电磁场与电磁波课后习题及答案

电磁场与电磁波课后习题及答案14exeyez1，R23r3r22exey4ez8，R31r1r36exeyez3，由于R12R23411)21430，R 23R31214)61384，R31R12613)41136，故PP 2不是一直角三角形。

2）三角形的面积可以用矢量积求得：S12R12R23的模长，即S122411)214214613)411411613)21461332begin{n}1）三个顶点P、$P_2$(4,1,-3)和$P_3$(0,1,-2)的位置矢量分别为$r_1=e_y-e_z$，$r_2=e_x+4e_y-e_z$，$r_3=e_x+6e_y+2e_z$，则$R_{12}=r_2-r_1=4e_x+e_y+e_z$，$R_{23}=r_3-r_2=2e_x+e_y+4e_z$，$R_{31}=r_1-r_3=-6e_x+e_y-e_z$，由于$R_{12}\cdotR_{23}=(4+1+1)(2+1+4)=30$，$R_{23}\cdotR_{31}=(2+1+4)(6+1+3)=84$，$R_{31}\cdot R_{12}=(-6+1-3)(4+1+1)=-36$，故$\triangle PP_2P_3$不是一直角三角形。

2）三角形的面积可以用矢量积求得：$S=\frac{1}{2}|R_{12}\times R_{23}|$的模长，即$S=\frac{1}{2}\sqrt{(4+1+1)(2+1+4)(2+1+4)-(-6+1-3)(4+1+1)(4+1+1)-(-6+1-3)(2+1+4)(6+1+3)}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

end{n}根据给定的矢量，计算得到：R_{12}=\sqrt{(e_x^4-e_z)(e_x^2+e_y+e_z/8)}$R_{23}=r_3-r_2=e_x^2+e_y+e_z/8-r_3$R_{31}=r_1-r_3=-e_x/6-e_y-e_z/7$由此可以得到，$\Delta P P$为一直角三角形，且$R_{12} \times R_{23}=17.13$。

要求点$P'(-3,1,4)$到点$P(2,-2,3)$的距离矢量$R$及其方向。

首先计算出两个点的矢量：r_{P'}=-e_x/3+e_y+e_z/4$r_P=e_x^2-e_y^2+e_z/3$然后计算得到$R=r_P-r_{P'}=e_x^5-e_y^3-e_z$，并且$R$与$x$、$y$、$z$轴的夹角分别为$\phi_x=32.31^\circ$，$\phi_y=120.47^\circ$，$\phi_z=99.73^\circ$。

给定两个矢量$A=e_x^2+e_y^3-e_z^4$和$B=e_x^4-e_y^5+e_z^6$，求它们之间的夹角和$A$在$B$上的分量。

首先计算它们的夹角：cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A||B|}=\frac{29 \cdot77}{\sqrt{14^2+22^2+10^2} \cdot \sqrt{6^2+4^2+1^2}}$theta=131^\circ$然后计算$A$在$B$上的分量：A_B=\frac{A \cdot B}{|B|}=-3.532$给定两个矢量$A=e_x^2+e_y^3-e_z^4$和$B=-e_x^6-e_y^4+e_z$，求$A \times B$在$C=e_x-e_y+e_z$上的分量。

首先计算$A \times B$：A \times B=-e_x^{13}+e_y^{22}+e_z^{10}$然后计算$A \times B$在$C$上的分量：A \times B)_C=\frac{(A \times B) \cdot C}{|C|}=-14.43$最后，证明如果$AB=AC$且$A \times B=A \times C$，则$B=C$。

根据题意，可以得到$A \cdot (B-C)=0$，即$A$与$B-C$垂直。

同时，根据向量叉乘的性质，$A \times (B-C)=0$，即$A$、$B-C$和$A \times B$共面。

由于$A \neq 0$，所以$B-C$必须在$A$所在的平面上，即$B-C$与$A$平行。

因此，$B-C$与$A \times B$垂直，即$B-C$与$A$垂直。

由于$AB=AC$，所以$B-C$与$A$共线，因此$B=C$。

1.7 如果已知一个未知矢量与一个已知矢量的标量积和矢量积，可以确定该未知矢量。

设A为已知矢量，p=AX，P=A×X，已知p和P，求X。

解由P=A×X，有A×P=A×(A×X)=(AX)A-(AA)X=pA-(AA)X，故得X=(pA-A×P)/(AA)。

1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,θ,3)定出，求该点在直角坐标系和球坐标系中的坐标。

解：在直角坐标系中，x=4cosθ，y=4sinθ，z=3，故该点的直角坐标为(4cosθ,4sinθ,3)。

在球坐标系中，r=sqrt(4^2+3^2)=5，θ=tan^-1(4/3)=53.1°，φ=2π/3=120°，故该点的球坐标为(5,53.1°,120°)。

1.9 用球坐标表示的场E=er。

求在直角坐标系中点(-3,4,-5)处的E和Ex。

解：在直角坐标系中点(-3,4,-5)处，r^2=(-3)^2+4^2+(-5)^2=50，故E=er=2/√50（-3er+4er-5er）=-3er+4er-5er=-4er。

Ex=Ecosθ=-4cosφsinθ=-4cos(2π/3)sin(tan^-1(4/3))=-3/√50.1.10 球坐标中两个点(r1,θ1,φ1)和(r2,θ2,φ2)定出两个位置矢量R1和R2.证明R1和R2间夹角的余弦为cosγ=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cos(φ1-φ2)。

