概率公式总结
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率基本公式1.事件的概率：对于事件A，在随机试验中发生的次数记为n(A)，则事件A的概率为P(A)=n(A)/n，其中n为试验总次数。
2.互斥事件的概率：对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.事件的余事件概率：设事件A为必然事件，全集的概率为P(S)=1，事件A的余事件为A'，则有P(A')=1-P(A)。
4.条件概率：对于两个事件A和B，假设事件B已经发生，事件A发生的概率记为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
二、随机变量及其概率分布1.离散型随机变量：设X是一个离散型随机变量，其概率函数为P(X=k)，其中k为X的取值，概率函数满足P(X=k)≥0，且∑P(X=k)=12. 连续型随机变量：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，概率密度函数满足f(x)≥0，且∫f(x)dx = 13. 随机变量的数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望为E(X) = ∑k*P(X=k)；对于连续型随机变量X，其数学期望为E(X)=∫xf(x)dx。
4. 随机变量的方差：对于离散型随机变量X，其方差为Var(X) =E(X^2) - [E(X)]^2；对于连续型随机变量X，其方差为Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2三、常见的概率分布1.伯努利分布：表示一次实验成败的概率分布，概率函数为P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)，其中0≤p≤12.二项分布：表示n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，概率函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布：表示单位时间或单位面积内发生事件次数的概率分布，概率函数为P(X=k) = (lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)，其中lambda为平均发生率。
4.均匀分布：表示在一个区间内取值相等的概率分布，概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中[a,b]为区间。
概率论计算公式总结
概率论计算公式总结概率论是研究随机事件发生的可能性的数学分支，它在各个领域都有广泛的应用。
在概率论中，有一些重要的计算公式，它们能够帮助我们计算出某个事件发生的概率。
本文将总结一些常用的概率论计算公式，并解释其应用场景和计算方法。
1. 概率的定义概率是用来描述某个事件发生的可能性的数值。
在概率论中，概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
对于一个随机事件A来说，其概率记为P(A)。
2. 加法法则加法法则是计算两个事件之和的概率的公式。
对于两个互斥事件A 和B来说，它们不能同时发生，因此它们的概率之和等于各自概率的和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
3. 乘法法则乘法法则是计算两个事件同时发生的概率的公式。
对于两个独立事件A和B来说，它们的概率之积等于各自概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
4. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5. 全概率公式全概率公式是一种利用已知条件概率来计算事件A的概率的方法。
假设有一系列互斥且穷尽的事件B1、B2、...、Bn，那么事件A的概率可以表示为P(A) = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) + ... + P(A|Bn) × P(Bn)。
6. 贝叶斯公式贝叶斯公式是一种利用条件概率来计算事件B的概率的方法。
根据条件概率的定义，可以得到贝叶斯公式为P(B|A) = P(A|B) × P(B) / P(A)。
其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A发生的概率。
(整理)概率论公式大全
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全概率论和数理统计作为数学的两个重要分支，被广泛应用于各个领域。
无论是在学术研究还是实际应用中，熟悉并掌握相关的公式是非常重要的。
本文将为您提供概率论与数理统计公式的大全，帮助您更好地理解和应用这两门学科。
一、概率论公式1. 概率公式- 概率的定义：P(A) = N(A) / N(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A的样本点个数，N(S)表示样本空间中的样本点总数。
- 加法法则：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
- 乘法法则：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率。
2. 条件概率公式- 条件概率的定义：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
- 全概率公式：P(A) = ∑[P(Bi) × P(A|Bi)]，其中Bi为样本空间的一个划分，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
3. 事件独立性公式- 事件A和事件B独立的定义：P(A∩B) = P(A) × P(B)，即事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
- 事件的相互独立：若对于任意的事件A1，A2，...，An，有P(A1∩A2∩...∩An) = P(A1) × P(A2) × ... × P(An)，则称事件A1，A2，...，An相互独立。
4. 随机变量- 随机变量的定义：随机变量X是样本空间到实数集的映射。
- 随机变量的分布函数：F(x) = P(X≤x)，表示随机变量X小于等于x的概率。
- 随机变量的概率密度函数（连续型随机变量）：f(x)是非负函数，且对于任意实数区间[a, b]，有P(a≤X≤b) = ∫[a, b]f(x)dx。
概率论全概率公式和贝叶斯公式
概率论全概率公式和贝叶斯公式概率论是数学的一门分支，主要研究以概率为基础的随机现象和数学模型，以及这些模型的性质和应用。
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中两个重要的基本定理，本文将深入探讨这两个公式的概念、原理和应用。
一、全概率公式（Law of Total Probability）全概率公式是概率论中一个非常基本且有用的公式，它给出了一个事件的概率如何通过其他相关事件的概率来进行计算。
