考虑轴向力影响欧拉梁动力反应分析
结构动力学：Chapter_10(结构动力学)
= =
C1 sin ωt + C1ω cosωt
C2 cos
− C2ω
ωt
sin
ωt
得：⎧⎪C2 = y0
⎨ ⎪⎩C1
=
y0
ω
于是：
y=
y0
ω
sin ωt +
y0
cos ωt
进一步可确定式 y = C sin(ωt + φ) 中的C和φ
⎧ ⎪C = ⎪
C12 +C22 =
y02
+(
y0
ω
)2
⎨
⎪⎪⎩φ
第10章 结构动力学
本章内容的基本要求
本章课程的任务是使学生了解和掌握结构的动力特性和动力响应 的计算分析方法 ，具体为：
（1）掌握结构动力分析的基本方法，掌握单自由度及两自由度体 系的自由振动及其在简谐荷载作用下的强迫振动的计算方法 ；
（2）了解阻尼的作用，了解频率的近似计算方法。
1/109
10-1 动力计算概述
φ
C2
C1
y
2π
ω
Cφ
C
φ
ωt
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3、几个术语
（1）周期：振动一次所需的时间。
（2）工程频率
T = 2π ω
单位时间内的振动次数（与周期互为倒数）。
f=1= ω T 2π
（3）频率（圆频率）
旋转向量的角速度，即体系在2π秒内的振动 次数。自由振动时的圆频率称为“自振频率”。
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自振频率是体系本身的固有属性，与体系的 刚度、质量有关，与激发振动的外部因素无关。
P(t)
固端弯矩 M = PL
自由端位移 w = Pδ1 δ1: 单位荷载下的位移
振动力学 概念题
概念题1、ritz法和releiy法是求解振动系统固有频率的两种近似法，简述其基本思路。
瑞兹法：是将连续系统离散为有限个自由度的系统，再根据机械能守恒定律进行计算，并用拉式方程建立微分方程，得到系统的振型函数，由此得到系统的固有频率以及振型。
瑞利法：主要用来估算系统的基频，它的依据的是机械能守恒定律，即T MAX=U MAX，对任一个连续系统，只能近似给出第一阶振型函数，且要求满足系统的端点条件，再计算系统的动能和势能，即估算出系统的基频。
2说明矩阵迭代法求解多自由度系统第一阶固有频率的基本步骤以及思路(P91)。
基本思路：KA-w2MA=0 也可以写成：1/w2A=ɸMA令D=ɸM, λ=1/w2 则：DA=λA基本步骤：1)求第一阶固有频率以及振型（1）任意假设一个初始振型A（2）按下列格式计算位形列降序列A mA1=DA0 A2=DA1 。
`A n=DA n-1当n足够大的时候，A n趋近于A1，1/λ1=ω123轴向力对梁横向振动有何影响？（拉压）振动方程为：(P122)轴向拉力可以提高梁横向振动的固有频率；轴向压力可以降低梁横向振动的固有频率；4造成非线性恢复力的原因有？1）几何非线性，即大位移，超出了小变形范围；2）物理非线性，即结构材料的性质和及结构强度性能超出弹性范围；5简述求解无阻尼多自由度系统对初始激励响应的基本步骤1）建立振动微分方程，确定系统的质量矩阵以及刚度矩阵；2) 求固有频率以及振型3）求主振型矩阵和正则振型矩阵4）将外激励再转化为正则坐标下的激励（初始条件）5）求正则坐标下的系统响应6）求广义坐标下的系统响应6在建立梁的横向振动力学模型时，梁的力学模型分为哪三种？1) 欧拉-伯努利梁：只考虑弯曲变形，不计剪切变形及转动惯量的影响。
2）瑞利梁：考虑弯曲和转动惯量，不计剪切变形的影响。
3）铁木辛柯梁：弯曲变形，转动惯量，剪切变形都考虑。
7隔震分哪几种？机理是什么？举例说明1)隔震分为主动隔振和被动隔振两种。
飞行器结构动力学 第7章 飞行器响应分析中的几个特殊问题
整个过程是一个依时间顺序逐个分段计算，逐个判别接触情况，依次得到各时刻响 应解的过程。本法要反应实际发射情况模型要做得很细，计算前的准备工作较繁重。 优点是它能考虑轨道初曲率及支脚局部脱离对响应的影响。
