湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 扫描版含答案
2014-2015年湖南省长沙一中高一下学期数学期末试卷与解析PDF
2014-2015学年湖南省长沙一中高一（下）期末数学模拟试卷一．单项选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的）1．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位2．（5分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R3．（5分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣3，﹣5）C．（3，5） D．（2，4）4．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE 的延长线与CD交于点F．若=，=，则=（）A． B． C． D．5．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．26．（5分）设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（）A．B．C．0 D．﹣17．（5分）已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数8．（5分）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（）A．﹣3，1 B．﹣2，2 C．﹣3，D．﹣2，9．（5分）=（）A．B．C．2 D．10．（5分）在锐角△ABC中，设x=sinA•sinB，y=cosA•cosB．则x，y的大小关系为（）A．x≤y B．x＞y C．x＜y D．x≥y11．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称12．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题（本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上）. 13．（5分）角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=．14．（5分）若，则cos2θ=．15．（5分）若向量，满足且与的夹角为，则=．16．（5分）已知||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=45°，设=m+n，其中m，n∈R，则等于．三．解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）化简：[2sin50°+sin10°（1+tan10°）]•．18．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．19．（12分）已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．20．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．21．（12分）已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），•=1，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．22．（12分）有一圆心角为60°半径为1的扇形铁板．工人师傅要裁出一个面积最大的矩形，下列两种裁法哪一种更好，说明理由．2014-2015学年湖南省长沙一中高一（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一．单项选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的）1．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选：A．2．（5分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R【解答】解：由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin（2x+）故选：C．3．（5分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣3，﹣5）C．（3，5） D．（2，4）【解答】解：∵，故选B．4．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE 的延长线与CD交于点F．若=，=，则=（）A． B． C． D．【解答】解：∵由题意可得△DEF∽△BEA，∴==，再由AB=CD可得=，∴=．作FG平行BD交AC于点G，∴=，∴===．∵=+=+=+==，∴=+=+，故选：B．5．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx令F（x）=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|当x﹣=+kπ，x=+kπ，即当a=+kπ时，函数F（x）取到最大值故选：B．6．（5分）设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（）A．B．C．0 D．﹣1【解答】解：∵=（1，cosθ），=（﹣1，2cosθ），且两向量垂直，∴•=0，即﹣1+2cos2θ=0，则cos2θ=2cos2θ﹣1=0．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选：D．8．（5分）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（）A．﹣3，1 B．﹣2，2 C．﹣3，D．﹣2，【解答】解：∵，∴当时，，当sinx=﹣1时，f min（x）=﹣3．故选：C．9．（5分）=（）A．B．C．2 D．【解答】解：原式====2，故选：C．10．（5分）在锐角△ABC中，设x=sinA•sinB，y=cosA•cosB．则x，y的大小关系为（）A．x≤y B．x＞y C．x＜y D．x≥y【解答】解：令A=60°，B=45°x=sinA•sinB=×=，y=cosA•cosB=×=，∴x＞y．故选：B．11．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称【解答】解：已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R），∴的周期为2π，若函数在处取得最小值，不妨设，则函数=，所以是奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，故选：D．12．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．另解：设B（cosα，sinα），|2+|=|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）|=|（cosα﹣6，sinα）|==，当cosα=﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7．故选：B．二．填空题（本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上）.13．（5分）角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=．【解答】解：角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===﹣．故答案为：．14．（5分）若，则cos2θ=．【解答】解：由可知，，而．故答案为：﹣．15．（5分）若向量，满足且与的夹角为，则=．【解答】解：∵且与的夹角为，∴===，故答案为：16．（5分）已知||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=45°，设=m+n，其中m，n∈R，则等于．【解答】如图所示，建立直角坐标系．则=（1，0），=（0，），∴=m +n=（m，n），∴tan45°==1∴=．故选B三．解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）化简：[2sin50°+sin10°（1+tan10°）]•．【解答】解：原式=[2sin50°+sin10°（1+tan10°）]•=[2sin50°+sin10°（1+）]•=[2sin50°+sin10°（）]•=（2sin50°+2sin10°•）•cos10°=2（sin50°cos10°+sin10°•cos50°）=2sin60°=．18．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．【解答】解：（1）依题意有A=1，则f（x）=sin（x+φ），将点代入得，而0＜φ＜π，∴，∴，故．（2）依题意有，而，∴，．19．（12分）已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．【解答】解：（Ⅰ）解：=sin2ωx+cos2ωx+2==由题设，函数f（x）的最小正周期是，可得，所以ω=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．当，即时，取得最大值1，所以函数f（x）的最大值是，此时x的集合为．20．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．【解答】解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x）取最小值，所以函数f（x）在区间上的值域为．21．（12分）已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），•=1，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．【解答】解：（1）由题意得•=sinA﹣cosA=1，2sin（A﹣）=1，sin（A﹣）=，由A为锐角得A﹣=，A=．（2）由（1）知cosA=，所以f（x）=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=﹣2（sinx﹣）2+，因为x∈R，所以sinx∈[﹣1，1]，因此，当sinx=时，f（x）有最大值．当sinx=﹣1时，f（x）有最小值﹣3，所以所求函数f（x）的值域是[﹣3，]．22．（12分）有一圆心角为60°半径为1的扇形铁板．工人师傅要裁出一个面积最大的矩形，下列两种裁法哪一种更好，说明理由．【解答】解：如图乙方案：设∠POG=θ，则FG=Rsinθ，在△OEF中，HG=，又设矩形EFGH的面积为S，那么S=FG•HG==•[cos （2θ﹣60°）﹣]，又∵0°＜θ＜60°，故当cos（2θ﹣60°）=1，即θ=30°时，S取最大R2；如图甲方案，设∠QOB=θ，则AB=2Rsin（30°﹣θ），在△OFG中，∠OCB=150°，=，即BC=2Rsinθ设矩形的面积为S．那么S EFFG=4R2sinθsin（30°﹣θ）=2R2[cos（2θ﹣30°）﹣cos30°]=2R2[cos（2θ﹣30°）﹣]，又∵0＜θ＜30°，故当cos（2θ﹣30°）=1即θ=15°时，S取最大R2（2﹣），显然R2＞R2（2﹣），乙方案矩形的最大面积．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、复数2341i i i i++=-（ ） A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i +2、已知:p 26270x x --≤，:q 1x m -≤（0m >），若q 是p 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≤B ．4m <C ．8m ≥D ．8m > 3、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,x y A ，()22,x y B 两点，如果126x x +=，那么AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4 4、甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为（ ） A ．827 B ．6481C ．49D ．