高中数学：3.1不等关系与不等式同步测试(新人教A版必修5)

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人教A版高中数学必修五3.1不等关系与不等式(一)

►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
情境导入
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
500x 600 y 4000
3x y
x
0
y 0
练习:
教材P.74练习第1、2题.
思考:
讲解范例:
例2. 配制A、B两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配A种药剂需甲料3毫克，乙料5毫克，配B种药剂需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若两种药至少各配一剂，则A、B两种药在配制时应满足怎样的不等关系.
知识拓展:
设问：等式性质中：等式两边加(减)同一个数(或式子)，结果仍相等.不等式是否也有类似的性质呢？
3.1 不等关系与不等式(一)
情境导入
问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤|AB|.

高中数学3.1不等关系与不等式15课时作业新人教A版必修5

C．m>n>pD．p>m>n
解析：∵a>1，∴a2＋1>2a,2a>a－1.
已知m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，
∴m、n、p的大小关系为m>p>n.
答案：B
7．若1< < ，则有如下结论：
①logab>logba；②|logab＋logba|>2；③(logba)2<1；④|logab|＋|logba|>|logab＋logba|.
其中，正确的结论是________(填序号)．
解析：用特殊值法．由1< < ，知0<b<a<1.
令a＝，b＝，则logab＝2，logba＝ .
可判定①②③均正确，④不正确．
答案：①②③
8．已知12<a<60,15<b<36，则a－b的取值范围为________，的取值范围为________．
课时作业(十五)不等关系与不等式
A组基础巩固
1．已知c<d，a>b>0，下列不等式中必成立的一个是()
A．a＋c>b＋dB．a－c>b－d
C．ad<bcD. >
解析：∵c<d，∴－c>－d.又∵a>b>0，∴a－c>b－d.故选B.
答案：B
2．下列说法正确的个数为()
①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c<0，则 > .
答案：D
5．若a<b<c，则＋的值为()

高中数学 3.1不等关系与不等式特色训练新人教A版必修5

3.1不等关系与不等式特色训练【基础知识】1．不等式的定义：用的式子，叫做不等式． 2．不等式的性质：（1）传递性：,a b b c a c >>⇒>；（2）加法性质：a b a c b c >⇒+>+； d c b a >>,⇒ ；（3）乘法性质：,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒<；⇒>>>>0,0d c b a*0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且*0,1)a b n N n >>>∈>且 * a>b 且ab>0⇒ba 11<（同号取倒大变小） 3．两个实数大小（1）对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了；（2）两边都是正数的指数型不等式可考虑作商。

【基础练习】1已知a 、b 、c 满足c b a <<,且ac <0,那么下列选项中不一定成立的（） A ．ab ac >B ．0)(>-a b cC ．cb ab 22< D ．0)(<-c a ac 2．若a 、b ba R 11,>∈则成立的一个充分不必要条件是（）A ．b a >B ．0)(<-b a abC ．0<>->- B ．22a a a a ->>->C ．22a a a a ->>>-D ．22a a a a >->>- 4．若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>5．若12-≠≠y x 且，则M=x y x 422-++2y 的值与-5的大小关系是（） A ．M>-5 B ．M<-5 C ．M=-5 D.不确定 6．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->-【典型例题】例1．应用不等式表示不等关系一个盒中红、白、黑三种球分别有x 、y 、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的三分之一，白球与黑球的个数之和至少为55，使用不等式将题中的不等关系表示出来。

