前三个月中档大题规范练圆锥曲线文新人教版

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高考数学考前三个月小题分项对点练(四) 文新人教版

小题分项对点练(四)[内容] 立体几何、解析几何1.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．2π＋2 3 B ．4π＋2 3 C ．2π＋233D ．4π＋233答案 C解析由几何体的三视图可知，该几何体由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V ＝π×12×2＋13×(2)2×3＝2π＋233，故选C.2．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4 D. 2 答案 B解析若b ＝2，两直线方程为y ＝－a 4x －1和x ＝3a，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程为x ＝－4a 和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，此时，两直线方程为y ＝－ab ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －2＝－1得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，即ab 的最大值是2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以选B.3．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C.[]－3，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0答案 B解析如图，若|MN|＝23，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2＝22－(3)2＝1.∵直线方程为y＝kx＋3，∴d＝|k·2－3＋3|1＋k2＝1，解得k＝±33.若|MN|≥23，则－33≤k≤33.4．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①② B．②③ C．①④ D．③④答案 D解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；当a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．5．设A、B、C、D为空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC也是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC答案 C解析A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD 是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，四边形ABCD可以是空间四边形，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.6.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是( )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D ．直线AH 和BB 1所成角为45° 答案 D解析 △A 1BD 为正三角形，其重心、外心、中心合一．∵AB ＝AA 1＝AD ，∴H 到△A 1BD 各顶点的距离相等，∴A 正确；∵CD 1∥BA 1，CB 1∥DA 1，CD 1∩CB 1＝C ，BA 1∩DA 1＝A 1，∴平面CB 1D 1∥平面A 1BD ，∴AH ⊥平面CB 1D 1，∴B 正确；连接AC 1，则AC 1⊥B 1D 1，∵B 1D 1∥BD ，∴AC 1⊥BD ，同理AC 1⊥BA 1，∴AC 1⊥平面A 1BD ，∴A 、H 、C 1三点共线，∴C 正确，故选D.7．若椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0)与曲线x 2＋y 2＝|m －n |无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 答案 D解析由于m ，n 可互换而不影响，可令m >n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 2n ＝1，x 2＋y 2＝m －n ，则x 2＝2mn －m2n －m，若两曲线无交点，则x 2<0，即m <2n .则e ＝m －nm< m －m 2m ＝22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 8．(2014·江西)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n 等于( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 A解析取CD 的中点H ，连接EH ，HF .在四面体CDEF 中，CD ⊥EH ，CD ⊥FH ，所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥平面EFH ，所以正方体的左、右两个侧面与EF 平行，其余4个平面与EF 相交，即n ＝4.又因为CE 与AB 在同一平面内，所以CE 与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m ＝4，所以m ＋n ＝4＋4＝8.9．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( ) A ．m ∥β且l 1∥α B ．m ∥l 1且n ∥l 2 C ．m ∥β且n ∥β D ．m ∥β且n ∥l 2答案 B解析对于选项A ，不合题意；对于选项B ，由于l 1与l 2是相交直线，而且由l 1∥m 可得l 1∥α，同理可得l 2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l 1∥m ，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B ；对于选项C ，由于m ，n 不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D ，由于n ∥l 2可转化为n ∥β，同选项C ，故不符合题意．综上选B. 10．(2013·山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( )A.316 B.38 C.233 D.433答案 D解析抛物线C 1的标准方程为：x 2＝2py ，其焦点F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为：y ＝±33x . 由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，p 6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，动点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案 M ∈线段FH解析因为HN ∥BD ，HF ∥DD 1，所在平面NHF ∥平面B 1BDD 1，故线段FH 上任意点M 与N 相连，都有MN ∥平面B 1BDD 1.12．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．答案17－1解析点P 到抛物线的准线距离等于点P 到抛物线焦点F (1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为17，即圆上的点Q 到抛物线焦点的距离的最小值是17－1，这个值即为所求．13．如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．答案3＋1解析连接AF 1，则△AF 1F 2为有一个锐角为30°的直角三角形，根据锐角三角函数定义得|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c ，根据双曲线定义|AF 2|－|AF 1|＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以e ＝c a＝23－1＝3＋1.14．若双曲线x 29－y 216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－5]∪[5，＋∞)解析双曲线的渐近线为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.要使渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，则有圆心(m,0)到渐近线的距离d ≥4，即d ＝|4m |42＋32＝4|m |5≥4，解得|m |≥5，即m ≥5或m ≤－5，所以实数m 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．15.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠2，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确结论的序号是________．答案 ①③解析过N作NP⊥BB1于点P.连接MP，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，则当M不是AB1的中点，N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③正确．综上所述，其中正确结论的序号是①③.。

圆锥曲线(教师版)

段长度的比值．
【解析】(1)
设椭圆方程为
x2 a2
+
y2 b2
=
1
a
>
b
>
0
Hale Waihona Puke ，由题意可得4 a2
+
1 b2
a = 2b
=
1
，解得
a2 b2
= =
8 2
，故椭圆方程为
x2 8
+
y2 2
=
1．
(2) 设 M x1,y1 ，N x2,y2 ，直线 MN 的方程为 y = kx + 4 ，
与椭圆方程
x2 8
3.
已知椭圆
C
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1
过点
A(
-2,
-
1)
，且
a
=
2b．
(1) 求椭圆 C 的方程：
(2) 过点 B( -4,0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M ,N ，直线 MA,NA 分别交直线 x =-4 于点
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P,Q．求
|PB| |BQ|
的值．
【试题来源】2020 年北京市高考数学试卷
【答案】(1) x82
+
y2 2
=
1
；(2)1．
【分析】(1) 由题意得到关于 a，b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(2) 首先联立
直线与椭圆的方程，然后由直线 MA，NA 的方程确定点 P，Q 的纵坐标，将线段长度的比
值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合根与系数关系可证得 yP + yQ = 0，从而可得两线

