江苏省高考数学第一轮复习单元试卷20：复数

第二十单元 复数
一.选择题.
(1) iii1)21)(1( ( )

A．i2 B．i2 C．i2 D．i2
(2) 复数iz11的共轭复数是 ( )
A．i2121 B．i2121 C．i1
D．i1
(3) 满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是
( )
A ．一条直线 B ．两条直线 C． 圆 D． 椭圆

(4) )11(ii2005 = ( )

A．i B．－i C．20052 D．－20052
(5) 设z1, z2是复数, 则下列结论中正确的是
( )

A． 若z12+ z22>0,则z12>- z22 B． |z1-z2|=212214zzzz）（
C． z12+ z22=0 z1=z2=0 D． |z12|=|1z|2

(6)复数z在复平面内对应的点为A, 将点A绕坐标原点, 按逆时针方向旋转2, 再向左平移一
个单位, 向下平移一个单位, 得到B点, 此时点B与点A恰好关于坐标原点对称, 则复数z为
( )
A． -1 B． 1 C． i D． - i
(7)设复数z =cosθ+icosθ, θ∈[0, π], ω= -1+i, 则|z-ω|的最大值是 ( )

A． 2+1 B． 5 C． 2
D． 2

(8) 设z1, z2是非零复数满足z12+ z1z2+ z22=0, 则(211zzz)2+(212zzz)2的值是
( )
A． -1 B． 1 C． -2
D． 2

(9)已知复数z=x+yi (x,y∈R, x≥21), 满足|z-1|= x , 那么z在复平面上对应的点(x,y)的轨迹
是
(

)
A． 圆 B． 椭圆 C． 双曲线
D ． 抛物线
(10) 设z∈C, 且|z|=1, 当|(z-1)(z-i)|最大时, z =
( )

A ． -1 B． - i C． -22-22i
D． 22+22 i
二.填空题
(11)已知复数z1=3+4i, z2=t+i,,且z1·2z是实数,则实数t等于 .

(12) 若t∈R, t≠-1, t≠0时,复数z =itttt11的模的取值范围是 .
(13)若a≥0, 且z|z|+az+i=0, 则复数z =
(14)设z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (m∈R), 若z对应点在直线x-2y+1=0上, 则m的值
是 .
三.解答题

(15) 在复数范围内解方程iiizzz23)(2(i为虚数单位).

(16)已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i, z2=a－2－i, 其中i为虚数单位,a∈R, 若21zz<1z,
求a的取值范围.
(17) 已知z1, z2是复数, 求证: 若|z1-2z|=|1- z1z2|,则|z1|, |z2|中至少有一个值为1.
(18)设复数z1, z2满足z1z2+2i z1-2i z2+1=0.
(Ⅰ)若z1, z2满足2z- z1=2i , 求z1, z2;
(Ⅱ)若|z1|=3, 是否存在常数k, 使得等式|z2-4 i |=k恒成立, 若存在,试求出k; 若不存在说
明理由.

参考答案
一选择题:
1.C
[解析]:iiiiiiii2)1)(1()21()1(1)21)(1(2
2.B
[解析]: 复数iz11=21i，故z的共轭复数是i2121
3.C
[解析]: |3+4i|=5
满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是
圆心为（0，1），半径为5的圆。
4.A

[解析]: 1,)1)(1()1(1142iiiiiii又

)11(
ii


2005
= i

5.D
[解析]: A．错；反例： z1=2+i， z2=2-i,
B．错 ；反例： z1=2+i， z2=2-i,
C．错；反例： z1=1， z2=i,

D．正确，z1=a+bi，则 |z12|=a2+b2,|1z|2 =a2+b2，故|z12|=|1z|2

6.B
[解析]: 设z=a+bi，B点对应的复数为z1=，则z1= (a+bi) i-1-i=(-b-1)+(a-1)i
∵点B与点A恰好关于坐标原点对称

∴
1
0111zbaba

ab

7.C
[解析]: |z-ω|=)1(cos2)1(cos)1(cos222
∵θ∈[0, π], ∴当θ=0时，|z-ω|的最大值是2
8.A
[解析]: z1, z2是非零复数满足z12+ z1z2+ z22=0, 则z12+2 z1z2+ z22= z1z2，即