89 5、若()()0002lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '等于（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．16、把下面在平面内成立的结论：()1如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交 ()2如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行 ()3如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直 ()4如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（ ）A ．()()12B ．()()23C ．()()24D ．()()34 7、用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++⋅⋅⋅++=（n *∈N ）时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（ ）A ．1 B ．12+ C ．123++ D ．1234+++ 8、三棱锥CD A -B 中，C D 2AB =A =A =，D 90∠BA =，C 60∠BA =，则CD AB⋅等于（ ）A ．2-B ．2C ．-D ．9、曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．2ln 2 B ．2ln 2- C ．4ln 2- D ．42ln 2-10、已知斜率为2的直线l 与双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）交于A ，B 两点，若点()2,1P 是线段AB 的中点，则C 的离心率等于（ ）A B C ．2 D ．11、若对于任意的实数x ，有()()()2330123222x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 12、下列选项中，说法正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <“的逆命题是真命题B ．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =“的否命题是真命题C ．命题“p q ∨“为真命题，则命题p 和q 均为真命题D ．命题“R x ∃∈，20x x ->”的否定是“R x ∀∈，20x x -≤”13、()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x''+<且()10f -=，则不等式()()0f x g x <的解集为（ ） A ．()()1,01,-+∞ B ．()()1,00,1- C ．()(),11,-∞-+∞ D ．()(),10,1-∞-14、椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12FF ∆P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15、方程22ay b x c =+中的a ，b ，{}3,2,0,1,2,3c ∈--，且a ，b ，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 16、平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定 个三角形．17、已知1F ，2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22F F 12A +B =，则AB = ．18、设sin a xdx π=⎰，则二项式6⎛⎝的展开式中的常数项是 ．19、已知函数()y f x =的图象在()()1,1f M 处的切线方程是122y x =+，则()()11f f '+= ．20、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则()f n = ．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21、（本小题满分8分）已知命题:p 方程22129x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 双曲线2215y x m -=的离心率e ∈⎝，若命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围． 22、（本小题满分8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．()1求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；()2在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．23、（本小题满分8分）如图，在五面体CD AB E 中，F A ⊥平面CD AB ，D//C//F A B E ，D AB ⊥A ，1F C F D 2A =AB =B =E =A ．()1求异面直线F B 与D E 所成的角的大小；()2求二面角CD A --E 的余弦值．24、（本小题满分8分）已知直线1y kx =+和双曲线2231x y -=相交于两点A ，B ． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使得以AB 为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．25、（本小题满分8分）已知函数()()1ln 11xf x ax x-=+++，0x ≥，其中0a >． ()1若1a =，求()f x 的单调区间；()2若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试卷（理科）参考答案一、选择题1、C2、C3、B4、A5、C6、B7、D 8、A 9、D 10、A 11、B 12、D13、A 14、D 15、B二、填空题16、11017、818、160-19、320、2-+n n331三、解答题。
湖南省长郡十八校2024-2025学年高一上学期12月检测数学试题含答案
2024年秋季高一检测卷数学（答案在最后）（考试范围：必修一第一章至第五章第1节《任意角和弧度制》时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）1.已知全集{}{}1,0,1,2,3,4,1,3U A =-=，则U A =ð（）A.{}0,2,4 B.{}1,0,2,4- C.{}1,3 D.{}1,1,3-【答案】B 【解析】【分析】根据补集的概念求出答案.【详解】{}1,0,2,4U A -=ð.故选：B2.已知弧长为π的弧所对的圆心角为π3，则该弧所在的扇形面积为（）A.3π2B.π3C.2π3D.3π4【答案】A 【解析】【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果.【详解】由题意可知，扇形的半径为π3π3r ==，因此该扇形的面积为13ππ322S =⨯⨯=.故选：A.3.在平面直角坐标系中，若角α与β的终边关于y 轴对称，则角α与β之间的关系满足（）.A.παβ+= B.2π)k k αβ+=∈Z （C.π)k k αβ+=∈Z （ D.()21π)k k αβ+=+∈Z （【答案】D 【解析】【分析】根据题意得到παβ+=，即可求解.【详解】由题意，角α和β的终边关于y 轴对称，则()()21πk k αβ+=+∈Z .故选：D.4.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a ，b 为常数，且b a <），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由图可得101b a <-<<<，计算出()0g 并结合指数函数性质即可得解.【详解】由图可得101b a <-<<<，则有()0010g a b b =+=+<，且该函数为单调递减函数.故选：A.5.函数()f x =）A.()4,+∞ B.()0,4 C.()4,8 D.(),4-∞【答案】B【分析】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解28t x x =-+在()0,8内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案.【详解】由题意得280x x -+>，解得08x <<，故()f x =的定义域为()0,8，由于y=()0,∞+上单调递减，由复合函数单调性可知，故只需求解28t x x =-+在()0,8内的单调递增区间，28t x x =-+开口向下，对称轴为4x =，故()0,4即为所求.故选：B6.已知函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示，x1 1.5 1.25 1.375 1.3125()f x 1-0.8750.2969-0.22460.05151-那么方程310x x --=的一个近似根（精确度为0.1）为（）A.1B.1.5C.1.25D.1.3125【答案】D 【解析】【分析】由零点存在性定理和1.375 1.31250.06250.1-=<，得到方程的一个近似根为1.3125.【详解】由于()31f x x x =--在R 上为连续函数，()1.3750.22460f =>，()1.31250.051510f =-<，且1.375 1.31250.06250.1-=<，而1.510.50.1,1.5 1.250.250.1,1.375 1.250.1250.1-=>-=>-=>，均不合要求，故方程310x x --=的一个近似根为1.3125，D 正确故选：D7.已知5log 2a =，1312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b>> D.c b a>>【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为对数函数5log y x =、ln y x =在()0,+∞上均为增函数，所以，551log 2log 2a =<，ln3ln e 1c =>=，因为指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在上为减函数，则1031111222⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即112b <<，因此，c b a >>.故选：D.8.已知二次函数()()2f x ax x c x =++∈R 的值域为[)0,+∞，则22a c c a+++的最小值为（）A.6B.8C.10D.12【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的值域得到故0a >，0c >，14ac =，变形后利用基本不等式求出最小值.【详解】二次函数()()2f x ax x c x =++∈R 的值域为[)0,+∞，故0a >，2140ac ∆=-=，故14ac =，所以0c >，()()2222222248a c a c a ca c a c c a ac++++++==+++882810ac ≥+⨯=+=，当且仅当221,2a c a c ===时，等号成立，故22a c c a+++的最小值为10.故选：C二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知命题2:,10p x ax ax ∀∈-+>R ，则命题p 成立的一个充分条件可以是（）A.[)0,4a ∈ B.4a = C.()0,4a ∈ D.0a =【分析】分0a =和0a ≠两种情况，结合二次函数的性质得到不等式，求出[)0,4a ∈，命题p 成立的一个充分条件是[)0,4a ∈的子集，得到答案.【详解】2,10x ax ax ∀∈-+>R ，当0a =时，10>，满足要求，当0a ≠时，需满足()2Δ40a a a >⎧⎪⎨=--<⎪⎩，解得04a <<，综上，[)0,4a ∈，命题p 成立的一个充分条件是[)0,4a ∈的子集，故[)0,4a ∈，()0,4a ∈，0a =均满足要求.故选：ACD10.关于函数()3ln1x f x x -=+，下列结论正确的是（）A.若函数()()()ln 3ln 1g x x x =--+，则()f x 与()g x 是同一个函数B.()f x 是奇函数C.()f x 的图象关于点1,0对称D.