(新课标)名校尖子生培优大专题圆锥曲线训练3 新人教A版

名校专题----圆锥曲线培优训练31、点P 在以21,F F 为焦点的双曲线1:2222=-by a x E )0,0(>>b a 上，已知21PF PF ⊥，||2||21PF PF =，O 为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率e ；（Ⅱ）过点P 作直线分别与双曲线渐近线相交于21,P P 两点，且42721-=⋅OP OP ，221=+PP ，求双曲线E 的方程；（Ⅲ）若过点)0,(m Q （m 为非零常数）的直线l 与（2）中双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且λ=（λ为非零常数），问在x 轴上是否存在定点G ，使)(21F F λ-⊥？若存在，求出所有这种定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（I ）a PF a PF a PF PF PF PF 2||,4||2|||||,|2||212121==∴=-= 5)2()2()4(22221=∴=+∴⊥e c a a PF PF（II ）14:2222=-a y a x E 渐近线为x y 2±=设),(),2,(),2,(222111y x P x x P x x P - 494273212121=∴-=-=⋅x x x x OP OP ，221=+PP 3)2(2,322121x x y x x x -=+=∴代入E 化简2892221=∴=a a x x 18222=-∴y x （III ）假设在x 轴上存在定点)0,(t G 使)(21F F λ-⊥，设),(),,(,:4433y x N y x M m ky x l +=联立l 与E 的方程得0848)14(222=-++-m kmy y k 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=+)2(1484)1(1482243243k m y y k km y y )0,102(),,(214343=-+--=-F F y y t x t x λλλλ)(21GN GM F F λ-⊥)3(0)1()1()(04343=-+-+-⇔=+--⇔t m y y k t x t x λλλλλ由λ=043=+∴y y λ)4(43y y λ-=∴∴（3）即为)5(0)1()1(23=-+-+t m ky λλ，将（4）代入（1）（2）有kmm y 22)1(23--=λ代入（5）得m t 2=故在x 轴上存在定点)0,2(mG 使)(21F F λ-⊥。

江苏省高三数学基础知识专练(11)圆锥曲线与方程新人教版

江苏省2010届高三数学基础知识专练圆锥曲线与方程一、填空题（本大题共14分，每小题5分，共70分）1.椭圆2255x ky +=的一个焦点是（0，2），那么k =________________2.椭圆221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是M 1F 的中点，则ON 等于____________3.已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x ym n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是_______________4.如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m 时，测得拱桥内水面宽为16m ；当水面升高3m 后，拱桥内水面的宽度为_______m5.已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y =2x +1被抛物线截得的线段长为，则此抛物线的标准方程是___________________6.已知双曲线22163x y -=的焦点为12,F F ,点M 在双曲线上，且1MF x⊥轴，则1F 到直线2F M 距离为_________________7.过椭圆22165x y +=内的一点(2,1)P -的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在直线的方程是_____________8.如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD与OM 交于P ，则点P 的轨迹是________________9.我国发射的“神州”号宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A 距地面m km ，远地点B 距地面n km ，地球半径为R km,则飞船的运行轨道的短轴长是______________10.设AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的弦，椭圆的左焦点为1(,0)F c -，则Δ1F AB 的面积的最大值为_____________ 11.若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右两个焦点分别是12,F F ,线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点F 分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为____________12.已知ΔABC 中，(5,0)A -,(5,0)B ,AC,BC 边上的中线长的和为30，则ΔABC 的重心G 的轨迹方程是___________________13.已知直线y =ax +1与双曲线2231x y -=相交于M,N 两点，若以MN 为直径的圆恰好过坐标原点，则实数a 的值等于__________14.已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为___________二、解答题：15. 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.16. 设R y x ∈,，j i ,为直角坐标平面内y x ,轴方向上的单位向量，若向量j y i x y x )2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a 。

新(江苏专用)高考数学三轮增分练(一)直线与圆锥曲线(1)文-人教版高三全册数学试题

(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2016·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．(1)解由椭圆过点A (2,0)，B (0,1)知a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2＝ 3. 所以椭圆离心率e ＝ca ＝32. (2)证明设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，又A (2,0)，B (0,1)，所以直线PB 的方程为y －1＝y 0－1x 0(x －0)，令y ＝0，得x N ＝x 01－y 0，从而AN ＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 直线PA 的方程为y －0＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0，从而BM ＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 所以S 四边形ABNM ＝12AN ·BM ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 即四边形ABNM 的面积为定值．2．(2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1OF ＋1OA ＝3e FA，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率．解 (1)设F (c,0)，由1OF ＋1OA ＝3e FA ，即1c ＋1a ＝3c a a －c ，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4.所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝k x －2消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3. 由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k 4k 2＋3. 由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得yH ＝9－4k 212k. 因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k . 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －2，y ＝－1k x ＋9－4k 212k ，消去y ，解得x M ＝20k 2＋912k 2＋1. 在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔MA ＝MO ，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912k 2＋1＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 3．(2016·课标全国甲)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，AM ＝AN 时，求△AMN 的面积；(2)当2AM ＝AN 时，求k 的取值范围．解设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由AM ＝AN 及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449. (2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1，得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0. 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t 3－tk 23＋tk2，故AM ＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t 1＋k 23＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得AN ＝6k t 1＋k 23k 2＋t .由2AM ＝AN 得23＋tk 2＝k 3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k 2k －1k 3－2. t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝k －2k 2＋1k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧ k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2)．4．(2016·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k 为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值．(1)解设椭圆的半焦距为c ，由题意知2a ＝4,2c ＝22，所以a ＝2，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)①证明设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)．由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )，所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0，直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0，此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3. ②解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线PA 的方程为y ＝kx ＋m ，直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m . 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0，由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2m 2－22k 2＋1x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k m 2－22k 2＋1x 0＋m . 同理x 2＝2m 2－218k 2＋1x 0，y 2＝－6k m 2－218k 2＋1x 0＋m . 所以x 2－x 1＝2m 2－218k 2＋1x 0－2m 2－22k 2＋1x 0＝－32k2m 2－218k 2＋12k 2＋1x 0， y 2－y 1＝－6k m 2－218k 2＋1x 0＋m －2k m 2－22k 2＋1x 0－m ＝－8k 6k 2＋1m 2－218k 2＋12k 2＋1x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎪⎫6k ＋1k . 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0,2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 0＝4－8m 2，此时2m －m 4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意．所以直线AB 的斜率的最小值为62.。

