【湘教版】高二数学选修1-2讲义+精练：第7章 7.4 复数的几何表示

7．4复数的几何表示[读教材·填要点]1．复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应复平面内的点P (a ，b )； (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OP ―→＝(a ，b )． 3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OP ―→，则OP ―→的模叫作复数z 的模，记作|z |， 且|z |＝a 2＋b 2.4．共轭复数(1)定义及记忆：对于任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，将复数a －b i 称为原来的复数z 的共轭复数，记作：z .(2)性质：①z ＝z ；②复平面上两点P ，Q 关于x 轴对称⇔它们所代表的复数相互共轭． 5．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OP ―→，O Q ―→，四边形OPS Q 为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OS ―→ ，与z 1－z 2对应的向量是Q P ―→.[小问题·大思维]1．平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？ 提示：向量的起点在原点．2．若复数(a －1)＋a i(a ∈R)在复平面内对应的点P 在第二象限，则a 的取值范围是什么？提示：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，即0<a <1.所以a 的取值范围是(0,1)．3．若z 1与z 2互为共轭复数，那么|z 1|与|z 2|之间有什么关系？ 提示：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i ，故|z 1|＝|z 2|. 4．什么数的共轭复数是它本身？ 提示：实数的共扼复数是它本身．5．从复数减法的几何意义理解：|z 1－z 2|表示什么？ 提示：表示P 1与P 2两点间的距离．求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x 轴上方．[自主解答] (1)点Z 在复平面的第二象限内， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3. (2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0， 即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.本例中题设条件不变，求复数z 表示的点在x 轴上时，实数a 的值． 解：点Z 在x 轴上，所以a 2－2a －15＝0且a ＋3≠0， 所以a ＝5.故a ＝5时，点Z 在x 轴上．探究复数z 对应复平面内的点的位置如果Z 是复平面内表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的点，则(1)当a ＞0，b ＞0时，点Z 位于第一象限；当a ＜0，b ＞0时，点Z 位于第二象限；当a ＜0，b ＜0时，点Z 位于第三象限；当a ＞0，b ＜0时，点Z 位于第四象限．(2)当a ＝0时，点Z 在虚轴上；当b ＝0时，点Z 在实轴上．(3)当b ＞0时，点Z 位于实轴上面的半平面内；当b ＜0时，点Z 位于实轴下面的半平面内．1．在复平面内，O 是原点，若向量OA ―→对应的复数z 的实部为3，且|OA ―→|＝3，如果点A 关于原点的对称点为点B ，求向量OB ―→对应的复数．解：根据题意设复数z ＝3＋b i ，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得OA ―→＝(3，b )， 已知|OA ―→|＝3，即32＋b 2＝3，解得b ＝0，故z ＝3，点A 的坐标为(3,0)． 因此，点A 关于原点的对称点为B (－3,0)， 所以向量OB ―→对应的复数为z ′＝－3.(1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( )A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)[自主解答] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)， 由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.(2)因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．2．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a －2＋i ，若|z 1－z 2|＜|z 1|，求实数a 的取值范围． 解：由条件可知z 1－z 2＝(4－a )＋2i. 又|z 1－z 2|＜|z 1|，即(4－a )2＋4＜4＋9， 解得1＜a ＜7.所以实数a 的取值范围是(1,7).设z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z ＋i z ＝103＋i，求z . [自主解答] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)． ∵103＋i＝3－i ，∴(a ＋b i)(a －b i)＋i(a ＋b i)＝3－i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－b ＝3，a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. ∴z ＝－1－i 或z ＝－1＋2i.保持例题条件不变，求zz 的值． 解：当z ＝－1－i 时，z ＝－1＋i ，∴zz ＝－1＋i －1－i ＝(－1＋i )2(－1＋i )(－1－i )＝－2i 2＝－i ；当z ＝－1＋2i 时，z ＝－1－2i ， ∴z z ＝－1－2i －1＋2i ＝(－1－2i )2(－1＋2i )(－1－2i ) ＝－3＋4i 5＝－35＋45i. ∴zz ＝－i 或zz ＝－35＋45i.此类题的常规思路为设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ；代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．3．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i ，(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1.b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA ―→对应的复数为1＋2i ，向量BC ―→对应的复数为3－i ，求点C ，D 对应的复数．[自主解答] ∵向量BA ―→对应的复数为1＋2i ，向量BC ―→对应的复数为3－i ， ∴向量AC ―→AC ―→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC ―→＝OA ―→＋AC ―→，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD ―→＝BC ―→，∴向量AD ―→对应的复数为3－i ， 即AD ―→＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD ―→＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴点D 对应的复数为5.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB ―→对应的复数是z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数)．4．已知平行四边形ABCD 中，AB ―→与AC ―→对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于O 点．(1)求AD ―→对应的复数； (2)求DB ―→对应的复数．解：(1)由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ―→＝AB ―→＋AD ―→， 于是AD ―→＝AC ―→－AB ―→，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ， 即AD ―→对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB ―→＝AB ―→－AD ―→，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 所以DB ―→对应的复数是5.