欧拉-伯努利梁单元刚度矩阵推导
Euler-Bernoulli_beam_theroy(欧拉伯努利梁理论与有限元计算)
Euler-Bernoulli beam一、理论部分Euler-Bernoulli beam 假设()()'000u u yv v v x u u x ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩ (1.1)由(1.1)式可得'''00xx yy xy u yv εεγ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩ (1.2)虚位移原理 0int ext P P δδ+=(1.3) 其中d d ext P f u V T u S δδδ=+⎰⎰(1.4)()()()/2/20/2''''''/20''''''eee int h l xxxxh h l h l P dVb dxdyb E u yv u y v dxdy EAu u EIv v dxδσδεσδεδδδδ--=-=-=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰令12e x l ξ+=，e l 为单元长度，则上式成为()1''''''0012e int lP EAu u EIv v d δδδξ-=-+⎰(1.5)单元节点位移取为 {}()''01110222,,,,,Tq u v v u v v =(1.6)令{}(){}{}(){}01212340000u u u N N q v N N N N q = 0 0 ⎧⎪⎨= ⎪⎩ (1.7)其中形函数121212u u N N ξξ-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ (1.8)()()()()()()()()2122232411241181124118e e N l N N l N ξξξξξξξξ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎪⎨⎪=+-⎪⎪⎪=+-+⎩(1.9)分别对式(1.7)、(1.8)求一阶和两阶导数得'1'21212u u N N ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (1.10)''1''2''3''4323144323144e eN N l N N l ξξξξ⎧=⎪⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎪⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩(1.11)由2ex l ξ∂=∂，可得 '2ui ui e N N x l ∂=∂ (1.12)222'''''22i ii i i e N N N N N x x xx x x l ξξ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1.13)将(1.6)、(1.11)式代入(1.4)式，可得{}()'11''12'12''1''2''''''''1234''3''4002000000000u Tint u u e u N P q EA N N d l N N N EI N N N N N N δδξ-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎩⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ +0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎰(){}3112e d q l ξ-⎫⎪⎪⎪⎛⎫⎪ ⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎭⎰ (1.14)刚度矩阵e e eu v K K K =+ (1.15)()0'11''12'12002000000u eu u u e u N K EA N N d l N ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎰(1.16)()''13''120''''''''12341''3''40200v e N N K EI N N N N d l N N ξ- ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎛⎫ ⎪=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎰(1.17)二、算例本文所举算例为悬臂梁端部受竖向载荷P ，挠度理论曲线为2326Pl P y x x EI EI=-+ 具体数据如下：0.02b m =，0.05h m =，1l m =，82.110EA N =⨯，424.37510EI N m =⨯⋅，10P kN =P划分10个单元，11个结点。