7.3 舱体内部仪器响应分析
刻 i 的响应 {U}(i)、{A}(mi)、{B}(mi)
。将广义发射架位移由(7-7)式转为物理坐标，即得
、 (i)
(i)
1
2
这样，弹与架响应均可得到。
为了认识发射架、火箭柔度对于火箭姿态得影响。用此法计算了同样物理情况下得四 种不同简化模型的俯仰角与俯仰角速度，如图7-4所示。系统1为弹、架均视为刚体，系统 2为火箭视为弹性体，发射架视为刚体。系统3为发射架视为弹性体，火箭视为刚体。系统
(无旋时只为其特殊情况)；
发射阶段认为处于常加速度；
常质量；质量存在不平衡情
况(图7-2)；推力有偏心；俯
仰平面、偏航平面有相同的
弯曲刚度；忽略扭转及轴向
变形及转动惯量、剪切的影
响。
图 7-1
7.2 弹架联合系统响应分析
混合坐标法
在上面的假定条件下，可依据轴向负载，具有偏心的转子动平衡方程，导出火箭在俯仰
飞行器结构动力学
第七章 飞行器响应分析中 的几个特殊问题
西北工业大学航天学院
飞行器设计工程系
文主
立 华
讲 教 师
飞行器结构动力学
第七章 飞行器响应分析中 的几个特殊问题
西北工业大学
7.1 前 言
飞行器响应除了前几章已谈到的那些常规问题以外，还有一些意义重 大，需要专门处理的特殊问题。如发射阶段响应分析，舱内设备的响应 分析，以及卫星中存在动量轮情况下的响应分析等。对它们的正确分析 直接影响着设计的合理性。发射阶段响应分析可以对于弹架干扰做出量 的估计，校验发射器柔度对于导弹离轨姿态的影响，从而为发射架刚度 设计、发射轨道长度选择提供了可靠的依据；舱内仪器响应分析为正确 设计仪器与仪器支座提供环境条件；卫星结构系统响应的准确分析为卫 星结构的响应特性计算与强度分析提供了条件。由于有关这些问题响应 分析的某些基本理论已在前述章节讲述，这里只侧重于阐述其解析过程 中与一些特殊处理方法。
理论力学：欧拉动力学方程
M
z
'
⎪ ⎪⎭
x'
xo
y
y'
注：随体轴为惯量主轴
问题：如何将上述方程中的作用力与欧拉角建立联系？
2014-4-15
16
理论力学
§10-2 欧拉动力学方程
ω =ψ& k +θ& n +ϕ& k'
z' z
欧拉角
角速度矢量在随体轴上的投影
θ
⎧ωx' =ψ&sinθ sinϕ +θ& cosϕ
ϕ& ψ&
⎪⎨ω y '
⎡Lox' ⎢⎢Loy'
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡ ⎢⎢−
J x' J x'
y'
− Jx'y' J y'
LOz' = −J x'z'ωx' − J y'z'ωy' + J y'ωz' ⎢⎣Loz' ⎥⎦ ⎢⎣− Jx'z' − J y'z'
− −
J J
x'z' y'z'
⎤ ⎥ ⎥
⎡ωx' ⎢⎢ωy'
⎤ ⎥ ⎥
Jz' ⎥⎦ ⎢⎣ωz' ⎥⎦
理论力学
作业：10-11、思考题10-7
§10-2 欧拉动力学方程
通知：下周（4.22）的理论力学课暂停
2014-4-15
1
理论力学
2014-4-15
问题的引出
摇头电扇的转子可视为定点运动刚体 问题：如何建立转子的运动与其驱动 力及约束力的关系？
梁的应力和强度计算
梁的应力和强度计算1.梁的基本假设梁的基本假设包括：梁材料是均匀各向同性的，梁截面是平面截面，梁的纵向伸缩变形可以忽略，梁的横向收缩变形可以忽略，梁截面平面保持平直。
2.梁的受力分析在进行梁的应力和强度计算之前，需要对梁的受力进行分析。
常见的梁的受力包括弯曲、剪切和轴向拉压等。
2.1弯曲弯曲是梁的一种主要受力状态，发生在梁受到弯矩作用时。
对于弯曲受力的梁，可以运用梁弯曲理论进行应力和强度计算。
常见的梁弯曲理论包括欧拉-伯努利梁理论和延性梁理论。
2.2剪切剪切是梁的另一种重要受力状态，发生在梁上部分截面受到剪力作用时。
剪切力引起梁截面上的剪应力，可以通过剪切变形理论进行计算。