最新精编高中人教A版必修五高中数学同步习题3.1不等关系与不等式第2和答案

第三章 3.1 第2课时一、选择题1．若x>1>y，下列不等式不成立的是( )A．x－1>1－y B．x－1>y－1C．x－y>1－y D．1－x>y－x[答案] A[解析] 特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1<1－(－1)＝1－y，故A不正确．2．设a＝100.1, b＝0.110，c＝lg0.1，则a，b，c的大小关系是( )A．a<b<c B．a>b>cC．b>a>c D．c>a>b[答案] B[解析] ∵100.1>100，∴100.1>1.又∵0.110<0.10，∴0<0.110<1.∵lg0.1<lg1，∴lg0.1<0.∴a>1,0<b<1，c<0，∴a>b>c，选B．3．设a＋b<0，且a>0，则( )A．a2<－ab<b2B．b2<－ab<a2C．a2<b2<－ab D．ab<b2<a2[答案] A[解析] ∵a＋b<0，且a>0，∴0<a<－b，∴a2<－ab<b2.4．已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2D．a2＞－a＞a＞－a2[答案] B[解析] ∵a 2＋a <0，∴0<a 2<－a ，∴0>－a 2>a ， ∴a <－a 2<a 2<－a ，故选B ．[点评] 可取特值检验，∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0，令a ＝－12，则a 2＝14，－a 2＝－14，－a ＝12，∴12>14>－14>－12，即－a >a 2>－a 2>a ，排除A 、C 、D ，选B ．5．设a ，b ∈R ，则(a －b )·a 2<0是a <b 的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由(a －b )·a 2<0得a ≠0且a <b ；反之，由a <b ，不能推出(a －b )·a 2<0.即(a －b )·a 2<0是a 1，则a 3>a 2，∴a 3＋1a 2＋1>1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ，若0<a <1，则0<a 3<a 2，∴0<a 3＋1<a 2＋1，∴0<a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ，故选A ．二、填空题7．已知a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0，则a d 与bc的大小关系是________． [答案]a d ＞bc [解析] ∵c ＞d ＞0，∴1d ＞1c＞0，∵a＞b＞0，∴ad＞bc＞0，∴ad＞bc.8．若a、b、c、d均为实数，使不等式ab>cd>0和ad<bc都成立的一组值(a，b，c，d)是________(只要举出适合条件的一组值即可)．[答案] (2,1，－1，－2)[解析] 由ab>cd>0知，a、b同号，c、d同号，且ab－cd＝ad－bcbd>0.由ad<bc，得ad－bc<0，所以bd<0.所以在取(a，b，c，d)时只需满足以下条件即可：①a、b同号，c、d同号，b、d异号；②ad<bc.令a>0，b>0，c<0，d<0，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则d<bca＝－12，取d＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．三、解答题9．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较a n＋b n与a n－1b＋ab n－1的大小．[解析] (a n＋b n)－(a n－1b＋ab n－1)＝a n－1(a－b)＋b n－1(b－a)＝(a－b)(a n－1－b n－1)，(1)当a＞b＞0时，a n－1＞b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0，(2)当0＜a＜b时，a n－1＜b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0，∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(a n－1－b n－1)＞0.∴a n＋b n＞a n－1b＋ab n－1.10．如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及xy的取值范围．[解析] 46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32，∴－18＜x －2y ＜10；∵30<x <42，124＜1y ＜116，∴3024＜x y ＜4216，即54＜x y ＜218.一、选择题1．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是( )A ．(－π，π)B ．(0，π)C ．(－π，0)D ．{0}[答案] C[解析] ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，又－π2<α<π2，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.2．(2014·天津理，7)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 本题考查简易逻辑中充分性、必要性．