西南交大 高等混凝土 采用插值方法的梁单元刚度矩阵推导
(6)
对应“广义应变”曲率的“广义应力”则为弯矩
M = EI ⋅ χ
(7)
此处需要注意坐标系的定义 “广义物理矩阵”可以定义为 则，
[D] = EI
则，由前面介绍的单元刚度矩阵形成原理 (8)
[K ] = ∫ [B] [D][B ]dx
L T e 0
⎛ 12ξ − 6 ⎞ ⎜ ⎟ L2 ⎜ ⎟ ⎜ 6ξ − 4 ⎟ 1 ⎜ ⎟⎛ 12ξ − 6 L = EI ⋅ L ⋅ ∫ ⎜ ⎜ 12ξ − 6 ⎟⎝ L2 0 − ⎜ ⎟ L2 ⎟ ⎜ 6ξ − 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ L ⎝ ⎠
2
x − L ⎞⎛ x ⎞ ⎛ ⎜1 − 2 ⎟⎜ ⎟ L ⎠⎝ L ⎠ ⎝
2
⎛ yi ⎞ ⎜ ⎟ ⎛x⎞ ⎫ ⎪⎜ θ i ⎟ (x − L )⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟ ⎝L⎠ ⎪ ⎭⎜ y j ⎟ ⎜θ ⎟ ⎝ j⎠
2
Байду номын сангаас
(1)
艾米特插值的特性
为了方便推导，定义
ξ=
x L
(2)
则，式(1)可写为
y = (1 + 2ξ )(ξ − 1)
采用插值方法的梁单元刚度矩阵推导
一、位移场插值
根据 Euler 梁理论，每个节点有两个自由度，即一个竖向位移和一个转角，且转角为位移的一阶导数。则，对 于 Euler 梁可以采用艾米特插值
⎧ 2 x ⎞⎛ x − L ⎞ ⎪⎛ y = ⎨⎜1 + ⎟⎜ ⎟ L ⎠⎝ L ⎠ ⎪ ⎩⎝
2
⎛ x−L⎞ x⎜ ⎟ ⎝ L ⎠
{
2
L ⋅ ξ (ξ − 1)
2
(3 − 2ξ )ξ
2
⎛ yi ⎞ ⎜ ⎟ θ 2 ⎜ i ⎟ L ⋅ (ξ − 1)ξ ⎜ ⎟ y ⎜ j⎟ ⎜θ ⎟ ⎝ j⎠
变截面Euler_Bernoulli梁在轴力作用下固有振动的级数解
性质可以得到 : an+ 2 ( c) =
T+ 3
AT + 4- i ai+ n- T - 2 ( 4) ( n + c + 1 ) ( n + c) ( n + c - 1) ( n + c - 2 ) 式中 : A i = - i ( n + c - 1 ) ( n + c- 2 ) ( n + c- i+ 1 ) ( n + c - i ) 0 i= 1
2
图 1 不同边界条件下一阶频率因 子与轴力变化因子
- ( n + c- 1) ( n + c- 2) ( n+ c- 3) ( n+ c- 4) 0 ( n + c + 1 ) ( n + c) ( n + c - 1 ) ( n + c - 2 ) - ( n + c- 1) ( n + c- 2) ( n+ c- 4) ( n+ c- 5) ( n + c + 1 ) ( n + c) ( n + c - 1 ) ( n + c - 2 ) 0
2
x,
图 1 给出了多种边界条件下 ∀由 - 10 变化到 10 时, 一阶频率因子 1的变化曲线。可以看出 : 轴向拉力 使一阶频率增大, 轴向压力使一阶频率降低; 由曲线的 变化梯度可以看出 : 约束越弱, 轴向力对一阶频率的影 响越明显 ; 在 ! 自 由 - 固 定 ∀ 边 界条 件下 , 当 ∀ 等 于 7 . 837 3 时 , 轴向压力的作 用使梁体失稳 ; 此时 再增大 ∀ , 梁体无法再得到稳定的一阶振型与频率。
基于欧拉-伯努利梁和铁木辛柯梁理论的功能梯度材料模量测定
基于欧拉-伯努利梁和铁木辛柯梁理论的功能梯度材料模量测
定
杨小姜;施伟辰
【期刊名称】《计算机辅助工程》
【年(卷),期】2012(21)5
【摘要】为测定功能梯度材料的弹性模量和剪切模量,引入梁理论并将梁沿长度方向离散,建立单元平衡方程后可得到弹性模量和剪切模量分布；假设弹性模量为沿长度方向的线性函数或指数函数,用有限元软件仿真计算功能梯度材料梁单元节点处的挠度和转角,然后用插值法构造变形特征函数,并计算得出弹性模量和剪切模量,且计算值与理论值的误差较小.计算结果还表明,采用铁木辛柯梁理论不仅可以得到弹性模量,还可以计算剪切模量,且弹性模量计算结果比用欧拉-伯努利梁计算结果更接近真实值,但铁木辛柯梁理论中需测定转角,对测定过程的要求会更加严格.