假设有一组互斥和完备的事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}，即这些事件是两两不重叠且一起构成了样本空间Ω，那么对于任意一个事件A，其概率可以表示为：P(A)=P(B₁)P(A，B₁)+P(B₂)P(A，B₂)+P(B₃)P(A，B₃)+...+P(Bₙ)P(A，Bₙ)其中，P(A)表示事件A的概率，P(B₁)、P(B₂)、P(B₃)、..、P(Bₙ)表示事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}的概率，P(A，B₁)、P(A，B₂)、P(A，B₃)、..、P(A，Bₙ)表示在事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}发生的条件下，事件A发生的概率。
全概率公式实际上是根据概率的加法规则推导出来的，它将事件A的概率分解为在不同条件下的概率。
通过求解这些条件概率，可以更加准确地计算事件A的概率。
全概率公式的应用非常广泛，例如在实际生活中，我们可能会遇到一些情况，我们对一些事件的概率不清楚，但是我们对一些互斥且完备的事件的概率有一些了解，利用全概率公式，我们可以通过这些已知的概率来推导出我们所关心的事件的概率。
二、贝叶斯公式（Bayes' theorem）贝叶斯公式是概率论中一个非常重要的公式，它描述了在已知事件B发生后，事件A发生的概率。
对于两个事件A和B，其中事件B发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为：P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)表示事件A的概率；P(B)表示事件B的概率。
概率论全概率公式
概率论全概率公式概率论中的全概率公式是一个重要的公式，用于计算复杂事件的概率。
它在计算机科学、金融、统计学等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍全概率公式及其推导过程，并给出一些具体的例子来加深理解。
全概率公式是根据概率的加法规则推导出来的。
概率的加法规则表明，对于两个不相容事件A和B，其并事件A∪B的概率等于各自事件的概率之和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
而全概率公式则是对于多个不相容事件的概率进行计算。
假设样本空间Ω被分为n个互不相容的事件A1,A2,...,An，且它们的并事件为Ω。
那么我们可以用全概率公式表示事件B的概率为：P(B)=P(B，A1)P(A1)+P(B，A2)P(A2)+...+P(B，An)P(An)其中，P(B，Ai)表示在事件Ai发生的条件下，事件B发生的概率。
这个公式的核心思想是，事件B的概率可以通过将样本空间划分为不同的互不相容事件，然后计算每个事件发生的概率，再乘以对应条件下事件B发生的概率来计算。
为了更好地理解全概率公式，我们来看一个例子。
假设有两个工厂A和B，它们生产同一种产品。
在市场上，每次购买这种产品，有60%的概率来自工厂A，40%的概率来自工厂B。
如果选择了工厂A生产的产品，有2%的概率是次品；如果选择了工厂B生产的产品，有4%的概率是次品。
现在问题是，购买的产品是次品的概率是多少？首先，我们将样本空间划分为两个互不相容的事件A和B，分别表示购买的产品来自工厂A和工厂B。
根据题目给出的信息，我们可以计算P(A)=0.6，P(B)=0.4、然后，我们再根据给定的条件计算在事件A和事件B发生的条件下，购买的产品是次品的概率P(次品，A)和P(次品，B)。
根据题目给出的信息，我们可以计算P(次品，A)=0.02，P(次品，B)=0.04接下来，我们可以使用全概率公式计算购买的产品是次品的概率P(次品)。
根据公式：P(次品)=P(次品，A)P(A)+P(次品，B)P(B)=0.02×0.6+0.04×0.4=0.012+0.016=0.028所以，购买的产品是次品的概率为0.028，即2.8%。
概率分布计算公式
概率分布计算公式概率分布是概率论中重要的概念之一，它描述了随机变量在各个取值上的取值概率。
在实际问题中，我们常常需要计算概率分布以解决相关的概率统计问题。
本文将介绍几种常见的概率分布以及它们的计算公式。
一、二项分布(Binomial Distribution)二项分布是概率论中常用的离散型概率分布，它描述了在一定次数的独立重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布。
其计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n, k)表示组合数，可以使用n个数任取k个的方式计算。
二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
二、泊松分布(Poisson Distribution)泊松分布是一种离散型概率分布，适用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数。
其计算公式为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ))/k!其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ表示单位时间(或单位空间)内事件发生的平均次数，e为自然对数的底。
泊松分布的期望为E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。
三、正态分布(Normal Distribution)正态分布是概率论中最重要的连续型概率分布，也称为高斯分布。
它的形状呈钟型曲线，对称于均值。
正态分布在实际问题中得到广泛应用。
其概率密度函数的计算公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^((-1/2)*((x-μ)/σ)^2)其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ为均值，σ为标准差，π为数学常数3.14159。
正态分布的期望为E(X)=μ，方差为Var(X)=σ^2。
四、指数分布(Exponential Distribution)指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数具有常数倍衰减的特点。
概率论公式总结
率。分布函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
1. 0 F(x) 1, x ；2。 F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有
F(x1) F (x2) ； 3 。 F() lim F(x) 0 ， F() lim F(x) 1 ； 4 。
x
x
F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；5. P(X x) F(x) F(x 0) 。对于离散型
自由度为 n2 的 F 分布，记为 F～f(n1, n2).