高考数学(理)考前三个月考前抢分必做中档大题规范练2 Word版含解析

中档大题规范练2 立体几何与空间向量1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —AC —D 的余弦值为63？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由．(1)证明因为P A ＝PD ＝2，O 为AD 的中点，所以PO ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .(2)解以O 为原点，OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．PB →＝(1，－1，－1)，设平面PDC 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，CP →＝(－1,0,1)，PD →＝(0,1，－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CP →＝－x ＋z ＝0，u ·PD →＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)， B 点到平面PDC 的距离d ＝|BP →·u ||u |＝33. (3)解假设存在，则设PQ →＝λPD → (0<λ<1)，因为PD →＝(0,1，－1)，所以Q (0，λ，1－λ)，设平面CAQ 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC →＝0，m ·AQ →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，(λ＋1)b ＋(1－λ)c ＝0，所以取m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，平面CAD 的法向量n ＝(0,0,1)，因为二面角Q —AC —D 的余弦值为63，所以|m·n||m||n |＝63，所以3λ2－10λ＋3＝0，所以λ＝13或λ＝3(舍去)，所以PQ QD ＝12. 2．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求二面角A —DF —C 的大小．(1)证明以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)．∵E 为AB 的中点，∴E 点坐标为(1,1,0)，∵D 1F ＝2FE ，∴D 1F →＝23D 1E →＝23(1,1，－2) ＝(23，23，－43)， DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0,0,2)＋(23，23，－43) ＝(23，23，23)．设n ＝(x ，y ，z )是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0，取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1,0，－1)．设p ＝(x ，y ，z )是平面ED 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0，取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1,1,1)．∵n·p ＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解设q ＝(x ，y ，z )是平面ADF 的法向量，则q ·DF →＝0，q ·DA →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0，取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0,1，－1),设二面角A —DF —C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈(π2，π)，则cos θ＝－|n·q |n|·|q ||＝－0＋0＋12×2＝－12， ∴二面角A —DF —C 的大小为120°.3．如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 4.如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝CD ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ，Q 为PD 的中点．(1)证明：CQ ∥平面P AB ；(2)求二面角D —AQ —C 的余弦值．(1)证明如图所示，取P A 的中点N ，连结QN ，BN .在△P AD 中，PN ＝NA ，PQ ＝QD ，所以QN ∥AD ，且QN ＝12AD . 在△APD 中，P A ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ，所以AD ＝P A 2＋PD 2＝22＋(23)2＝4，而BC ＝2，所以BC ＝12AD . 又BC ∥AD ，所以QN ∥BC ，且QN ＝BC ，故四边形BCQN 为平行四边形，所以BN ∥CQ .又CQ ⊄平面P AB ，BN ⊂平面P AB ，所以CQ ∥平面P AB .(2)解如图，在平面P AD 内，过点P 作PO ⊥AD 于点O ，连结OB .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD .又PO ⊥AD ，AP ⊥PD ，所以PO ＝AP ×PD AD ＝2×234＝3，故AO ＝AP 2－PO 2＝22－(3)2＝1.在等腰梯形ABCD 中，取AD 的中点M ，连结BM ，又BC ＝2，AD ＝4，AD ∥BC ，所以DM ＝BC ＝2，DM ∥BC ，故四边形BCDM 为平行四边形．所以BM ＝CD ＝AB ＝2.在△ABM 中，AB ＝AM ＝BM ＝2，AO ＝OM ＝1，所以BO ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BO ⊥平面P AD .如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，D (0,3,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，P (0,0，3)，C (3，2,0)，则AC →＝(3，3,0)．因为Q 为DP 的中点，故Q ⎝⎛⎭⎫0，32，32，所以AQ →＝⎝⎛⎭⎫0，52，32. 设平面AQC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥AC →，m ⊥AQ →，可得⎩⎨⎧ m ·AC →＝3x ＋3y ＝0，m ·AQ →＝52y ＋32z ＝0，令y ＝－3，则x ＝3，z ＝5.故平面AQC 的一个法向量为m ＝(3，－3，5)．因为BO ⊥平面P AD ，所以OB →＝(3，0,0)是平面ADQ 的一个法向量．故cos 〈OB →，m 〉＝OB →·m |OB →|·|m |＝333·32＋(－3)2＋52＝337＝33737. 从而可知二面角D —AQ —C 的余弦值为33737. 5．在四棱锥P —ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.(1)求证：BC ⊥平面PBD ；(2)在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —BD —P 为45°？若存在，求PQ PC 的值；若不存在，请说明理由． (1)证明平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD .如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC →＝(－1,1,0)，所以BC →·DB →＝0，BC ⊥DB ，又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ，因为PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD .(2)解平面PBD 的法向量为BC →＝(－1,1,0)，PC →＝(0,2，－1)，设PQ →＝λPC →，λ∈(0,1)，所以Q (0,2λ，1－λ)，设平面QBD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，DB →＝(1,1,0)，DQ →＝(0,2λ，1－λ)，由n ·DB →＝0，n ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0，令b ＝1，所以n ＝(－1,1，2λλ－1)，所以cos 45°＝|n ·BC →||n ||BC →|＝22 2＋(2λλ－1)2＝22，注意到λ∈(0,1)，得λ＝2－1，所以在线段PC 上存在一点Q ，使得二面角Q —BD —P 为45°，此时PQ PC＝2－1.。