【总页数】5页(P25-29)
【作者】杨小姜;施伟辰
【作者单位】上海海事大学物流工程学院,上海200135;上海海事大学物流工程学院,上海200135
【正文语种】中文
【中图分类】O343.7;TB115.1
【相关文献】
1.基于薄板和伯努利-欧拉梁理论的六维力传感器动态特性分析 [J], 卫然;张志才;许德章
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3.基于欧拉·伯努利梁的自动控制原理案例教学探索与实践 [J], 钟佳岐;蔡林沁
4.基于模态应变能与频率融合方法的功能梯度欧拉伯努利梁损伤识别研究 [J], 梁福安;黄君;黄立新
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欧拉-伯努利方程
欧拉-伯努利方程
欧拉-伯努利方程是流体力学中的一种重要方程，描述了流体在不可压缩、定常、理想流动条件下沿流线的行为。
它是基于质量守恒和动量守恒原理推导而来的。
欧拉-伯努利方程可以表示为：
P + 1/2ρv²+ ρgh = 常数
其中：P是流体的压力，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
这个方程的意义是，沿着流体的流线，在没有外力做功的情况下，流体的总能量保持不变。
方程左边的三项分别代表了流体的压力能、动能和重力势能。
欧拉-伯努利方程在流体力学中有广泛的应用，例如可以用来解释飞机的升力产生、水流的速度和压力分布、水泵和风扇的工作原理等。
它为理解和分析流体力学问题提供了重要的工具和方法。
需要注意的是，欧拉-伯努利方程是一种基于一些假设条件的简化模型，在特定的情况下有效，但也有其适用范围和限制。
最新欧拉伯努利梁理论
欧拉伯努利梁理论欧拉－伯努利梁理论Euler-Bernoulli梁理论（Shames and Dym，1985）认为横截面在变形前和变形后都垂直于中心轴并不受任何应变(也就是说其构型仍无缺的)。
换句话说，翘曲和横向剪切变形的影响和横向正应变非常小，所以可以忽略不计。
这些假设对细长梁是有效的。
无横向剪切意味着横截面的旋转只由挠曲引起。
对于厚梁，高频模态的激励，复合材料梁问题，横向剪切不可以忽略。
Euler-Bernoulli梁理论有两个假设：1）变形前垂直梁中心线的平剖面，变形后仍然为平面（刚性横截面假定）；2）变形后横截面的平面仍与变形后的轴线相垂直。
论坛上的：（不一定正确）关于弯曲刚度：即EI；弯曲刚度表示梁抵抗弯曲变形的能力数值方法表示梁的变形能力为1/ρ：ρ表示梁发生变形时中性层的曲率半径，几何及数字分析可有，当梁中性层的曲率半径减小时就意味着梁的弯曲程度增大，显然变形和中性层曲率半径成减函数关系，换个说法，就是可以用1/ρ表示梁的变形程度。
而应变的几何表示方法为ε＝y/ρ（题外话：从这里可以想到我们计算时在工程软件中可以直接给出应力，其实最原始的计算方法是先计算应变然后通过弹性模量计算应变的，只是在力学发展的过程中，大家都越过先计算应变这一步，而通过公式演变或者说推导直接给出应力公式，为什么？因为我们工程中往往关注材料应力，是最直观的评价梁受力合理性的方法。
）y??计算点到中性轴的距离倒退分析，需要计算ρ，曲率半径根据静力学和数学微分方程具体可见材料力学p106页推出方程：1/ρ＝M/（EI）根据结构力学可以求解某截面内力M。
材料力学计算截面几何特性，梁的弹性模量已知应力求解迎刃而解上面方程给我们的启示就是表征梁变形能力的抗弯刚度的数值化和物理理解。
同时P106页给我们一个很重要的理论分析：1、中性轴垂直于荷载作用面的弯曲为平面弯曲；2、梁平面弯曲时，若材料为线弹性，则中性轴为横截面的形心主轴。
伯努利方程积分推导
伯努利方程积分推导伯努利方程（Bernoulli's equation）是流体力学中的一个重要方程，描述了沿着流体的流动方向，流体质点在流动过程中总能量守恒的情况。
下面将对伯努利方程进行推导。
设流体在运动中的某一点的物理量为P、ρ、v和h，分别代表流体的压强、密度、速度和高度。
