鲁教版初中数学九年级上册《二次函数y=ax^2的图象与性质(2)》参考教案
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。
通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。
但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。
2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。
2.二次函数的增减性和对称性。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.二次函数图象和性质的相关教学素材。
3.学生分组合作学习的材料。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。
呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。
学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。
操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。
学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。
鲁教版-数学-九年级上册- 二次函数 参考教案2
二次函数教学目标1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.教学重点1.经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.教学难点经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.教学方法探索—总结—运用法.课程资源与利用教学课件.教学内容及过程设计意图一、问题思考1.某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a(m)，则每个正方体需要涂漆的表面积S(m2)如何表示？2.2008年7月，我国发行奥运纪念版人民币受到广大收藏者的喜爱，原面值10元.经过两次增长(增长率相同)，若设增长率为x，奥运纪念版人民币面值为y元，则y与x的关系式如何表示？二、知识回顾函数的定义及函数的分类.三、探究新知1.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.2.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).3. (1)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？(2)两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？四、思考归纳1.二次函数的定义.2.二次函数的判断.五、新知运用1.下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3(x-1)2+1；(2)；(3)s=3-2t2；(4)；(5)y=(x+3)2-x2；(6)v=10πr22.下列函数中不是二次函数的是( )A.y=3x2+4；B.y=-x2；C.y=-x2+x3-5；D.y=(x+3)(x-2).3.函数y=(m-n)x2+mx+n是关于x的二次函数的条件是( )A.m、n为常数，且m≠0B.m、n为常数，且m≠nC.m、n为常数，且n≠0D.m、n可以为任何常数4.已知函数y=ax2+bx+c(其中a，b，c是常数)，____是二次函数；____时，是一次函数；____时，是正比例函数.5.函数y=(m+2)xm2-2+2x-1是关于x的二次函数，则m=____.6.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？7.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件.若他将每件商品售出价提高为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式.六、总结回顾1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型.4.二次函数是某些单变量最优化问题的数学模型.对二次函数的研究为进一步学习函数，体会函数思想奠定基础，积累经验.七、布置作业体会函数的生活化，激发学生的学习兴趣.课后，结合组内老师的评课，我自己也进行了认真反思：成功之处：1.对二次函数的学习，本节课通过丰富的现实背景，通过学生感兴趣的问题，使学生感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值.对二次函数的学习，通过学生的探究性活动(经历数学化的过程)，通过学生之间的合作与交流，通过分析实际问题，如探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，使学生感受二次函数与生活的密切联系.2.设计大量的可以表示为二次函数、利用所学的二次函数知识可以解决的实际问题，发展学生的数学应用能力；利用“想一想”，提出进一步的最大产量的问题；用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，问题的最后让学生初步感受二次函数能解决最优化的实际问题.在“做一做”的活动中，把两年后的本息和y与年利率x的关系表示为二次函数；在以上两例的基础上，给出二次函数的定义，并举出以前所见到的一些二次函数关系式，为新知的理解做好了铺垫.3.在新知的巩固应用环节，我精心设计了不同题型的问题，很好巩固应用了本节的新知，课堂达到了较好的教学效果.4.本节课我注重训练学生书写的规范性，让学生养成良好的答题规范习惯.不足之处：1.在分组教学时，对用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，课堂上有一部分学生没有充分参加计算，此处给学生的时间少一些.2.在“做一做”的活动中，把两年后的本息和y与年利率x的关系表示为二次函数的过程中，没有让学生有更多的交流和互相评价，有些学生对列函数关系式不是完全理解.总之，通过本节课，让我真正意识到：对于每节课的教学不能仅仅凭经验设计.在每节课的课前，一定要进行精心的预设.在课堂中，同时要结合课堂的实际效果和学生的情况注意灵活处理课堂生成.课堂上在进行分组教学时，提前预设好教学时间，在每节课上，既要放的开，同时又要注意在适当的时机收回，以保证每节教学基本任务完成.。
鲁教版初中数学九年级上册《二次函数与一元二次方程(2)》参考教案