()f x 的值域为()(),00,∞∞-⋃+【答案】CD 【解析】【分析】利用函数相等的概念可判断A 选项；利用函数奇偶性的概念可判断B 选项；利用函数对称性可判断C 选项；利用对数函数的值域可判断D 选项.【详解】对于函数()3ln1x f x x -=+，有301x x ->+，解得1x <-或3x >，所以，函数()3ln1x f x x -=+的定义域为()(),13,-∞-⋃+∞，对于函数()()()ln 3ln 1g x x x =--+，有3010x x ->⎧⎨+>⎩，解得3x >，所以函数()()()ln 3ln 1g x x x =--+的定义域为()3,+∞，所以这两个函数的定义域不相同，A 错；对于B 选项，因为函数()f x 的定义域为()(),13,-∞-⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是奇函数，B 错；对于C 选项，因为()()231132lnln ln ln 21331x x x x f x f x x x x x ----+--====-=--+-+-+，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，C 对；对于D 选项，因为当(),1x ∈-∞-时，10x +<，则314411111x x x x x -+-==->+++，此时，()3ln 01x f x x -=>+，当()3,x ∈+∞时，14x +>，则11014x <<+，()314410,1111x x x x x -+-==-+++，此时()3ln01x f x x -=<+，综上所述，函数()f x 的值域为()(),00,-∞+∞ ，D 对.故选：CD.11.已知定义域为()(),00,-∞+∞ 的函数()f x 满足：()()()4f xy f x f y =+-，且当1x >时，()4f x >，则（）A.()14f -=B.()f x 的图象关于y 轴对称C.()f x 在()0,∞+上单调递减D.不等式()()()2214f f x f x ++<-+的解集为()()5,22,1---- 【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，赋值法得到()14f =，进而赋值得到()14f -=；B 选项，令1y =-得，()()f x f x -=，B 正确；C 选项，令211,x x x y x ==，120x x <<，由定义法得到()f x 在()0,∞+上单调递增，C 错误；D 选项，变形得到()()124f x x f +<-，在BC 基础上，得到不等式，求出解集.【详解】A 选项，()()()4f xy f x f y =+-中，令1x y ==得()()1124f f =-，解得()14f =，令1x y ==-得()()4112f f -=-，解得()14f -=，A 正确；B 选项，()()()4f xy f x f y =+-中，令1y =-得，()()()()14f x f x f f x -=+--=，故()f x 的图象关于y 轴对称，B 正确；C 选项，()()()4f xy f x f y =+-中，令211,x x x y x ==，其中120x x <<，则()()22114f x x x f f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为当1x >时，()4f x >，且211x x >，所以214x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()210f x f x ->，()()21f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，C 错误；D 选项，因为()()()4f xy f x f y =+-，所以()()()42224f f x f x ++=+-，故()()()()()()22142241f f x f x f f x f x ++<-+⇒++-<-，即()()124f x x f +<-，由BC 选项知，()f x 在()0,∞+上单调递增，又()f x 为偶函数，()()112424f x x f x x ⇒++<<--，且240,10x x +≠-≠，241x x +<-两边平方得2650x x ++<，解得51x -<<-，且2,1x x ≠-≠，所以不等式()()()2214f f x f x ++<-+的解集为()()5,22,1---- ，D 正确.故选：ABD【点睛】抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知幂函数()()25af x a a x =+-的定义域是R ，则a =______．【答案】2【解析】【分析】根据幂函数的系数为1，求出a 的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可.【详解】因为函数()()25af x a a x =+-为幂函数，则251a a +-=，即260+-=a a ，解得2a =或3a =-，当2a =时，函数()2f x x =的定义域为，合乎题意；当3a =-时，函数()331f x x x -==的定义域为{}0x x ≠，舍去.综上所述，2a =.故答案为:213.在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v （单位：km /s ）和所携带的燃料的质量M （单位：kg ）与飞行器（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系式近似满足2vaM b m=+（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v 约等于2.9km /s ，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v 约等于5.8km /s ，则常数b 的值为______．【答案】3【解析】【分析】根据题意得到方程组，联立求出2.924a=，进而求出3b =.【详解】由题意得，当,1M M m m ==时， 2.921a M b b m =+=+①，当13M m =时， 5.8213a M b b m=+=+②，②-①得， 2.92.922121aa ⎛⎫ ⎪⎭=-⎝，解得 2.924a =，负值舍去，所以2.9412ab +==，解得3b =.故答案为：314.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-+<⎩关于x 的方程2()2()10()f x af x a a -+-=∈R 有四个相异的实数根，则a 的取值范围是______．【答案】(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】【分析】分析函数()f x 的性质并作出图象，令()f x t =，把问题转化为方程2210t at a -+-=有两个不等实根，再确定根所取值情况，结合一元二次方程根的分布求解.【详解】函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，当0x <时，函数()ln(1)f x x =-+在(1,0)-上单调递减，当0x ≥时，函数2()2f x x x =-+在[0,1]上单调递增，在[1,)+∞上单调递减，在坐标系内作出函数()f x的图象，令()f x t =，方程2()2()10()f x af x a a -+-=∈R 有四个相异的实数根，则方程2()210g t t at a =-+-=有两个不等实根1212,()t t t t <，函数()y f x =的图象与直线12,y t y t ==的图象一共有4个交点，由图象知，12001t t <⎧⎨<<⎩或1201t t =⎧⎨=⎩或12011t t <<⎧⎨>⎩，由12001t t <⎧⎨<<⎩，得o0)=−1<0o1)=−>0，解得0a <；由1201t t =⎧⎨=⎩，得(0)10(1)0g a g a =-=⎧⎨=-=⎩，无解；由12011t t <<⎧⎨>⎩，得o0)=−1>0o1)=−<0，解得1a >，所以a 的取值范围是(,0)(1,)-∞⋃+∞.故答案为：(,0)(1,)-∞⋃+∞四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.计算：（1）20.5071π92-⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2log 352912log 125lg 2log 3log 810003++++⋅．【答案】（1）4（2）92【解析】【分析】（1）利用指数的运算性质计算可得所求代数式的值；（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值.【小问1详解】原式131262164441023310649333⎛⎫=+-⨯⨯-=+--= ⎪⎝⎭.【小问2详解】原式3212ln 3ln 272ln 33ln 279333123ln 2ln 323ln 22ln 322=-+++⋅⋅=+⋅⋅=+=.16.已知0,0a b >>，且240a b ab +-=．（1）证明：12ab ≥；（2）求2+a b 的最小值．【答案】（1）证明过程见解析（2）94【解析】【分析】（1）由基本不等式得到2a b +≥，从而得到4ab ≥，证明出结论；（2）变形得到11124b a+=，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】已知0,0a b >>，且24a b ab +=，由基本不等式得2a b +≥4ab ≥，解得12ab ≥，当且仅当2a b =，即1,12a b ==时，等号成立，证毕；【小问2详解】因为0,0a b >>，且24a b ab +=，所以11124b a+=，所以()111591242424242a b b a b a b a b a +=++⎝+≥+⎛⎫+=+=⎪⎭，当且仅当22a b b a =，即34a b ==时，等号成立，故2+a b 的最小值为9417.已知函数()e e 1x x a f x +=+为奇函数．（e 为自然对数的底数，e 2.718≈）（1）求a 的值及函数()f x 的值域；（2）用函数单调性的定义证明函数()f x 在上是增函数；（3）求不等式()()44520x xf f --+-⨯≤的解集．【答案】（1）1a =-，()1,1-（2）证明见解析（3）[]2,0-【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求出，再求出函数值域.（2）利用函数单调性的定义，结合指数函数单调性推理证明.（3）利用函数奇偶性和单调性，把不等式转化为代数不等式，再借助一元二次不等式求解.【小问1详解】因为函数()e e 1x x a f x +=+为奇函数，定义域为R ，所以()()0f x f x -+=.所以e e 0e 1e 1x x x x a a --+++=++⇒e e 01e 1e 1x x x x a a +++=++⇒()()011e x a ++=因为e 10x +≠，所以10a +=，所以1a =-.所以()e 121e 1e 1x x x f x -==-++，因为R x ∈，所以e 11x +>⇒101e 1x <<+⇒0e 212x --+<<⇒2111e 1x -<-<+，即()()1,1f x ∈-.所以函数()f x 的值域为：()1,1-.【小问2详解】设12x x <，则()()21f x f x -212111e e e 1e 1x x x x =-+--+()()()()()()211221111e e 1e e 1e 1e x x x x x x +++---=+()()()2121e e e 1e 12x x x x -=++.因为12x x <，所以120<e <e x x ，于是21e e 0x x ->，2e 10x +>，110x e +>，所以()()()2121e e 02e 1e 1x x x x +->+.所以()()210f x f x ->即()()21f x f x >.所以函数()f x 在R 上单调递增.【小问3详解】由()()44520x x f f --+-⨯≤⇒()()4452x xf f --≤--⨯.因为函数()f x 为奇函数，且在R 上单调递增.所以()()4524x x f f --≤⨯-⇒4524x x --≤⨯-⇒()225240x x ---⨯+≤所以()()22014x x ---≤-⇒124x -≤≤⇒02x ≤-≤⇒20x -≤≤.即所求不等式的解集为：[]2,0-18.已知函数()2,f x x a x bx a =-+∈R ．