陕西省高三下学期数学(理科)模拟考试卷附带答案解析

陕西省高三下学期数学(理科)模拟考试卷附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若全集U ={-2，1，2，5}，集合A ={1，2，5}，B ={-2，1，2}，则()∩UA B =（ ）A ．{-2，5}B ．{-2，1，2}C ．{1，2}D ．{2}2．复数23i12iz +=-的虚部为（ ） A ．7i 5B ．75C ．45-D ．253．下列命题中真命题的个数为（ ）①若a b =，则a b =；②零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行或垂直；③所有单位向量都相等；④若//AB AC ，则A 、B 、C 三点共线；⑤若点P 到平面内两个定点的距离之和是一个定值，则点P 的轨迹为椭圆； A ．1B ．2C ．3D ．44．已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（ ） A ．这五位同学年龄的平均数变为19 B ．这五位同学年龄的方差变为3.8 C ．这五位同学年龄的众数变为19D ．这五位同学年龄的中位数变为195．一种药品在病人血液中的量不低于1500mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg ，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg 的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（lg 20.301≈，结果精确到0.1）（ ） A ．2.7B ．2.9C ．3.1D ．3.36．下面命题中不正确的是（ ）7．数列{}n a 中πsin2n n a n =，则2021a 的值为（ ）A ．2021-B ．2021C ．1010-D ．10108．已知扇形的周长为6，圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．89．已知α，β是两个不同平面，a ，b 是两条不同直线，则下列命题正确的是（ ）10．在ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若tan A =ABC，则bc 的最小值为（ ） A ．16B．C ．48D．11．过点()1,2可作三条直线与曲线3()3f x x x a =-+相切，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,512．已知0x y π<<<，且e sin e sin y x x y =，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ） A ．4y π<B ．2x y π+<C ．cos cos 0x y +>D ．sin sin x y >二、填空题13．已知直线1l ：()2100mx y m ++=>与双曲线C ：2214x y -=的一条渐近线垂直，则m =__________.14．已知x ，y 满足约束条件350401x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =-的最大值是___________.15．在三棱锥-P ABC 中PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒且2PA AB AC ===则该三棱锥的外接球的表面积为__________.16．已知函数()()21,122,1ax x f x x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩，若函数()1y f x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.三、解答题17．已知{}n a 是公差不为0的等差数列11a =，且1a 、2a 和5a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18．某校为了解高一年级学生的数学学科发展状况，随机抽取了100名学生，列出他们的高一第一学期期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩的分组区间为：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a 的值；(2)利用样本估计总体的方法，估计该校高一年级此次期中考试的平均分（同一分组的成绩用该组区间的中点值做代表）；(3)若将分数从高分到低分排列，取前20%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中考试“优秀”档次的分数线.19．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形18AA =，4AB =且60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB 和1A D 的中点．(1)证明：//MN 平面1C DE ； (2)求二面角1A MA N --的正弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点)F，长半轴长与短半轴长的比值为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设B 为椭圆C 的上顶点，直线():1l y x m m =+≠与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若BM BN ⊥，求直线l 的方程．21．已知函数()()ln f x x ax a =-∈R .(1)当1a =时求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有且仅有2个零点，求a 的取值范围.22．已知直线l 过点()1,2P ，且倾斜角为π6，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=(1)求C 的直角坐标方程与l 的参数方程； (2)若l 与C 相交于不同的两点,M N ，求PM PN MN⋅的值．23．已知函数()121f x x x =-++-． (1)求不等式()4f x ≤的解集；(2)设R x ∈时()f x 的最小值为M ．若正实数a ，b ，满足a b M +=，求14a b+的最小值.参考答案与解析1．A【分析】由交集，补集定义可得答案.【详解】因A ={1，2，5}，B ={-2，1，2}，则{}12∩,A B =. 又U ={-2，1，2，5}，则()∩UA B {}25,=-.故选：A 2．B【分析】由复数除法法则计算后，根据复数定义可得．【详解】2(23i)(12i)24i 3i 6i 47i (12i)(12i)555z +++++===-+-+，所以z 的虚部为75故选：B ． 3．B【解析】根据相等向量的定义可判断①；由零向量的定义可判断②；由单位向量的定义可判断③；向量共线且有相同起点可判断④；根据椭圆定义可判断⑤.