异面直线的判定-高中数学知识点讲解(含答案)

异面直线的判定（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共8小题）
1．（2017秋•东城区期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，与棱AD 所在直线异面的棱的条数是( ) A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
2．（2017秋•海淀区校级月考）在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列结论错误的是( )
A ．AC BD =
B ．PM 与BD 异面
C ．//AC 截面PQMN
D ．AC BD ⊥
3．（2015秋•石景山区期末）将正方体的纸盒展开如图，直线AB 、CD 在原正方体的位置关系是( )
A ．平行
B ．垂直
C ．相交成60︒角
D ．异面且成60︒角
4．（2016秋•西城区校级期中）四棱锥P ABCD -的底面为菱形，侧棱PC 与底面垂直，则侧棱PA 与菱形对角线BD 的关系是( ) A ．平行
B ．相交不垂直
C ．异面垂直
D ．相交垂直
5．（2014•海淀区校级模拟）如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ
与RS 是异面直线的一个图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（2009秋•朝阳区期末）如图，在正方体1111A B C D ABCD -各棱所在的直线中，与直线AB 异面的有( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
7．（2008•崇文区一模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 上的动点，则直线NO 、AM 的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交
C ．异面垂直
D ．异面不垂直
8．（2005秋•西城区校级期末）下列命题中正确的是( ) A ．空间三点可以确定一个平面 B ．垂直于同一条直线的两条直线平行 C ．四边相等的四边形是菱形
D ．既不相交也不平行的两条直线是异面直线
异面直线的判定（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2017秋•东城区期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，与棱AD 所在直线异面的棱的条数是( ) A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【分析】根据异面直线的定义，在12棱中，分别找到与AD 既不相交也不平行的棱即可． 【解答】解：由图象知与AD 异面的直线有 11A B ，1BB ，1CC ，11C D 有4条，
故选：B ．
【点评】本题考查空间中直线的位置关系：异面直线，以及识图、读图能力，属简单题．
2．（2017秋•海淀区校级月考）在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列结论错误的是( )
A ．AC BD =
B ．PM 与BD 异面
C ．//AC 截面PQMN
D ．AC BD ⊥
【分析】利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可判定． 【解答】解：在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形， //PQ MN ∴，PQ ⊂/平面ACD ，MN ⊂平面ACD ， //PQ ∴平面ACD ．
平面ACB ⋂平面ACD AC =，
//PQ AC ∴，可得//AC 平面PQMN ．故C 选项结论正确．
同理可得//BD 平面PQMN ，//BD PN ．PN PQ ⊥，AC BD ∴⊥．故选项D 结论正确． 由//BD PN ，MPN ∴∠是异面直线PM 与BD 所成的角，PM ∴与BD 异面．故选项B 结论正确．
由上面可知：//BD PN ，//PQ AC ．
PN AN BD AD =，MN DN
AC AD
=
． 而AN DN ≠，PN MN =，BD AC ∴≠．故选项A 结论错误． 故选：A ．
【点评】本题考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于中档题． 3．（2015秋•石景山区期末）将正方体的纸盒展开如图，直线AB 、CD 在原正方体的位置关系是( )
A ．平行
B ．垂直
C ．相交成60︒角
D ．异面且成60︒角
【分析】以AB 所在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为//DE AB ，所以CDE ∠即为直线AB ，CD 所成的角，在CDE ∆中求解即可．
【解答】解：如图，直线AB ，CD 异面．因为//DE AB ， 所以CDE ∠即为直线AB ，CD 所成的角， 因为CDE ∆为等边三角形，故60CDE ∠=︒ 故选：D ．
【点评】本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力．
4．（2016秋•西城区校级期中）四棱锥P ABCD -的底面为菱形，侧棱PC 与底面垂直，则侧棱PA 与菱形对角线BD 的关系是( ) A ．平行
B ．相交不垂直
C ．异面垂直
D ．相交垂直
【分析】利用线面垂直的判定与性质定理、菱形的性质即可判断出关系．
【解答】解：PC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴⊥，
PC BD
又底面ABCD为菱形，
=．
∴⊥，又PC AC C
BD AC
∴⊥平面PAC，
BD
∴⊥，
BD PA
又PA，BD异面，所以侧棱PA与BD的关系是异面垂直，
故选：C．
【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、菱形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（2014•海淀区校级模拟）如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ
与RS是异面直线的一个图是()
A．B．
C．D．
【分析】利用一面直线的定义和正方体的性质，逐一分析各个选项中的2条直线的位置关系，把满足条件的选项找出来．
【解答】解：A中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项A不满足条件．
B中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项B也不满足条件．
D 中，由于PR 平行且等于1
2
SQ ，故四边形SRPQ 为梯形，
故PQ 与RS 是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项D 不满足条件． C 中的PQ 与RS 是两条既不平行，又不相交的直线，故选项C 满足条件．
故选：C ．
【点评】本题主要考查异面直线的定义，正方体的性质，判断2条直线的位置关系，属于基础题．
6．（2009秋•朝阳区期末）如图，在正方体1111A B C D ABCD -各棱所在的直线中，与直线AB 异面的有( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【分析】根据判断异面直线的方法：过平面外一点和平面内一点与平面内不经过该点的直线是异面直线，判断出正方体中与直线AB 异面的直线．
【解答】解：与直线AB 异面的有：1D D ，1C C ，11A D ，11B C 故选：B ．
【点评】判断两条直线异面，一般利用判定定理：过平面外一点和平面内一点与平面内不经过该点的直线是异面直线；证明两条直线是异面直线常用反证法．
7．（2008•崇文区一模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 上的动点，则直线NO 、AM 的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交
C ．异面垂直
D ．异面不垂直
【分析】N 是11A B 上的动点，O 是底面正方形ABCD 的中心，确定平面11A B O ，判定MA 与平面11A B O 的关系，即可判定直线NO 、AM 的位置关系．
【解答】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，
M 是1D D 的中点，N 是11A B 上的动点，连接1A O ，1B O ，不难证明AM ⊥平面11A B O ，
所以直线NO AM ⊥，因为它们不相交．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．
8．（2005秋•西城区校级期末）下列命题中正确的是()
A．空间三点可以确定一个平面
B．垂直于同一条直线的两条直线平行
C．四边相等的四边形是菱形
D．既不相交也不平行的两条直线是异面直线
【分析】根据空间不共线的三点可以确定一个平面，得到A错；根据在空间中，垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都有可能，得到B错；根据在平面内，四边相等的四边形是菱形但在空间中，四边相等的四边形有可能是空间四边形，得到C错；根据既不相交也不平行的两条直线是异面直线，是异面直线的定义，得到D对．【解答】解：对于A，空间不共线的三点可以确定一个平面，所以A错；
对于B，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都有可能，所以B错；
对于C，在平面内，四边相等的四边形是菱形但在空间中，四边相等的四边形有可能是空间四边形，故C错；
对于既不相交也不平行的两条直线是异面直线，是异面直线的定义，故D对．
故选：D．
【点评】题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题．。