA），∴BD＝BF，DG＝FG（全等三角形的对应边相等），∵BD＝＝，∴BF＝，∴CF＝BF﹣BC＝﹣1；（3）解：如图2，∵CF＝﹣1，BH＝CF∴BH＝﹣1，①当BH＝BP时，则BP＝﹣1，∵∠PBC＝45°，设P（x，x），∴2x2＝（﹣1）2，解得x＝1﹣或﹣1+，∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；②当BH＝HP时，则HP＝PB＝﹣1，∵∠ABD＝45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（﹣1，﹣1）；③当PH＝PB时，∵∠ABD＝45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（，），综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）．四、选择题（共1小题，每小题0分，满分0分）28．【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB＝BC，DE＝DC，∠ABC＝∠D＝90°，∴sin∠CAB＝sin45°＝＝，即AC＝BC，同理可得：BC＝CE＝CD，∴AC＝BC＝2CD，又∵AD＝AC+CD＝6，∴CD＝＝2，∴EC2＝22+22，即EC＝2；∴S1的面积为EC2＝2×2＝8；∵∠MAO＝∠MOA＝45°，∴AM＝MO，∵MO＝MN，∴AM＝MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3＝9，∴S1+S2＝8+9＝17．故选：B．五、解答题（共2小题，满分0分）29．【解答】解：原式＝（4x2+4xy+y2）﹣（4x+2y）﹣3＝（2x+y）2﹣2（2x+y）﹣3＝（2x+y+1）（2x+y﹣3）．30．【解答】解：（1）∵b＝++16，∴a＝21，b＝16，故B（21，12）C（16，0）；（2）由题意得：AP＝2t，QO＝t，则：PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，∵当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形，∴21﹣2t＝16﹣t，解得：t＝5，∴P（10，12）Q（5，0）；（3）当PQ＝CQ时，过Q作QN⊥AB，由题意得：122+t2＝（16﹣t）2，解得：t＝，故P（7，12），Q（，0），当PQ＝PC时，过P作PM⊥x轴，由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，则t＝16﹣2t，解得：t＝，2t＝，故P（，12），Q（，0）．。
精品解析：山东省济南市章丘区2016-2017学年八年级下学期期末片区联考数学试题(解析版)
2016—2017学年下学期期末片区联考八年级数学试题一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分．请将答案填入题后答案表格内）1. 已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是（）A. 9cmB. 12cmC. 12cm或者15cmD. 15cm【答案】D【解析】试题分析：题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．2. 下列因式分解正确的是（）A. 2x2-2=2(x+1)(x-1)B. x2+2x-1=(x-1)2C. x2+1=(x+1)2D. x2-x+2=x(x-1)+2【答案】A【解析】试题分析：A直接提出公因式a，再利用平方差公式进行分解即可；B和C不能运用完全平方公式进行分解；D是和的形式，不属于因式分解．解：A、2x2﹣2=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1），故此选项正确；B、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故此选项错误；C、x2+1，不能运用完全平方公式进行分解，故此选项错误；D、x2﹣x+2=x（x﹣1）+2，还是和的形式，不属于因式分解，故此选项错误；故选：A．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．3. 已知x＜y，则下列式子中成立的是（）A. –7x＜–7yB. 7－x＞7－yC. x－7＞y－7D. x＋7＞y＋7【答案】B【解析】∵x<y，∴–7x>–7y，x－7＞y－7,x＋7<y＋7，即选项A. C、D不正确；∵x<y，∴−x>−y，∴7−x>7−y，即选项B正确。
山东省济南市章丘2016_2017学年八年级数学下学期期末片区联考试卷(word版含答案)
山东省济南市章丘区2016-2017学年八年级数学下学期期末片区联考试题（时间：90分钟，满分150分）第Ⅰ卷 （选择题 共48分）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分．请将答案填入题后答案表格内） 1. 已知等腰三角形的两边长分别为6cm 、3cm ，则该等腰三角形的周长是 A ．9cm B ．12cm C ．12cm 或者15cm D ．15cm 2. 下列因式分解正确的是A ．2x 2-2=2(x +1)(x -1) B ． x 2+2x -1=(x -1)2C ．x 2+1=(x +1)2D ． x 2-x +2=x (x -1)+2 3. 已知x ＜y ，则下列式子中成立的是A. –7x ＜–7yB. 7－x ＞7－yC. x －7＞y －7D. x ＋7＞y ＋7 4. 如图, △ABC 和△ADE 均为正三角形,则图中可看作是旋转 关系的三角形是A. △ABC 和△ADEB. △ABC 和△ABDC. △ABD 和△ACED. △ACE 和△ADE5. 某校团委举办了“火红的五月红红的歌”歌咏比赛，王老师为鼓励同学们， 带了100元钱去购买甲、乙两种奖品．已知甲奖品每件14元，乙奖品每件10元，每种至少 买3件，则王老师购买方案共有 A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种6. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是 A．AB ∥CD ，AD ∥BC B．OA =OC ，OB =OD C．AD =BC ，AB ∥CD D．AB =CD ，AD =BC7. 若分式2122－－－x x x 的值为0，则x 的值为A. 1或－1B. 1C. －1D. 28. “五一”期间，几名同学包租一辆面包车前去某景区旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的AB CED第4题图A DB CO第6题同学共x 人，则所列方程为 A.31802180=--x x B.31802180=-+x x C.32180180=--x x D.32180180=+-x x 9. 如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a >b )，把余下的部分剪拼成一个矩形 (如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验 证了一个等式，则这个等式是A ．()()2222a b a b a ab b +-=+-B ．()2222a b a ab b +=++ C ．()2222a b a ab b -=-+ D ．()()22a b a b a b -=+-10. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD =2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE =3，则AB 的长为 A ．4 B ．3 C ．52D ．2 11. 如图，E 是矩形ABCD 中BC 边的中点，将△ABE 沿AE 折 叠到△AFE ，F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交DC 于G 点， 若∠AEB ＝55°，则∠DAF ＝A ．40°B ．35°C ．20°D ．15°12. △ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC =2，P 为线段AB 上一动点，D 为BC 上中点，则PC +PD 的最小值为 1.1第Ⅰ卷答题栏A E DB D第10题A DB CFG E第11题第Ⅱ卷（非选择题 共102分）二、填空题（每小题4分，共24分）13. 平行四边形的周长是12，而相邻两边的差是2，则其相邻边长分别是 ． 14. 如图，在Rt△ABC 中，AB ⊥BC ，DE ⊥AC ，AD =CD ， ∠BAE =20°，则∠C = ． 15. 若关于a 的分式方程222-=--a ma a 有增根， 则m 的值为__________. 16. a 、b 为实数，且ab =1，设11+++=b b a a P ，1111+++=b a Q ，则P Q （选 填“＞”、“＜”或“=”）． 17. 4个数a ，b ，c ，d 排列成c ad b ，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：db c a =ad ﹣bc ．若33-+x x 33+-x x >12，则x ． 18. 如图，在边长为1的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝120°.连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACEF ，使∠ACE ＝120°.连接AE ，再以AE 为边 作第三个菱形AEGH ，使 ∠AEG ＝120°，…，按此规律所作 的第n 个菱形的边长是 ． 三、解答题（共7题，78分） 19. （本小题14分）⑴（每小题3分，共6分）因式分解：3a 3+12a 2+12a 2016+20162-20172⑵（4分）解不等式组：⎩⎨⎧+≤+<-52)1(362x x x ， 并将解集在数轴上表示出来．AB E CD⑶（4分）解分式方程：1613122-=-++x x x ．20. （本小题9分）已知若一个关于x 的方程可化为（ax +b ）（cx +d ）=0的形式，则可分别解出ax +b =0和cx +d =0得到x 的值都是原方程的解. 根据以上信息，先化简，再求值．aa a a a a 4)4822(222-÷-+-+，其中a 满足方程a 2-3a +2=0，并使分式成立．21. （本小题9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点A 、B 、C在小正方形的顶点上，将△ABC 向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到 △A 1B 1C 1，然后将△A 1B 1C 1绕点A 1顺时针旋转90°得到△A 1B 2C 2． ⑴在网格中画出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2；⑵计算线段AC 从开始变换到A 1 C 2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）22. （本小题10分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF=DE.⑴图中的平行四边形有哪几个？请说明理由⑵若△AEF的面积是3，求四边形BCFD的面积23. （本小题10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE=CE，连接AE、BE， BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：△ABF是等腰三角形．24. （本小题12分）某地充分利用当地地理优势，大力发展山村特色旅游，为推介宣传，现制作两种宣传手提袋，已知同样用6m材料制成甲种的个数比制成乙种的个数少2个，且制成一个甲种比制成一个乙种需要多用20%的材料．⑴求制作每个甲种、乙种各用多少米材料？⑵如果制作甲、乙两种手提袋共3000个，且甲种的数量不少于乙种数量的2倍，那么请写出所需要材料的总长度l（m）与甲种数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料？25.（本小题14分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，分别过四个顶点A、B、C、D做四条直线EF、FG、GH、HE，并保证相邻两条直线垂直，相交于E、F、G、H四点，且AE=BF=CG=DH．⑴求证：四边形EFGH是正方形；⑵判断无论如何按照上述要求作图，线段EG、AC的中点是否重合，并说明理由；⑶判断四边形EFGH的面积有无最大值，若有请写出面积最大值，并说明理由．