【详解】①相等向量是指大小相等方向相同的两个向量，若a b =，则、a b 的方向不一定相同，错误； ②零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行或垂直，正确； ③所有单位向量模长相等，但是方向不一定相同，错误；④若//AB AC ，且两个向量有共同的起点A ，则A 、B 、C 三点共线；⑤在同一平面内，点P 到两个定点的距离之和是一个定值，并且这个定值大于两个定点之间的距离，则点P 的轨迹为椭圆，比如定值等于两个定点之间的距离，轨迹为线段，所以错误； 故选：B.【点睛】本题考查向量的有关概念、椭圆的定义，关键点是熟练掌握向量的有关概念和性质、椭圆的定义，考查了学生对基本概念的理解. 4．B【分析】利用平均数、中位数、方差的定义及性质注意判断即可．【详解】解：甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均为16，方差位0.8 三年后这五位同学年龄的平均数变为16319+=，故A 正确； 这五位同学的方差不变，仍为0.8，故B 错误． 这五位同学年龄的众数变为16319+=，故C 正确； 这五位同学年龄的中位数变为16319+=，故D 正确； 故选：B ． 5．C【分析】根据题意列出关于n 的式子，根据对数的运算性质即可求解. 【详解】设注射n 个小时后需要向病人血液中再次注射该药品，则()41lg 23000120%15005212lg 2nnn ⎛⎫⨯-≥⇒≥⇒≤⎪-⎝⎭ 由lg 20.301≈得： 3.1n ≤ 故n 的最大值为3.1 故选：C 6．C【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD 的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B 的正误． 【详解】对于A ，()1110100a a a a a a -<⇔>⇔->⇔<或1a >，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故A 对；对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x R ∈，则210x x ++<”的否定是“存在x R ∈，则210x x ++≥”，故B 对；对于C ，“2x ≥且2y ≥”⇒“4x y +≥”，但“4x y +≥”推不出“2x ≥且2y ≥” 所以“2x ≥且2y ≥”是“4x y +≥”的充分不必要条件，故C 错；对于D ，00ab a ≠⇔≠且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的充要条件，故D 对； 故选：C ． 7．B【分析】将2021n =代入πsin 2n n a n =，再利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】20212021πππ2021sin 2021sin 2π5052021sin 2021222a ⎛⎫==⨯+== ⎪⎝⎭. 故选：B. 8．B【分析】利用扇形的周长与圆心角求出扇形的半径，然后利用扇形的弧长公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为R ，圆心角为4θ=，弧长为l 则周长为6得：22661R l R R R R θ+=+==⇒= 所以扇形的弧长为：4l R θ== 故选：B. 9．C【分析】分别利用线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理判断即可. 【详解】对于A ,若a α⊥，a b ⊥则b α或b α⊂，故A 错误故选：C. 10．C【分析】求出角A 的值，利用三角形的面积公式可得出4bca =，利用余弦定理结合基本不等式可求得bc 的最小值.【详解】因为0A π<<且tan A =23A π=因为1sin 2ABC S bc A ===△，所以，4bc a =由余弦定理可得()2222222cos 316bca b c bc A b c bc bc ==+-=++≥，所以，48≥bc当且仅当b c ==bc 的最小值为48. 故选：C. 11．D【分析】求导得到导函数，设切点为()3000,3x x x a -+，得到切线方程，代入点坐标得到3200235a x x =-+，设32()235g x x x =-+，计算函数的极值，得到答案.【详解】3()3f x x x a =-+ 2()33f x x '=-设切点为()3000,3x x x a -+，则切线方程为()())320000333(y x x a x x x --+=-- 切线过点(1,2)，()()()32000023331x x a x x --+=-- 整理得到3200235a x x =-+方程有三个不等根.令32()235g x x x =-+，则2()66g x x x '=- 令()0g x '=，则0x =或1x = 当0x <或1x >时()0g x '>，函数单调递增； 当01x <<时()0g x '<，函数单调递减极大值(0)5g =，极小值4(1)g =，函数y a =与3200235y x x =-+有三个交点则45a <<，a 的取值范围为(4,5). 故选：D 12．C【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析. 【详解】因为e sin e sin y x x y =，所以sin sin e ex y x y= 令sin ()e t t g t =，所以()()g x g y =，对函数sin ()(0,)e ttg t t π=∈，求导： 2e cos e sin cos sin ())(e et t t tt t t t g t --'==， 由()0g t '>有：(0,)4t π∈ 由()0g t '<有：(,)4t ππ∈，所以sin ()e t t g t =在(0,)4π单调递增，在(,)4ππ单调递减，因为0x y π<<<，由()()g x g y =有：04x y ππ<<<<故A 错误；因为0x y π<<<，所以e e y x >，由sin sin e ex y x y=有：sin sin y x > 故D 错误； 因为04x y ππ<<<<，所以cos 0x >|cos |y因为sin sin y x >，所以cos |cos |x y >，所以cos cos 0x y +>，故C 正确； 令()()()2h t g t g t π=-- 有：()()()2h t g t g t π'''=--=cos sin e t t t -+2sin cos ett tπ-- =22(sin cos )(e -e )e ttt t ππ--，当0t π<<，()0h t '>恒成立 所以()()()2h t g t g t π=--在(0,)π单调递增，当04x π<<时()()()02h x g x g x π=--< 即()()2g x g x π<-，又()()g x g y =，所以()()()2g x g y g x π=<-因为04x y ππ<<<<，所以(,)242x πππ-∈，因为sin ()et tg t =在 (,)4ππ内单调递减，所以2y x π>-，即2y x π+>，故B 错误. 故选：C. 13．