F1
(n1 , n2 )
F
1 (n2 , n1 )
第四章 随机变量的数字特征
（1） 期望 一维 随 机 期望就是平均值 变量 的数 字特 征
函数的期望
离散型
连续型
设 X 是离散型随机变量，其分布 设 X 是连续型随机变
律 为 P( X xk ) ＝ pk ，
乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
乘法公式
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
W
服从自由度为
n
的
2
分布记为
i 1
W～ 2 (n)
2 分布
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布 中的一个重要参数。
2 分 布 满 足 可 加 性 ： 设 Yi 2 (ni ), 则
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精品文档精品文档 第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp (θ)分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度函数 联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量)()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==nk k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤badxx f b X a P )()()0(1)(/≥=-x e x f x θθ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dxy x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k kkP xX E )(⎰+∞∞-⋅=dxx f x X E )()(∑=kkk p x g X g E )())(()(1)(b x a ab x f ≤≤-=)()('x f x F =精品文档随机变量g(X)的数学期望常用公式方差 定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数协方差的性质独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章正态分布标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章 卡方分布∑∑=ijiji p x X E )(dxdyy x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=ijijj i p y x XY E )(dxdyy x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=)()(),(Y D X D Y X Cov XY=ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =),(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔)()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P )(~)1,0(~212n X N X ni i χ∑=，则若精品文档t 分布F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第六章点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计最大似然估计 似然函数均值的区间估计——大样本结果正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1 ② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 ③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率加减法乘法公式
概率加减法乘法公式概率是概率论中的一个基本概念，用于描述某个事件发生的可能性大小。
概率加减法乘法公式是概率论中常用的计算方法，用于求解多个事件的概率。
一、概率加法公式概率加法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
设A、B为两个事件，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，则概率加法公式可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
这个公式的含义是，两个事件同时发生的概率等于两个事件各自发生的概率之和减去两个事件同时发生的概率。
二、概率减法公式概率减法公式用于计算一个事件不发生的概率。
设A为一个事件，P(A)表示事件A发生的概率，P(A')表示事件A不发生的概率，则概率减法公式可以表示为：P(A') = 1 - P(A)其中，1表示必然发生的概率。
这个公式的含义是，一个事件不发生的概率等于必然发生的概率减去事件发生的概率。
三、概率乘法公式概率乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
设A、B为两个事件，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，则概率乘法公式可以表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
这个公式的含义是，两个事件同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
在实际应用中，概率加减法乘法公式可以帮助我们计算各种复杂事件的概率。
通过对事件的分解和组合，可以灵活运用这些公式来求解问题。
总结：概率加减法乘法公式是概率论中常用的计算方法，用于求解多个事件的概率。
概率加法公式用于计算两个事件同时发生的概率，概率减法公式用于计算一个事件不发生的概率，概率乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题，灵活运用这些公式来求解概率问题。
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. 精选 一、随机事件和概率
1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 ABBA BAAB
结合律 CBACBACBA)()( ABCBCACAB)()(
分配律 ACABCBA)( ))(()(CABABCA 德摩根律 BABA BAAB
2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式