3.7 二次函数与一元二次方程（2）教学目标(一)教学知识点1．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．2．进一步发展估算能力．(二)能力训练要求1．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．2．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．(三)情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．教学重点1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．教学方法学生合作交流学习法．教具准备投影片三张第一张：(记作§3.7.2A)第二张：(记作§3.7.2B)第三张：(记作§3.7.2C)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课一、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根．投影片：(§3.7.2A)下图是函数y＝x2＋2x－10的图象．[师]从图象上来看，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．[生]有关估算问题我们在前面已学习过了，即是用试一试的方法进行的．既然一个根在－5与－4之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x＝－4.1，－4.2，…，－4.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立)，则这个值就是方程的根(或近似根)．[师]由于计算比较烦琐，所以大家可以用计算器进行计算．[生]从图象上看，x的取值应大于－4.5，所以可以只代入－4.1，－4.2，－4.3，－4.4这四个数进行计算，利用计算器进行探索．从上表可知，当x取－4.1，－4.2，－4.3，－4.4时，y的值都不等于0，所以x的取值还不准确，应继续估计百分位上的数，十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字．所以x应取负的4点3几．再按同样的方法求百分位上的数字．依次类推，即可求出比较准确的x的值．[师]大家的分析非常到位、确实应按这样的步骤进行，但我们的重点是求解方程的思路，而不是求解的结果．因此本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位．[生]因此，x＝－4.3是方程的一个近似根．[师]有了上面的分析和结果，求另一个近似根就不困难了，请大家继续．[生]另一个根在2与3之间，应是2点几，再用计算器进行探索．由于当x＝2.3时，y的值最接近0，所以另一个根的近似值为x＝2.3．[师]还有其他的方法吗？[生]有，可以把－5与－4之间的线段十等分再判断交点更接近于哪一个分点．如上题中的两个根可以这样求：投影片：(§3.7.2B)二、做一做利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．[师]我们可以根据上面的方法来求方程的近似根．但是还与上面的题型不太一样．上面的题是利用二次函数y＝x2＋2x－10的图象估计方程x2＋2x－10＝0的根，现在我们应该利用哪一个函数图象求方程x2＋2x－10＝3的根呢？[生甲]利用函数y＝x2＋2x－13的图象求方程x2＋2x－10＝3的近似根．[生乙]也可以在上题的基础上进行，利用函数y＝x2＋2x－10的图象与直线y ＝3的交点的横坐标求方程x2＋2x－10＝3的解．[师]究竟哪一种方法正确呢？我们下面就来验证一下．[生甲]函数y＝x2＋2x－13的图象如下图(投影片§3.7.2C)：由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．因此x＝－4.7是方程的一个近似根．另一个根可以类似地求出：因此x＝2.7是方程的另一个近似根．[生乙]分别画出函数y＝x2＋2x－10的图象和直线y＝3，找它们交点的横坐标即可．由图可知两根分别为x＝－4.7和x＝2.7．Ⅲ．课堂练习P109随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)交点的横坐标，发展估算能力．Ⅴ．课后作业习题3.16Ⅵ．活动与探究一元二次方程x2－4x＋2＝－1的根与二次函数y＝x2－4x＋2的图象有何关系？请你把方程的根在图象上表示出来．解：一元二次方程x2－4x＋2＝－1的根可以看成函数y＝x2－4x＋2的图象与直线y＝－1的交点的横坐标．图象略．板书设计§3.7.2 二次函数与一元二次方程(二)一、1．利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10的根(投影片§3.7.2A、B)．2．做一做(利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根)二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
鲁教版数学九年级上册3.3《二次函数y=a2的图象和性质》教学设计
鲁教版数学九年级上册3.3《二次函数y=a2的图象和性质》教学设计一. 教材分析《二次函数y=a2的图象和性质》是鲁教版数学九年级上册3.3节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握二次函数y=a2（a≠0）的图象和性质，包括图象的形状、顶点坐标、对称轴等。
通过学习本节课，学生能够熟练运用二次函数的性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a≠0），并掌握了函数的图象和性质。
但针对特殊形式的二次函数y=a2（a≠0），学生可能存在一定的理解难度。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生运用已学的知识去理解和掌握二次函数y=a^2的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数y=a^2（a≠0）的图象和性质。
2.培养学生运用二次函数的性质解决实际问题的能力。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数y=a^2（a≠0）的图象和性质。
2.难点：如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生理解二次函数y=a^2的应用。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探究二次函数y=a^2的图象和性质。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：包括二次函数y=a^2的图象和性质的相关内容。
2.实例：生活中的实际问题，用于引导学生理解二次函数y=a^2的应用。
3.练习题：用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例，如篮球投篮、抛物线运动等，引导学生思考二次函数y=a2的应用。
让学生认识到学习二次函数y=a2的图象和性质的重要性。
2.呈现（10分钟）教师利用PPT展示二次函数y=a^2的图象和性质，包括图象的形状、顶点坐标、对称轴等。
同时，引导学生运用已学的知识去理解和掌握这些性质。
3.操练（10分钟）教师提出问题，引导学生运用二次函数y=a2的性质解决问题。
22.1.2-二次函数y=ax2的图象和性质(公开课)
R· 九年级上册
新课导入
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
列表、描点、连线 一条直线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单 的二次函数y=ax2的图象.