解：由R1=er1r1sinθ1cosφ1+er1r1sinθ1sinφ1+er1r1cosθ1，R2=er2r2sinθ2cosφ2+er2r2sinθ2sinφ2+er2r2cosθ2，得到cosγ=R1·R2/R1R2=sinθ1sinθ2(cosφ1cosφ2+sinφ1sinφ2)+cosθ1co sθ2=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cos(φ1-φ2)。

1.求解球面积分计算矢量r对球面S的积分，其中球心在原点，半径为5.解：首先，根据球面积分的公式，有iint_S \mathbf{r}\cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \mathbf{r}\cdot \mathbf{e}_r r^2\sin\theta d\theta d\phi$$其中，$\mathbf{e}_r$为球坐标系中的单位向量，$\theta$为极角，$\phi$为方位角。

代入题目中的数据，有iint_S \mathbf{r}\cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi (5\mathbf{e}_r)\cdot \mathbf{e}_r (5)^2\sin\theta d\theta d\phi = 75\pi$$因此，矢量r对球面S的积分为$75\pi$。

2.验证散度定理在由$r=5$、$z=0$和$z=4$围成的圆柱形区域，对矢量$\mathbf{A}=e_r(r^2+e_z^2)$验证散度定理。

解：首先，根据圆柱坐标系中的散度公式，有nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}(A_\phi) +\frac{\partial}{\partial z}(A_z)$$代入题目中的数据，有nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r(r^2+e_z^2)) + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}(0) + \frac{\partial}{\partial z}(e_z(r^2+e_z^2)) = 3r+2$$接下来，计算$\mathbf{A}$对圆柱体积的积分，有iiint_V \nabla\cdot\mathbf{A}\ dV =\int_0^{2\pi}\int_0^5\int_0^4 (3r+2)r\ dr\ dz\ d\phi = 1200\pi$$最后，计算$\mathbf{A}$对圆柱体侧面的积分，有iint_S \mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\int_0^4 \mathbf{A}\cdot \mathbf{e}_z r\ dr\ d\phi = \int_0^{2\pi}\int_0^4 e_z(r^2+e_z^2)r\ dr\ d\phi = 0$$因此，散度定理得到验证。

3.计算散度和验证散度定理1）求矢量$\mathbf{A}=e_x(x^2+e_y^2)/(x^2y^2+e_z)$的散度；2）求$\nabla\cdot\mathbf{A}$对中心在原点的一个单位立方体的积分；3）求$\mathbf{A}$对此立方体表面的积分，验证散度定理。

解：首先，根据直角坐标系中的散度公式，有nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{\partial}{\partialx}\left(\frac{x^2+e_y^2}{x^2y^2+e_z}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{e_x^2y^2}{x^2y^2+e_z}\right) + \frac{\partial}{\partialz}\left(\frac{e_x(x^2+e_y^2)}{(x^2y^2+e_z)^2}\right)$$对各项分别求偏导，有frac{\partial}{\partialx}\left(\frac{x^2+e_y^2}{x^2y^2+e_z}\right) =\frac{(2x)(x^2y^2+e_z)-(x^2+e_y^2)(2xy^2)}{(x^2y^2+e_z)^2}$$frac{\partial}{\partialy}\left(\frac{e_x^2y^2}{x^2y^2+e_z}\right) =\frac{(e_x^2)(x^2y^2+e_z)-(e_y^2)(2xy^2)}{(x^2y^2+e_z)^2}$$frac{\partial}{\partialz}\left(\frac{e_x(x^2+e_y^2)}{(x^2y^2+e_z)^2}\right) =\frac{(e_x)(x^2+e_y^2)(-2e_z)}{(x^2y^2+e_z)^2}$$将上述结果代入散度公式，有nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{(2x)(x^2y^2+e_z)-(x^2+e_y^2)(2xy^2)}{(x^2y^2+e_z)^2} +\frac{(e_x^2)(x^2y^2+e_z)-(e_y^2)(2xy^2)}{(x^2y^2+e_z)^2} + \frac{(e_x)(x^2+e_y^2)(-2e_z)}{(x^2y^2+e_z)^2}$$接下来，计算$\nabla\cdot\mathbf{A}$对中心在原点的一个单位立方体的积分，有iiint_V \nabla\cdot\mathbf{A}\ dV = \int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2} \nabla\cdot\mathbf{A}\ dx\ dy\ dz = \frac{5}{6}$$最后，计算$\mathbf{A}$对此立方体表面的积分，有iint_S \mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} = \iint_{S_1}\mathbf{A}\cdot \mathbf{e}_x\ dS + \iint_{S_2} \mathbf{A}\cdot (-\mathbf{e}_x)\ dS + \iint_{S_3} \mathbf{A}\cdot \mathbf{e}_y\ dS + \iint_{S_4} \mathbf{A}\cdot (-\mathbf{e}_y)\ dS +\iint_{S_5} \mathbf{A}\cdot \mathbf{e}_z\ dS + \iint_{S_6}\mathbf{A}\cdot (-\mathbf{e}_z)\ dS$$其中，$S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$、$S_5$、$S_6$分别为立方体的六个面。