求逆公式 )(1)(APAP
加法公式 )()()()(ABPBPAPBAP
条件概率公式 )()()(AP
ABPABP
乘法公式 )()()(ABPAPABP )()()(BAPBPABP 全概率公式 niiiABPAPBP1)()()(
贝叶斯公式 （逆概率公式）
1)()()()()(iij
jjj
ABPAP
ABPAPBAP
伯努力概型公式 nkppCkP
knkknn,1,0,)1()(
两件事件相互独立相应公式
)()()(BPAPABP；)()(BPABP；)()(ABPABP；1)()(ABPABP；
1)()(ABPABP 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(bFbXP )()()(aFbFbXaP
2、散型随机变量 分布名称 分布律
0–1分布),1(pB 1,0,)1()(1kppkXP
kk
二项分布),(pnB nkppCkXPknkkn,,1,0,)1()(
泊松分布)(P ,2,1,0,
!)(kkekXP
k
几何分布)(pG ,2,1,0,)1()(1kppkXP
k . 精选 超几何分布),,(nMNH ),min(,,1,,)(MnllkCCCkXP
nN
knMNkM
3、续型随机变量 分布名称 密度函数 分布函数
均匀分布),(baU
其他,0,1)(bxa
abxf
bxbxaabaxaxxF,1,,0)(
指数分布)(E 其他,00,)(xexfx 0,10,0)(xexxFx 正态分布),(2N xexfx222)(21)(
xttexFd21)(222)(
标准正态分布)1,0(N xexx2221)(
xttexFd21)(222)(
三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量边缘分布 jjijjiiipyYxXPxXPp),()( iiijjijjpyYxXPyYPp),()(
2、离散型二维随机变量条件分布 2,1,)(),()(iPpyYP
yYxXPyYxXPp
jijj
ji
jiji
2,1,)(),()(jPpxXP
yYxXPxXyYPp
iiji
ji
ijij
3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数xydvduvufyxF),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：xXdvduvufxF),()( 密度函数：dvvxfxfX),()(
yYdudvvufyF),()( duyufyfY),()( 5、二维随机变量的条件分布
yxfyxfxyfXXY,)(),()( xyfyxfyxfYYX,)(),()(
四、随机变量的数字特征 1、数学期望
离散型随机变量：1)(kkkpxXE 连续型随机变量：dxxxfXE)()( 2、数学期望的性质 (1)为常数C,)(CCE )()]([XEXEE )()(XCECXE
(2))()()(YEXEYXE bXaEbaXE)()( )()()(1111nnnnXECXECXCXCE. 精选 (3)若XY相互独立则：)()()(YEXEXYE
(4))()()]([222YEXEXYE 3、方差：)()()(22XEXEXD 4、方差的性质 (1)0)(CD 0)]([XDD )()(2XDabaXD 2)()(CXEXD
(2)),(2)()()(YXCovYDXDYXD 若XY相互独立则：)()()(YDXDYXD 5、协方差：)()(),(),(YEXEYXEYXCov 若XY相互独立则：0),(YXCov 6、相关系数：)()(),(),(YDXDYXCovYXXY 若XY相互独立则：0XY即XY不相关 7、协方差和相关系数的性质 (1))(),(XDXXCov ),(),(XYCovYXCov
(2)),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov ),(),(YXabCovdbYcaXCov 8、常见数学分布的期望和方差 分布 数学期望 方差
0-1分布),1(pB p )1(pp
二行分布),(pnB np )1(pnp
泊松分布)(P
几何分布)(pG p
1
21pp
超几何分布),,(nMNH N
M
n
1)1(NmNNMN
Mn
均匀分布),(baU 2
ba
12)(2ab
正态分布),(2N 2
指数分布)(E
1
21
五、大数定律和中心极限定理
1、切比雪夫不等式 若,)(,)(2XDXE对于任意0有2)(})({XDXEXP或2)(1})({XDXEXP
2、大数定律：若nXX1相互独立且n时，niiDniiXEnXn11)(11 (1)若nXX1相互独立，2)(,)(iiiiXDXE且Mi2则：niiPniinXEnXn11)(),(
11. 精选 (2)若nXX1相互独立同分布，且iiXE)(则当n时：PniiXn11 3、中心极限定理 (1)独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为02的独立同分布时，当n充分大时有：
)1,0(~1NnnXYnkkn
(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(pnBn
n
则对任意x有：
xtnxxdtexpnpnpP)(21})1({lim2
2
(3)近似计算：)()()()(11nnannbnnbnnXnnaPbXaPnkknkk 六、数理统计 1、总体和样本 总体X的分布函数)(xF样本),(21nXXX的联合分布为)(),(121knknxFxxxF 2、统计量
(1)样本平均值：niiXnX11 (2)样本方差：niiniiXnXnXXnS122122)(11)(11
(3)样本标准差：niiXXnS12)(11 (4)样本k阶原点距：2,1,11kXnAnikik (5)样本k阶中心距：nikikkkXXnMB13,2,)(
1
(6)次序统计量：设样本),(21nXXX的观察值),(21nxxx，将nxxx21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(nxxx，记取值为)(ix的样本分量为)(iX，则称)()2()1(nXXX为样本),(21nXXX的次序统计量。),min(21)1(nXXXX为最小次序统计量；),max(21)(nnXXXX为最大次序统计量。 3、三大抽样分布 (1)2分布：设随机变量nXXX21,相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N，则随机变量222212nXXX
所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为)(~22n 性质：①nnDnnE2)]([,)]([22②设)(~),(~22nYmX且相互独立，则)(~2nmYX (2)t分布：设随机变量)(~),1,0(~2nYNX，且X与Y独立，则随机变量：nYXT所服从的分布称为自由度的n的t分布，记为)(~ntT