根据流体力学基本原理，伯努利方程可表示为：P + 1/2 ρv^2 + ρgh = 常数其中，P + 1/2 ρv^2 是动压项，ρgh 是静压项。
为了推导伯努利方程，我们先从流体力学的基本公式出发——欧拉方程开始。
欧拉方程是描述流体运动的基本方程之一，其数学形式为：∂v/∂t + (v · ∇)v = - 1/ρ ∇P + g其中，∂v/∂t 是速度随时间的变化率，(v ·∇)v 是速度随空间的变化率，∇P 是压力随空间的变化率，g 是重力加速度。
将欧拉方程中的各项乘以ρ，并利用连续性方程（∇·v = 0），可以得到：ρ∂v/∂t + ρ(v · ∇)v = - ∇P + ρg这样，方程就变成了一个由速度、时间、压力和重力加速度构成的方程。
接下来，我们考虑无粘流体在等压情况下的流动。
在等压情况下，压力沿着流体的流动方向不变，即∇P = 0。
再考虑自由面，自由面上的压强为大气压，即 P = P0。
这时，欧拉方程可以简化为：ρ∂v/∂t + ρ(v · ∇)v + ρg = 0同时，假设流体为定常流动，即流体的速度与时间无关∂v/∂t = 0。
这样，方程可以进一步简化为：ρ(v · ∇)v + ρg = 0对于无粘流体，在速度的梯度值极小的条件下，可以利用链式法则将∇v进行展开，即∇v ≈ (∂v/∂x,∂v/∂y, ∂v/∂z)。
这样，方程可以进一步简化为：(v ·∇)v ≈ v · (∂v/∂x, ∂v/∂y, ∂v/∂z) ≈ (v ∂v/∂x, v ∂v/∂y, v ∂v/∂z)由于流体是连续的，在稳定流动中，速度大小在不同位置上是相等的，即 v = |v|。
等效刚度计算公式
等效刚度计算公式等效刚度是描述结构在荷载作用下的变形特性的一个参数，它表示了结构对荷载变形的抵抗能力。
等效刚度的计算公式可以根据不同的结构类型和计算方法而有所差异。
下面将介绍几种常见的等效刚度计算公式。
1.单自由度系统的等效刚度计算公式：在单自由度系统中，结构可以简化为单个质量与单个弹簧组成的系统。
等效刚度可以通过单自由度系统的自然频率和质量来计算。
等效刚度（k）可以用以下公式表示：k=mω²其中，m表示质量，ω表示自然频率。
2.梁的等效刚度计算公式：对于梁这种结构，可以使用欧拉－伯努利梁理论来计算等效刚度。
在此理论下，梁的等效刚度可以通过断面上每个单元体的刚度之和来计算。
等效刚度（k）可以用以下公式表示：k = ∫E(x)I(x)dx / L其中，E(x)表示断面上每个单元体的杨氏模量，I(x)表示断面上每个单元体的惯性矩，dx表示每个单元体的长度，L表示整个梁的长度。
3.线性弹簧支撑系统的等效刚度计算公式：对于弹簧支撑系统，可以通过各个弹簧的刚度来计算等效刚度。
在此情况下，等效刚度可以通过各个弹簧刚度之和来计算。
等效刚度（k）可以用以下公式表示：k = Σki其中，ki表示每个弹簧的刚度。
4.平板的等效刚度计算公式：对于平板这种结构，可以使用板的弯曲刚度和剪切刚度来计算等效刚度。
等效刚度（k）可以用以下公式表示：k=k1+k2其中，k1表示板的弯曲刚度，k2表示剪切刚度。
需要注意的是，在实际工程中，结构的等效刚度也可能受到其他因素的影响，例如结构的几何形状、材料的非线性特性等。
因此，在实际计算中，还需要考虑这些因素，并选择适合的计算方法和公式来计算等效刚度。
总之，等效刚度的计算公式因结构类型和计算方法而异。
本文只介绍了几种常见的计算公式，实际计算中还需要考虑其他因素。
对于不同的结构和问题，需要根据具体情况选择相应的等效刚度计算公式。
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梁理论有欧拉 －伯努利（Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ）梁和 铁摩辛柯（Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ）梁两种理论，后者计入剪切变 形而前者一般不计入剪切变形［１］，前者又称为经典 梁理论。现阶段常用的结构力学教程往往针对经典 梁理论，并在矩阵位移法中通过两端固结等截面梁 的梁端位移与梁端支反力的关系给出梁单元的刚度 矩阵［２］。而在有限元理论中，则是通过对单元变形 指定合理的形函数并结合最小势能原理［１，３］或虚功 原理［４］给出单元刚度矩阵。尽管最小势能原理与虚 功原理是等价的［３］，但推导方式仍有差异，尤其是最 小势能原理涉及变分原理而不便理解。另外，部分 文献并未给出完整坐标系统以及荷载、内力和位移 的正方向，不同文献所给坐标系统也不完全一致，这