当a >b >0时，a |a |－b |b |＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )>0成立，当b <a <0时，a |a |－b |b |＝b 2－a 2＝(b －a )(b ＋a )>0成立，当b <0<a 时，a |a |－b |b |＝a 2＋b 2>0成立， ∴a >b ⇒a |a |>b ·|b |；同理由a |a |>b |b |⇒a >b .选C ．3．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( )A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD ．2a ＋b a ＋2b >ab[答案] C[解析] 解法一：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C ．解法二：(特值法)令a ＝2，b ＝1，排除A 、D ，再令a ＝12，b ＝13，排除B ．4．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ∵1a ＜1b＜0，∴a ＜0，b ＜0，a ＞b ，故③错；∴ab ＞0，∴a ＋b <0<ab ，故①成立；又0＞a ＞b ，∴|a |＜|b |.∴②错；∵b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ＝a －b 2＋2ab ab ＝a －b 2ab＋2且a －b ＜0，ab ＞0，∴b a ＋ab＞2，∴④成立． ∴①④正确．选B ．二、填空题5．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc (a 、b ∈R ，a ≠b )，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b 的大小关系为________．(填“>”“＝”“<”)[答案] >[解析] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a ＝a 2＋b 2， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －ab b ＝ab －(－ab )＝2ab ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －ab b ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2. ∵a ≠b ，∴(a －b )2>0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a >⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －ab b . 6．若a >b >c ，则1a －b ＋1b －c ________3a －c (填“>”、“＝”、“<”)．[答案] >[解析] ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >，a －c >0. ∴1a b ＋1b c －3a c＝a －b ＋b －c a －c －a －bb －c a －b b －c a －c＝a －b ＋b －c 2－a －b b －c a －b b －ca －c＝a －b －b －c 2＋a －b b －ca －b b －c a －c>0.∴1a b ＋1b c >3a c . 三、解答题7．设a ＞0，a ≠1，t ＞0比较12log a t 与log a t ＋12的大小．[解析] 12log a t ＝log a t ，∵t ＋1－t ＝t －2t ＋1＝t －2，∴当t ＝1时，t ＋12＝t ；当t ＞0且t ≠1时.t ＋12＞t .∵当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数， ∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＞log at ＝12log a t . 当t ＝1时，log at ＋12＝12log a t . ∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a 1＋t 2＜log a t ＝12log a t ，当t ＝1时，log at ＋12＝12log a t . 综上知，当t ＝1时，log a 1＋t 2＝12log a t ；当t ＞0且t ≠1时，若a ＞1则log a 1＋t2＞12log a t ；若0＜a ＜1则log a 1＋t 2＜12log a t . 8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．[解析] ∵f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，∴f (－2)＝4a －2b . 又∵1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤23≤a ＋b ≤4，设存在实数m 、n 使得4a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(m －n )b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3.∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．又∵3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，∴3＋3≤4a－2b≤4＋6，即6≤f(－2)≤10.。