八年级数学参考答案一、选择题（共48分，每题4分）二、填空题（共24分，每题4分）13. 2，4 14. 35° 15.2 16. = 17. ＞1 18. 1)3(-n 三、解答题（共78分，阅卷时请根据实际情况给出步骤分） 19. （14分）(1)（每小题3分）3a (a +2)2；-2017(2)-3＜x ≤2……3分 数轴表示略………………………………………………4分 (3)x =1……3分经检验，x =1为原方程的增根，原方程无解. …………………………………4分20. （9分）a a a a a a 4)4822(222-÷-+-+化简得：2)2(1+a ………………………4分 a 2-3a +2=(a -1)(a -2)=0………………………………………………………………………5分 a -1=0， a -2=0. ∴a =1或2………………………………………………………………7分∵a = 2使原式分母为零，∴舍去…………………………………………………………8分 把a =1代入2)2(1+a 得：原式=91………………………………………………………9分21.（9分）（1）如图所示： ………………4分（2）如图：观察可知，线段AC 变换到A 1C 2过程中所扫过部分为两个平行四边形和圆心角为45°扇形，所以扫过区域的面积=4×2+3×2+458360π⨯=14+π ……………………………9分 22.（10分）（1）图中的平行四边形有：平行四边形ADCF ，平行四边形BDFC ，…………………………2分理由是：∵E 为AC 的中点， ∴AE =CE ， ∵DE =EF ，∴四边形ADCF 是平行四边形， …………………………………………4分 ∴AD ∥CF ，AD =CF ， ∵D 为AB 的中点， ∴AD =BD ， ∴BD =CF ，BD ∥CF ，∴四边形BDFC 是平行四边形． …………………………6分 （2）由（1）知四边形ADCF 是平行四边形，四边形BDFC 是平行四边形， ∴△CEF 的面积和△CED 的面积都等于△AEF 的面积为3…………………………8分 ∴平行四边形BCFD 的面积是12 ………………………………10分 23.（10分）∵AD ∥CF ,∴∠DAE =∠CFE ……………………………………………………2分 ∴在△ADE 和△FCE 中，∠DAE =∠CFE ，∠AED =∠FEC ，DE =CE∴△ADE ≌△FCE ……………………………………………6分 ∴AE =FE ……………………………………………7分 又∵BE ⊥AE ，∴BE 为线段AF 的垂直平分线…………………………………………8分 ∴AB =FB ………………………………………9分 ∴△ABF 是等腰三角形． …………………………………………10分 24.(12分)（1）设制作每个乙种用x 米材料，则制作甲种用（1+20%）x 米材料，xx %)201(626+=- 解得：x =0.5， …………………………………………3分 经检验x =0.5是原方程的解， ∴（1+20%）x =0.6（米），答：制作每个甲种用0.6米材料；制作每个乙种用0.5米材料．…………………………………6分（2）根据题意得：l=0.6n+0.5（3000﹣n）=0.1n+1500，∵甲种的数量不少于乙种数量的2倍，∴n≥2（3000﹣n）解得：n≥2000，………………………………9分∴2000≤n＜3000，∵k=0.1＞0，∴l随n增大而增大，∴当n=2000时，l最小1700米．………………………………12分25.（14分）解：（1）证明：∵相邻两条边互相垂直∴∠E=∠F=∠G=∠H=90°又∵AE=BF=CG=DH，AB=BC=CD=DA∴△EAB≌△FBC≌△GCD≌△HDA…………………………………………………2分∴AH=BE=CF=DG ………………3分∴EF=FG=GH=HE …………4分∵相邻两条边互相垂直∴四边形EFGH是正方形……………………5分（2）（证法不唯一）线段EG、AC的中点重合. ……………………6分连结EC、AG，∵AE= CG，且AE∥CG∴四边形AECG为平行四边形， …………………………………………………8分∴线段EG、AC的中点重合. …………………………………………………10分（3）有最大值，面积最大值为128cm2. …………………………………………11分如图，当ABCD分别为各边中点时，四边形EFGH面积最大.（理由叙述合理即可.） ………………………………………………………12分例如：在各种情况中当ABCD分别为各边中点时，四边形EFGH边长为正方形ABCD对角线，其他情况中边长都比对角线小.…………………………………………………14分。
山东省济南五中八年级数学下学期期末复习试卷(三角形的证明)(二)(含解析) 新人教版
2015-2016学年山东省济南五中八年级（下）期末数学复习试卷（三角形的证明）（二）一、填空题：1．三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是______cm．2．已知等腰三角形的一个角是36°，则另两个角分别是______．3．Rt△ABC中，锐角∠ABC和∠CAB的平分线交于点O，则∠BOA=______．4．如图，在△ABC中，∠B=115°，AC边的垂直平分线DE与AB边交于点D，且∠ACD：∠BCD=5：3，则∠ACB的度数为______度．5．如图，已知∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BD，∠BAD=30°，则BC=______．6．如图，将矩形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等线段、相等角（不包括矩形的对边、对角）______．7．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为______．8．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是______，这个逆命题是______（填“真”或“假”）．9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是______度．10．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为______．二、选择题：11．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）A．三条中线交点 B．三条角平分线交点C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线交点13．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥BC，过A作AD⊥BD于D，已知△ABC周长为M，则AD=（）A．B．C．D．14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=a，则DB等于（）A．B．C．D．15．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm216．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交BC的延长线于E，交AC于F，∠A=50°，AB+BC=16cm，则△BCF的周长和∠EFC分别为（）A．16cm，40°B．8cm，50°C．16cm，50°D．8cm，40°17．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角△EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（）A．①④ B．①② C．①②③D．①②③④18．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A．30° B．36° C．45° D．70°三、解证题：19．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC 的垂直平分线交BC边于点N．（1）求△AEN的周长．（2）求∠EAN的度数．（3）判断△AEN的形状．20．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．21．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：______．求证：______．证明：22．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．（1）求证：∠PCD=∠PDC；（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．23．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120度．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）．（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想．24．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．2015-2016学年山东省济南五中八年级（下）期末数学复习试卷（三角形的证明）（二）参考答案与试题解析一、填空题：1．三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是8 cm．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据角度的比值，设三个角分别为k、2k、3k，然后求出最小的角为30°，最大的角为90°，然后根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．【解答】解：∵三角形三个角的度数之比为1：2：3，∴设三角形三个角的度数之比为k、2k、3k，根据三角形内角和定理得，k+2k+3k=180°，解得k=30°，所以，3k=90°，∵最大边长等于16cm，∴×16=8cm．故答案为：8．2．已知等腰三角形的一个角是36°，则另两个角分别是72°，72°或36°，108°．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况进行分析，从而不难求解．【解答】解：当36°角是顶角时，另外两个角分别是72°，72°；当36°角是底角时，另外两个角分别是36°，108°；故答案为72°，72°或36°，108°．3．Rt△ABC中，锐角∠ABC和∠CAB的平分线交于点O，则∠BOA= 135°．【考点】三角形的外角性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余和角平分线的定义，求出∠OAB与∠OBA的度数之和等于45°；再根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠BOA的度数．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠CAB+∠ABC=90°，∵AO、BO分别是∠CAB与∠ABC的角平分线，∴∠1=∠CAB，∠2=∠ABC，∴∠1+∠2=（∠CAB+∠ABC）=×90°=45°，在△AOB中，∠BOA=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣45°=135°．4．如图，在△ABC中，∠B=115°，AC边的垂直平分线DE与AB边交于点D，且∠ACD：∠BCD=5：3，则∠ACB的度数为40 度．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据垂直平分线的性质进行角度代换，运用三角形的内角和定理求解．【解答】解：∵DE垂直平分AC，∴CD=AD，∴∠A=∠DCA．又∵∠ACD：∠BCD=5：3，∴∠ACD：∠ACB=5：8．又∵∠B=115°，∴∠A+∠ACB=65°，∴∠ACB=65×=40°．5．如图，已知∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BD，∠BAD=30°，则BC=6．【考点】解直角三角形．【分析】首先由直角三角形ABD中，∠BAD=30°，得BD=AD=6，则由已知得AC=BD=6，再由勾股定理求出AB，然后由直角三角形ACB运用勾股定理求出BC．【解答】解：已知∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BD，∠BAD=30°，∴BD=AD=×12=6，∴AC=BD=6，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB===6，在直角三角形ACB中，根据勾股定理得：BC===6．故答案为：6．6．如图，将矩形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等线段、相等角（不包括矩形的对边、对角）DE=DC，∠OBD=∠ODB等．．