（1）当2b =-时，若函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的值；（2）当2b =时，若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）当2b =时，若存在实数[]0,2a ∈，使得关于x 的方程()()20f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1a =±（2）11a -≤≤（3）91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）写出()()()2222,22222,2x a x x a f x x a x x x a x x a ⎧-+≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩，分1a <-，1a =-，1a =，10a -<<，01a <<，1a >等情况，结合函数图象，求出零点个数，得到1a =±；（2）根据函数的对称轴和特殊点函数值，得到当121a a a -≤≤+，即11a -≤≤时，()f x 在R 上单调递增；（3）分01a ≤≤和12a <≤两种情况，结合函数单调性，得到当()()()221f a tf a f a <<+时，关于x 的方程()()2f x tf a =有3个不等实根，即()2441a at a <<+，所以11124t a a ⎛⎫<<++ ⎪⎝⎭，设()1124h a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故只需()max t h a <，求出()()max 928h a h ==，求出实数t 的取值范围是91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问1详解】2b =-时，()()()2222,22222,2x a x x a f x x a x x x a x x a ⎧-+≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩，当2x a ≥时，()f x 的对称轴为1x a =+，当2x a <时，()f x 的对称轴为1x a =-，当1a <-时，211a a a <-<+，此时函数图象如下：其中令()2220x a x -+=，解得22x a =+或0，满足要求，令()2220x a x -+-=，解得222x a a =-<，满足要求，0舍去，故此时有3个零点，不合要求，舍去；当1a =-时，故()22,24,2x x f x x x x ⎧≥-=⎨--<-⎩，令20x =得0x =，满足要求，令240x x --=，解得4x =-或0（舍去），满足()f x 恰有两个不同的零点；当1a =时，()224,2,2x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，令240x x -=，解得4x =或0（舍去），令20x -=，解得0x =，满足要求，满足()f x 恰有两个不同的零点；当10a -<<时，121a a a -<<+，画出函数图象，如下：令()2220x a x -+=，解得0x =或22a +，满足要求，令()2220x a x -+-=得22x a =-或0（舍去），满足要求，此时()f x 有3个不同的零点，不合题意；当01a <<时，121a a a -<<+，画出函数图象，如下：令()2220x a x -+=，解得22x a =+或0（舍去），令()2220x a x -+-=得22x a =-或0，满足要求，此时()f x 有3个不同的零点，不合题意；当1a >时，211a a a >+>-，画出函数图象，如下：其中令()2220x a x -+=，解得22x a =+或0（舍去），令()2220x a x -+-=，解得22x a =-或0，故此时有3个零点，不合要求，舍去；综上，()f x 恰有两个不同的零点，则1a =±；【小问2详解】2b =时，()()()2222,22222,2x a x x a f x x a x x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩，当2x a ≥时，()f x 的对称轴为1x a =-，当2x a <时，()f x 的对称轴为1x a =+，并且()()()()22222222224a a a a a a a +-⋅=-++⋅=，故当121a a a -≤≤+，即11a -≤≤时，()f x 在R 上单调递增；【小问3详解】当2b =时，()()()2222,22222,2x a x x a f x x a x x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩，()()20f x tf a -=的解即为方程()()2f x tf a =的解，当01a ≤≤时，()f x 在R 上单调递增；故关于x 的方程()()2f x tf a =不可能有三个不等的实根，当12a <≤时，211a a a >+>-，()f x 在(),1a ∞-+上单调递增，在()1,2a a +上单调递减，在()2,a ∞+上单调递增，当()()()221f a tf a f a <<+时，关于x 的方程()()2f x tf a =有3个不等实根，即()2441a at a <<+，因为1a >，所以11124t a a ⎛⎫<<++ ⎪⎝⎭，设()1124h a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故只需()max t h a <，由对勾函数性质可知，()1124h a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在(]1,2a ∈上单调递增，故()()max 928h a h ==，故若存在实数[]0,2a ∈，使得关于x 的方程()()20f x tf a -=有三个不相等的实数根，实数t 的取值范围是91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.19.设集合A 是至少有两个元素的实数集，集合(){,,F A z z xy x y A ==∈且}x y ≠，称集合()F A 为集合A 的积集．（1）当{}1,2,4,8,32A =时，写出集合A 的积集()F A ；（2）若{}1234,,,A a a a a =是由4个正实数构成的集合，求其积集()F A 中元素个数的最小值；（3）若{}1234,,,A a a a a =是由4个有理数构成的集合，积集()3118,2,,,1,326F A ⎧⎫=----⎨⎬⎩⎭，求集合A 中的所有元素之和．【答案】（1）(){}2,4,8,16,32,64,128,256F A =（2）5（3）196±【解析】【分析】（1）根据题意，得到(){}2,4,8,16,32,64,128,256F A =；（2）不妨设12340a a a a <<<<，推出()F A 中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到()F A 中元素个数最小值为5；（3）()F A 中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时A 中没有两个数互为相反数，1234,,,a a a a 的绝对值互不相等，不妨设1234a a a a <<<，由此求出113a =±，1234196a a a a +++=±.【小问1详解】{}1,2,4,8,32A =，故122,144,188,13232⨯=⨯=⨯=⨯=，248,2816,23264,4832,432128,832256⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=，故(){}2,4,8,16,32,64,128,256F A =；【小问2详解】{}1234,,,A a a a a =是由4个正实数构成的集合，不妨设12340a a a a <<<<，因为1213142434a a a a a a a a a a <<<<，故()F A 中的元素个数大于等于5，当{}2342,2,2,2A =时，此时(){}345672,2,2,2,2F A =，故()F A 中元素个数最小值为5；【小问3详解】由条件可知，对于一个4元集合{}1234,,,A a a a a =，()F A 中的元素个数最多的情况为121314232434,,,,a a a a a a a a a a a a ,，是6个互不相同的数，同时()F A 中没有两个数互为相反数，因此A 中没有两个数互为相反数，由此知，1234,,,a a a a 的绝对值互不相等，不妨设1234a a a a <<<，则()14l j a a i j ≤≤≤中最小的与次小的两个数分别为12a a 与13a a ，最大与次大的两个数分别为34a a 与24a a ，从而必有121324341,1,3,186a a a a a a a a =-===-，于是2341112113,,186a a a a a a a =-===-，所以{}2142312113,18,,262a a a a a a ⎧⎫⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，当213182a -=-时，21112a =，解得16a =±，又1a 为有理数，不合要求，舍去，当21182a -=-，解得113a =±，满足要求，易得123411,,3,632a a a a ==-==-或123411,,3,632a a a a =-==-=，经检验，均满足要求，故1234196a a a a +++=±，集合A 中的所有元素之和为196±.【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。
【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2015-2016学年高一上学期第三次模块检测数学试题(原卷版)
长郡中学2015-2016学年度高一第一学期第三次模块检测数学试卷一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|,}24k M x x k Z ππ==+∈，{|,}42k N x x k Z ππ==+∈，则（） A ．M N ≠⊂ B ．M N ≠⊃ C ．M N = D ．M N φ=2.设0.12a =， 5lg 2b =，39log 10c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>3.设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD = ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+D ．4133AD AB AC =-4.已知||1a = ，||2b = ，a 与b 的夹角为060，则a b + 在a 上的投影为（ ）A ．1B ．2C D5.已知||10a = ，||12b = ，且1(3)()365a b ∙=- ，则a 与b的夹角为（ ）A ．060B ． 0120C ．0135D ．01506.1sin cos αα+=，则α的终边在（ ）A ．y 轴右侧B ．y 轴左侧C ．x 轴上方D ．x 轴下方7.要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需要将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位8.已知函数sin()y A x m ωφ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）A ．4sin(4)6y x π=+B ．2sin(4)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++ 9.设,,D E F 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且2DC BD = ，2CE EA = ，2AF FB = ，则AD BE CF ++ 与BC （ ）A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直10.函数2|1|()1||x f x x -=-的图象是（ ）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知(,3)a x = ，(2,4)b =- ，a b ⊥ ，则实数x = .12.若函数2()lg(1)f x x ax a =+--在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 13.已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x a x ⎧+≥=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α= .14.