高中数学3.1 不等关系与不等式讲新人教A版必修五含解析

☆学习目标☆1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系,掌握用不等式(组)表示实际问题中的不等关系的方法。

2.掌握不等式的有关性质。

3.会利用不等式的性质比较两个数或代数式的大小；会利用不等式的性质证明简单的不等式。

☆学习重点☆1.熟练掌握不等式的性质,并会正确理解和应用；2.对含参数的不等式,要把握分类讨论的标准和技巧.☆学习难点☆1 .合理正确地应用不等式性质比较大小、求代数式的范围。

2.对含参数的不等式,要把握分类讨论的标准和技巧.☆基础回扣☆1.比较两个实数大小的法则若a,b ∈R,则(1)a ＞b ⇔a －b ＞0；(2)a ＝b ⇔a －b ＝0；(3)a ＜b ⇔a －b ＜0. 2.不等式的基本性质(1)a ＞b ⇔b ＜a ；(2)a ＞b,b ＞c ⇒a ＞c ；(3)a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；(4)a ＞b,c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b,c ＜0⇒ac ＜bc ；(5)a ＞b,c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(6)a ＞b ＞0,c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(7)a ＞b ＞0⇒nn b a >(n ∈N,且n ≥2)；(8)a ＞b ＞0⇒n nb a >(n ∈N,且n ≥2).3.不等式的一些常用性质（1）a ＞b ,ab ＞0⇒1a ＜1b . （2）a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd.（3）0＜a ＜x ＜b ,或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a.☆问题探讨与解题研究☆类型一: 用不等式(组)表示不等关系【例1】例1 某人上午7时乘摩托艇以v 海里/h(4≤v ≤20)的速度从A 港匀速出发,向距A 港50海里的B 港驶去,到达B 港后马上乘汽车以w km/h(30≤w ≤100)的速度从B 港匀速出发,向距B 港300 km 的C 市驶去,应在同一天下午4时至9时到达C 市,试表示关于时间的不等关系.【解】设汽车用x h,摩托艇用y h,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥9，x ＋y ≤14，3≤x ≤10，52≤y ≤252.【名师点评】用不等式表示实际问题中的不等关系时,应首先读懂题意,设出未知量,寻找不等关系的根源,将不等关系用未知量表示出来,即得到不等式或不等式组,这是应用不等式解决实际问题的最基本的一步. 【练习】1．(1)一桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使货车总重量T不超过40吨,用不等式表示为________.(2)某火腿肠的质量检查规定,每100克火腿肠中,淀粉含量d 不能超过20克,防腐剂f 含量不能超过0.5克.用不等式组表示为________.答案:(1)T ≤40 (2)⎩⎪⎨⎪⎧d ≤20，f ≤0.5类型二、比较大小【例2】已知x<1,比较x 3－1与2x 2－2x 的大小.【解】 (x 3－1)－(2x 2－2x )＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1)＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34.∵x <1,∴x －1<0,又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0.∴(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0,∴x 3－1<2x 2－2x .【练习】比较32m －m ＋1与22m ＋m －3的大小.【小结】作差法比较大小的方法步骤①作差:有的可直接作差,有的需转化后才可作差；②变形:目的是判断差的符号,通常进行通分、因式分解、配方、分子(分母)有理化等变形,有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号； ③定号:若a-b>0,则a>b ；若a-b<0,则a<b 等； ④得结论.类型三:根据不等式性质求数(式)的取值范围【例3】如果二次函数f(x)的图象过原点,且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(－2)的取值范围. 【分析】若求f(－2)的取值范围,则f(－2)应用f(－1)、f(1) 表示,利用不等式的性质确定其取值范围.【小结】本类题与用待定系数法解决,其关键在于寻找系数m,n.注意不等式作加法时须保证同向相加.本题也可用线性规划的方法求解.【练习】设f(x)＝ax 2＋bx,若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(－2)的取值范围是________. 解法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ,n 为待定系数),则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b ), 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1， ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10,故5≤f (－2)≤10.法二由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10,故5≤f (－2)≤10. 类型四:不等式的性质及其应用【例4】设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①bca c >；②ac ＜bc ；③logb(a-c)>loga(b-c),则所有的正确结论的序号是( )(A)① (B)①② (C)②③ (D)①②③【分析】可直接利用不等式的性质以及幂函数和对数函数的单调性进行比较,也可以采用特殊值方法进行比较. 【解析】由不等式a>b>1知b a 11<,又c<0,所以bca c >,①正确；根据幂函数y=xc 在(0,+∞)上的单调性知②正确；由a>b>1,c<0知a-c>b-c>1-c>1,由对数函数的图象与单调性知③正确.故选D.【小结】涉及“取倒数求范围”等问题时,注意倒数法则的正确运用.一般地:①若x>a,a>0,则ax 110<<, ②若x>a,a<0,则a x 11<或x 10<③若x<a,a<0,则011<<xa , ④若x<a,a>0,则a x 11>或x 10>。

高中数学3.1不等关系与不等式不等式性质素材新人教A版必修5

不等式的性质知识清单：1．不等式的性质：⑴(对称性或反身性)a b b a <⇔>; ⑵(传递性)a b b c a c >>⇒>，;⑶(可加性)a b a c b c >+>+⇒,此法则又称为移项法则; (同向可相加)a b c d a c b d ⇒>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ⇒>>>，； 0a b c ac bc ⇒><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ⇒>>>>>， ⑸(乘方法则)00nna b n N a b >>∈⇔>>（） ⑹(开方法则)0,20a b n N n >>∈⇔>（≥） ⑺(倒数法则)110a b ab a b⇒>><，注意：条件与结论间的对应关系，是“⇒”符号还是“⇔”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。