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质得到∠CBD=∠DBE，DC=DE，BC=BE，而∠CBD=∠ADB，所以∠OBD=∠ODB，得OD=OB．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，∴∠CBD=∠DBE，DC=DE，BC=BE，∵∠CBD=∠ADB，∴∠OBD=∠ODB，∴OD=OB．故答案为DE=DC，∠OBD=∠ODB等．7．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【分析】设B′C′与AB交点为D，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=45°，再根据旋转的性质求出∠CAC′=15°，AC′=AC，然后求出∠C′AD=30°，再根据直角三角形30°角所得到直角边等于斜边的一半可得AD=2C′D，然后利用勾股定理列式求出C′D，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与AB交点为D，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，∴∠CAC′=15°，AC′=AC=1，∴∠C′AD=∠BAC﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，∵A D=2C′D，∴AD2=AC′2+C′D2，即（2C′D）2=12+C′D2，解得C′D=，故阴影部分的面积=×1×=．故答案为：．8．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，这个逆命题是假（填“真”或“假”）．【考点】命题与定理．【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题，进而判断它的真假．【解答】解：命题“全等三角形对应角相等”的题设是“全等三角形”，结论是“对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，它是一个假命题．故答案为：对应角相等的三角形是全等三角形，假．9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是10 度．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据垂直平分线的性质计算．∠BCD=∠BCN﹣∠DCA．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，∴∠BCN=180°﹣∠B﹣∠A=180°﹣90°﹣40°=50°，∵DN是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∠A=∠DCA=40°，∠BCD=∠BCN﹣∠DCA=50°﹣40°=10°，∠BCD的度数是10度．故答案为：10．10．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为 2 ．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】过P作PE垂直与OB，由∠AOP=∠BOP，PD垂直于OA，利用角平分线定理得到PE=PD，由PC与OA平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又OP为角平分线得到一对角相等，等量代换可得∠COP=∠CPO，又∠ECP为三角形COP的外角，利用三角形外角的性质求出∠ECP=30°，在直角三角形ECP中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边PC的长求出PE的长，即为PD的长．【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POD，又∠AOP=∠BOP=15°，∴∠CPO=∠BOP=15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4，∴PE=PC=2，则PD=PE=2．故答案为：2．二、选择题：11．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，再根据已知的条件逐个求出∠C 的度数，即可得出答案．【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，∴①正确；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=×180°=90°，∴△ABC是直角三角形，∴②正确；③∵∠A=90°﹣∠B，∴∠A+∠B=90°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，∴③正确；④∵∠A=∠B=∠C，∴∠C=2∠A=2∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠A+2∠A=180°，∴∠A=45°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，∴④正确；故选D．12．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）A．三条中线交点 B．三条角平分线交点C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线交点【考点】角平分线的性质．【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到△ABC的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择．【解答】解：∵到△ABC的三条边距离相等，∴这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点．故选B．13．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥BC，过A作AD⊥BD于D，已知△ABC周长为M，则AD=（）A．B．C．D．【考点】含30度角的直角三角形；等边三角形的性质．【分析】由△ABC周长为M，在等边三角形ABC中，可得AB=，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AD．【解答】解：∵△ABC周长为M，在等边三角形ABC中，∴AB=，∵BD⊥BC，过A作AD⊥BD于D，∴∠ABD=30°，∴AD=．故选B．14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=a，则DB等于（）A．B．C．D．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】先求出△ABC是∠A等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解．【解答】解：根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k，则k+2k+3k=180°，解得k=30°，2k=60°，3k=90°，∵AB=a，∴BC=AB=，∵CD⊥AB，∴∠BCD=∠A=30°，∴DB=BC=×=．故选A．15．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2【考点】勾股定理；完全平方公式．【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2=c2=100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．【解答】解：∵a+b=14∴（a+b）2=196∴2ab=196﹣（a2+b2）=96∴ab=24．故选A．16．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交BC的延长线于E，交AC于F，∠A=50°，AB+BC=16cm，则△BCF的周长和∠EFC分别为（）A．16cm，40°B．8cm，50°C．16cm，50°D．8cm，40°【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】△BCF的周长=BC+CF+BF．根据线段垂直平分线性质，BF=AF．所以CF+BF=AC=AB；根据等腰三角形性质，∠EFC=∠AFD=∠AFB，已知∠A度数，求∠AFB即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴FA=FB．∴△BCF的周长=BC+CF+BF=BC+CF+AF=BC+AC=BC+AB=16cm；∵FA=FB，∴∠A=∠ABF=50°，∴∠AFB=180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠EFC=∠AFD=∠AFB=40°．故选A．17．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角△EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（）A．①④ B．①② C．①②③D．①②③④【考点】旋转的性质；全等三角形的性质；等腰三角形的性质．【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．【解答】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP=CP，又∵AP=CP，∠EPA=∠FPC，∠EAP=∠C=45°∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=S△ABC，①②③正确；而AP=BC，EF因不是中位线，则不一定等于BC的一半，故④不一定成立．始终正确的是①②③．故选C．18．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A．30° B．36° C．45° D．70°【考点】等腰三角形的性质．【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=，可得2x=，解得：x=36°，则∠A=36°，故选B三、解证题：19．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC 的垂直平分线交BC边于点N．（1）求△AEN的周长．（2）求∠EAN的度数．（3）判断△AEN的形状．【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据题意，利用线段垂直平分线性质得到AE=BE，AN=CN，等量代换即可确定出三角形AEN周长；（2）由等边对等角，以及三角形内角和定理求出所求角度数即可；（3）利用外角性质确定出三角形AEN三个角都为60°，即可确定出三角形形状．【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，∴AE=BE，AN=CN，∵BC=12，∴△AEN周长l=AE+EN+EN=BE+EN+NC=BC=12；（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AE=BE，AN=CN，∴∠BAE=∠CAN=30°，∴∠EAN=∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN=60°；（3）∵∠AEN=∠B+∠BAE=60°，∠ANE=∠C+∠CAN=60°，∴△AEN为等边三角形．20．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．【考点】角平分线的性质．【分析】当D为AB的中点时，AD为等腰三角形底边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”可知AD为∠A的平分线，又DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质可证DE=DF．【解答】解：当D为BC的中点时，DE=DF．理由：∵AD为等腰三角形底边上的中线，∴AD平分∠BAC，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．21．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE ．求证：∠1=∠2 ．证明：【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】此题无论选择什么作为题设，什么作为结论，它有一个相同点﹣﹣都是通过证明△ABD≌△ACE，然后利用全等三角形的性质解决问题．