对任意的[,]62x ππ∈-，不等式2sin sin 30x a x a +++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 . 15.已知()sin()(0)12f x x πωω=+>，()()124f f ππ=且()f x 在区间(,)124ππ有最小值无最大值，则ω= .三、解答题 （本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.已知||2a = ，||3b = ，a 与b 的夹角为60 ，53c a b =+ ，3d a kb =+ ，当实数k 为何值时，（1）//c d ；（2）c d ⊥ .17.已知(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，0βαπ<<<.（1）若||a b -= a b ⊥ ；（2）设(0,1)c = ，若a b c += ，求,αβ的值.18.函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当[0,]2x π∈时，5()1f x -≤≤. （1）求常数,a b 的值；（2）设0a >，()()2g x f x π=+且lg ()0g x >，求()g x 的单调增区间.19.我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P 的关系近似的满足：2(1)()()2kt x b y P x --==，（其中t 为关税的税率，且1[0,)2t ∈，x 为市场价格，,b k 为正,b k 正常数），当18t =时的市场供应量曲线如图：（1）根据图象求,b k 的值；（2）若市场需求量为Q ，它近似满足112()2xQ x -=，当P Q =时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t 的最小值.20.已知函数12()2x x m f x n+-+=+（其中,m n 为参数）. （1）当1m n ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）如果()f x 是奇函数，求实数,m n 的值；（3）已知0,0m n >>，在（2）的条件下，求不等式1(())()04f f x f +<的解集.高考一轮复习：。
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.“，”是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（）A．B．C．D．4.如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（）A．B．C．D．5.若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（）A．B．C．D．6.已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（）A．B．C．9D．278.若且，则可以记；若且，则可以记.实数，且，则（）A．B．C．D．9.已知关于的不等式的解集为，或，则（）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是，或10.设正实数满足，则（）A．B．C．D．11.已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位长度得到，则下列关于函数的说法正确的有（）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．在上单调递增D．在上单调递减12.定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（）A．为奇函数B．2为的一个周期C．D．13.已知幂函数的图象过点，则__________.14.已知向量满足，则__________.15.若，则的值为__________.16.已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为__________.17.（1）；（2）.18.解下列不等式：(1)；(2).19.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.(1)求的值；(2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？20.已知函数的最小正周期为，(1)求函数的单调递增区间；(2)设，求不等式的解集.21.已知函数，对于任意的，都有，当时，，且.(1)判断的奇偶性和单调性；(2)设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围.22.已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)设函数，若不等式对任意的恒成立.求实数的取值范围；(3)设，当为何值时，关于的方程有实根？。
湖南省长沙市长郡中学2015_2016学年高一数学上学期期中试题(含解析)
2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，2，3} B．{4} C．{2} D．{1，4}2．函数的定义域为（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，1）∪（1，4] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2]3．下列四种函数中，表示同一函数的是（）A．y=x﹣1与B．y=x2与C．y=4lgx与y=2lgx2D．y=x2与4．下列函数中，在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y=|x| B．y=log2|x| C．D．y=0.5|x|5．函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（2，0）D．（2，2）6．已知0＜a＜1，log a m＜log a n＜0，则（）A．1＜n＜m B．1＜m＜n C．m＜n＜1 D．n＜m＜17．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，3）C．[，3）D．（1，3）8．设M和P是两个非空集合，定义M与P的差集为M﹣P={x|x∈M，且x∉P}，则M﹣（M﹣P）=（）A．P B．M∩P C．M∪P D．M9．（log29）•（log34）=（）A．B．C．2 D．410．设，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a11．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（3）=0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）12．函数y=2﹣|x|﹣m的图象与x轴有交点时，则（）A．﹣1≤m＜0 B．0≤m≤1C．0＜m≤1D．m≥013．函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点必落在区间（）A．（，） B．（，） C．（，1）D．（1，2）14．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD的中点，则当P沿着路径A﹣B ﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A．B．C．D．15．已知x2+y2=4，x＞0，y＞0，且log a（2+x）=m，log a=n，则log a y等于（）A．m+n B．m﹣n C．（m+n）D．（m﹣n）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卷的横线上．. 16．若函数f（2x）=3x2+1，则f（4）= ．17．若幂函数f（x）的图象经过点，则= ．18．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式f （log4x）＞0的解集是．19．已知a，b是常数，函数在（﹣∞，0）上的最大值为16，则f（x）在（0，+∞）上的最小值为．20．函数f（x）=，若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f （c）=f（d），则abcd的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，满分40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤21．化简下列各式（写出化简过程）（1）；（2）lg5•lg20+lg22．22．已知集合A={x|x2+3x﹣10≤0}（1）若A⊆B，B={x|m﹣6≤x≤2m+1}，求实数m的取值范围；（2）若B⊆A，B={x|2m﹣1≤x≤m+1}，求实数m的取值范围．23．我国科研人员屠呦呦法相从青篙中提取物青篙素抗疟性超强，几乎达到100%，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间r（小时）之间近似满足如图所示的曲线（1）写出第一服药后y与t之间的函数关系式y=f（x）；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？24．已知函数为偶函数（1）求实数a的值；（2）当时，若函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，求m，n的值．25．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．（I）求f（1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x 成立．2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，2，3} B．{4} C．{2} D．{1，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】利用集合的并集和补集的定义求解．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，C U（A∪B）={4}．故选：B．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．2．函数的定义域为（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，1）∪（1，4] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质以及父母不为0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x≤4且x≠1，故选：B．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查解不等式组问题，是一道基础题．3．下列四种函数中，表示同一函数的是（）A．y=x﹣1与B．y=x2与C．y=4lgx与y=2lgx2D．y=x2与【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：A．=|x﹣1|，两个函数的对应法则不同，所以A不是同一函数．B．=x2，的定义域为[0，+∞），所以定义域不同，所以B不是同一函数．C．y=4lgx的定义域为（0，+∞），y=2lgx2，的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以C不是同一函数，D.=x2，所以两个函数的定义域和对应法则一致，所以D表示同一函数．故选：D【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．4．下列函数中，在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y=|x| B．y=log2|x| C．D．y=0.5|x|【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数单调性的性质进行判断即可．【解答】解：y=|x|=则函数在（﹣∞，0）上为减函数，y=log2x的定义域为（0，+∞），在（﹣∞，0）上无意义，不满足条件．y=|x|═定义域为（﹣∞，+∞），在（﹣∞，0）上为减函数，不满足条件．