2.3轴向拉压轴向拉压发生在梁上部分截面受到轴向拉力或压力作用时。
轴向拉力或压力引起梁截面上的轴向应力，可以通过轴向变形理论进行计算。
3.梁的应力分析根据梁的基本假设和受力分析，可以进行梁的应力分析。
梁的应力分析包括黄金区和非黄金区的判断、应力分布的计算和强度设计的确定。
3.1黄金区和非黄金区判断黄金区是指梁截面上应力最大的区域，通常位于材料的纤维处。
在黄金区内，应力达到梁材料的屈服强度。
非黄金区则是指其他区域，应力小于屈服强度。
3.2应力分布计算根据梁的受力和应力分析，可以计算出梁截面上的应力分布。
应力分布的计算可以通过梁的几何形状、外力和边界条件以及材料的性质来确定。
常见的应力分布包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力等。
4.梁的强度设计梁的强度设计是根据计算得到的应力分布进行的。
根据材料的强度，可以确定梁的尺寸和形状，以满足梁的极限状态和使用状态的要求。
总结起来，梁的应力和强度计算是梁力学中的基本问题，包括梁的受力分析、应力分布计算和强度设计等内容。
通过合理的计算和设计，可以确保梁的安全和可靠性，提高结构的性能。
简支梁桥顺桥向固有振动
湖 南 文 理 学 院 学 报 （ 然 科 学 版） 自
ｔｏ Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎＵｎｖ ｒｉ ｆ ｔ ａ ｄＳ ｉｎ ｅＮ ｔ ｒ ｃｉｎ ｃｅ Ｅｄｉｉ ｎ ） ｏ ｒ ａ ｏ ａ ｉｅｓｙｏ Ａｒｓ ｎ ｃｅ ｃ（ ａｕ Ｓ ｅ Ｈｕ ｔ ａ １
ｙ ｘｆ＝Ｙ ｘ ｅ ， （， ） （） （５ １）
—
（） ９
ｄｙ ｏ ０ Ｅ ｄＹ ０ ２ （） ，一 １ ￣ （） ｄ－ ，．
：
一
。
ｘ
ｄ ｘ
（Ｏ １）
结 合式 （） ６－＂ ： ４ 、（）Ｊ ｎ得
ｙ ） （ ＝Ｂｃｓ ￣＋Ｃｓ ｆＹ＋Ｄｃｓ ｆ ｏｆ ｌ ｉｌ ｎ ｏｈ ｙ＋Ｈｓ ｈ ￣， ｌ ｉｆ ｎｌ
（１ １）
式，＝ ，＝，Ｃ 、为边条有的数 中 √ ， 手 、 与界件关式．
关键词 ：简支梁桥；固有振动；频率；贝努利—— 欧拉梁 中图分类号 ： ２ Ｏ３７ 文章编号 ： ６２ ６ ４ （０ ２０－ ０ ０ ０ １７ — １６２ １）１０ ７－ ４
Ｔｈｅｌ ｎｇ ｔ ｉ ｌｎａ ｕｒ ｌ ｉ ａ ｉ ｎ ｆ ｒｓｍ ｐ ｙ－ｕｐｐｏ ｔ ｄ ｂ ａ ｂｒ ｄ ｅ ｏ ｉｕｄ ｎａ ｔ ａ ｂｒ ｔｏ ｏ ｉ ｌ ｓ ｖ ｒ ｅ ｅ ｍ ｉ ｇ
罢［ Ｅ ，＝ ）ｙ ｔ ｇ） （百（） （， Ｏ ｘ］
是桥 墩 荷载 分 布集度 ．
（ １ ）
图 １ 简支梁桥顺桥向固有振动模型
其 中 Ｅ （） Ｉ ｘ 是桥 墩截 面 的抗 弯 刚度，ｙ ｘ， 是桥 墩顺 桥 向挠度 ，ｑｘ （， ） （）
根 据 贝努 利— — 欧拉 梁 振 动 理 论，悬 臂 梁振 型 曲线 ｙｘｆ可 以 （， ） 看成 是荷 载 一 历（）
考虑初始荷载影响下梁动力特性的有限元分析
ｓｉ ｎ ｓ ｔｉ ｔｆ ｅ ｓ ｍａ ｒｘ
一
般而言， 工程 结 构 和 构 件 总 可 以看 成 是在 恒 定
轴向运动功能梯度悬臂梁动力学分析
轴 向运 动悬 臂 梁在 工 程 中被 广 泛 应 用 ，如 伸 缩 式 法进行 求解 。罗 炳华 等 ｊ建 立 轴 向运 动 梁 受 移动 载 荷
节点 生死 方法 。刘 宁等 ¨。 推导移 动 质量作 用 的轴 向运 动悬臂梁振动方程 ，并用修正的 Ｇａｌｅｒｋｉｎ法对振动方程 离散 求解 。 陈红永 等 ¨ 针 对 Ｇａｌｅｒｋｉｎ截 断法 计 算轴 向 受载 运动 梁 固有 特 性 时 低 阶频 率 误 差 较 大 问题 ，引 入 轴 向力对 试 函数进 行改进 ，分 析两 端 固支 、固支 一自由 边界 下 Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁的振 动特 性 。