高考数学”一本“培养优选练中档大题规范练1 文-人教版高三全册数学试题

中档大题规X 练(一)(建议用时：60分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式2n 2－n －3＜(5－λ)a n 对∀n ∈N *恒成立，某某数λ的取值X 围． [解] (1)当n ＝1时，S n ＝2a n －2n ＋1，即S 1＝a 1＝2a 1－22，得a 1＝4.当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－2n，则a n ＝2a n －2a n －1－2n，得a n ＝2a n －1＋2n，所以a n 2n －a n －12n －1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以2为首项，1为公差的等差数列．所以a n2n ＝n ＋1，即a n ＝(n ＋1)·2n. (2)原不等式即(n ＋1)(2n －3)＜(5－λ)(n ＋1)2n，等价于5－λ＞2n －32n .记b n ＝2n －32n ，则5－λ＞b n 对∀n ∈N *恒成立，所以5－λ＞(b n )max .b n ＋1－b n ＝2n －12n ＋1－2n －32n＝5－2n2n ＋1，当n ＝1,2时，5－2n ＞0，b n ＋1＞b n ，即b 1＜b 2＜b 3；当n ＞2，n ∈N *时，5－2n ＜0，b n ＋1＜b n ，即b 3＞b 4＞b 5＞…；所以数列{b n }的最大项为b 3＝38，所以5－λ＞38，解得λ＜378.(教师备选)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )，且C ＝3π4.(1)求证：a ，b,2a 成等比数列； (2)若△ABC 的面积是2，求各边的长． [解] (1)证明：∵A ＋B ＋C ＝π，sin(A ＋C ) ＝2sin A cos(A ＋B )， ∴sin B ＝－2sin A cos C ，在△ABC 中，由正弦定理得，b ＝－2a cos C, ∵C ＝3π4，∴b ＝2a ，则b 2＝2a 2＝a ·2a ∴a ，b,2a 成等比数列．(2) S ＝12ab sin C ＝24ab ＝2，则ab ＝42，由(1)知，b ＝2a ，联立两式解得a ＝2，b ＝22，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－2×2×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝20， ∴c ＝2 5.2．在2018年3月某某第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%，数学成绩的频率分布直方图如图 61图61(1)如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．①从(1)中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都特别优秀的概率； ②根据以上数据，完成2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀数学不特别优秀合计参考数据：①K 2＝n ad bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d；②P (K 2≥k 0) 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001k 0 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828[解] (1)共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%，语文成绩特别优秀的概率为P 1＝1－0.95＝0.05，语文特别优秀的同学有100×0.05＝5人，数学成绩特别优秀的概率为P 2＝0.002×20＝0.04，数学特别优秀的同学有100×0.04＝4人．(2)①语文数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，记两科都特别优秀的3人分别为A 1，A 2，A 3，单科特别优秀的3人分别为B 1，B 2，B 3，从中随机抽取2人，共有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)共15种，其中这两人两科成绩都特别优秀的有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)这3种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：P ＝315＝15.②2×2列联表：语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀 3 1 4 数学不特别优秀2 94 96 合计595100∴K 2＝100×3×94－1×224×96×5×95＝2 45057≈42.982＞6.635，∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．2．在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点为M ，又PA ＝AB ＝4，AD ＝CD ，点N 是CD 中点．图62(1)求证：MN ∥平面PAD ； (2)求点M 到平面PBC 的距离．[解] (1)证明：在正三角形△ABC 中，AB ＝BC ，在△ACD 中，AD ＝CD ，又BD ＝BD ，所以△ABD ≌△CBD ，所以M 为AC 的中点，又点N 是CD 中点，所以MN ∥AD ，又AD ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD ；(2)设M 到平面PBC 的距离为h ，在Rt△PAB 中，PA ＝AB ＝4，所以PB ＝42，在Rt△PAC 中，PA ＝AC ＝4，所以PC ＝42，在△PBC 中，PB ＝42，PC ＝42，BC ＝4，所以S △PBC ＝47，由V M PBC ＝V P BMC ，即13×47×h ＝13×23×4，解得h ＝2217，所以点M 到平面PBC 的距离为2217.3．某高校在2018年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：(1)计全体考生的平均成绩；(2)为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名考生进入第二轮面试．①求第3、4、5组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试；②在(2)的前提下，学校要求每个学生需从A 、B 两个问题中任选一题作为面试题目，求第三组和第五组中恰好有两个学生选到问题B 的概率．[解] (1)由题意知，a ＝0.3，b ＝20，c ＝0.2，x ＝150×0.05＋160×0.35＋170×0.3＋180×0.2＋190×0.1＝169.5.(2)①第3、4、5组共60名学生，现抽取6名，因此第三组抽取的人数为660×30＝3人，第四组抽取的人数为660×20＝2人，第五组抽取的人数为660×10＝1人．②所有基本事件如下：(A ，A ，A ，A )，(B ，A ，A ，A )，(A ，B ，A ，A )，(A ，A ，B ，A )，(A ，A ，A ，B )，(B ，B ，A ，A )，(B ，A ，B ，A )，(B ，A ，A ，B )，(A ，B ，B ，A )，(A ，B ，A ，B )，(A ，A ，B ，B )，(B ，B ，B ，A )，(B ，B ，A ，B )，(B ，A ，B ，B )，(A ，B ，B ，B )，(B ，B ，B ，B )．基本事件总数有16个，其中第三组和第五组恰有两个学生选到问题B 的基本事件如下：(B ，B ，A ，A )，(B ，A ，B ，A )，(B ，A ，A ，B )，(A ，B ，B ，A )，(A ，B ，A ，B )，(A ，A ，B ，B )，共包含6个基本事件．故第三组和第五组中恰好有两个学生选到问题B 的概率P ＝616＝38.4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θy ＝4＋2sin θ(θ为参数)，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2) 在平面直角坐标系xOy 中，A (－2,0)，B (0，－2)，M 是曲线C 上任意一点，求△ABM 面积的最小值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θy ＝4＋2sin θ，得(x －3)2＋(y －4)2＝4，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入得ρ2－6ρcos θ－8ρsin θ＋21＝0，即为曲线C 的极坐标方程．(2)设点M (3＋2cos θ，4＋2sin θ)到直线AB ：x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则d ＝|2sin θ＋2cos θ＋9|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋92，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，d 有最小值9－222.所以△ABM 面积S min ＝12×|AB |×d ＝9－2 2.[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x ＋2|. (1)解不等式f (x )＞4－|x ＋1|；(2) 已知a ＋b ＝2(a ＞0，b ＞0)，求证⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52－f (x )≤4a ＋1b . [解] (1)不等式f (x )＞4－|x ＋1|，即|x ＋1|＋|x ＋2|＞4，当x ＜－2时，不等式化为－(x ＋1)－(x ＋2)＞4，解得x ＜－3.5；当－2≤x ≤－1时，不等式化为－(x ＋1)＋(x ＋2)＞4，无解；当x ≥－1时，不等式化为(x ＋1)＋(x ＋2)＞4，解得x ＞0.5；综上所述：不等式的解集为{x |x ＜－3.5或x ＞0.5}． (2)4a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4b a ＋a b ＋1≥4.5，当且仅当a ＝43，b ＝23时等号成立．由题意知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52－f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52－|x ＋2|≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52－x ＋2＝4.5，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52－f (x )≤4a ＋1b .。

高中数学新人教A版选择性必修第一册第3章圆锥曲线综合训练(学生版+解析版)