【解答】解：解法一：如果AB=AC，AD=AE，BD=CE，那么∠1=∠2．已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE，求证：∠1=∠2．证明：∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，∴△ABD≌△ACE，∴∠BAD=∠CAE，∴∠1=∠2．解法二：如果AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，那么BD=CE．已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：BD=CE．证明：∵∠1=∠2∴∠BAD=∠CAE，而AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE∴BD=CE．22．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．（1）求证：∠PCD=∠PDC；（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】（1）∠PCD=∠PDC．由于P点是∠AOB平分线上一点，根据角平分线的性质可以推出PC=PD，然后利用等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据已知条件首先容易证明Rt△POC≌Rt△POD，从而得到OC=OD，由（1）有PC=PD，利用线段的垂直平分线的判定即可证明结论．【解答】解：（1）∠PCD=∠PDC．理由：∵OP是∠AOB的平分线，且PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD，∴∠PCD=∠PDC；（2）OP是CD的垂直平分线．理由：∵∠OCP=∠ODP=90°，在Rt△POC和Rt△POD中，，∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），∴OC=OD，由PC=PD，OC=OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点，从而OP是线段CD的垂直平分线．23．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120度．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）．（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想．【考点】等腰三角形的性质．【分析】（1）尺规作图，要按照规范画图进行，要显示作图痕迹．（2）明确△ABC各内角的度数，根据垂直平分线的性质，连接AM，把原三角形分成两个特殊三角形进行分析，得出结论．【解答】证明：（1）作图如下：（2）CM=2BM证明：连接AM，则BM=AM∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=∠B=30°，∠MAC=90°∴AM=CM，故BM=CM，即CM=2BM．24．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．【考点】直角梯形；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定．【分析】（1）把要证明的线段AD和BE放到两个三角形ABD和BCE中即可证明；（2）根据等腰三角形的三线合一即可证明；（3）根据（2）中的结论，即可证明CD=BC．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△BAD和△CBE中，，∴△BAD≌△CBE（ASA），∴AD=BE．（2）证明：∵E是AB中点，∴EB=EA，∵AD=BE，∴AE=AD，∵AD∥BC，∴∠7=∠ACB=45°，∵∠6=45°，∴∠6=∠7，又∵AD=AE，∴AM⊥DE，且EM=DM，即AC是线段ED的垂直平分线；（3）解：△DBC是等腰三角形（CD=BD）．理由如下：∵由（2）得：CD=CE，由（1）得：CE=BD，∴CD=BD．∴△DBC是等腰三角形．。
济南市市中区2016-2017年北师大八年级下数学期末试题含答案
济南市市中区八年级下期末试题（2017.06）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．若a ＞b ，则下列各式中一定成立的是( )A ．a ＋2＜b ＋2B ．a 一2＜b 一2C ．a 2＞b2 D ．－2a ＞－2b2．下面式子从左边到右边豹变形是因式分解的是( )A ．x 2－x －2＝x (x 一1)－2B ．x 2—4x ＋4＝(x 一2)2C ．(x ＋1)(x —1)＝x 2 － 1D ．x －1＝x (1－1x )3下列所培图形中·既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A B C D 4．多项式x 2－1与多项式x 2一2x ＋1的公因式是( )A ．x 一1B ．x ＋1C ．x 2一1D ．(x －1)2 5己知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是( )A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形 6. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的有 ( )A ．m 2－mn ＋n 2B ．x 2＋4x – 4 C. x 2－4x ＋4 D. 4x 2－4x ＋4 7．如图，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，得点B ，A ，C ′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB ′的度数是( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．150°8．运用分式的性质，下列计算正确的是( )A ．x 6x 2 ＝x 3 B ．－x ＋y x －y ＝－1 C ．a ＋x b ＋x ＝a b D ．x ＋y x ＋y ＝09．如图，若平行四边形ABCD 的周长为40cm ，BC ＝23AB ，则BC ＝（ ）A ．16crnB ．14cmC ．12cmD ．8cm10．若分式方程x －3x －1＝mx －1有增根，则m 等于（ ）A ．－3B ．－2C ．3D ．211．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝15，AD 平分∠BAC ，点E 为AC 的中点，连接DE ，若△CDE 的周长为24，则CDBC 的长为( )A ．18B ．14C ．12D ．612．如图，己知直线y 1＝x ＋m 与y 2＝kx —1相交于点P (一1，2)，则关于x 的不等式x ＋m ＜kx —1的解集在数轴上表示正确的是( )B ．C ．D ．中，对角线AC 、BD 相较于点O ，BD ＝8，BC ＝5，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长为( ) A ．5B ．125C ．245D ．18514.定义一种新运算：当a ＞b 时，a ○＋b ＝ab ＋b ；当a ＜b 时，a ○＋b ＝ab －b ．若3○＋(x ＋2)＞0，则x 的取值范围是（ ）A ．－1＜x ＜1或x ＜－2B ．x ＜－2或1＜x ＜2C ．－2＜x ＜1或x ＞1D ．x ＜－2或x ＞215．在平面直角坐标系xOy 中，有一个等腰直角三角形AOB ，∠OAB ＝90°，直角边AO 在x 轴上，且AO ＝1．将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O ＝2AO ，再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O ＝2A 1O ……，依此规律，得到等腰直角三角形A 2017OB 2017．则点B 2017的坐标( )A ．(22017，－22017)B ．(22016，－22016)C ．(22017，22017)D ．(22016，22016)DBCAxy2-1POA DBE二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）16.若分式1x －1有意义，则x 的取值范围是_______________.17.若m ＝2，则m 2－4m ＋4的值是_________________.18.如图，已知∠AOB ＝30°，P 是∠AOB 平分线上一点，CP //OB ，交OA 于点C ，PD ⊥OB ，垂足为点D ，且PC ＝4，则PD 等于_____________.19.不等式组⎩⎨⎧x ＞4x ＞m（m ≠4）的解集是x>4，那么m 的取值范围是_______________.20.如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 方向平移2个单位后得到△DEF ，连接DC ，则DC 的长为________________.21.如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝CG ；③AG //CF ；④S △EFC ＝125．其中正确结论的是____________（只填序号）.22．（本小题满分7分） (1)分解因式：ax 2－ay 2；(2)解不等式组⎩⎨⎧x －1＜2 ①2x ＋3≥x －1 ②，并把不等式组的解集在数轴上表出来．23（本小题满分7分）(1)如图，在〉ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，AE ＝CF ．求证：DE ＝BF ．(2)先化简，再求值：(1a ＋2－1a －2)÷1a －2，其中a ＝624.（本小题满分8分）在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）． (1)将△ABC 沿x 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A 1B 1C 1； (2)将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB 2C 2； (3)直接写出点B 2、C 2的坐标．25.（本小题满分8分）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵10元，用350元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同． (1)求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？(2)计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过3200元，那么，最多可购买多少件甲种商品？26.（本小题满分9分）探索发现：11×2＝1－12；12×3＝12－13；13×4＝13－14……根据你发现的规律，回答下列问题： (1)14×5＝___________，1n ×(n ＋1)＝___________； (2)利用你发现的规律计算：11×2＋12×3＋13×4＋……＋1n ×(n ＋1)(3)灵活利用规律解方程： 1x (x ＋2)＋1(x ＋2)(x ＋4)＋……＋1(x ＋98)(x ＋100)＝1x ＋100.27.（本小最满分9分）如图1，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于点E ，以点E 为顶点作正方形EFGH ． (1)如图1，点A 、D 分别在EH 和EF 上，连接BH 、AF ，直接写出BH 和AF 的数量关系： (2)将正方形EFGH 绕点E 顺时针方向旋转①如图2，判断BH 和 AF 的数量关系，并说明理由；②如果四边形ABDH 是平行四边形，请在备用图中不劝图形；如果四方形ABCD 的边长为\R (,2)，求正方形EFGH 的边长．28．（本小题满分9分）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（一6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．(1)直接写出线段BO的长：(2)求点D的坐标；(3)若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使咀M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由．。