x · · · -3 1 y x2 · · · 3 3 x · · · -3 -2 4 3 -1 1 3 0 0 0 1 1 3 2 4 3 3 3 3 · · · · · ·
y
y
1 2 x 3
O
x
-2 -1 4 1 1 y x2 · · · -3 3 3 3
1 2 1 4 0 3 3
· · ·
y 1 2 x 3
-3 · · ·
综合应用 5. 已知一次函数y=ax+b和二次函数是y=ax2，其中a≠0， b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（ C ）
× × y=ax+b与y轴交点（0，b）
b<0 y=ax+b单调递增 a>0，
y=ax2开口向上
√
交点在y轴负半轴，故B、D错； y=ax+b单调递减 a<0， 故A错； y=ax2开口向下
2. ④y =-4x2；⑤y = 4x2.
a>0
已知下列二次函数①y=-x2；②y=
3 2 x ；③y=15x2； 5
② ③ ⑤ （填序号）； （1）其中开口向上的是________ ① （填序号）； （2）其中开口向下且开口最大的是______ ① ④ （填序号）. （3）有最高点的是_______
-1
鲁教版初中数学九年级上册《二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质(1)》参考教案
3.4 二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与性质(1)知识技能目标1.使学生会运用描点法画二次函数21y x =+的图象，了解函数的性质；2.让学生通过观察,自主发现一般二次函数k ax y +=2图象的性质；3.让学生通过观察比较，发现二次函数k ax y +=2与2ax y =图象之间的关系.过程性目标经历二次函数k ax y +=2的画图和发现二次函数k ax y +=2图象性质过程，注重探索过程的参与和体验.教学过程 一、创设情境上一课我们学习了二次函数2ax y =的图象及性质，请大家回答下列问题. 说出下列各个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数增减性和最大(小)值.2221.2,2.2,3.y x y x y ax ==-=思考：二次函数k ax y x y x y +=+-=+=222,12,12的图象及性质是怎么样的呢？这就是本课要学习研究的内容. 二、探究归纳仿照上一课的研究方法，我们通过画图象、观察图象来探究这几个函数的性质.在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与122+=x y 的图象.解：列表观察当自变量取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两点之间的位置又有什么关系？答：当自变量取同一数值时，函数122+=x y 的函数值都比函数22x y =的函数值大1，反映在图象上，函数122+=x y 的图象上的点都是由函数22x y =的图象上的点向上移动了一个单位.观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，它们有哪些相同的？又有哪些不同的？答：函数122+=x y 与22x y =的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同. 函数122+=x y 的图象可以看成是将22x y =的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是(0，1).据此，可以由函数22x y =的性质，得到函数122+=x y 的性质： 当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y ＝ .请归纳出函数k ax y +=2的图象及性质： (1)当a >0时，开口向上，当a <0时，开口向下； 对称轴是y 轴(即直线x =0)； 顶点坐标是(0,0).(2)当x <0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大.(3)当a >0时，函数有最小值，即当x =0时，最小值y ＝k ； 当a <0时，函数有最大值，即当x =0时，最大值y ＝k .三、实践应用例 在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222-=x y 的图象.说说它们有什么联系与区别？说出函数222-=x y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质.解：列表函数222-=x y 与22x y =的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同. 函数222-=x y 的开口向上，对称轴是y 轴(即直线 x =0)，顶点坐标是(0，－2).函数222-=x y 的性质是：当x <0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大.因为a ＝2>0，函数有最小值，即当x =0时，最小值y ＝－2；思考在同一直角坐标系中，画出函数22x y -=与222+-=x y 的图象.说说它们有什么联系与区别？说出函数222+-=x y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质.四、交流反思二次函数k ax y +=2(a 、k 是常数，a ≠0)图象及性质：1.开口方向向上(a >0)或向下(a <0)，顶点坐标是原点(0,0)，对称轴是y 轴(即直线x =0)；2.