当x＜0时，y=0.5|x|=0.5﹣x=2x（，在（﹣∞，0）上单调递增，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性的性质是解决本题的关键．5．函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（2，0）D．（2，2）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】根据a0=1（a≠0）时恒成立，我们令函数y=a x﹣2+1解析式中的指数部分为0，即可得到函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点的坐标．【解答】解：∵当X=2时y=a x﹣2+1=2恒成立故函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（2，2）故选D【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性与特殊点，其中指数的性质a0=1（a≠0）恒成立，是解答本题的关键．6．已知0＜a＜1，log a m＜log a n＜0，则（）A．1＜n＜m B．1＜m＜n C．m＜n＜1 D．n＜m＜1【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】本题考查对数函数的性质，基础题．【解答】解：由log a m＜log a n＜0=log a1得m＞n＞1，【点评】本题主要考查对数比较大小的问题，要注意对数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．7．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，3）C．[，3）D．（1，3）【考点】函数单调性的性质；对数函数的图像与性质．【专题】计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】先分类讨论函数各段，使各段均为增函数，求出相应a的范围，最后取它们的交集．【解答】解：①当x＜1时，f（x）=（3﹣a）x﹣4a，∵f（x）为（﹣∞，1）上为增函数，所以3﹣a＞0，解得a＜3，且x→1时，f（x）→3﹣5a，②当x≥1时，f（x）=lgx，单调递增，符合题意，且f（1）=0，要使f（x）在R上单调递增，结合函数图象，须满足，解得a∈[，3），故选：C．【点评】本题主要考查了函数的单调性，涉及对数函数和一次函数的单调性，体现了分类讨论的解题思想，属于中档题．8．设M和P是两个非空集合，定义M与P的差集为M﹣P={x|x∈M，且x∉P}，则M﹣（M﹣P）=（）A．P B．M∩P C．M∪P D．M【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由条件中差集的定义便可表示M﹣（M﹣P）={x|x∈M，且x∉（M﹣P）}，然后用venn 图表示集合M，P，由图形即可得出答案．【解答】解：根据差集的定义，M﹣（M﹣P）={x|x∈M，且x∉（M﹣P）}，用venn图表示集合M，P的关系如下图：阴影部分表示M﹣P；∴M﹣（M﹣P）=M∩P．【点评】考查对差集定义的理解，描述法表示集合，借助venn图解决集合问题的方法．9．（log29）•（log34）=（）A．B．C．2 D．4【考点】换底公式的应用．【专题】计算题．【分析】直接利用换底公式求解即可．【解答】解：（log29）•（log34）===4．故选D．【点评】本题考查对数的换底公式的应用，考查计算能力．10．设，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．【解答】解：∵，∴1＞0.60＞a＞c＞0，∵b=log23＞log22=1，∴b＞a＞c．故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质合理运用．11．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（3）=0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件可得到f（﹣3）=0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而由不等式便可得到f（x）＞0，讨论x：x＞0时，会得到f（x）＞f（3）；x＜0时，会得到f（x）＞f（﹣3），这样根据f（x）的单调性便可得出这两种情况下x的范围，求并集便可得出原不等式的解集．【解答】解：f（x）为奇函数，f（3）=0；∴f（﹣3）=0；f（x）在（0，+∞）上为增函数；∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数；∴；①若x＞0，则f（x）＞f（3）；∴x＞3；②若x＜0，则f（x）＞f（﹣3）；∴﹣3＜x＜0；∴综上得原不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．故选A．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及增函数的定义，根据单调性解不等式的方法．12．函数y=2﹣|x|﹣m的图象与x轴有交点时，则（）A．﹣1≤m＜0 B．0≤m≤1C．0＜m≤1D．m≥0【考点】指数函数的图像与性质．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的图象与性质，进行转化与解答即可．【解答】解：y=2﹣|x|﹣m=（）|x|﹣m，若函数y=2﹣|x|﹣m的图象与x轴有交点，即y=2﹣|x|﹣m=（）|x|﹣m=0有解，即m=（）|x|有解，∵0＜（）|x|≤1，∴0＜m≤1，故选：C．【点评】本题考查了函数与方程的应用问题，根据指数函数的图象与性质是解题的关键．13．函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点必落在区间（）A．（，） B．（，） C．（，1）D．（1，2）【考点】函数的零点．【专题】计算题．【分析】要判断函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点位置，我们可以根据零点存在定理，依次判断，，，1，2的函数值，然后根据连续函数在区间（a，b）上零点，则f（a）与f （b）异号进行判断．【解答】解：∵f（）=log2+2×﹣1=﹣4＜0f（）=log2+2×﹣1=﹣3＜0f（）=log2\frac{1}{2}+2×﹣1=1﹣2＜0f（1）=log21+2×1﹣1=2﹣1＞0f（2）=log22+2×2﹣1=5﹣1＞0故函数f（x）=log2x+2x﹣1的零点必落在区间（，1）故选C【点评】本题查察的知识点是函数的零点，解答的关键是零点存在定理：即连续函数在区间（a，b）上零点，则f（a）与f（b）异号．14．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD的中点，则当P沿着路径A﹣B ﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【解答】解：根据题意得f（x）=，分段函数图象分段画即可，故选A．【点评】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．15．已知x2+y2=4，x＞0，y＞0，且log a（2+x）=m，log a=n，则log a y等于（）A．m+n B．m﹣n C．（m+n）D．（m﹣n）【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；作差法；函数的性质及应用．【分析】化简可得log a（2﹣x）=﹣n，从而化简可得m﹣n=2log a y，从而解得．【解答】解：∵log a=n，∴log a（2﹣x）=﹣n，∴m﹣n=log a（2+x）+log a（2﹣x）=log a（4﹣x2）=log a y2=2log a y，故log a y=；故选：D．【点评】本题考查了对数运算性质的应用．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卷的横线上．. 16．若函数f（2x）=3x2+1，则f（4）= 13 ．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：函数f（2x）=3x2+1，则f（4）=f（2×2）=3×22+1=13．故答案为：13．【点评】本题考查函数的解析式以及函数值的求法，考查计算能力．17．若幂函数f（x）的图象经过点，则= 4 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】根据幂函数的定义设f（x）=x n，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式，将代入解析式即可求出所求．【解答】解：设f（x）=x n，∵幂函数y=f（x）的图象过点，∴2n=∴n=﹣2．这个函数解析式为 f（x）=x﹣2．则f（）=（）﹣2=4故答案为：4．【点评】解答本题关键是待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．18．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式f （log4x）＞0的解集是{x|x＞2或0＜x＜}．．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】由题意得，f（﹣）=f（）=0，f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（log4x）＞0 即 log4x＞或log4x＜﹣．【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（﹣）=f（）=0．又f（x）在[0，+∞）上是增函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．所以，f（log4x）＞0 即 log4x＞或log4x＜﹣，解得 x＞2或0＜x＜，故答案为 {x|x＞2或0＜x＜}．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，函数的特殊点，关键是把f（log4x）＞0 化为 log4x＞，或log4x＜﹣．19．已知a，b是常数，函数在（﹣∞，0）上的最大值为16，则f（x）在（0，+∞）上的最小值为﹣6 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】整体思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】设g（x）=ax3+bln（x+），判断g（x）为奇函数，可得g（x）的最值之和为M+m=0，分别求得g（x）的最大值和最小值，即可得到所求最值．【解答】解：函数，设g（x）=ax3+bln（x+），g（﹣x）=﹣ax3+bln（﹣x+），由g（﹣x）+g（x）=b[ln（x+）+ln（﹣x+）]=bln（1+x2﹣x2）=0，可得g（x）为奇函数，且g（x）的最值之和为M+m=0，即有g（x）在（﹣∞，0）上的最大值为M=16﹣5=11，可得g（x）在（0，+∞）上的最小值m=﹣11，则f（x）在（0，+∞）上的最小值为﹣11+5=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查奇函数的定义和性质，考查函数的最值的求法，注意运用换元法，考查运算能力，属于中档题．20．函数f（x）=，若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（96，99）．【考点】分段函数的应用．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】先画出函数f（x）=的图象，再根据条件数形结合，即可求出其范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），不妨令a＜b＜c＜d，则log2a=﹣log2b，c∈（8，9），d∈（11，12），故ab=1，cd∈（96，99），故abcd∈（96，99），故答案为：（96，99）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，满分40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤21．化简下列各式（写出化简过程）（1）；（2）lg5•lg20+lg22．【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）=1+﹣=；（2）lg5•lg20+lg22=2lg2lg5+lg5lg5+（lg2）2=lg2•（lg5+lg2）+lg5（lg5+lg2）=lg5+lg2=1．