９０
水利与建筑工程学报
第 １７卷
定变形前垂直于中面的截面，变形后仍为平面且与 中面保持垂直，或者说可忽略剪切变形的影响，适用 于高度远小于跨度的梁［１］。
以 ｘｙ平面梁单元为例，图 １给出了右手螺旋法 则的坐标系统，并针对伸缩、扭转和弯曲问题给出了 对应的杆端荷载和分布荷载，所示荷载方向均与坐 标轴正方向一致，也即荷载的正方向。图 １（ｃ）还给 出了截面内力正方向：轴力 Ｆ以受拉为正，扭矩 Ｔ
第 １７卷第 ３期
水利与建筑工程学报
Ｖｏｌ．１７Ｎｏ．３
２０１９年 ６月
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＷａｔｅｒＲｅｓｏｕｒｃｅｓａｎｄＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｊｕｎ．，２０１９
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－１１４４．２０１９．０３．０１５
欧拉 －伯努利梁单元刚度矩阵推导
并最终根据虚功原理得到单元刚度矩阵。这不仅有助于对单元刚度矩阵以及推导过程的理解，还可为
参阅有限元专业ห้องสมุดไป่ตู้籍提供帮助。
关键词：欧拉 －伯努利梁；单元刚度矩阵；形函数；基本方程
中图分类号：Ｏ３
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７２—１１４４（２０１９）０３—００８９—０５
ＤｅｒｉｖａｔｉｏｎｏｆＥｌｅｍｅｎｔＳｔｉｆｆｎｅｓｓＭａｔｒｉｘｏｆＥｕｌｅｒ－ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＢｅａｍ Ｅｌｅｍｅｎｔ
１ 坐标系统与形函数
欧拉 －伯努利梁理论基于 Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ假设，即假
收稿日期：２０１９０１１９
修稿日期：２０１９０３０２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（５１５０８５２３）
作者简介：张军锋（１９８３—），男，河南平顶山人，博士，副教授，主要从事结构和桥梁抗风研究的工作。Ｅｍａｉｌ：ｂｒｉｌｌｉａｎｔｓｈｉｎｅ＠１６３．ｃｏｍ
的正方向与 Ｆ方向一致，弯矩 Ｍ 以梁底（即 －ｙ方 向）纤维受拉为正，剪力 Ｑ以使微段发生逆时针转 动为正。部分文献对单元刚度矩阵推导时，单元长 度范围内还受有集中荷载，包括集中力和集中力矩， 而实际对结构划分单元时往往在集中荷载位置均设 置有节点，故图 １中的单元没有再受集中力作用。 另外，单元范围内的荷载也只影响最终的荷载向量 而对刚度矩阵没有影响［１，３－４］。
也不便理解其推导过程。 为系统介绍等截面梁刚度矩阵的推导过程，基
于欧拉 －伯努利梁理论，采用统一的坐标系统和参 数正方向规定，详细介绍了不同受力模式包括伸缩、 扭转和弯 曲 问 题 的 拉 格 朗 日 形 函 数 或 厄 米 特 形 函 数，系统给出了刚度矩阵推导所需的基本方程包括 几何方程、本构方程和平衡方程，并最终得到单元刚 度矩阵，以便深刻全面的理解梁单元刚度矩阵以及 对梁结构受力特性的认识，并有助于参阅其他专业 书籍。