机械 手臂 及卫 星 天线等 。悬 臂 梁 伸展 过 程 中的振 动 对 作 用 的有 限元 模 型 ，提 出描 述 运 动 梁 节 点 约束 状 态 的
系统 稳 定 性 、安 全 性 影 响 较 大 。 因 此 颇 受 关 注 。如 Ｗａｎｇ等¨ 利 用牛 顿 力 学 方 法 建 立 轴 向运 动 悬 臂 梁 的 控 制方 程 ，并 用 Ｇａｌｅｒｋｉｎ法 近似求 解 。Ｓｔｙｌｉａｎｏｕ等 利 用有限元法求解该问题时 固定单元数 目而单元长度随 时间变化。Ａ１一Ｂｅｄｏｏｒ等 用有 限元法分析在刚性旋 转 支座 中作 轴 向运 动 的弹 性 机械 手 臂 振 动 。Ｚｈｕ等 从 能量 角 度 分 析 轴 向运 动 悬 臂 梁 振 动 稳 定 性 。Ｃｈａｎｇ 等 ｌ Ｌ５ 用有 限元 法 分 析轴 向运 动瑞 利 梁 振 动 及 稳 定 性 。 Ｗａｎｇ等 利 用 广 义 哈 密 尔 顿 原 理 分 析 弹 性 及 黏 弹 性梁 的轴 向运 动特 性 。李 山虎 等 对 伸 展 悬臂 梁 的独 立模 态振 动 控 制进 行 理 论 近似 解 推 导 ，并 用 多 尺 度 方
哈密尔顿原理求欧拉伯努利悬臂梁
哈密尔顿原理求欧拉伯努利悬臂梁欧拉伯努利悬臂梁是一种常见的结构，它由一根悬臂梁和一根支撑梁组成。
在工程实践中，我们需要对这种结构进行分析和设计，以确保其安全可靠。
在这篇文章中，我们将介绍如何使用哈密尔顿原理来求解欧拉伯努利悬臂梁的运动方程。
让我们来了解一下哈密尔顿原理。
哈密尔顿原理是一种基于能量守恒原理的物理学原理，它可以用来描述物体在运动过程中的动力学行为。
在哈密尔顿原理中，我们将系统的动能和势能表示为一个函数，称为拉格朗日量。
然后，我们使用拉格朗日量来构建一个作用量函数，该函数描述了系统在不同时间下的状态。
最后，我们使用变分法来求解作用量函数的极值，从而得到系统的运动方程。
对于欧拉伯努利悬臂梁，我们可以将其看作一个弹性体系，其动能和势能可以表示为：动能：T = 1/2 * m * v^2势能：V = 1/2 * k * y^2其中，m是悬臂梁的质量，v是悬臂梁的速度，k是弹性系数，y 是悬臂梁的位移。
将动能和势能代入拉格朗日量中，我们可以得到：L = T - V = 1/2 * m * v^2 - 1/2 * k * y^2接下来，我们需要构建作用量函数。
作用量函数可以表示为：S = ∫Ldt其中，t是时间，∫表示对时间的积分。
使用变分法求解作用量函数的极值，我们可以得到欧拉伯努利悬臂梁的运动方程：m * d^2y/dt^2 + k * y = 0这是一个二阶常微分方程，可以使用常规的数学方法求解。
通过求解这个方程，我们可以得到悬臂梁在不同时间下的位移和速度，从而了解其动力学行为。
哈密尔顿原理是一种非常有用的物理学原理，可以用来求解各种结构的运动方程。
对于欧拉伯努利悬臂梁这样的结构，使用哈密尔顿原理可以得到简洁而准确的运动方程，为工程实践提供了重要的理论支持。
轴向载荷_转动惯量和剪切变形对简支梁固有频率的影响
轴向载荷 、转动惯量和剪切变形对简支梁固有频率的影响龚善初摘 要 : 利用能量法研究了简支梁在轴向载荷作用下固有频率与轴向载荷的关系 ,讨论了轴向载荷 、转动惯量和剪切变形对简支梁固有频率的影响 ,对梁的结构设计 ,特别是对强迫振动下的实时控制 ,在工程中具有一定 的实用价值 。
中图分类号 : O 327文献标识码 : A在道路 、桥梁工程中许多既受横向载荷 、又受轴向载荷的构件 , 本文以轴向载荷作用下简支梁为例 , 通过具体实例 , 应用能量法求得简支梁固有频率与轴向载荷之间的关系 , 作出了一阶固有频率 ω～与轴向载荷 P 1 的曲线图 ; 对梁的高阶振型 , 较详细地分析了转动惯量与剪切变形对简支梁固有频率的影响 。