当抛物线开口向上时，在对称轴的左侧(即x <0)，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧(即x >0)，y 随x 的增大而增大；当抛物线开口向下时，在对称轴的左侧(即x<0)，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧(即x >0)，y 随x 的增大而减小；3.当x =0时，y 有最小值(a >0)或最大值(a <0)，最小值或最大值是k .4.抛物线k ax y +=2可以看成是由抛物线2ax y =向上(k >0)或向下(k <0)平移k 个单位得到的.五、检测反馈1.已知函数231231,31222--=+-=-=x y x y x y 和.(1)分别画出它们的图象；(2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)试说出函数4312+-=x y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线231x y -=得到抛物线23123122--=+-=x y x y 和？如果要得到抛物线4312+-=x y ，应将抛物线231x y -=作怎样的平移？3.试说出函数k ax y +=2(a 、k 是常数，a ≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表.。
2020九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质教案
二次函数y＝ax2的图象和性质课题： 22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质．课时 1 课时教学设计课标要求1．会用描点法画出形如y＝ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念．2．通过观察图象能说出二次函数y＝ax2的图象和性质．教材及学情分析1、教材分析：二次函数”这一章是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一，学生在学习了正比例函数、一次函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是今后学习其它初等函数的基础，因此，这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用。
2、学情分析九年级的学生，在讲本节课之前，已经学习了一次函数的概念、图像和性质，从知识结构上看他们已经具备了继续探究二次函数的图像和性质的基础。
学生自主探究和合作交流的能力较强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有较大提高。
但也有一些问题，求函数的解析式、由函数图象得出有用的信息的能力有待提高。
课时教学目标1．会用描点法画出形如y＝ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念．2．通过观察图象能说出二次函数y＝ax2的图象和性质．3．在探究二次函数y＝ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想．重点二次函数y＝ax2图象的描绘和图象特征的归纳．难点选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图象，该过程较为复杂．教法学法指导启发法发现法练习法教具准备课件教学过程提要环节学生要解决的问题或完成的任务师生活动设计意图引入新课一、导入复习1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质．2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?为研究二次函数的图像和性质做铺垫2020 ax的图象和性质．21x函数的性质，应先研究二次函数的图象．1．二次函数y＝x的图象．…－3 －2 －1 0 1 2 3…9 4 1 0 1 4 9教2＝2x＝－2x方向、对称性、顶点等几个方面分别描述这两个巩固二次函数的概念小结抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线y＝ax2，∣a∣越大，抛物线的开口越小．如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．板书设计二次函数y＝ax2的图象和性质．一、 ax2+bx+c=0 (a≠0)二、二次函数y＝ax2的图象和性质．1、形状：抛物线2、开口方向：向上3、对称轴：y轴4、顶点：（0，0）作业设计绩优学案1、必做题：1———92、选做题：10题教学反思。
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质(教案)-2022-2023学年九年级上册初三数学(人教
22.1.2 二次函数y=ax^2的图象和性质（教案）一、教学目标1.了解二次函数y=ax^2的基本图象和性质；2.掌握二次函数y=ax^2的图象的绘制方法；3.理解二次函数y=ax^2中的a对图象的影响；4.能够应用二次函数y=ax^2的性质进行问题求解。
二、教学重点1.掌握二次函数y=ax^2的图象的绘制方法；2.理解二次函数y=ax^2中的a对图象的影响。
三、教学难点理解二次函数y=ax^2中的a对图象的影响。
四、教学过程1. 引入通过提问或举例的方式，引导学生回顾或了解二次函数的基本概念，并引入本课的教学内容。
2. 二次函数y=x^2的图象和性质（1）绘制二次函数y=x^2的图象教师给出二次函数y=x^2的图象，并解释图象上的特点。
然后，教师引导学生探究a的变化对图象的影响。