2023-2024学年山东省济南市历下区八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（4分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列是关于x的一元二次方程的是（）A．B．x（x+6）＝0C．a2x﹣5＝0D．4x﹣x3＝23．（4分）下列分式是最简分式的是（）A．B．C．D．﹣4．（4分）无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（）A．B．C．D．5．（4分）一个多边形外角和是内角和的．则这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．136．（4分）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（）A．0B．﹣1C．1D．不能确定7．（4分）如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为（）A．7B．8C．9D．108．（4分）《鹊华秋色图》是画家赵孟颠的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm 的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是5：12，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为x cm，下列符合题意的方程是（）A．B．C．D．9．（4分）如图，△ABC绕点O顺时针旋转角度α后得到△DEF，若∠COE＝15°，∠BOF＝85°，则旋转角α的值为（）A．40°B．45°C．50°D．55°10．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OG⊥AB于点G，E为平面内一动点，且∠AEB＝90°，F为AE中点，连接GF，OF．有下列说法：①∠AFG＝90°；②取AG＝2；④在点E运动过中点P，连接PF，则∠FPG＝2∠FAB；③当四边形AOBE为正方形时，S△FGO程中，OF的最小值为，其中正确的序号有（）A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）11．（4分）如图1，是某公园里采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，图2是该八角形空窗的示意图，则它的任意一个内角∠a为度．12．（4分）化简分式：的结果是．13．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，过点A作AE⊥CD于点E，则AE为．14．（4分）如图，为美化环境，某地准备将一片面积为7812m2的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有4条等宽的水渠，将花圃分为了8个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为7200m2，若测得空地的宽长为62m，则水渠的宽度为m．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在线段OD，OC 上，且CN＝6，DM＝2，若CM＝DN，则DN的长为.三、解答题（本大题共10个小题，共90分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（7分）先化简，再求值：，其中x＝2．17．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣n+1＝0有两个不相等的实数根，求n的取值范围．18．（7分）如图，点O为▱ABCD的对角线AC，BD的交点，经过点O的直线分别与BA的延长线和DC的延长线交于点E，F．求证：BE＝DF．19．（8分）解方程：（1）；（2）x2+6x﹣1＝0．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题：（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，﹣1），请作出△A1B1C1；（2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2；（3）当四边形ABCD为平行四边形时，请直接写出点D的坐标．21．（9分）“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数．22．（10分）【问题背景】如图1，某小区的大门是伸缩电动门，它由若干个全等的图形组成．爱思考的小腾发现大门打开的宽度受每个图形内角（如图2中∠A）度数的影响．【提出问题】大门打开的宽度是如何随着内角度数变化的？【分析问题】经过思考，小腾准备按照如下步骤解决问题：①利用图形的性质，先求出特殊内角度数时伸缩门（包括安装驱动器的门柱）的长度，进而计算出大门打开的宽度；②建立平面直角坐标系，通过列表、描点、连线的方法，用函数刻画内角度数x（°）与大门打开的宽度y（m）之间的关系．【解决问题】（1）小腾实地测量了相关数据，并画出了示意图，如图2，伸缩电动门中最上面一排是12个全等的图形，每个图形的边长均为0.3m，在伸缩电动门运行的过程中，这些图形始终是；A．矩形B．菱形C．梯形（2）已知安装驱动器的门柱是宽度为0.5m的矩形，大门的总宽度为7m（门框的宽度忽略不计），小腾记录了不同内角度数对应的伸缩门的长度（m）和大门打开的宽度（m），请你通过计算帮他补全数据（结果精确到0.01m）：内角∠A度数x（°）3045607590105120伸缩门的长度（m） 2.36 3.26a 4.88 5.59 6.21大门打开的宽度y（m） 4.64 3.74b 2.12 1.410.79①当每个图形的内角度数为60°时，表格中a＝，b＝；②当每个图形的内角度数为120°时，大门打开的宽度约为多少米？（参考数据：，，结果精确到0.01m）【问题总结】如图3，小腾为了进一步研究内角度数x（°）与大门打开的宽度y（m）之间所满足的函数关系，他利用列表，描点，连线的方式画出了函数图象，通过观察图象，小腾发现：随着内角度数的增大，大门打开的宽度逐渐减小，减小的速度先较快，然后逐渐变慢．23．（10分）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为x1、x2，那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．小明在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．方根方程：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．（1）请你判断：方程x2+9x+18＝0是（填“倍根方程”或“方根方程”）；（2）若一元二次方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；（3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程x2+bx+c＝0，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且OA＝6，OC ＝4．点D为OA的中点，连接CD，DE为∠ADC的平分线，交BC于点E．（1）求点B和点E的坐标；（2）点P为射线DE上一动点，点Q为平面内任意一点，①连接BD，CP，若S△CDP＝S△BCD，请求出点P的坐标；②是否存在P，Q两点，使得四边形OBPQ为矩形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）如图1，正方形ABCD的边BE与正方形BEFG的边AB重合，直线AG交直线FE于点H，连接EC．（1）图1中线段AG与CE的数量关系是，∠AGF与∠BEC的关系是；（2）如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋转角度α（0°≤α≤90°），当点H与点A重合时，（1）中的结论依然成立的，请予以证明；不成立的，请写出它们新的关系，并说明理由；（3）如图3，若AB＝8，BE＝4，连接AC，正方形BEFG绕点B顺时针旋转角度α（0°≤α≤90°），当点F落在对角线AC上时，请直接写出此时△AGF的面积．2023-2024学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．2．【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”进行分析即可．【解答】解：A、该方程是分式方程，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；B、该方程是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；C、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；D、该方程是关于x的一元三次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的一般形式．3．【分析】直接利用分式的基本性质分别化简，进而判断得出答案．【解答】解：A．无法化简是最简分式，故此选项符合题意；B．＝＝，不是最简分式，不合题意；C．＝，不是最简分式，不合题意；D．﹣＝﹣，不是最简分式，不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．4．【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零判断．【解答】解：A．当a＝1时，分式没有意义．故本选项不合题意；B．当a＝0时，分式没有意义．故本选项不合题意；C．当a＝1时，分式没有意义．故本选项不合题意；D．因为a2≥0，所以2a2+1≠0，所以分式总有意义，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．5．【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列得方程，解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°＝360°，解得：n＝12，即这个多边形的边数为12，故选：C．【点评】本题考查多边形的内角和及外角和，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．6．【分析】把x＝1代入方程计算求出a+b+c的值．【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．7．【分析】由三角形的中位线定理得到EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出DE＝3，可得EF＝4，即可求出BC的长．【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，AE＝3，∴EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝BE＝3，∵DF＝1，∴EF＝ED+DF＝3+1＝4，∴BC＝8，故选：B．【点评】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．【分析】根据题意可知，装裱后的长为（54+2x）cm，宽为（27+2x）cm．再根据整幅图画宽与长的比是5：12，即可得到相应的方程．【解答】解：由题意可得：，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的分式方程．9．【分析】先根据旋转的性质得到∠BOE＝∠COF＝α，由于∠BOF＝∠BOE+∠COF﹣∠COE，所以α+α﹣15°＝85°，然后解方程即可．【解答】解：∵△ABC绕点O顺时针旋转角度α后得到△DEF，∴∠BOE＝∠COF＝α，∵∠BOF＝∠BOE+∠COF﹣∠COE，∴α+α﹣15°＝85°，解得α＝50°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．10．【分析】①正确，利用三角形中位线定理证明；②正确，利用直角三角形斜边中线的性质证明即可；③错误，△OGF的面积＝1；④正确，连接OP，求出OP，PF，利用两点之间线段最短解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∵OG⊥AB，∴AG＝GB，∵AF＝EF，∴FG∥EB，∴∠AFG＝∠AEB＝90°，故①正确，∵∠AFG＝90°，AP＝PG，∴AP＝PF＝PG，∴∠FAP＝∠AFP，∴∠FPG＝∠FAG+∠AFP＝2∠FAB，故②正确，如图1中，当四边形AOBE是正方形时，FG∥EB∥OA，∴△FOG的面积＝△AFG的面积＝AF•FG＝××＝1，故③错误，如图2中，连接OP．