轴向载荷与简支梁固有频率的关系当梁的长度远大于截面尺寸 ,或者在分析细长梁的低阶振型情况下 ,由于梁的变形主要是弯曲变形 ,在 低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响 ,这种梁称为伯努利 —欧拉梁 (Ber n o u lli -Euler Bea m ) 。
如图 1 所示 , 矩形截面简支梁受轴向载荷拉力 P 作用 , 梁的体密度为 ρ, 横截面积为 A , 梁的 1 跨度为 l , 抗弯刚度为 EI , 假设梁在振动过程中梁截面上的张力保持 P 不变 , 轴向载荷拉力 能的大小为 PΔ ,Δ 为轴向位移 。
P 引起的应变图 1 简支梁Fig. 1 Si mply suppo r t ed beam29y由图知 d Δ = ( 1 - co s θ) d x = 2sin 2 θ1 22d x ≈ θd x = 1 d x , 于是 2 2 29x 9y l 1 2∫0 P Δ = Pd x ( 1)9x梁的最大弹性势能为l l 1 1 =2∫0 EI ( Y ″) d x + 2∫0 P ( Y ′) d x2 2( 2)U max 梁的最大动能为l 1 ω 2 ∫～ 2 2ρA Y d x ( 3)T m ax= 由能量守恒得到固有频率的泛函为收稿日期 :2004204202基金项目 :第二批新世纪广东省高等教育教学改革工程项目基金资助课题 (粤教高 2002 157 号) 。
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考虑轴向力影响欧拉梁动力反应分析一、前言在前面的学习过程中，我们学习了多自由度离散体系的任意结构动力反应分析，但是对实际结构来说，本质上都是具有分布质量的弹性体，即分布参数体系。
要描述这些弹性体系任意瞬时的空间位置，严格上说需要无限多个广义坐标，这样的体系称为无限自由度体系。
要严格描述无限自由度体系的振动，需要建立位移关于空间位置坐标和时间两个独立变量的连续函数，因此，描述无限自由度体系的运动方程为偏微分方程。
连续结构体系可按描绘它们动力行为分布所需的独立变量数来分类。
但本文讨论的梁结构或轴向变形的杆，属于一维结构，它们的物理性质和动力反应可用单独一个坐标，于是这种体系的偏微分方程只包含两个独立变量，即时间和沿轴的距离。
二、考虑轴向力影响的梁的弯曲振动方程已知：一非均匀简支梁，沿梁长度x 方向变化的抗弯刚度EI(x)，单位长度的质量m （x ），作用在梁上的横向荷载p （x ，t ），作用在梁端不随时间变化的轴向力N 以及梁的横向位移u （x ，t ）。
求：弯曲梁的弯曲振动方程。
步骤：1、假定梁的运动为平面弯曲，并假定变形前梁的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于变形后的梁轴线，即符合弯曲的平截面假定。
2、取梁上任一截面x 处的微段dx 为隔离体。
作用在其两截面上有弯矩M ，剪力Q,分布外荷载P （x ，t ）和假定的惯性力22),()()(f )(df tt x u x m dx x x I I ∂∂==。
3、由竖向力平衡条件，得第一个平衡方程：)2..(..............................),()(),()1(..........0)(]),()(),([2222t t x u x m t x P x Q dx x QQ dx tt x u x m t x P Q ∂∂+-=∂∂=∂∂+-∂∂--整理得：4、由力矩平衡条件，对微段右截面和x 轴的交点取矩，得到第二个平衡方程)3.......(..........0)()](),()(),([21),(222=∂∂+-∂∂--∂∂++dx x M M dx tt x u x m t x P t t x u N Qdx M整理得： )4....(..............................),(tt x u N Q x M ∂∂+=∂∂ 将（2）代入（4）得)5.