（2）绘制二次函数y=ax^2的图象教师通过示例，演示绘制二次函数y=ax^2的图象的方法和步骤（可使用表格法、坐标法或平移法），并强调图象的对称性。
（3）二次函数y=ax^2中a的影响教师引导学生观察并总结，当a>0时，二次函数的图象开口向上；当a<0时，二次函数的图象开口向下。
同时，介绍a的大小对图象的“瘦胖”程度的影响。
3. 应用二次函数y=ax^2的性质进行问题求解教师通过一些具体问题，引导学生运用二次函数y=ax^2的性质进行问题求解，包括求顶点坐标、确定开口方向、判断函数值的正负等。
4. 练习与反馈教师设计一些练习题目，让学生巩固所学知识，并进行答案的讲解和订正。
5. 总结与拓展教师对本节课的内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的思考和探究兴趣。
五、课堂小结本节课主要介绍了二次函数y=ax2的图象和性质，包括绘制二次函数y=x2的图象、绘制二次函数y=ax2的图象、二次函数y=ax2中a的影响以及利用二次函数y=ax^2的性质进行问题求解等内容。
通过本节课的学习，学生对二次函数的图象和性质有了更深入的了解，并能够灵活应用于问题求解中。
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3.3 二次函数y=ax2的图象与性质（2）
教材分析
本节课要研究的问题是关于函数y=ax2的图象的作法和性质，逐步积累研究函数图象和性质的经验．
“刹车距离”是二次函数关系的应用之一，本节借助晴天和雨天刹车距离的不同，引出二次函数y＝ax2的系数a对图象的影响．由此可知二次函数是某些实际问题的数学模型．
由现实生活中的“刹车距离”联系到二次函数，说明数学应用的广泛性及实用性。
在教学中，由实际问题入手，能激起学生的学习兴趣和信心，运用类比的学习方法，通过与y=x2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质．
教学目标
(一)教学知识点
1．能作出y=ax2的图象．并研究它们的性质．
2．比较y=ax2与y=x2的异同．理解a对二次函数图象的影响．
(二)能力训练要求
1．经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．通过比较y＝ax2与y=x2的图象和性质的比较．培养学生的比较、鉴别能力．
(三)情感与价值观要求
1．由“刹车距离”与二次函数的关系．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．
2．由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
教学重点
1．能作出y＝ax2的图象，并能够比较它们与y＝x2的异同，理解a对二次函数图象的影响．
2．能说出y ＝ax 2图象的开口方向；对称轴和顶点坐标． 教学难点
能作出函数y ＝ax 2的图象，并总结其性质，还能和y=x 2作比较， 教学方法 类比学习法． 教具准备 投影片三张
第一张：(记作§3．3．2 A) 第二张：(记作§3．3．2 B) 第三张：(记作§3．3．2 C) 教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]在前两节课我们学习了二次函数的定义，会画函数y ＝x 2与y=－x 2的图象，知道它们的图象是抛物线，并且还研究了抛物线的有关性质．与图象x 轴是否有交点，交点坐标是什么?y 随x 的增大而如何变化．抛物线是否为轴对称图形等．
那么二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝－x 2这两种呢?本节课我们继续学习其他形式的二次函数．
Ⅱ．新课讲解
一、刹车距离与二次函数的关系．
[师]大家知道两辆车在行驶时为什么要保持一定距离吗? [生]怕发生“迫尾”事故．
[师]汽车刹车时向前滑行的离与什么因素有关呢? [生]与汽车行驶的速度有关系． [师]究竟与什么有关，关系有多大呢? 投影片：(§3．3．2 A)
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s ＝
1001v 2确定，雨天行驶时，这一公式为s ＝50
1
v 2．
[师]引刹车距离s 与速度v 之间的关系是二次函数吗? [生]根据二次函数的定义可知，它们都是二次函数．
[师]与一上节课中学习的二次函数y ＝x 2和y ＝－x 2有什么不同吗? [生]y ＝x 2中的a 为1． s ＝
1001 v 2中的a 为100
1. 所以它们的不同之处在于a 的取值不同． [师]很好． 既然s ＝
1001v 2和s=50
1
v 2与y=x 2,y=－x 2它都是二次函数，且都是只含二次项的二次函数，所以它们有相同之处；又因为它们中的a 值的不同．所以它们肯定还有不同之处．比如在y ＝x 2中自变量x 可以取正数或负数，在s ＝100
1v 2
中，因为v 是速度，能否取负值呢?由实际情况可知”不可以取负值．
下图是s ＝
100
1v 2
的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐标系内作出函数s=50
1
v 2的图象．
二、比较s=
1001v 2和s ＝50
1
v 2的图象． [师]从上图中，大家可以互相讨论图象有什么相同与不同? [生]相同点：
(1)它们都是抛物线的一部分 (2)二者都位于s 轴的左侧． (3)函数值都随v 值的增大而增大． 不同点： (1)s=
50
1v 2的图象在s= 1001v 2
的图象的内侧．
(2)s=
50
1v 2的s 比s ＝ 1001v 2中的S 增长速度快．
[师]如果行车速度是60 km ／h ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米?