∵OP＝＝＝，PF＝AG＝1，∴OF≥OP﹣PF＝﹣1，∴OF的最小值为﹣1．故④正确．故选：B．【点评】本题考查正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）11．【分析】先求出正八边形的一个外角的度数，再根据邻补角的定义即可求出答案．【解答】解：∵正八边形的一个外角的度数为360°÷8＝45°，∴正八边形的一个内角的度数为180°﹣45°＝135°．故答案为：135．【点评】本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的外角和公式是解题的关键．12．【分析】先把能够分解因式的分母分解因式，然后约分，最后按照同分母的分式相加减法则进行计算即可．【解答】解：原式＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法和分式的约分．13．【分析】因为四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，则AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，利用勾股定理求出菱形的边长为5．则菱形ABCD的面积为，根据AE⊥CD，则，求出AE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，∴CD＝＝5，即菱形的边长为5．∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，∴菱形ABCD的面积为，∵AE⊥CD，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．14．【分析】根据空地的面积与宽，利用矩形面积公式求出长，设水渠的宽度为x m，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设水渠的宽度为x m，空地的长为7812÷62＝126（m），根据题意得：（62﹣x）（126﹣3x）＝7200，整理得：x2﹣104x+204＝0，即（x﹣2）（x﹣102）＝0，解得：x1＝2，x2＝102（不合题意，舍去），则水渠的宽度为2m．故答案为：2．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，平移的性质，弄清题意是解本题的关键．15．【分析】过D作DE⊥OC于E，过C作CF⊥OD于F，根据矩形的性质得到AB＝CD，OD＝，OC＝，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥OC于E，过C作CF⊥OD于F，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，OD＝，OC＝，∴OD＝OC，＝，∴S△COD∴CF＝DE，∵CM＝DN，∴Rt△CMF≌Rt△DNE（HL），∴FM＝NE，设FM＝NE＝x，∴DF＝DM+FM＝2+x，CE＝CN﹣NE＝6﹣x，∵CD＝DC，DE＝CF，∴Rt△CFD≌Rt△DEC（HL），∴DF＝CE，∴2+x＝6﹣x，∴x＝2，∴CE＝4，∵CD＝AB＝7，∴DE2＝CD2﹣CE2＝72﹣42＝33，∴DN＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，共90分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝2代入进行计算即可．【解答】解：＝•＝，当x＝2时，原式＝＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．17．【分析】根据题意可得根的判别式Δ＞0，列出不等式求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣n+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣n+1）＞0，∴n＞1．【点评】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键．18．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，易证得△BOE≌△DOF（ASA），即可证得BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB∥CD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴BE＝DF．【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到△BOE≌△DOF．19．【分析】（1）先找出最简公分母2（x﹣2），去分母后求出x的值，然后检验确定分式方程的解即可；（2）利用配方法求解即可．【解答】解：（1）方程两边同乘2（x﹣2），得4x﹣（x﹣2）＝﹣3，解得x＝﹣，检验：当x＝﹣时2（x﹣2）≠0，∴原分式方程的解是x＝﹣；（2）x2+6x﹣1＝0，x2+6x＝1，x2+6x+9＝10，即（x+3）2＝10，∴x+3＝，∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．【点评】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解分式方程必须要检验．20．【分析】（1）由题意得，△ABC是向右平移5个单位长度，向下平移6个单位长度得到的△A1B1C1，根据平移的性质作图即可．（2）根据旋转的性质作图即可．（3）结合平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意得，△ABC是向右平移5个单位长度，向下平移6个单位长度得到的△A1B1C1．如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∴点D的坐标为（﹣5，3）．【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换、平行四边形的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键．21．【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，根据4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；（2）由题意列式计算即可．【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意得：16（1+x）2＝25，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去），答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）由题意可知，25（1+25%）＝31.25（万人次），答：7月份的游客人数为31.25万人次．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．【分析】（1）依据题意，根据所给条件判断四边形的形状即可得解；（2）①依据题意，画出图形得到△ABD是等边三角形，然后计算即可；②依据题意，连接BD、AC交于点O，利用勾股定理解题即可．【解答】解：（1）∵每个图形的边长均为0.3m，∴图形为菱形．故选：B．（2）①当每个图形的内角度数为60°时，如图，连接BD．∴△ABD是等边三角形．∴BD＝AB＝0.3m．∴伸缩门的长度为a＝0.3×12+0.5＝4.1（m），b＝7﹣4.1＝2.9（m）．故答案为：4.1；2.9．②如图，每个图形的内角度数为120°时，连接BD、AC交于点O，∴∠ABC＝60°，即△ABC是等边三角形．∴AC＝0.3．又∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝0.15，BD＝2BO．∴BD＝m．∴大门打开的宽度为7﹣×12﹣0.5≈0.26（m）．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．23．【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程；（2）设方程x2﹣6x+c＝0的两个根为x1，x2，由倍根方程”的定义可知x2＝2x1，利用根与系数的关系即可求得c的值；（3）设一元二次方程x2+bx+c＝0，的两个实数根分别为x1、x2，由题意可知x1＝2x2，x1＝或x2＝2x1，x1＝，即可得到方程的根是2、4或、．【解答】解：（1）解方程x2+9x+18＝0得：x1＝﹣3，x2＝﹣6，∵x2＝2x1，∴方程x2+9x+18＝0是倍根方程；故答案为：“倍根方程”；（2）设方程x2﹣6x+c＝0的两个根为x1，x2，∵一元二次方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，∴x2＝2x1，∴3x1＝6，2＝c，∴x1＝2，∴c＝8；（3）设一元二次方程x2+bx+c＝0，的两个实数根分别为x1、x2，∵这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，∴x1＝2x2，x1＝，∴2x2＝，解得x2＝2或x2＝0（舍去），∴x1＝4，或x2＝2x1，x1＝，∴x2＝，解得x2＝或x2＝0（舍去），∴x1＝，∴这个方程的根是2、4或、．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键．24．【分析】（1）根据矩形的性质可得BC＝6，AB＝4从而得到B的坐标，再由角平分线+平行线可以证出CE＝CD，进而得到点E的坐标；（2）利用割补法将△CDP的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可；（3）要使四边形OBPQ是矩形，则△OBP为直角三角形，∠OBP＝90°，设出点P的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，∴BC∥OA，BC＝OA，AB∥OC，AB＝OC，∴∠CED＝∠ADE，∵OA＝6，OC＝4，∴B（6，4），∵DE为∠ADC的平分线，∴∠CDE＝∠ADE，∴∠CED＝∠CDE，∴CE＝CD，∵D为OA中点，∴OD＝OA＝3，∴D（3，0），由勾股定理可得CD＝5，∴CE＝5，∴E（5，4）．（2）①∵四边形OABC为矩形，点D为OA的中点，＝S四边形OABC＝OA•OC＝12，∴S△BCD＝S△BCD＝12，∴S△CDP延长ED，交y轴于点M，∵D（3，0），E（5，4），∴y DE＝2x﹣6，∴M（0，﹣6），∴CM＝10，＝S△PCM﹣S△DCM＝CM•（x P﹣x D）＝12，∵S△CDP∴×10×（x P﹣3）＝12，∴x P＝，∴P（，）．②存在，∵点P是射线DE上的动点，∴设P（x，2x﹣6），∵O（0，0），B（6，4），∴OB2＝62+42＝52，OP2＝x2+（2x﹣6）2＝5x2﹣24x+36，BP2＝（x﹣6）2+（2x﹣6﹣4）2＝5x2﹣52x+136，要使四边形OBPQ是矩形，则△OBP为直角三角形，∠OBP＝90°，∴OB2+BP2＝OP2，即52+5x2﹣52x+136＝5x2﹣24x+36，解得x＝，∴P（，）．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数、一次函数上点的坐标特征、矩形的性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．25．【分析】（1）证△CBE≌△ABG（SAS）即可；（2）同第一问思路，证△CBE≌△ABG（SAS）即可得解；（3）由BO＝BD＝4＝BF可得F、O重合，画图示意图，△AGF的面积很容易就得出．【解答】解：（1）∵四边形BEFG和四边形ABCD都是正方形，∴BE＝BG，∠CBE＝∠ABG＝90°，BC＝BA，∴△CBE≌△ABG（SAS），∴CE＝AG，∠BEC＝∠AGB，∵∠AGF+∠AGB＝90°，∴∠AGF+∠BEC＝90°，故答案为：AG＝CE，∠AGF+∠BEC＝90°．（2）AG＝CE依然成立；∠AGF与∠BEC的关系是∠BEC﹣∠AGF＝90°．理由：∵四边形BEFG和四边形ABCD都是正方形，∴BG＝BE，AB＝BC，∠GBE＝90°＝∠ABC，∴∠GBA＝∠EBC，∴△CBE≌△ABG（SAS），∴AE＝CE，∠AGB＝∠CEB，∵四边形BEFG是正方形，∴∠BGF＝90°，∴∠AGF＝∠AGB﹣∠BGF＝∠BEC﹣90°，即∠BEC﹣∠AGF＝90°．（3）如图，连接BF，连接BD与AC交于点O，∴AC＝BD ＝＝8，BF ＝＝4，∴BO ＝BD＝4＝BF，∵F在AC上，∴F与O 点重合，如图：＝×4×4＝8．∴S△AGF【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键。