(..........),(),()(),(222222tt x u N t t x u x m t x P x M ∂∂+∂∂+-=∂∂ 根据梁的初等变形理论，梁的弯矩和曲率的关系式为：)6......(....................),()(22x t x u x EI M ∂∂-= 将（6）代入（5）得：)7....().........,(]),()([),(),()(22222222t x P xt x u x EI x x t x u N t t x u x m =∂∂∂∂+∂∂+∂∂ 上式即为考虑轴向力影响的梁的弯曲振动方程。
对于等截面梁，式（7）可以简化为：)8....().........,(),(),(),(442222t x P x t x u EI x t x u N t t x u m =∂∂+∂∂+∂∂三、梁的自振频率和振型分析轴向力影响欧拉梁的固有振动特性，这里仅讨论等截面直梁的情况。
这时，梁的自由振动运动方程为式（8）的齐次方程，即：)9..(..........0),(),(),(442222=∂∂+∂∂+∂∂x t x u EI x t x u N t t x u m用“’”表示对位置x 的导数，用“∙”表示对时间t 的导数，则（9）式可写成)10.(........................................0''''''u u m =++∙∙EIu N 用分离变量法求解，假定解得形式为)11.......(..............................).........()(),(t q x t x u φ=式中，)(x φ表示振动的形状，它不随时间而变化，)(t q 表示随时间变化的振幅。
将式（11）代入（10），得到：)12...(....................0)()('''')()('')(q(t)m =++∙∙t q x EI t q x N x φφφ公式两端同时除以)()(t q x φ得：)13........(....................)(q(t)m )()('''')()(''C t q x x EI x x N =-=+∙∙φφφφ 式中C=m 2ω由此得到两个独立的常微分方程：)15........(..................................................0)(q )()14..(..............................0)('''')(''22=+=-+∙∙t t q m x EI x N ωφωφφ方程（15）是单自由度体系无阻尼自由振动方程，其解为)16(........................................cos sin )(11t B t A t q ωω+=式中的系数可以根据初始位移q(0)和初始速度)0(q ∙确定，即)17.(........................................cos )0(sin )0()(t q t q t q ωωω+=∙方程（14）是四阶微分方程，设其解得形式为)18.(............................................................)(sx Ce x =φ将式（18）代入式（14），得EIN g EI ma ce a s g s sx ===-+2244224,)19.(........................................0)(ω式中解得)20....(..................................................,4,3,2,1εδ±±=i s其中)21..( (2))4(,2)4(2214422144g g a g g a -+=++=εδ将（20）代入（18）式，并用三角函数和双曲函数等式代替指数函数得)22...(..........cosh sinh cos sin )(x D x C x B x A x εεδδφ+++=式中四个常数A~D 决定梁振动的形状和振幅，它们可以利用梁端的边界条件确定。