21221
)(zzzz

∴(
211zzz)2+(21
2

zzz
)2=12121212221zzzzzzzz

9.D
[解析]: 已知复数z=x+yi (x,y∈R, x≥21), 满足|z-1|= x , 222)1(xyx
即122xy
那么z在复平面上对应的点(x,y)的轨迹是抛物线
10.C

[解析]: |z|=1, 设z=cosθ+isinθ,则|(z-1)(z-i)|=21cossincossin

令tcossin，则1cossincossin=41)1(212t

∴当t=2即θ=45时,|(z-1)(z-i)|取最大值，此时，z= -22-22i
二填空题:
11. 43
[解析]: 已知复数z1=3+4i, z2=t+i,, 则z1·2z=（3t+4）+(4t-3)i，
∵z
1
·2z是实数, ∴4t-3=0,即t=43

12. ,2
[解析]: 若t∈R, t≠-1, t≠0时,复数z =itttt11的模为|z|

则|z|2=2)1()1(22tttt
故z的模的取值范围是,2
13. iaa242
[解析]: 若a≥0, 且z|z|+az+i=0, 则z(|z|+a)+i=0, |z|+a>0,故 z为纯虚数，
设z = yi (y)R , 则 (|y|+a)yi+i=0 故y2-y-1=0

y = 242aa

z =iaa242
14. 15
[解析]: 设z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (m∈R), 若z对应点在直线x-2y+1=0上,
则log2(m2-3m-3)-2 log2(m-3)+1=0
故2（m2-3m-3）=(m-3)
2

∴m=15或m=-15（不适合）
三解答题

(15)解: 原方程化简为iizzz1)(2,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,

∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23,

∴原方程的解是z=-21±23i.
(16)解: 由题意得 z1=ii151=2+3i,于是21zz=ia24=4)4(2a,1z=13.
4)4(2a
<13,得a2－8a+7<0, 解得1

(17) 证: ∵|z1-2z|=|1- z1z2|
∴|z1-2z|2=|1- z1z2|2.
∴(z1-2z)）（21zz=(1- z1z2))1(21zz.
∴(z1-2z)(1z- z2)=( 1- z1z2)(1-1z2z).
化简后得z11z+ z22z=1+ z1z21z2z.
∴|z1|2+|z2|2=1+|z1|2·|z2|2.
∴(|z1|2-1)(|z2|2-1)=0. ∴|z1|2=1,或|z2|2=1.
∴|z1|,|z2|中至少有一个为1.

(18)解: (Ⅰ) 由2z=z1+2i , 两边同时取共轭复数可得: z2=1z-2i .
代入已知方程得: z1(1z-2i )+ 2i z1-2i(1z-2i)+1=0.
即|z1|2-2i1z-3=0. 令z1=a+bi ,
即可得到 a2+b2-2i(a-bi)-3=0.
即 (a2+b2-2b-3)- 2ai =0.
解得a=0, b=3,或a=0, b=-1.
∴z1=3i, z2=-5i, 或z1=-i , z2=-i .

(Ⅱ)由已知得z1=iziz21222. 又∵|z1|=3,

∴|iziz21222|=3.
∴| 2i z2-1|2=3|z2+ 2i|2.
∴(2i z2-1)( -2i2z-1)=3(z2+ 2i)(2z- 2i).
整理得: z22z+4i z2-4i2z-11=0.
即(z2-4i)( 2z+4i)=27.
∴| z2-4i|2=27,
即| z2-4i|=33.
∴存在常数k=33, 使得等式| z2-4i|=k恒成立.