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2016-2017学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每题4分，共48分）1．（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A．x（a+2b）=ax+2bx B．x2﹣1+4y2=（x﹣1）（x+1）+4y2C．x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）D．ax+bx﹣c=x（a+b）﹣c2．（4分）不等式﹣2x＜4的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣23．（4分）化简﹣的结果是（）A．m+3 B．m﹣3 C． D．4．（4分）一元二次方程x2﹣4x+2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根5．（4分）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．86．（4分）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C．D．7．（4分）菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（1，3）8．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE，则∠EBC 的度数是（）A．45度B．30度C．22.5度D．20度9．（4分）若分式的值为整数，则整数x的值为（）A．1 B．±1 C．3 D．1或310．（4分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（）A．0.5 B．1.5 C．D．111．（4分）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞2且m≠3 C．m＜2 D．m＞3且m≠212．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②AC垂直平分EF；③BE+DF=EF；=2S△ABE，其中正确结论是（）④S△CEFA．①②B．①②③C．①②④D．①②③④二、填空题（每题4分，共24分）13．（4分）分式有意义的条件是．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大50°，则∠C的度数为°．15．（4分）为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为．16．（4分）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是．17．（4分）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2=1的解，则此三角形的周长=．18．（4分）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，E是CD的中点，在对角线AC有一动点P，在某个位置存在PD+PE的和最小，则这个最小值为．三、解答题：（共计78分）19．（15分）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（2）因式分解：4x2y﹣4xy2+y5．（3）计算：（﹣）÷．20．（10分）解下列方程：（1）=+．（2）2x2+x﹣1=0．21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F 分别是OA和OC的中点，求证：四边形BFDE是平行四边形．22．（6分）如图，菱形ABCD对角线AC、BD交于点O，其中AC=6，BD=8，AE ⊥BC于点E，求AE的长度．23．（11分）我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．（1）文学书和科普书的单价各多少钱？（2）今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？24．（7分）某种服装，平均每天销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利900元，每件应降价多少元？25．（12分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？26．（12分）在△ABC中，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边作正方形ADEF，使∠DAF=∠BAC，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD=CF；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且∠BAC=90°时．①问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②延长BA交CF于点G，连接GE，若AB=2，CD=BC，请求出GE的长．2016-2017学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共48分）1．（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A．x（a+2b）=ax+2bx B．x2﹣1+4y2=（x﹣1）（x+1）+4y2C．x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）D．ax+bx﹣c=x（a+b）﹣c【分析】利用因式分解的定义判断即可．【解答】解：根据题意得：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）．故选：C．【点评】此题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．2．（4分）不等式﹣2x＜4的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2【分析】两边同时除以﹣2，把x的系数化成1即可求解．【解答】解：两边同时除以﹣2，得：x＞﹣2．故选：D．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．3．（4分）化简﹣的结果是（）A．m+3 B．m﹣3 C． D．【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式===m+3．故选：A．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（4分）一元二次方程x2﹣4x+2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】把a=1，b=﹣4，c=2代入判别式△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=2代，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×2=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．（4分）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．【解答】解：根据题意，得：（n﹣2）×180=360×3，解得n=8．故选：D．【点评】解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．6．（4分）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C．D．【分析】不等式kx+b≤0的解集是在x轴及其下方的函数图象所对应的自变量的取值范围，观察图象得出不等式kx+b≤0的解集，然后根据不等式在数轴上的表示方法即可求解．【解答】解：由图象可以看出，x轴及其下方的函数图象所对应自变量的取值为x≤﹣2，所以不等式kx+b≤0的解集是x≤﹣2．故选：B．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值小于0的解集是x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．7．（4分）菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（1，3）【分析】首先连接AB交OC于点D，由四边形OACB是菱形，可得AB⊥OC，AD=BD=1，OD=CD=3，易得点B的坐标是（3，﹣1）．【解答】解：连接AB交OC于点D，∵四边形OACB是菱形，∴AB⊥OC，AD=BD=1，OD=CD=3，∴点B的坐标是（3，﹣1）．故选：B．【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直．解此题注意数形结合思想的应用．8．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE，则∠EBC 的度数是（）A．45度B．30度C．22.5度D．20度【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠ECB=90°，故能求出∠EBC．【解答】解：∵正方形ABCD中，∴∠BAC=45°，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=67.5°，∵∠ABE+∠ECB=90°，∴∠EBC=22.5°，故选：C．【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质等知识点．9．（4分）若分式的值为整数，则整数x的值为（）A．1 B．±1 C．3 D．1或3【分析】根据分式的值为整数，确定出整数x的值即可．【解答】解：分式的值为整数，则整数x的值为1或3，故选：D．【点评】此题考查了分式的值，弄清题意是解本题的关键．10．（4分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（）A．0.5 B．1.5 C．D．1【分析】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC﹣BD计算即可得解．【解答】解：∵∠B=60°，∴∠C=90°﹣60°=30°，∵AC=，∴AB=AC•tan30°=×=1，∴BC=2AB=2，由旋转的性质得，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC﹣BD=2﹣1=1．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．11．（4分）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞2且m≠3 C．m＜2 D．m＞3且m≠2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据分式方程的解为正数列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的范围．【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，根据题意得：m﹣2＞0，且m﹣2≠1，解得：m＞2且m≠3．故选：B．【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．12．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②AC垂直平分EF；③BE+DF=EF；④S△CEF=2S△ABE，其中正确结论是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF 和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF（故①正确）．∵BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．（故②正确）．设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AC=，∴AB=，∴BE=﹣x=，∴BE+DF=x﹣x≠x，（故③错误），=x2，∵S△CEFS△ABE=x2，=x2=S△CEF，（故④正确）．∴2S△ABE综上所述，①②④正确，故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．二、填空题（每题4分，共24分）13．（4分）分式有意义的条件是x≠﹣8．