运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的基本手段. 2．定理1：如果a ,b ∈{x |x 是正实数}，那么2ba +≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号）. 注：该不等式可推出:当a 、b 为正数时,2112a b a b++（当且仅当a = b 时取“=”号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数 2.含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： ⑴3322a b a b ab ++≥⑵由3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++--- 可推出3333a b c abc ++≥(0a b c ++>等式即可成立,0a b c a b c ==++=或时取等); ⑶如果a ,b ,c ∈{x |x 是正实数}，那么3a b c ++（当且仅当a =b =c 时取“=”号） 3.绝对值不等式：注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大), 特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等. 课前预习1．（06上海文，14）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（）（A ）11a b< （B <（C ）22a b < （D ）||||a b > 2．（06江苏，8）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D）a a a a -+≤+-+213 3．（2003京春文，1）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是A .a +c >b +dB .a －c >b －dC .ac >bd D.cbd a > 4．（1999上海理，15）若a 和||1||1b a >均不能成立 B .b b a 11>-和||1||1b a >均不能成立 C .不等式ab a 11>-和（a +b 1）2>（b +a 1）2均不能成立D.不等式||1||1b a >和（a +a 1）2>（b +b 1）2均不能成立 5．（06浙江理，7）“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的（）(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件6．（1）（2001京春）若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b的最小值是（）A .18B .6C .23D.2437．（2000全国，7）若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ⋅，Q ＝21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则（）A .R ＜P ＜QB .P ＜Q ＜RC .Q ＜P ＜R D.P ＜R ＜Q高考数学基础知识复习：不等式证明知识清单：一、常用的证明不等式的方法 1．比较法比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。

高中数学第三章不等式 3.1 不等关系与不等式(第1课时)练习(含解析)新人教A版必修5-新人教

3.1《不等关系与不等式》（第1课时）一、选择题：1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关【答案】A【解析】 M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴M >N .2．若a 1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |D ．(12)a >(12)b 【答案】B【解析】 ∵a ab >ab 2B ．ab >a >ab 2C ．ab 2>ab >a D ．ab >ab 2>a 【答案】D【解析】 ∵－1b 2>0>b >－1，即b ab 2>a .故选D ．4．如果a 、b 、c 满足c ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0 【答案】C【解析】 ∵c 0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A、B 、D 均正确．∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立．5．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b【答案】B【解析】选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不等成立，故选B ．6．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C ．1x 2＋1≤1 D．x ＋1x≥2 【答案】C【解析】 A 中x >0；B 中x ＝1时，x 2＋1＝2x ；C 中任意x ，x 2＋1≥1，故1x 2＋1≤1；D 中当x <0时，x ＋1x≤0.7．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A ．a c >b dB ．a c b cD ．a d 0，而ad －bc 的符号不能确定，所以选项A 、B 不一定成立.a d －b c ＝ac －bddc，dc >0，由不等式的性质可知ac <bd ，所以选项D 成立．本题也可以对实数a 、b 、c 、d 进行适当的赋值逐一排查．8．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是( )A ．a <a 2＋b 220，∴a 2＋b 22>ab ＝2sin60°×2sin61°＝3sin61°>2sin61°＝b ，故a 0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ， C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C ．二、填空题：10．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________．【答案】x ＜y【解析】x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，∴x ＜y . 11．给出四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推得1a ＜1b成立的是________．【答案】①、②、④【解析】 1a ＜1b ⇔b －aab＜0，∴①、②、④能使它成立．12．a ≠2、b ≠－1、M ＝a 2＋b 2、N ＝4a －2b －5，比较M 与N 大小的结果为________．【答案】M ＞N【解析】 ∵a ≠2，b ≠－1，∴M －N ＝a 2＋b 2－4a ＋2b ＋5＝(a －2)2＋(b ＋1)2＞0，∴M >N . 三、解答题13．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【答案】见解析【解析】设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数． (2)车队每天至少要运360 t 矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤910×6x ＋6×8y ≥3600≤x ≤40≤y ≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤95x ＋4y ≥300≤x ≤40≤y ≤7.14.有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：关系的不等式．【答案】见解析【解析】设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎪⎨⎪⎧300x ＋150y ≥2 000250 x ＋100 y ≥1 500x ≥0y ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥405x ＋2y ≥30x ≥0y ≥0.15．设a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b与a b b a的大小．【答案】见解析【解析】根据同底数幂的运算法则．a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝(a b)a －b，当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则(a b)a －b>1，于是a a b b>a b b a . 当b >a >0时，0<a b <1，a －b <0，则(a b)a －b>1，于是a a b b>a b b a.综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b>a b b a.。