4【分析】求得双曲线C 的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系，即可求得结果.【详解】对双曲线C ：2214x y -= 其渐近线方程为12y x =±对直线1l ：()2100mx y m ++=> 且斜率为02m-<根据题意可得1122m -⨯=-，解得4m =. 故答案为：4. 14．2【分析】根据不等式组作出可行域，再由目标函数的几何意义可求得其最大值. 【详解】解：由已知作出可行域如下图所示由1+40y x y =⎧⎨-=⎩得()31C ，，则z x y =-在点()31C ，处取得最大值2. 故答案为：2.15．12π【分析】由已知中PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥ 可得：三棱锥外接球等同于以,,AB AC AP 为长宽高的正方体的外接球，进而得到答案． 【详解】∵PA ⊥平面ABC AB AC ⊥故三棱锥外接球等同于以,,AB AC AP 为长宽高的正方体的外接球 故三棱锥外接球的表面积222(222)12S ππ=++= 故答案为12π．【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，根据已知借助正方体模型求出球的半径，是解答的关键．属于中档题． 16．[)3,6【解析】本题首先可根据函数解析式得出函数()1y f x =-在区间(),1∞-和[)1,+∞上均有两个零点，然后根据在区间(),1∞-上有两个零点得出26a <<，最后根据函数()1y f x =-在区间[)1,+∞上有两个零点解得3a ≥，即可得出结果.【详解】当1x <时令()10f x -=，得1102ax -+-=，即112a x +=-，该方程至多两个根；当1x ≥时令()10f x -=，得()2210x a --=，该方程至多两个根因为函数()1y f x =-恰有4个不同的零点所以函数()1y f x =-在区间(),1∞-和[)1,+∞上均有两个零点 函数()1y f x =-在区间(),1∞-上有两个零点 即直线12ay =-与函数1y x =+在区间(),1∞-上有两个交点 当1x <-时110y x x =+=-->；当1<1x ≤-时11y x x =+=+，此时函数的值域为[)0,2 则0122a<-<，解得26a << 若函数()1y f x =-在区间[)1,+∞上也有两个零点 令()2210x a --=，解得112a x -= 212a x += 则112a -≥，解得3a ≥ 综上所述，实数a 的取值范围是[)3,6 故答案为：[)3,6.【点睛】本题考查根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，考查函数最值的应用，考查推理能力与计算能力，考查分类讨论思想，是难题. 17．(1)21n a n =- (2)221n nS n =+【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件可得出关于d 的等式，解出d 的值，再利用等差数列的通项公式即可求得n a 的表达式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用裂项相消法可求得n S .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，11a =则21a d =+，514a d =+且0d ≠ 又因为1a 、2a 和5a 成等比数列，所以()2114d d +=+，即220d d -= 又0d ≠，解得2d = 所以()12121n a n n =+-=-. （2）由（1）知()()21121212121n b n n n n ==--+-+ 所以111111112113355721212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．(1)0.005a = (2)73 (3)82.5【分析】（1）由频率分布直方图的所有长方形的面积之和等于1，即可求出答案； （2）由频率分布直方图的平均数的求法，即可求出答案；（3）由频率分布直方图可知，区间[90,100]占5%，区间[80,90)占20%，估计“优秀”档次的分数线在[80,90]之间，由此即可求出答案.【详解】（1）由题意得，(20.020.030.04)101a +++⨯= 解得0.005a =；（2）估计该校此次期中考试平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知，区间[90,100]占5%，区间[80,90)占20% 估计“优秀”档次的分数线为0.05801082.50.2+⨯=. 19．(1)证明见解析【分析】（1）连接ME ，1B C 证明四边形MNDE 为平行四边形，可得//MN DE ，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）连接,AC BD ，1111,AC B D 设AC BD O =，11111A C B D O ⋂= 以O 为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）连接ME 和1B C ∵M ，E 分别为1BB ，BC 中点 ∴ME 为1B BC 的中位线 ∴1//ME B C 且112ME B C =因为11//A B CD 且11A B CD =所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//AD B C 且11AD B C = 又N 为1A D 中点，∴1//ND B C 且112ND B C = ∴//ME ND ME ND = ∴四边形MNDE 为平行四边形∴//MN DE ，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ∴//MN 平面1C DE ；（2）连接,AC BD ，1111,AC B D 设ACBD O = 11111A C B D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD ∵四边形ABCD 为菱形 ∴AC BD ⊥则以O 为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系取AB 中点F ，连接DF ，则)F∵四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠=︒ ∴ABD △为等边三角形 ∴DF AB ⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD∴1DF AA ⊥又11,,AA AB A AA AB ⋂=⊂平面11ABB A ∴DF ⊥平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA ∴DF 为平面1AMA 的一个法向量，且()3,3,0DF =设平面1MA N 的一个法向量为(),,n x y z =又()122,4MA =- ()3,3,0MN =-∴123240330n MA x y z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令x =1y = 1z =- ∴平面1MA N 的一个法向量为()3,1,1n =-∴3cos ,15DF n DF n DF n ⋅===⋅∴10sin ,5DF n =∴二面角1A MA N --20．