新人教A 版选择性必修第一册第3章圆锥曲线综合训练(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 在平面直角坐标系Oxy 中,动点P 关于x 轴对称的点为Q ,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2+y 2=2 B.x 2-y 2=2 C.x+y 2=2D.x-y 2=22. 抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-y23=1的渐近线的距离是( ) A.12B.√32C.1D.√33. 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0),点P 为椭圆C 上一点,且|PF 1|+|PF 2|=10,那么椭圆C 的短轴长是( ) A.6 B.7C.8D.94. 过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)相交于A ,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于( ) A.√24B.√22C.14D.125. 已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.83B.52C.3D.26. 已知a>b>0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2−y 2b2=1,C 1与C 2的离心率之积为√32,则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±√2y=0B.√2x ±y=0C.x ±2y=0D.2x ±y=07. 设圆(x+1)2+y 2=25的圆心为C ,A (1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为( ) A.4x 221−4y 225=1B.4x 221+4y 225=1C.4x 225−4y 221=1D.4x 225+4y 221=18. 我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F 1,F 2是一对相关曲线的焦点,P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F 1PF 2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A.√3 B.√2C.2√33D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9. 已知方程mx 2+ny 2=1(m ,n ∈R ),则( ) A.当mn>0时,方程表示椭圆 B.当mn<0时,方程表示双曲线C.当m=0时,方程表示两条直线D.方程表示的曲线不可能为抛物线10. 以下关于圆锥曲线的说法不正确的是( )A.设A ,B 为两个定点,k 为非零常数,||PA⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=k ,则动点P 的轨迹为双曲线 B.过定圆O 上一定点A 作圆的动弦AB ,O 为坐标原点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则动点P 的轨迹为椭圆 C.若曲线C :x 24-k +y 2k -1=1为双曲线,则k<1或k>4D.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 有且仅有一个公共点,这样的直线有2条11. 已知△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,若圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,该圆锥曲线E 的离心率可以是( ) A.√2-1B.√22C.√2D.√2+112. (2020山东济南一中月考)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e 1,椭圆C 1的上顶点为M ,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点,且双曲线C 2的离心率为e 2,P 为曲线C 1与C 2的一个公共点,若∠F 1PF 2=π3,则正确的是( ) A.e2e 1=2B.e 1·e 2=√32C.e 12+e 22=52D.e 22−e 12=1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±32x 的双曲线的标准方程为 . 14. 已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围是 .15. 如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m .已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A ,B 两点,则A ,B 两点间的距离|AB|= .16. 已知点F (-c ,0)(c>0)是双曲线x 2a2−y 2b2=1的左焦点,过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2+y 2=c 2交于点F 和另一个点P ,且点P 在抛物线y 2=4cx 上,则该双曲线的离心率的平方e 2的值为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (10分)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2√33,直线l 过A (a ,0),B (0,-b )两点,原点O 到直线l 的距离是√32. (1)求双曲线的方程;(2)过点B 作直线m 交双曲线于M ,N 两点,若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23,求直线m 的方程.18. (12分)已知动圆C 过定点F (0,1),且与直线l 1:y=-1相切,圆心C 的轨迹为E. (1)求动点C 的轨迹方程;(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ,Q ,且PQ 中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少?19. (12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,焦距为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)记斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,椭圆C 上存在点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求四边形OAPB 的面积.20. (12分)在平面直角坐标系中,椭圆M :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,左、右顶点分别为A ,B ,线段AB 的长为4.P 在椭圆M 上且位于第一象限,过点A ,B 分别作l 1⊥PA ,l 2⊥PB ,直线l 1,l 2交于点C. (1)若点C 的横坐标为-1,求点P 的坐标;(2)直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数λ的取值范围.21.(12分)如图,M是抛物线y2=x上的一点,动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点,且MA=MB.(1)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值;(2)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹方程.22.(12分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ面积的最小值.新人教A 版选择性必修第一册第3章圆锥曲线综合训练(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.23. 在平面直角坐标系Oxy 中,动点P 关于x 轴对称的点为Q ,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2+y 2=2 B.x 2-y 2=2 C.x+y 2=2 D.x-y 2=2P (x ,y ),Q (x ,-y ),则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y )·(x ,-y )=x 2-y 2=2.故选B .24. 抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-y 23=1的渐近线的距离是( ) A.12B.√32C.1D.√3y 2=4x 的焦点为(1,0),到双曲线x 2-y 23=1的一条渐近线√3x-y=0的距离为√3×1√(√3)+(-1)=√32.25. 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0),点P 为椭圆C 上一点,且|PF 1|+|PF 2|=10,那么椭圆C 的短轴长是( ) A.6B.7C.8D.9C 的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0). 依题意得,2a=10,∴a=5.又c=3, ∴b 2=a 2-c 2=16,即b=4. 因此椭圆的短轴长是2b=8.故选C .26. 过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)相交于A ,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于( ) A.√24B.√22C.14D.12A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),分别代入椭圆方程相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b2=0.根据题意有x 1+x 2=2×1=2,y 1+y 2=2×1=2,且y 1-y 2x 1-x 2=-12,所以2a 2+2b2×(-12)=0,所以a 2=2b 2,所以a 2=2(a 2-c 2),整理得a 2=2c 2,所以c a =√22,所以e=√22.27. 已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.83B.52C.3D.2FP⃗⃗⃗⃗⃗ =3FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴点Q 在P ,F 之间,过点Q 作QM ⊥l.