2021年高中数学 3.1 不等关系和不等式习题课文新人教A版必修5

2021年高中数学 3.1 不等关系和不等式习题课文新人教A版必修5 1．已知a<0，－1<b<0，则下列各式正确的是( )A．a>ab>ab2B．ab>a>ab2 C．ab2>ab>a D．ab>ab2>a2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系为( )A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞bC．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b3．设x＜a＜0，则下列各不等式一定成立的是( )A．x2＜ax＜a2 B．x2＞ax＞a2 C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞ax4．已知－1<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝11＋a，比较A、B、C的大小结果为( )A．A<B<C B．B<A<C C．A<Cac B．bc>ac C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<06．若a，b是任意实数，且a＞b，则( )A．a2＞b2 B.ba＜1 C．lg(a－b)＞0 D．(12)a＜(12)b7．设,则下列不等式中恒成立的是 ( )A． B． C． D．8.下列结论中正确的是( )A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d B．若a>b，c>d，则ac>bdC ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dD ．若a >b ，c >d ，则a c >b d9．下列结论中正确的是( )①a ＞b ＞0，d ＞c ＞0⇒a c ＞b d， ②a ＞b ，c ＞d ⇒a －c ＞b －d ， ③ac 2＞b c 2⇒a ＞b ， ④a ＞b ⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ＞1)． A ．①②③ B ．①③ C ．②③④ D ．①③④10．已知：0＜a ＜b ＜1，x ＝a b，y ＝log b a ，z ＝log 1ab ，则( ) A ．z ＜x ＜y B ．z ＜y ＜x C ．y ＜z ＜x D ．x ＜z ＜y11．如果a ＞0，且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，那么( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．M 、N 的大小无法确定12．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( )A.b a >b ＋1a ＋1 B ．a ＋1a >b ＋1b C ．a ＋1b >b ＋1a D.2a ＋b a ＋2b >a b13．已知a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0，则a d 与bc 的大小关系是________． 14．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________．15.a ≠2、b ≠－1、M ＝a 2＋b 2、N ＝4a －2b －5，比较M 与N 大小的结果为________．16.给出四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推得1a＜1b成立的是________．17．如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及xy的取值范围．18．实数a、b、c、d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.请将a、b、c、d按照从大到小的次序排列，并证明你的结论．19．(1)若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；(2)设a>0，b>0且a≠b，试比较a a b b与a b b a的大小．37977 9459 鑙22711 58B7 墷c 0S3U33343 823F 舿Q29940 74F4 瓴28431 6F0F 漏u32172 7DAC 綬?。

高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式(第2课时)练习(含解析)新人教A版必修5

1 3.1《不等关系与不等式》（第2课时）一、选择题： 1．若x>1>y，下列不等式不成立的是( ) A．x－1>1－y B．x－1>y－1 C．x－y>1－y D．1－x>y－x 【答案】A 【解析】特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1<1－(－1)＝1－y，故A不正确． 2．下列结论中成立的是( )