【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，是基础题．22．已知集合A={x|x2+3x﹣10≤0}（1）若A⊆B，B={x|m﹣6≤x≤2m+1}，求实数m的取值范围；（2）若B⊆A，B={x|2m﹣1≤x≤m+1}，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】综合题；分类讨论；综合法；集合．【分析】（1）先求出A={x|﹣5≤x≤2}，若A⊆B，则m应满足，解该不等式组即得m的取值范围．（2）若B⊆A，则：B=∅时，m+1＜2m﹣1，即m＞2；B≠∅时，则m应满足，所以解该不等式组，并合并m＞2即得m的取值范围．【解答】解：A={x|﹣5≤x≤2}；若A⊆B，则，解得≤m≤1，∴m的取值范围是[，1]；（2）∵B⊆A；∴①若B=∅，则m+1＜2m﹣1，即m＞2，此时满足B⊆A；②若B≠∅，则，解得﹣2≤m≤1；由①②得，m的取值范围是[﹣2，1]∪（2，+∞）．【点评】考查解一元二次不等式，子集、空集的概念，以及描述法表示集合．23．我国科研人员屠呦呦法相从青篙中提取物青篙素抗疟性超强，几乎达到100%，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间r（小时）之间近似满足如图所示的曲线（1）写出第一服药后y与t之间的函数关系式y=f（x）；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数的图象，求出函数的解析式即可．（2）利用分段函数列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）由题意，设：f（t）=，当t=1时，由y=9，可得k=9，由，可得a=3，则f（t）=，（2）由每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效，即y≥，得，或，解得：．【点评】本题考查分段函数的解析式的求法，考查分析问题解决问题的能力．24．已知函数为偶函数（1）求实数a的值；（2）当时，若函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，求m，n的值．【考点】函数的值域；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）根据函数的解析式判断函数的单调性，结合函数的值域建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵函数=为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即=，即1+a=0，得a=﹣1．（2）当a=﹣1时，f（x）==1﹣，则函数在（0，+∞）为增函数，当时，若函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，则，即，得，∵0＜＜∴m＞n，则m=，n=．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性和值域的关系，根据条件求出函数的解析式，结合函数单调性和值域间的关系是解决本题的关键．25．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．（I）求f（1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x 成立．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立可得f（1）=1；（2）由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，于是b=2a，再由f（x）min=f（﹣1）=0，可得c=a，从而可求得函数f（x）的解析式；（3）可由f（1+t）≤1，求得：﹣4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．【解答】解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，∴f（1）=1；（2）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a．∵当x∈R时，函数的最小值为0，∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴f（x）min=f（﹣1）=0，∴a=c．∴f（x）=ax2+2ax+a．又f（1）=1，∴a=c=，b=．∴f（x）=x2+x+=（x+1）2．（3）∵当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立，∴f（1+t）≤1，即（1+t+1）2≤1，解得：﹣4≤t≤0．而y=f（x+t）=f[x﹣（﹣t）]是函数y=f（x）向右平移（﹣t）个单位得到的，显然，f（x）向右平移的越多，直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标越大，∴当t=﹣4，﹣t=4时直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标最大．∴（m+1﹣4）2≤m，∴1≤m≤9，∴m max=9．【点评】本题考查二次函数的性质，难点在于（3）中m的确定，着重考查二次函数的性质与函数图象的平移，属于难题．。
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）复数=（）A．B．C．D．2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4 C．m≥8D．m＞83．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9 C．8 D．64．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）A．2 B．﹣2 C．D．6．（3分）把下面在平面内成立的结论：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+48．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2 C．D．9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln210．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2 D．11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3 B．6 C．9 D．1212．（3分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是真命题C．命题“p∪q”为真命题，则命题p和q均为真命题D．命题∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定个三角形．17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．18．（3分）设的展开式中的常数项等于．19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=；f（n）=．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（8分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．25．（8分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：复数====故选C点评：题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4 C．m≥8D．m＞8考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质求出p，q对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论．解答：解：由x2﹣6x﹣27≤0，得﹣3≤x≤9，即p：﹣3≤x≤9，由|x﹣1|≤m（m＞0），得1﹣m≤x≤1+m，即q：1﹣m≤x≤1+m，若q是p的必要而不充分条件，则，即，解得m≥8，即实数m的取值范围是m≥8，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．3．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9 C．8 D．6考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．解答：解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选C．点评：本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．4．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：以甲3胜1败而结束比赛，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，即可得出结论．解答：解：甲以3：1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，因此所求概率为：P==．故选：A．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于基础题．5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）A．2 B．﹣2 C．D．考点：极限及其运算；变化的快慢与变化率．专题：计算题．分析：先将进行化简变形，转化成导数的定义式，即可解得．解答：解：根据导数的定义可得，=故选C点评：本题主要考查了导数的定义的简单应用，以及极限及其运算，属于基础题．6．（3分）把下面在平面内成立的结论：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：对4个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，与另一条不一定相交，也可能异面，在长方体中找．（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，根据平行公理，则这两条直线平行；（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直，符合异面直线所成角的定义；（4）垂直于同一条直线的两条直线还可能相交或异面，比如墙角上的三条垂直的直线．故选B．点评：本题考查了线面的平行和垂直定理，借助于具体的事物有助于理解，还能培养立体感．7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．解答：解：在等式中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故选D．点评：本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意n的取值范围．8．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．解答：解：===0﹣2×=﹣2故选A．点评：本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量．9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF 的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案．解答：解：令x=4，代入直线y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x﹣1交于点B（2，1）∴S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF而S BCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封闭图形ABC的面积S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF=4﹣2ln2故选D点评：本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．