一元函数微分学练习题

高等数学 ( Ⅰ) 练习 第二章 一元函数微分学

系

专业 班 姓名 学号

习题一

导数概念

一．填空题

f (x 0 x) f ( x 0 ) f (x 0 )

1．若 f ( x 0 ) 存在，则 lim

x

=

,

x 0

f (x 0 h)

f ( x 0

h) 2 f (x 0 )

2．若 f ( x 0 ) 存在， lim

h

=

h 0

3．设 f ( x 0 )

2 x

1

4

, 则 lim

f (x 0) )

x 0

f (x 0 2x)

. lim

f ( x 0 3 x)

f (x 0 ) 3 f ( x 0 )

x

=

.

x 0

4．已知物体的运动规律为

s t

t 2 (米 )，则物体在 t

2 秒时的瞬时速度为 5m/ s

1 3 )

1 2 3 ( x) 5．曲线 y

cos x 在 x

处的切线方程为

y

( x y

2

2 ，法线方程为

2

3 3

3

3

6．用箭头 或 ? 表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系，

极限存在 ?

连续

?

可导。

二、选择题

1．设 f ( 0)

0 ,且 f (0) 存在，则 lim

f ( x)

=

[

B

]

x 0

x

（ A ） f (x)

( B) f

(0)

(C) f (0)

1 f ( 0)

(D)

2

2. 设 f ( x) 在 x 处可导， a , b 为常数，则

f ( x a x)

f ( x b x)

[ B ]

lim

x

=

x 0

a b

（ A ） f (x)

( B) (a

b) f ( x)

(C) ( a

b) f (x)

(D) f ( x)

2

3. 函数在点 x 0 处连续是在该点 x 0 处可导的条件

[ B ]

（ A ）充分但不是必要 （ B ）必要但不是充分 （ C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要

4．设曲线 y x 2

x

2 在点 M 处的切线斜率为

3，则点 M 的坐标为

[

B

]

（ A ）(0,1)

( B)

(1, 0)

(C) ( 0,0)

(D) (1,1)

5．设函数 f ( x) | sin x | ，则 f ( x) 在 x

0 处

[

B ]

（ A ）不连续。

（ B ）连续，但不可导。

(C) 可导，但不连续。（D）可导，且导数也连续。

三、设函数 f (x)

x 2x1

f ( x) 在 x 1处连续且可导，a，b应取什么值。ax b x

为了使函数

1

解：因为 f ( x)在 x1处连续，所以 f (1 ) f (1 ) f (1),

f (1 )lim x21 f (1), f (1 )lim( ax b) a b, 所以 a b 1

x 1x1

因为 f ( x)在 x1处可导 , 所以 f(1) f (1)

f (1)lim 2 x2, f (1)lim a a,

x 1x 1

所以 a2, b1

四、如果 f (x) 为偶函数，且 f (0) 存在，证明 f (0) =0。

证 :因为 f ( x)为偶函数 , 所以 f ( x) f (x), 又因为

f (0)lim f ( x) f (0)lim f (x) f (0)lim f ( x) f (0) f (0)

x 0x x 0x x 0x

而因为 f (0) 存在,故 f (0) f (0) f (0) ,所以 f(0) =0.

五、证明：双曲线xy a2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。

证 : 设双曲线上的任意一点为( x0 , y0 ) ,则 x0 y0a2,又因 y xy 0 ,

所以双曲线在该点的切线方程为y y

0 (x x0 )y0, x0

故它与两坐标轴的交点分别为(0, 2y 0 ) 和 (2 x0 ,0) ,

所以三角形的面积 S 1

(2 x0 ) (2 y0 )2x0 y02a2为定值. 2

高等数学 ( Ⅰ ) 练习第二章一元函数微分学

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习题二求导法则（一）

一、填空题

1． y(2 secx) sin x , 2．y cos(2e x ) ， y = 3． r x log 2 x ln 2, 4. w ln(sect tan t) ,

x y=tan2 x2cos x ; 1ye sin x,y =cosxe sin x.

2e x sin(2e x ) ;sin 2x ，y

2x cos2x sin 2x

y ==x2.

log 2 x1

x

csc

r ln 2ln tan，=;

=

2x

21 w =sect.y arccos(x2x) ， y 1 ( x2x) 2

5.( 1x2 ) 1 x2;( 1 x2C) =x.

1

1 x2

1

6.[ln( x1x2 )]=1x2;(ln( x1x2 )C)=.

1x2二、选择题

1．已知 y=sin x

y=[B]，则

x

（A） xsin x cos x(B)x cos x sin x(C)sin x x sin x(D) x3cos x x 2 sin x x2x 2x 2

2.已知 y=

sin x

，则y =[C] 1cos x

（A） cos x1(B)1cos x(C)

11(D)2cos x1

2cos x12cos x1cos x1cos x

3.已知 y sece x，则y=[ A]（ A ）e x sece x tan e x(B)sece x tan e x(C)tan e x(D) e x cot e x

4.已知 y ln( x1x2 ) ，则 y=[ A ]（ A ）1(B)1x 2(C)x(D)x 21 1x 2 1 x2