对于每一个可能指定的轴向力值，方程（22）给出了相应梁的振动形式。
四、振型的正交性根据功的互等定理，第n 阶振型的惯性力在第m 阶振型位移上所做的功等于第m 阶振型的惯性力在第n 阶振型位移上所作的功。
用数学表达式可表示为：)23.........(....................),()(),()(,0,0dx t x f x u dx t x f x um I Ln n I Lmq⎰⎰=当梁以某种振型振动时，其各点的位移可表示为：)25..(..................................................sin )(),()24....(..................................................sin )(),(t q x t x u t q x t x u m m m m n n n n ωφωφ==由振型引起的相应的分布惯性力为)27.....(..........sin )()(),()(),()26.......(..........sin )()(),()(),(222,222,t q x x m tt x u x m t x f t q x x m tt x u x m t x f m m m m m m I n n n n n n I ωφωωφω=∂∂-==∂∂-= 将以上四式的幅值代入式（23）得)28.(..........)()()()()()(22dx q x x m q x dx q x x m q x m m m n n Ln nn m m Lφωφφωφ⎰⎰=即)29.........(........................................0)()()()(022=-⎰dx x x m x m Ln mn φφωω对于一般工程结构，22mn ωω≠，则有)30......(............................................................0)()()(0=⎰dx x x m x m Lnφφ这就是分布参数简支梁关于分布质量的正交条件。
如果用分布刚度作为加权函数，可以得到分布参数体系关于振型的第二个正交条件对于有轴向力的变截面梁，自由运动方程为)31....(..............................0]),()([),(),(22222222=∂∂∂∂+∂∂+∂∂x t x u x EI x x t x u N t t x u m左边第一项)32........(..........sin )()(),()(222t q x x m tt x u x m n n n n ωφω-=∂∂ 左边第二项)33.........(........................................sin ),(2222t q dx d N x t x u N n n n ωφ=∂∂ 左边第三项)34........(sin ])([]),()([22222222t q dx d x EI dx d x t x u x EI x n n n ωφ=∂∂∂∂ 则式（31）可写成)35.......(....................).........()(])([2222222x x m dxd N dx d x EI dx d n n n n φωφφ=+将式（35）代入（30）得：{})36....(..............................0])([)(222222=+⎰dx dx d N dx d x EI dx d x n n Lm φφφ式（36）即是受轴向力影响的简支梁关于分布刚度的正交条件。