已知z 0＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z ＝(x ＋3)＋(y －2)i ，且|z 0|＝2，求复数z 对应的点的轨迹． [巧思] 设出复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，根据复数相等寻找出a ，b 与x ，y 之间的关系，然后利用|z 0|＝2这一条件求出a ，b 的等量关系．[妙解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝x ＋3，b ＝y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －3，y ＝b ＋2.又∵z 0＝x ＋y i(x ，y ∈R)且|z 0|＝2， ∴x 2＋y 2＝4.∴(a －3)2＋(b ＋2)2＝4.∴复数z 对应的点的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．1．(全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C.2 D ．2 解析：因为z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.答案：C2．(山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋ 3 i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3 解析：法一：由题意可知z ＝a －3i ，∴z ·z ＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 法二：z ·z ＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 答案：A3．设z ∈C ，|z |≤2，则点z 表示的图形是( ) A ．直线x ＝2的右半平面 B ．半径为2的圆面 C ．直线x ＝2的左半平面D ．半径为2的圆解析：由复数模的几何意义知：点z 到原点的距离小于或等于2，点z 的集合为以原点为圆心，以2为半径的圆面．答案：B4．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．解析：∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x <0.解得x >3. 答案：(3，＋∞)5．复数z ＝sin π3－icos π6，则|z |＝________.解析：∵z ＝32－32i ， ∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫－322＝62. 答案：626．在复平面上，复数i,1,4＋2i 的对应的点分别是A ，B ，C ，求平行四边形ABCD 的D 点所对应的复数．解：法一：由已知A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)， 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎫2，32， 由平行四边形的性质知E 也是BD 的中点，设D (x ，y )， 则⎩⎨⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3. 即D (3,3)，∴D 点对应的复数为3＋3i.法二：由已知：OA ―→＝(0,1)，OB ―→＝(1,0)，OC ―→＝(4,2)． ∴BA ―→＝(－1,1)，BC ―→＝(3,2)． ∴BD ―→＝BA ―→＋BC ―→＝(2,3)． ∴OD ―→＝OB ―→＋BD ―→＝(3,3)． 即点D 对应的复数为3＋3i.一、选择题1.若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i 的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：由题图可得z ＝3＋i ，所以z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．答案：D2．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)解析：|z |＝a 2＋1， ∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)． 答案：B3．设复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋iB.34－iC ．－34－iD.34＋i 解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则 x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i.∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.∴z ＝34＋i.法二：∵|z |∈R ，由复数相等的充要条件可知： 若等式z ＋|z |＝2＋i 成立，则必有虚部为1， 故可设z ＝x ＋i(x ∈R)，代入原等式有： x ＋x 2＋1＝2， 解得x ＝34，所以z ＝34＋i.答案：D4．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， ∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限． 答案：A 二、填空题5．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．解析：由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上， 得m －3＝2m ，解得m ＝9. 答案：96．若z ＋|z |＝2，则复数z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2， ∴b ＝0，a ＋|a |＝2，∴a ＝1.∴z ＝1. 答案：17．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________． 解析：|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α， ∵π<α<2π， ∴－1<cos α<1. ∴0<2＋2cos α<4. ∴|z |∈(0,2)． 答案：(0,2)8．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ，y ∈R)，则x ＋y 的值是________．解析：由题意可得OA ―→＝(－1,2)，OB ―→＝(1，－1)，OC ―→＝(3，－2)， ∴由OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，得 (3，－2)＝(－x,2x )＋(y ，－y ) ＝(－x ＋y,2x －y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，∴x ＋y ＝5. 答案：5 三、解答题9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i.(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？(4)对应点在x 轴上方？(5)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上？解：(1)由m 2－2m －15＝0， 得m ＝5或m ＝－3.即当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数． (2)由m 2－2m －15≠0， 得m ≠5且m ≠－3，即当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0，得m ＝－2，即当m ＝－2时，z 为纯虚数． (4)由m 2－2m －15>0， 得m <－3或m >5.即当m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方．(5)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得m＝－3－414或m＝－3＋414.即当m＝－3－414或m＝－3＋414时，z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．10．设z＝x＋y i(x，y∈R)，若1≤|z|≤ 2.试问复数w＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．解：∵|z|＝x2＋y2且1≤|z|≤2，∴1≤x2＋y2≤2.又|w|＝(x＋y)2＋(x－y)2＝2x2＋2y2，∴2≤|w|≤2.令w＝m＋n i(m，n∈R)，则2≤m2＋n2≤2，即2≤m2＋n2≤4.故w对应点的集合是以原点为圆心，半径为2和2的圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－(2)2]＝2π.。