垂足为M.由抛物线的定义知|QF|=|QM|.设抛物线的准线l 与x 轴的交点为N ,则|FN|=4.又易知△PQM ∽△PFN ,则|QM ||FN |=|PQ ||PF |,即|QM |4=23, ∴|QM|=83,即|QF|=83.故选A .28. 已知a>b>0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2−y 2b2=1,C 1与C 2的离心率之积为√32,则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±√2y=0B.√2x ±y=0C.x ±2y=0D.2x ±y=0c 1,c 2,则e 1·e 2=c 1a ·c 2a=√a 2-b 2a·√a 2+b 2a=√a 4-b 4a 2=√32,所以b a =√22,所以双曲线C 2的渐近线方程为y=±ba x=±√22x ,即x ±√2y=0.29. 设圆(x+1)2+y 2=25的圆心为C ,A (1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为( ) A.4x 221−4y 225=1B.4x 221+4y 225=1C.4x 225−4y 221=1D.4x 225+4y 221=1,圆心C (-1,0),半径等于5,设点M 的坐标为(x ,y ).∵AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ,∴|MA|=|MQ|.又|MQ|+|MC|=5, ∴|MC|+|MA|=5>|AC|.依据椭圆的定义可得,点M 的轨迹是以A ,C 为焦点,且2a=5,c=1,∴b=√212,故椭圆方程为x 2254+y 2214=1,即4x 225+4y 221=1.故选D .30. 我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F 1,F 2是一对相关曲线的焦点,P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F 1PF 2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A.√3B.√2C.2√33D.2a 1,椭圆的离心率为e 1,则e 1=c a 1,a 1=c e 1.双曲线的实半轴长为a ,双曲线的离心率为e ,e=ca ,a=c e,设|PF 1|=x ,|PF 2|=y (x>y>0), 则4c 2=x 2+y 2-2xy cos 60°=x 2+y 2-xy ,当P 被看作是椭圆上的点时,有4c 2=(x+y )2-3xy=4a 12-3xy ,当P 被看作是双曲线上的点时,有4c 2=(x-y )2+xy=4a 2+xy ,两式联立消去xy 得4c 2=a 12+3a 2,即4c 2=(c e 1)2+3(c e )2, 所以(1e 1)2+3(1e )2=4,又1e 1=e , 所以e 2+3e 2=4,整理得e 4-4e 2+3=0, 解得e 2=3或e 2=1(舍去),所以e=√3,即双曲线的离心率为√3.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 31. 已知方程mx 2+ny 2=1(m ,n ∈R ),则( ) A.当mn>0时,方程表示椭圆 B.当mn<0时,方程表示双曲线C.当m=0时,方程表示两条直线D.方程表示的曲线不可能为抛物线mn>0时, 原方程整理得x 21m+y 21n=1,若m ,n 同负,或1m =1n,则方程不表示椭圆,故A 错误:当mn<0时,1m 与1n异号,方程表示双曲线,故B 正确;当m=0时,方程是ny 2=1,当n ≤0时,方程无解,故C 错误;无论m ,n 为何值,方程都不可能表示抛物线,故D 正确.故选BD .32. 以下关于圆锥曲线的说法不正确的是( )A.设A ,B 为两个定点,k 为非零常数,||PA⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=k ,则动点P 的轨迹为双曲线 B.过定圆O 上一定点A 作圆的动弦AB ,O 为坐标原点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则动点P 的轨迹为椭圆 C.若曲线C :x 24-k +y 2k -1=1为双曲线,则k<1或k>4D.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 有且仅有一个公共点,这样的直线有2条,必须有k<|AB|,动点P 的轨迹才为双曲线,故A 不正确; ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴P 为弦AB 的中点,故∠APO=90°,则动点P 的轨迹为以线段AO 为直径的圆,故B 不正确;显然C 正确;过点(0,1) 作直线,使它与抛物线y 2 =4x 有且仅有一个公共点,这样的直线有3条,分别为直线:x=0,y=1,y=x+1,故D 不正确.故选ABD .33. 已知△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,若圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,该圆锥曲线E 的离心率可以是( ) A.√2-1B.√22C.√2D.√2+1△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆,当C=π2时,离心率e=2c2a =ABCA+CB =√22, 当C=π4时,离心率e=ABCA+CB =√2+1=√2-1;(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线,根据双曲线的特征可得,则只有C=π4, 此时,离心率e=2c2a =AB|CA -CB |=√2-1=√2+1.34. (2020山东济南一中月考)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e 1,椭圆C 1的上顶点为M ,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点,且双曲线C 2的离心率为e 2,P 为曲线C 1与C 2的一个公共点,若∠F 1PF 2=π3,则正确的是( ) A.e2e 1=2B.e 1·e 2=√32C.e 12+e 22=52D.e 22−e 12=1MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,故三角形MF 1F 2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c ,则c=b=√22a ,所以e 1=√22.在焦点三角形PF 1F 2中,|PF 1|=x ,|PF 2|=y ,双曲线C 2的实半轴长为a', 则{x 2+y 2-xy =4c 2,x +y =2√2c ,|x -y |=2a ',故xy=43c 2,从而(x-y )2=x 2+y 2-xy-xy=8c 23,所以(a')2=2c 23,即e 2=√62,故e 2e 1=√3,e 2e 1=√32,e 12+e 22=2,e 22−e 12=1.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.35. 顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±32x 的双曲线的标准方程为 .2a=6,∴a=3.当焦点在x 轴上时,∵双曲线的渐近线方程为y=±32x , ∴b 3=32,∴b=92,∴方程为x 29−y 2814=1; 当焦点在y 轴上时,∵双曲线的渐近线方程为y=±32x , ∴3b=32,∴b=2,∴方程为y 29−x 24=1.故双曲线的标准方程为y 29−x 24=1或x 29−y 2814=1.x 24=1或x 29−y 2814=136. 已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围是 .x 轴上,则椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),如图所示.若点M 满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得点M 在以F 1F 2为直径的圆上运动. ∵满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内部,∴以F 1F 2为直径的圆是椭圆内部的一个圆,即圆的半径小于椭圆的短半轴长. 由此可得b>c ,即√a 2-c 2>c ,解得a>√2c. 因此椭圆的离心率e=c a <√22, ∴椭圆离心率的取值范围是0,√22. 答案0,√2237. 如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m .已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A ,B 两点,则A ,B 两点间的距离|AB|= .,水平向右为x 轴正方向,竖直向上为y 轴正方向(图略).设抛物线方程为x 2=-2py ,将点(-2,-2)代入x 2=-2py ,解得p=1,∴x 2=-2y ,焦点(0,-12),即直线方程为y=2x-12, 联立方程{x 2=-2y ,y =2x -12,得4y 2+36y+1=0,有y 1+y 2=-9,∵焦点在y 轴负半轴,∴由焦点弦公式得|AB|=-(y 1+y 2)+p=10. 38. 已知点F (-c ,0)(c>0)是双曲线x 2a 2−y 2b2=1的左焦点,过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2+y 2=c 2交于点F 和另一个点P ,且点P 在抛物线y 2=4cx 上,则该双曲线的离心率的平方e 2的值为 .,设双曲线的右焦点为F',由题意可知FF'为圆x 2+y 2=c 2的直径.设P (x ,y )(x>0),则有{ y 2=4cx , ①x 2+y 2=c 2,②y x+c =ba , ③将①代入②得x 2+4cx-c 2=0,则x=-4c±2√5c2=-2c ±√5c ,即x=(√5-2)c 或x=(-√5-2)c (舍去),将x=(√5-2)c 代入③,得√5c -2c+c=ba,即y=bc (√5-1)a,再将x ,y 的表达式代入①,得b 2c 2(√5-1)2a 2=4c 2(√5-2),即b 2(√5-1)2a 2=4(√5-2), ∴b2a 2=√5-(√5-1)2=c 2-a 2a 2=e 2-1, 解得e 2=√5+12.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.39. (10分)已知双曲线x 2a2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2√33,直线l 过A (a ,0),B (0,-b )两点,原点O 到直线l 的距离是√32. (1)求双曲线的方程;(2)过点B 作直线m 交双曲线于M ,N 两点,若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23,求直线m 的方程.