10．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，∵点P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵直线l的斜率为2，∴=2，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．点评：本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12考点：二项式定理的应用．分析：由等式右边可以看出是按照x﹣2的升幂排列，故可将x写为2+x﹣2，利用二项式定理的通项公式可求出a2的值．解答：解：x3=（2+x﹣2）3，故a2=C322=6故选B点评：本题考查二项式定理及通项公式的运用，观察等式右侧的特点，将x3=（2+x﹣2）3是解题的关键．12．（3分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是真命题C．命题“p∪q”为真命题，则命题p和q均为真命题D．命题∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：要否定一个命题只要举出反例即可：对于A、B、C可举出反例；D根据全称命题p：“∃x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“∀x∈M，￢p（x）”即可判断出正确与否．解答：解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，对于逆命题，取m=0时不成立；B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是“若，则||≠||”是假命题，若向量、的起点相同，其终点在同一个圆周上，则必有||≠||，故其逆命题是假命题；C．只要p、q中有一个为真命题，则pVq即为真命题．由此可知：C为假命题；D．根据：全称命题p：“∃x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“∀x∈M，￢p（x）”可知：D 正确．综上可知：正确答案为：D．故选D．点评：掌握四种命题间的关系、或命题的真假关系、全称命题与特称命题的否定关系是解题的关键．13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）考点：导数的乘法与除法法则；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），由已知得到当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h （x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得到函数y=h（x）为R上的奇函数，得到函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，画出函数h （x）的草图，结合图象得到不等式的解集．解答：解：设h（x）=f（x）g（x），因为当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，所以当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y=h（x）为R上的奇函数，所以函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（﹣1）=0，所以函数y=h（x）的大致图象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A．点评：本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于基础题．14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条考点：排列、组合及简单计数问题．专题：综合题；压轴题．分析：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况，利用列举法可解．解答：解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：（1）当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0，1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；（2）当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2，0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；（3）同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；（4）当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；共有16条．综上，共有23+23+16=62种故选B．点评：此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法．要能熟练运用二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定110个三角形．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先把10个点看作不共线的，此时能确定的最多三角形数求出来，再减去共线5点所确定的三角形数即可解答：解：先把10个点看作不共线的，此时能确定的最多三角形数求出来，再减去共线5点所确定的三角形数，故有﹣=110个三角形．故答案为：110．点评：本题考查排列组合的基本问题，属于基础题．17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．解答：解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：8点评：本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．18．（3分）设的展开式中的常数项等于﹣160．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解答：解：∵=﹣（cosπ﹣cos0）=2，则=的展开式的通项公式为T r+1=••=•26﹣r•x3﹣r．令 3﹣r=0，解得r=3，故展开式中的常数项等于﹣160，故答案为﹣160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．考点：导数的运算．分析：先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．解答：解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：3点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=37；f（n）=3n2﹣3n+1．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式．解答：解：由于f（2）﹣f（1）=7﹣1=6，f（3）﹣f（2）=19﹣7=2×6，f（4）﹣f（3）=37﹣19=3×6，f（5）﹣f（4）=61﹣37=4×6，…因此，当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），所以f（n）=++…++f（1）=6+1=3n2﹣3n+1．又f（1）=1=3×12﹣3×1+1，所以f（n）=3n2﹣3n+1．当n=4时，f（4）=3×42﹣3×4+1=37．故答案为：37；3n2﹣3n+1．点评：本题主要考查了数列的问题、归纳推理．属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（8分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．考点：椭圆的简单性质；复合命题的真假；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由p真与q真分别求得m的范围，利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的实数m的取值范围．解答：解：p真，则有9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3…2分q真，则有m＞0，且e2=1+=1+∈（，2），即＜m＜5…4分若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假．①若p真、q假，则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；…6分②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，即3≤m＜5…8分故实数m的取值范围为0＜m≤或3≤m＜5…10分点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查复合命题的真假判断，考查集合的交补运算，属于中档题．22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==x 1 2 3 4P点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可解答：解：（1）由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=a，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°．（2）取CD的中点Q，连接PQ，EQ由PC=PD，CE=DE∴PQ⊥CD，EQ⊥CD∴∠E QP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，由ED=CD=a，在等边△ECD中EQ= a在等腰Rt△CPD中，PQ= a在Rt△EPQ中，cos∠EQP=．故二面角A﹣CD﹣E的余弦值为．点评：本小题考查线线垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）联立直线y=kx+1与双曲线3x2﹣y2=1可得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，解得即为k的范围；（2）假设存在，则设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得x1+x2=，x1x2=，从而可求得+1=0，继而可解得k的值．检验成立．解答：解：（1）由，得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，得﹣＜k＜，且k≠±；（2）假设存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即++1+=0，∴+1=0，解得k=±1．经检验，k=±1满足题目条件，则存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．点评：本题考查双曲线的标准方程和性质，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．25．（8分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，可得，由于分母恒正，故由分子的正负，确定函数的单调区间；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的讨论，分别可求得f（x）的最小值，根据f（x）的最小值为1，可确定a 的取值范围．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得，∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得x＜，∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为．（Ⅱ）当a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1；当0＜a＜2时，由（Ⅰ）②知，f（x）在处取得最小值＜f（0）=1，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．。