A．若a>b，则ab>1 B．若a>b，则a2>b2 C．若a>b，则lga>lgb D．若(a－b)a2<0，则a【答案】D 【解析】 a＝1，b＝－1时，A、B、C错误，排除A、B、C，选D． 3．设a＋b<0，且a>0，则( ) A．a2<－abC．a2【答案】A 【解析】∵a＋b<0，且a>0，∴04．已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( ) A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞a C．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2 【答案】B 【解析】∵a2＋a<0，∴0－a2>a，∴a<－a2

[点评] 可取特值检验，∵a2＋a<0，即a(a＋1)<0，令a＝－12，则a2＝14，－a2＝－14，－a＝12，

∴12>14>－14>－12，即－a>a2>－a2>a，排除A、C、D，选B． 5．下列结论中，成立的个数为( ) ①若 x＋y>0，xy>0，则 x>0，y>0. ②若 x>0，y>0，，则 x＋y>0，xy>0.

③若 x>1，y>1，，则 x＋y>2，xy>1. ④若 x＋y>2，xy>1，则 x>1，y>1. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C 2

【解析】由xy>0知x与y同号，又x＋y>0，∴x>0且y>0，故①正确； ∵x>0，y>0，∴x＋y>0，xy>0，∴②正确；

∵x>1，y>1，∴x＋y>2，xy>1，∴③正确；当x＝4，y＝12时，x＋y>3，xy>1，但 x>1，y>1.不成立． 6．如果a＞0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么( ) A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M、N的大小无法确定【答案】A

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用心爱心专心
3.1不等关系与不等式同步测试
【基础练习】
1．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计
划至少提前两天完成任务，则以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的不等式
为。
2．限速40km∕h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km∕h，
写成不等式就是。
3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝
酸盐18t。生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐
10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式。

【巩固练习】
1．某次数学测验，共有１６道题，答对一题得６分，答错一题倒扣２分，不答则不扣分，
某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在６０分以上？列出其
中的不等关系。

2．将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放４只，则有一鸡无笼可放：若每个笼里放５只，
则有一笼无鸡可放。设现有笼x个，试列出x满足的不等关系，并说明至少有多少只鸡多
少个笼？至多有多少只鸡多少个笼？

3．某车间有２０名工人，每人每天可加工甲种零件５件或乙种零件４件。在这２０名工人
中，派ｘ人加工乙种零件，其余的加工甲种零件，已知每加工一个甲种零件可获利１６元，
每加工一个乙种零件可获利２４元，若要使车间每天获利不低于１８００元，写出x所要满
足的不等关系．

4．某旅游公司年初以98万元购进一辆豪华旅游车，第一年各种费用为12万元，以后每年
都增加4万元，该车每年的旅游效益为50万元，设第n年开始获利，列出关于n的不等
关系．
用心爱心专心

5．某蔬菜收购点租用车辆，将100t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别
为10辆和20辆，若每辆卡车载重8t,运费960元，每辆农用车载重2.5t,运费360元，据
此，安排两种车型，应满足那些不等关系，请列出来．

6．某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时受费
1.5元；公司B的收费规则如下：在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费
1.6元，以后每小时减少0.1元（若超过17小时，按17小时计算）如图所示.
假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A
比选择公司B所需费用少？请写出其中的不等关系．

3.1不等关系参考答案
用心爱心专心

【基础练习】
1． 3x≥300－60 2.v≤40 3.设生产甲乙两种混合肥料各x,yt则4101815660,0xyxyxy
【巩固练习】
1．设至少答对x题，则16x－2(15－x)≥60
2． 5214151xxx，至少6个笼，25只鸡；至多10个笼， 41只鸡。
3． 16×5×（20－x）+24×4x≥1800
4． 98+12+（12+4）+（12+4×2）+…+[12+（n－1）×4]＜50n
5．设租用大卡车x辆，农用车y辆

82.5100010020,xyxyxZyZ















6.设一次上网时间为xh，选择A公司，费用1.5x(元)；选择B公司，x<17时费用为
(35)20xx

元，x≥17时为15.3元，所以(35)20xx＞1.5x （0