依题意得l 的方程为x a +y -b=1,即bx-ay-ab=0.由原点O 到直线l 的距离为√32,得√a 2+b =ab c =√32,又e=ca =2√33,∴b=1,a=√3.故所求双曲线方程为x 23-y 2=1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直,设直线m 的方程为y=kx-1,则点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)是方程组{y =kx -1,x 23-y 2=1的解,消去y ,得(1-3k 2)x 2+6kx-6=0. ①依题意知1-3k 2≠0,当Δ=36k 2-4(1-3k 2)·(-6)=24-36k 2>0,即k 2<23时,由根与系数的关系,得x 1+x 2=6k3k 2-1,x 1x 2=63k 2-1,∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1-1)(kx 2-1)=(1+k 2)x 1x 2-k (x 1+x 2)+1=6(1+k 2)3k 2-1−6k23k 2-1+1=63k 2-1+1=-23,解得k=±12.当k=±12时,方程①均有两个不相等的实数根, ∴直线m 的方程为y=12x-1或y=-12x-1.40. (12分)已知动圆C 过定点F (0,1),且与直线l 1:y=-1相切,圆心C 的轨迹为E. (1)求动点C 的轨迹方程;(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ,Q ,且PQ 中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少?由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离,知点C 的轨迹是以F 为焦点,l 1为准线的抛物线, ∴所求轨迹的方程为x 2=4y. (2)由题意易知直线l 2的斜率存在,又抛物线方程为x 2=4y ,当直线l 2的斜率为0时, |PQ|=4√2.当直线l 2的斜率k 不为0时,设中点坐标为(t ,2),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则有x 12=4y 1,x 22=4y 2,两式作差得x 12−x 22=4(y 1-y 2),即得k=x 1+x 24=t 2,则直线l 2的方程为y-2=t2(x-t ),与x 2=4y 联立得x 2-2tx+2t 2-8=0.由根与系数的关系得x 1+x 2=2t ,x 1x 2=2t 2-8, |PQ|= √(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=√(1+t 24)[4t 2-4(2t 2-8)]=√(8-t 2)(4+t 2)≤6,当且仅当8-t 2=4+t 2,即t=±√2时,等号成立. 即|PQ|的最大值为6.41. (12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,焦距为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)记斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,椭圆C 上存在点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求四边形OAPB 的面积.由题意知c=1,a=2,则b=√3,故椭圆C 的方程是x 24+y 23=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0),设直线l :y=kx+m.由{y =kx +m ,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0, 故Δ=48(4k 2+3-m 2)>0且{x 1+x 2=-8km3+4k2,x 1x 2=4m 2-123+4k2.由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得{x 0=x 1+x 2,y 0=y 1+y 2,又点P 在椭圆C 上,所以(x 1+x 2)24+(y 1+y 2)23=1,其中x 1+x 2=-8km3+4k2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m=6m3+4k2,代入(x 1+x 2)24+(y 1+y 2)23=1,化简可得4m 2=3+4k 2.|AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+k 2(4√3×√3+4k 2-m 2)3+4k2,坐标原点到直线l 的距离d=|m |√1+k.所以四边形OAPB 的面积 S=|AB|·d=4√3×√3+4k 2-m 2·|m |3+4k2=12m 24m 2=3.42. (12分)在平面直角坐标系中,椭圆M :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,左、右顶点分别为A ,B ,线段AB 的长为4.P 在椭圆M 上且位于第一象限,过点A ,B 分别作l 1⊥PA ,l 2⊥PB ,直线l 1,l 2交于点C. (1)若点C 的横坐标为-1,求点P 的坐标;(2)直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数λ的取值范围.由题意得{ca=12,2a =4,解得a=2,c=1, ∴b 2=a 2-c 2=3. ∴椭圆M 的方程是x 24+y 23=1,且A (-2,0),B (2,0),设P (x 0,y 0),则k PA =y 0x 0+2,∵l 1⊥PA ,∴直线AC 的方程为y=-x 0+2y 0(x+2), 同理,直线BC 的方程为y=-x 0-2y 0(x-2).联立方程{y =-x 0+2y 0(x +2),y =-x 0-2y 0(x -2),解得{x =-x 0,y =x 02-4y 0, 又∵x 02-4y=4-43y 02-4y 0=-43y 0, ∴点C 的坐标为(-x 0,-43y 0),∵点C 的横坐标为-1,∴x 0=1.又P 为椭圆M 上第一象限内一点,∴y 0=32, ∴P 点的坐标为(1,32).(2)设Q (x Q ,y Q ),∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{-x 0+2=λ(x Q +2),-43y 0=λy Q , 解得{x Q =-x 0λ+2λ-2,y Q =-43λy 0,∵点Q 在椭圆M 上,∴14(-xλ+2λ-2)2+13(-43λy 0)2=1,又y 02=3(1-x 024), 整理得7x 02-36(λ-1)x 0+72λ-100=0,解得x 0=2或x 0=36λ-507,∵P 为椭圆M 上第一象限内一点,∴0<36λ-507<2,解得2518<λ<169,故λ的取值范围为(2518,169).43. (12分)如图,M 是抛物线y 2=x 上的一点,动弦ME ,MF 分别交x 轴于A ,B 两点,且MA=MB. (1)若M 为定点,证明:直线EF 的斜率为定值;(2)若M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心G 的轨迹方程.M (y 02,y 0),点E (x E ,y E ),F (x F ,y F ),直线ME 的斜率为k (k>0),由|MA|=|MB|可知直线MF 的斜率为-k ,即直线ME 的方程为y-y 0=k (x-y 02).由{y -y 0=k (x -y 02),y 2=x ,消去x ,得ky 2-y+y 0(1-ky 0)=0, 解得y E =1-ky 0k ,则x E =(1-ky 0)2k2.同理可得y F =1+ky 0-k ,x F =(1+ky 0)2k2.故直线EF 的斜率k EF =y E -y Fx E -x F=1-ky 0k -1+ky 0-k (1-ky 0)2k 2-(1+ky 0)2k2=2k -4ky 0k2=-12y 0(定值). 因此,直线EF 的斜率为定值.M (y 02,y 0).∵当∠EMF=90°时,∠MAB=45°,∴k=1.∴直线ME 的方程为y-y 0=x-y 02. 由{y -y 0=x -y 02,y 2=x得E ((1-y 0)2,1-y 0). 同理可得F ((1+y 0)2,-(1+y 0)). 设重心G (x ,y ),则有{ x =x M +x E +x F 3=y 02+(1-y 0)2+(1+y 0)23=2+3y 023,y =y M +y E +y F 3=y 0+(1-y 0)-(1+y 0)3=-y 03,消去参数y 0,得y 2=19x-227(x >23).44.(12分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ面积的最小值.圆x2+y2-2x-15=0可化为(x-1)2+y2=16,∴圆心M(1,0),半径|MB|=4.又过点N作AM的平行线交BM于点C,∴AM∥NC.又|MA|=|MB|,所以∠BNC=∠BAM=∠NBC,∴|CN|=|CB|.∴|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4>|MN|=2,∴点C的轨迹为椭圆,由椭圆定义可得点C的轨迹方程为x 24+y23=1(y≠0).(1)可知点C的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0),易知k≠0,设P(x1,y1),由{y=kx,x24+y23=1消去y,得(3+4k2)x2=12,解得{x12=123+4k2,y12=12k23+4k2,则|OP|=√x12+y12=√123+4k2+12k23+4k2=√12(1+k2)3+4k2.∵△PQR是以PQ为底边的等腰三角形,∴RO⊥PQ,∴k RO·k PQ=-1,则k RO=-1k.同理,|OR|=√12[1+(-1k)2]3+4(-1k)2=√12(1+k2)3k2+4.∴S△RPQ=12×|PQ|×|OR|=12×2×√12(1+k2)3+4k2×√12(1+k2)3k2+4=2√(3+4k)(4+3k).(方法1)S△RPQ=2√(3+4k)(4+3k)≥12(1+k2)3+4k2+4+3k22=12(1+k2)72(1+k2)=247,当且仅当3+4k2=4+3k2,即k=±1时,等号成立.∴S△RPQ min=247.(方法2)S△RPQ=2√(3+4k)(4+3k)=12√k4+2k2+112k4+25k2+12=12√k4+2k2+112(k4+2k2+1)+k2=12√112+k2k4+2k2+1=√12+1k2+2+1k2≥√12+14=247,当且仅当k2=1k2,即k=±1时,等号成立.∴S△RPQ min=247.。