【分析】分式有意义时，分母x+8≠0．【解答】解：依题意得：x+8≠0．解得x≠﹣8．故答案是：x≠﹣8．【点评】考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大50°，则∠C的度数为115°．【分析】根据题意得：∠A+∠B=180°，∠A﹣∠B=50°，解方程组即可求得∠A；则可得∠C=∠A．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A=∠C，∴∠A+∠B=180°，∵∠A﹣∠B=50°，∴∠A=115°，∴∠C=115°．故答案为：115．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．此题还要注意利用方程思想求解．15．（4分）为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为289（1﹣x）2=256．【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1﹣x）2=256．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289（1﹣x），则第二次降价为289（1﹣x）2，由题意得：289（1﹣x）2=256．故答案为：289（1﹣x）2=256．【点评】此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．16．（4分）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是24．【分析】先根据E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点得出AH=DH=BF=CF，AE=BE=DG=CG，故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，根据S四边形EFGH=S矩形ABCD 即可得出结论．﹣4S△AEH【解答】解：∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，∴AH=DH=BF=CF=8，AE=BE=DG=CG=3．在△AEH与△DGH中，∵，∴△AEH≌△DGH（SAS）．同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，∴S=S矩形ABCD﹣4S△AEH=6×8﹣4××3×4=48﹣24=24．四边形EFGH故答案为：24．【点评】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键．17．（4分）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2=1的解，则此三角形的周长=14．【分析】利用直接开平方法解方程（x﹣3）2=1得x1=4，x2=2，则利用三角形三边的关系得到三角形第三边为4，然后计算三角形的周长．【解答】解：解方程（x﹣3）2=1得x1=4，x2=2，而2+4=6，所以三角形第三边为4，所以三角形的周长为4+4+6=14．故答案为14．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．18．（4分）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，E是CD的中点，在对角线AC有一动点P，在某个位置存在PD+PE的和最小，则这个最小值为2．【分析】连接BE，过点E作EF⊥BC于点F，由四边形ABCD是菱形，可得BE是PD+PE的和最小值，然后由菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，E是CD的中点，即可求得CF与EF的长，再利用勾股定理求得BE的长即可．【解答】解：连接BE，过点E作EF⊥BC于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴点B，D关于AC对称，∴BE的长是PD+PE的最小值，∵菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，∴BC=CD=AB=4，AB∥CD，∴∠ECF=∠ABC=60°，∵E是CD的中点，∴CE=CD=2，∴CF=CE•cos60°=2×=1，EF=CE•sin60°=，∴BF=BC+CF=5，∴BE===2，即PD+PE的最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查了最短路径问题、菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．三、解答题：（共计78分）19．（15分）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（2）因式分解：4x2y﹣4xy2+y5．（3）计算：（﹣）÷．【分析】（1）根据不等式组的解法即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．（3）根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）由x﹣3（x﹣2）≤4可得：﹣2x≤﹣2x≥1由＞x﹣1可得：1+2x＞3x﹣3﹣x＞﹣4x＜4∴不等式组的解集为：1≤x＜4在数轴上表示如下图：（2）原式=y（4x2﹣4xy+y4）（3）原式=•=2x+8【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．20．（10分）解下列方程：（1）=+．（2）2x2+x﹣1=0．【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤解出方程；（2）利用公式法解出一元二次方程．【解答】解：（1）=+方程两边同乘2（x+3），得4﹣2x=x+3+2，解得，x=﹣，检验：当x=﹣时，2（x+3）≠0，原方程的解是x=﹣；（2）2x2+x﹣1=0△=1+8=9＞0，x=，x1=﹣1，x2=．【点评】本题考查的是分式方程的解法、一元二次方程的解法，掌握解分式方程、一元二次方程的一般步骤是解题的关键．21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F 分别是OA和OC的中点，求证：四边形BFDE是平行四边形．【分析】欲证明四边形BFDE是平行四边形只要证明OE=OF，OD=OB．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，AO=OC，又∵E，F分别为AO，OC的中点，∴EO=OF，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．22．（6分）如图，菱形ABCD对角线AC、BD交于点O，其中AC=6，BD=8，AE ⊥BC于点E，求AE的长度．【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，∴BC==5，=AC•BD=×6×8=24，∴S菱形ABCD=BC×AE，∵S菱形ABCD∴BC×AE=24，∴AE=．【点评】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．23．（11分）我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．（1）文学书和科普书的单价各多少钱？（2）今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？【分析】（1）设文学书的单价为每本x元，则科普书的单价为每本（x+4）元，根据用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等建立方程求出其解就可以了；（2）设购进文学书550本后至多还能购进y本科普书，根据购书总价不超过10000元建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设文学书的单价为每本x元，则科普书的单价为每本（x+4）元，依题意得：，解得：x=8，经检验x=8是方程的解，并且符合题意．∴x+4=12．∴购进的文学书和科普书的单价分别是8元和12元．②设购进文学书550本后还能购进y本科普书．依题意得550×8+12y≤10000，解得，∵y为整数，∴y的最大值为466∴至多还能购进466本科普书．【点评】本题考查了列分式方程和列一元一次不等式的运用，分式方程的解法和一元一次方程的解法的运用，解答时找到不相等关系建立不等式是关键．24．（7分）某种服装，平均每天销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利900元，每件应降价多少元？【分析】设每件应降价x元，根据每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=900，列出方程，求出x的值，再为了减少库存，计算得到降价多的数量即可得出答案．【解答】解：设每件应降价x元，根据题意，得：（32﹣x）（20+5x）=900解方程得x=2或x=26，∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴x=26不合题意舍去，答：每件服装应降价2元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据每天盈利得到相应的等量关系，列出方程．得到现在的销售量是解决本题的难点．25．（12分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．【解答】解：（1）①∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS）．②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间s，∴cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3=80cm．△ABC周长为：10+10+8=28cm，若是运动了三圈即为：28×3=84cm，∵84﹣80=4cm＜AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．【点评】此题主要是运用了路程=速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．26．（12分）在△ABC中，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边作正方形ADEF，使∠DAF=∠BAC，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD=CF；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且∠BAC=90°时．①问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②延长BA交CF于点G，连接GE，若AB=2，CD=BC，请求出GE的长．【分析】（1）由SAS证明△DAB≌△FAC，得出对应边相等即可；（2）①由SAS证明△DAB≌△FAC，得出对应边相等即可；②过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，证出∠ADH=∠DEM，由AAS证明△ADH≌△DEM，得出EM=DH=6，DM=AH=2，得出CN=EM=6，EN=CM=6，证出△BCG是等腰直角三角形，得出CG=BC=4，求出GN=2，由勾股定理求出GE的长即可．【解答】（1）证明：菱形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴BD=CF；（2）解：①（1）中的结论仍然成立；理由如下：∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴BD=CF；②过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图所示：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AB=4，AH=BH=HC=2，∴CD=BC=4，∴DH=6，CF=BD=8，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，在△ADH与△DEM中，，∴△ADH≌△DEM（AAS），∴EM=DH=6，DM=AH=2，∴CN=EM=6，EN=CM=6，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=2，∴GE===2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。