ＺＨＡＮＧＪｕｎｆｅｎｇ，ＹＩＮＨｕｉｎａ，ＬＩＪｉｅ，ＣＨＥＮＨｕａｉ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＺｈｅｎｇｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ，Ｈｅ’ｎａｎ４５０００１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｏｆｅｌｅｍｅｎｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｍａｔｒｉｘｏｆＥｕｌｅｒＢｅｒｎｏｕｌｌｉｂｅａｍ ｅｌｅｍｅｎｔｗａｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｄｅｔａｉｌｉｎ ｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｔｈｅｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｗａｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｕｎｉｆｏｒｍｃｏｏｒｄｉｎａｔｅａｎｄｐｏｓｉｔｉｖｅｄｉｒｅｃｔｉｏｎｒｅｇｕｌａｔｉｏｎｓｏｆｌｏａｄｓ，ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ， ｉｎｔｅｒｎａｌｆｏｒｃｅｓａｎｄｓｔｒｅｓｓｅｓ．Ｆｏｌｌｏｗｉｎｇｔｈｅｄｅｔａｉｌｅｄｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｓｈａｐｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｆｏｒｔｅｎｓｉｏｎ，ｔｏｒｓｉｏｎａｎｄｂｅｎｄｉｎｇｄｅｆｏｒ ｍａｔｉｏｎ，ｔｈｅｂａｓｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｐｈｙｓｉｃａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｅｒｅｐｒｏｖｉｄ ｅｄａｓｗｅｌｌ．Ｔｈｅｎｔｈｅｅｌｅｍｅｎｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｍａｔｒｉｘｗａｓｄｅｄｕｃｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｍｉｎｉｍｕｍ ｐｏｔｅｎｔｉａｌｅｎｅｒｇｙ．Ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅａｎｄｓｙｓｔｅｍａｔｉｃｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｉｓｖｅｒｙｈｅｌｐｆｕｌｆｏｒｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｏｆｅｌｅｍｅｎｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｍａｔｒｉｘ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＥｕｌｅｒＢｅｒｎｏｕｌｌｉｂｅａｍ；ｅｌｅｍｅｎｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｍａｔｒｉｘ；ｓｈａｐｅｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｂａｓｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ
张军锋，尹会娜，李 杰，陈 淮
（郑州大学 土木工程学院，河南 郑州 ４５０００１）
摘 要：为明确欧拉 －伯努利梁单元刚度矩阵推导过程，用统一的坐标系统和参数正方向规定，包括荷
载、位移、内力和应力等，对等截面梁详细介绍了不同受力模式包括伸缩、扭转和弯曲问题的拉格朗日形
函数和厄米特形函数，系统给出了刚度矩阵推导所需的基本方程包括几何方程、本构方程和平衡方程，
图 １ 单元坐标系以及参量正方向示意图
形函数是用来表示结构变形形状的物理量，通
过结点位移与结点之间单元的变形来表示整个结构
的变形。形函数实际上就是数学上的插值函数，只