(1)2214x y +=(2)35y x =-【分析】（1）由条件写出关于,,a b c 的方程组，即可求椭圆方程；（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示0BM BN ⋅=，即可求参数m .【详解】（1）由题意得c 2ab=和222a b c =+ 2a ∴= 1b =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）依题意，知()0,1B ，设()11,M x y ()22,N x y ．联立2244y x m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得2258440x mx m ++-=． ()2Δ1650m ∴=->，即m <<1m ≠1285m x x -+= 212445m x x -=．BM BN ⊥ 0BM BN ∴⋅=．()()()()211221212,1,121(1)0BM BN x x m x x m x x m x x m ⋅=+-⋅+-=+-++-=()2244821(1)055m mm m --∴⨯+-+-=整理，得25230m m --= 解得35m =-或1m =（舍去）．∴直线l 的方程为35y x =-．21．(1)1y =- (2)答案见解析 (3)221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）当1a =时求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可求得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求得()1axf x x='-，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间； （3）由()0f x =可得ln x a x =，令()ln xg x x=，分析可知直线y a =与函数()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的图象有两个交点，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）解：当1a =时()ln f x x x =- ()()1110xf x x x x-'=-=> 所以，()10f '=和()11f =-，故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y =-. （2）解：()()ln f x x ax a =-∈R ，则()11ax f x a x x-'=-=. 当0a ≤时0fx，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时由()0f x '=，得1x a= 若10x a<<，则0f x ；若1x a>，则()0f x '<. 当0a >时()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0a ≤时函数()f x 的增区间为()0,∞+；当0a >时函数()f x 的增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（3）解：当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时由()0f x =可得ln x a x =，令()ln x g x x=，其中21,e x ⎡⎤∈⎣⎦ 则直线y a =与函数()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的图象有两个交点()21ln xg x x -'=，当1e x <<时()0g x '>，此时函数()g x 单调递增 当2e e x <<时()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，函数()g x 的极大值为()1e eg =，且()10g =，()222ee g = 如下图所示：由图可知，当221e ea ≤<时直线y a =与函数()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的图象有两个交点 因此，实数a 的取值范围是221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.22．(1)曲线()22:12C x y +-=；直线1:122x l y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则可直接得到曲线C 的直角坐标方程；根据直线所过点和倾斜角可求得直线参数方程；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，根据直线参数方程中参数的几何意义可知所求为1212t t t t -，结合韦达定理可求得结果. 【详解】（1）由2sin ρθ=22sin 1ρρθ=++2221x y y ∴+=++()2212x y +-=即曲线C 的直角坐标方程为 ()2212x y +-=l 过点()1,2P ，且倾斜角为π6，l ∴的参数方程为：1122x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（2）将l 参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：2211122t ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即(210t t +=设,M N 对应的参数分别为12,t t，则121t t +=-12t t =12MN t t ∴=-==12PM PN t t ⋅=2PM PN MN ⎛⎫⋅∴== ⎪ ⎪⎝⎭PM PN MN ⋅∴=23．(1)3,2(2)92【分析】（1）首先对不等式化简，再由零点分段讨论即可得到原不等式的解； （2）首先求得()f x 的最小值为M ，再由基本不等式即可求得14a b+的最小值.【详解】（1）()1214f x x x =-++-≤，可化为125x x -++≤ 当2x ≤-时不等式化为512x x ≤-+--，解得3x ≥-，此时32x --≤≤；当2<<1x -时不等式化为1235x x -+++=≤，恒成立，此时2<<1x -； 当1x ≥时不等式化为12215x x x -++=+≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤． 综上所述，不等式的解集为3,2；（2）()1211212f x x x x x =-++-≥----=．当21x -≤≤时取“”=. ∴2M =，即2a b +=．∴141141419()552222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 当且仅当4b aa b =，即23a =，43b =时取等号． ∴14a b +的最小值为92．。