2018年高考数学总复习第五章平面向量、复数第1讲平面向量的概念及线性运算!

第1讲 平面向量的概念及线性运算基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a解析 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小. 答案 B3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( ) A.0 B.BE → C.AD →D.CF →解析 由题干图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D4.设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 答案 D5.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D. 答案 D6.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13cD.13b ＋23c 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .答案 A7.(2017·温州八校检测)设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( ) A.－2B.－1C.1D.2解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线. 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1. 答案 B8.如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( ) A.a －12bB.12a －b C.a ＋12bD.12a ＋b 解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .答案 D 二、填空题9.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个.解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个. 答案 310.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.解析 因为ABCD 为平行四边形，所以AB →＋AD →＝AC →＝2AO →， 已知AB →＋AD →＝λAO →，故λ＝2. 答案 211.向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________. 解析 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上. 答案 ④12.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E ，F 分别为AC ，AB 的中点，即M 为△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3. 答案 313.(2017·杭州模拟)在△ABC 所在平面内有一点P ，如果PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 与△ABC 的面积之比是________.解析 因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－PA →，所以2PA →＋PC →＝0，PC →＝－2PA →＝2AP →，所以点P 是线段AC 的一个靠近点A 的三等分点(如图所示).所以△PAB 与△ABC 的面积之比是1∶3. 答案 1∶3能力提升题组 (建议用时：15分钟)14.(2017·延安模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( ) A.－94B.－49C.－38D.不存在解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2， 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ（3－k ），2＝－λ（2k ＋1），解得k ＝－94.答案 A15.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 答案 B16.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心D.垂心解析 作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →| ＝λ′·AD→|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →.∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 答案 B17.(2017·湖州模拟)如图，在△ABC 中，AD ＝2DB ，AE ＝12EC ，BE 与CD 相交于点P ，若AP →＝xAB→＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＝________，y ＝________.解析 由题可知AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋λDC →＝AD →＋λ(BC →－BD →) ＝23AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →－AB →－13BA → ＝23(1－λ)AB →＋λAC →， 又AP →＝AE →＋EP →＝AE →＋μEB →＝AE →＋μ(CB →－CE →) ＝13AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－AC →－23CA →＝μAB →＋13(1－μ)AC →，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧23（1－λ）＝μ，13（1－μ）＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝17，μ＝47，故AP →＝47AB →＋17AC →，所以x ＝47，y ＝17.答案 47 1718.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________.解析 OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形。