[生]已知v ＝60 km ／h ．分别代入s ＝50
1v 2与s ＝1001v 2
中．相应地求出各自
的刹车距离，再求它们的差，即s 1＝
50
1
× 602=72， s 2=
100
1×602＝36．则 s 1－s 2＝72－36＝36(m)．
所以在雨天行驶和在晴天行驶相比，雨天的刹车距离较长，相差36 m ． 三、做一做
投影片：(§3．3．2 B) 作二次函数y ＝2x 2的图象． (1)完成下表：
(2)在下图中作 出y ＝2x 2的图象．
(3)二次函数y ＝2x 2的图象是什么形状?它与二次函数y=x 2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
[生](1)略 (2)如图
(3)二次函数y=2x 2的图象是抛物线． 它与二次函数y ＝x 2的图象的相同点： 开口方向相同，都向上． 对称轴都是y 轴．
顶点都是原点，坐标为(0，0)．
在y轴左侧，都是y值随x值的增大而减小；在y轴右侧，都是y值随x 值的增大而增大．
都有最低点，即原点．
函数都有最小值．
不同点：y＝2x2的图象在y＝x2的图象的内侧．
y＝2x2中函数值的增长速度较快．
四、议一议
投影片：(§3．3．2C)
(1)在同一直角坐标系内作出函数y＝－2x2与y＝－x2的图象．并比较它们的性质．
(2)由上可得出什么?
[生](1)图象如下：
比较性质如下：
相同点：
开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是原点．
不同点：
开口程度不同，x2 的系数越大，抛物线的开口越大．
(2)总结：
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
一般地，抛物线y=ax2 的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大抛物线开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大抛物线开口越大．|a|越大,开口越小．
Ⅲ．课堂练习
画出函数y ＝2
1x 2
与y ＝2x 2的图象．(在同一直角坐标系内)并比较它们的性质．
分析：画函数图象的步骤有列表、描点、连线． 解：
分别描点画图．
相同点：图象都是抛物线，开口方向相同、顶点相同，都有最低点，函数有最小值．y 的值随x 的增大而变化情况相同．
不同点：抛物线的开口大小不同，函数值的增长速度不同． Ⅳ．课时小结
本节课巩固了画函数图象的步骤：列表、描点、连线；学习了刹车距离与二次函数的关系；并比较了函数y ＝2x 2与y=x 2，y ＝－2x 2与y ＝－x 2的图象的性质．
Ⅴ．课后作业 习题3.5 板书设计
3.3 二次函数y=ax 2的图象与性质（2）
一、1. 刹车距离与二次函数的关系(投影片§3．3．2 A) 2．比较s ＝
1001v 2与s ＝50
1
v 2的图象 3．做一做(投影片§3．3．2 B) 4．议一议(投影片§3．3．2 C) 二、课堂练习
三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考练习
1．在同一直角坐标系内画出下列函数的图象：
(1)y ＝3x 2 (2)y ＝－3x 2 (3)y ＝31
x 2
答案：略
2．分别说出抛物线y=4x 2与y=－
4
1x 2
的开口方向、对称轴与顶点坐标． 答案：y ＝4x 2的开口方向向上，对称轴为y 轴．顶点坐标为(0，0)． 3．函数y ＝5x 2的图象在对称轴哪侧?y 随着x 的增大怎样变化? 答案：函数y ＝5x 2的图象在对称轴右侧部分．y 随着x 的增大而增大． 4．函数y ＝－5x 2有最大值或最小值吗?如果有，是最大值还是最小值?这个值是多少：
答案：函数y ＝－5x 2有最大值，这个值是0．。