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- 1 - 中档大题规范练——圆锥曲线 1．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实半轴长为3. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，b)，求b的取值范围．

解 (1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)，由已知，得a＝3，c＝2，b2＝c2－a2＝1，故双曲线方程为x23－y2＝1. (2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.

由题意，知 1－3k2≠0，Δ＝361－k2>0，xA＋xB＝62k1－3k2<0，xAxB＝－91－3k2>0，解得33所以当33(3)由(2)，得xA＋xB＝62k1－3k2，所以yA＋yB＝(kxA＋2)＋(kxB＋2) ＝k(xA＋xB)＋22＝221－3k2，

所以AB中点P的坐标为32k1－3k2，21－3k2. 设l0的方程为y＝－1kx＋b，将P点的坐标代入l0的方程，得b＝421－3k2， ∵33∴b的取值范围是(－∞，－22)． - 2 -

2．已知离心率为12的椭圆C1的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y2＝4mx(m>0)的焦点为F2，设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(x0，y0)，|PF1|＝73. (1)求椭圆C1的标准方程及抛物线C2的标准方程； (2)直线x＝m与椭圆C1在第一象限的交点为Q，若存在过点A(4,0)的直线l与椭圆C1相交于不同的两点M，N，使得36|AQ|2＝35|AM|·|AN|，求出直线l的方程．

解 (1)∵在椭圆C1中c＝m，e＝12， ∴a＝2m，b2＝3m2，设椭圆C1的方程为x24m2＋y23m2＝1，

联立x24m2＋y23m2＝1与y2＝4mx，得3x2＋16mx－12m2＝0，即(x＋6m)·(3x－2m)＝0，

得x＝2m3或－6m(舍去)，

代入y2＝4mx得y＝±26m3， ∴设点P的坐标为(2m3，26m3)， |PF2|＝2m3＋m＝5m3， |PF1|＝2a－5m3＝7m3＝73， ∴m＝1，此时，椭圆C1的标准方程为x24＋y23＝1，抛物线C2的标准方程为y2＝4x. (2)由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，

由 y＝kx－4，x24＋y23＝1，消去y整理，得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0. 由题意知Δ＝(32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)>0， - 3 -

解得－12设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝32k23＋4k2，x1x2＝64k2－123＋4k2.

由(1)知m＝1，∴ x＝1，x24＋y23＝1，解得 x＝1，y＝±32， ∴点Q的坐标是(1，32)． ∴|AQ|2＝454，由已知条件可知|AM|·|AN|＝3635×454＝817. 又|AM|·|AN|＝4－x12＋y21·4－x22＋y22 ＝4－x12＋k24－x12·4－x22＋k24－x22 ＝(k2＋1)·(4－x1)·(4－x2) ＝(k2＋1)[x1x2－4(x1＋x2)＋16]

＝(k2＋1)(64k2－123＋4k2－4×32k23＋4k2＋16)

＝(k2＋1)·363＋4k2. ∴(k2＋1)·363＋4k2＝817，解得k＝±24，经检验成立． ∴直线l的方程为x－22y－4＝0或x＋22y－4＝0. 3．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)右焦点的直线x

＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12. (1)求M的方程； (2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21a2＋y21

b2＝1，① - 4 -

x22a2＋y22

b2＝1，②

①－②，得x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0. 因为y1－y2x1－x2＝－1，设P(x0，y0)，因为P为AB的中点，且OP的斜率为12，所以y0＝12x0，即y1＋y2＝12(x1＋x2)．所以可以解得a2＝2b2，即a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，又因为右焦点(c,0)在直线x＋y－3＝0上，解得c＝3，所以a2＝6，

所以M的方程为x26＋y23＝1. (2)因为CD⊥AB，直线AB方程为x＋y－3＝0，所以设直线CD方程为y＝x＋m，

将x＋y－3＝0代入x26＋y23＝1得：

3x2－43x＝0，即A(0，3)，B433，－33，所以可得|AB|＝463；将y＝x＋m代入x26＋y23＝1得： 3x2＋4mx＋2m2－6＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，

则|CD|＝2x3＋x42－4x3x4＝22318－2m2，又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3

所以当m＝0时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为12|AB|·|CD|＝863. 4．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，⊙O：x2＋y2＝b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点． (1)若P(－1，3)，PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程． - 5 -

(2)是否存在这样的椭圆C，使得|PA||PF|恒为常数？如果存在，求出这个常数及C的离心率e；如果不存在，说明理由．解 (1)由P(－1，3)在⊙O：x2＋y2＝b2上，得b2＝1＋3＝4.

直线PA的斜率kPA＝3－0－1－－a＝3a－1，而直线PA的斜率kPA＝－1kOP＝13，所以3a－1＝13，解得a＝4. 所以a2＝16，所以椭圆C的方程为x216＋y24＝1.

(2)假设存在椭圆C，使得|PA||PF|恒为常数．设椭圆C的半焦距为c，当P(－b,0)时，则有|PA||PF|＝a－b|c－b|；

当P(b,0)时，|PA||PF|＝a＋bb＋c. 依假设有a－b|c－b|＝a＋bb＋c. ①当c－b>0时，有a－bc－b＝a＋bb＋c，所以(a－b)(b＋c)＝(a＋b)(c－b)，化简整理得a＝c，这是不可能的．

②当c－b<0时，有a－bb－c＝a＋bb＋c. 所以(a－b)(b＋c)＝(a＋b)(b－c)，化简整理得ac－b2＝0. 所以c2－a2＋ac＝0，两边同除以a2，得e2＋e－1＝0.

解得e＝－1＋52，或e＝－1－52∉(0,1)(舍去)．可见，若存在椭圆C满足题意，只可能离心率e＝－1＋52. 设P(x，y)为⊙O：x2＋y2＝b2上任意一点，则|PA||PF|＝x＋a2＋y2x＋c2＋y2 - 6 -

|PA|2|PF|2＝x＋a2＋b2－x2x＋c2＋b2－x2

＝2ax＋a2＋b22cx＋c2＋b2＝2ax＋2a2－c22cx＋a2.(*) 由上c2－a2＋ac＝0，得a2－c2＝ac，

所以2a2－c2a2·ca＝a2＋aca2·ca

＝a＋ca2·c＝ac＋c2a2＝a2a2＝1，从而2a2－c2a2＝ac. 代入(*)式得|PA|2|PF|2＝ac＝5＋12，所以存在满足题意的椭圆C，这个常数为 5＋12，椭圆C的离心率为e＝－1＋52. 5．已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹

C相交于点D，E，求AD→·EB→的最小值．

解 (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有x－12＋y2－|x|＝1. 化简得y2＝2x＋2|x|. 当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0. 所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x (x≥0)和y＝0 (x<0)． (2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．

由 y＝kx－1，y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，

于是x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1.

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