(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法第4讲数列求和练习(含解析)
第4讲 数列求和
[基础达标]
1．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n
·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 12＝( ) A ．18 B ．15 C ．－18
D ．－15
解析：选A.记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋
a 2＋…＋a 11＋a 12
＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 11)＋b 12＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 12－b 11)＝6×3＝18.
2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列????
??
1a n 的前
5项和为( )
A ．15
8或5
B ．31
16或5 C ．3116
D ．158
解析：选C.设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9（1－q 3
）1－q ＝1－q
6
1－q
，解得q ＝2，
所以数列????
??1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝31
16.
3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1
n ＋n ＋1
，若前n 项和为10，则项数n 为( )
A ．120
B ．99
C ．11
D ．121
解析：选A.a n ＝
1
n ＋n ＋1＝n ＋1－n （n ＋1＋n ）（n ＋1－n ）
＝n ＋1－n ，所以a 1
＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝10.即n ＋1＝11，所以n ＋1＝121，n ＝120.
4．设各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4a 8＝32，则S 11的最小值为( ) A ．22 2 B ．44 2 C ．22
D ．44
解析：选B.因为数列{a n }为各项均为正数的等差数列，所以a 4＋a 8≥2a 4a 8＝82，S 11
＝（a 1＋a 11）×112＝112(a 4＋a 8)≥112
×82＝442，故S 11的最小值为442，当且仅当a 4＝
a 8＝42时取等号．
5．设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝12，a 24＝4a 2a 8，若1
b n
＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋
log 2a n ，则数列{b n }的前10项和为( )
A ．－20
11
B ．2011
C ．－95
D ．95
解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2
4＝4a 2a 8，所以(a 1q 3)2
＝4a 1q ·a 1q 7
，即4q 2
＝1，所以q ＝12或q ＝－12(舍)，所以a n ＝? ??
??12n ＝2－n ，所以log 2a n ＝log 22－n
＝－n ，所以1b n ＝
－(1＋2＋3＋…＋n )＝－
n （1＋n ）
2
，所以b n ＝－
2n （1＋n ）＝－2? ??
??1
n －1n ＋1，
所以数列{b n }的前10项和为
－2????
??? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????110－111＝
－2? ??
??1－111＝－2011.
6．(2019·杭州八校联考)在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2
n ，a 2
n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )
A ．3n
－1 B ．1－（－3）n
2
C ．1＋3
n
2
D ．3n 2
＋n 2
解析：选A.由点(a 2
n ，a 2
n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2
n －9a 2
n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n
－1
)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，所以a n ＋3a n －1>0，所以a n －3a n －1＝0，即
a n
a n －1
＝3，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）
1－q
＝
2×（3n
－1）3－1
＝3n
－1，故选A.
7．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18
＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．
解析：由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0， 所以T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60.
答案：60
8．设函数f (x )＝12＋log 2x 1－x ，定义S n ＝f ? ????1n ＋f ? ????2n ＋…＋f ? ????n －1n ，其中n ∈N *
，且n ≥2，则S n ＝________．
解析：因为f (x )＋f (1－x )＝12＋log 2x 1－x ＋12＋log 21－x x
＝1＋log 21＝1，
所以2S n ＝??????f ? ??
??1n ＋f ? ????n －1n ＋[f ? ????2n ＋f ? ????n －2n ]＋…＋????
?
?f ? ????n －1n ＋f ? ????1n ＝n －1.
所以S n ＝n －1
2.
答案：
n －1
2
9．数列??
?
?
??1n （n ＋1）的前n 项和为99
100，则n 的值为________．
解析：由题意得
11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×（n ＋1）＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1
n
－1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝99
100
.所以n ＝99. 答案：99
10．(2019·温州中学高三模考)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝a 2
n ＋a n ，用[x ]表示不
超过x 的最大整数，则??
??
??1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 017＋1的值等于________．
解析：因为a n ＋1＝a 2
n ＋a n ，故a n ＋1－a n ＝a 2
n >0，即数列{a n }是递增数列，由a n ＋1＝a 2
n ＋a n
可得a n ＋1＝a n (a n ＋1)，所以
1
a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，从而1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1
， 所以1<1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 017＋1＝1a 1－1a 2 018<1a 1＝2，故????
??1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 017＋1＝
1.
答案：1
11．(2019·金华十校联考)设数列{a n }的各项均为正数，且a 1，22
，a 2，24
，…，a n ，22n
，…成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S k ≥30(2k
＋1)，求正整数k 的最小值． 解：(1)设等比数列的公比为q ，则q 2
＝24
2
2＝22
，
又由题意q ＞0，故q ＝2， 从而a n ＝22n
q
＝22n －1
，
即数列{a n }的通项公式为a n ＝2
2n －1
.
(2)由(1)知a 1＝2，数列{a n }是以22
为公比的等比数列， 故S n ＝2[1－（22
）n
]1－22
＝23
(22n
－1)． 因此不等式S k ≥30(2k ＋1)可化为23(22k －1)≥30(2k ＋1)，即23(2k －1)(2k ＋1)≥30(2k
＋
1)，
因为2k
＋1＞0， 所以2k ≥46， 即k ≥log 246， 又5＜log 246＜6，
所以正整数k 的最小值为6.
12．(2019·温州市普通高中模考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3
2，2S n ＝(n ＋1)a n
＋1(n ≥2)．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1（a n ＋1）2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <
710(n ∈N *
)． 解：(1)当n ＝2时，2S 2＝3a 2＋1，解得a 2＝2. 当n ＝3时，2S 3＝4a 3＋1， 解得a 3＝3.
当n ≥3时，2S n ＝(n ＋1)a n ＋1，2S n －1＝na n －1＋1， 以上两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1， 所以a n n ＝a n －1
n －1
，
所以a n n ＝
a n －1n －1＝…＝a 2
2
＝1，
所以a n ＝?????32，n ＝1n ，n ≥2
.
(2)证明：b n
＝1
（a n
＋1）2
＝?????4
25，n ＝11
（n ＋1）2
，n ≥2
，
当n ≥2时，b n ＝1（n ＋1）2<
1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
，
所以T n ＝425＋? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ????1
n －1n ＋1＝3350－1n ＋1<710
. [能力提升]
1．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )
A ．a 1d >0，dS 4>0
B ．a 1d <0，dS 4<0
C ．a 1d >0，dS 4<0
D ．a 1d <0，dS 4>0
解析：选 B.因为 a 3，a 4，a 8成等比数列，所以a 2
4＝a 3a 8，所以(a 1＋3d )2
＝(a 1＋2d )(a 1
＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2
，即a 1d ＝－53
d 2.因为 d ≠0，所以a 1d ＜0.因为 S n ＝na 1＋
n （n －1）2
d ，所以S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－2
3
d 2<0.
2．在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列????
??1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m
15对
任意的n ∈N *
恒成立，则正整数m 的最小值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选C.在等差数列{a n }中，因为a 2＝5，a 6＝21，
所以?
????a 1＋d ＝5，
a 1＋5d ＝21，解得a 1＝1，d ＝4，
所以1a n
＝
11＋4（n －1）＝1
4n －3
.
因为()S 2n ＋1－S n －()S 2n ＋3－S n ＋1 ＝? ????1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a 2n ＋1－? ??
??1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n ＋3
＝
1
a n ＋1－
1
a 2n ＋2
－
1
a 2n ＋3＝14n ＋1－18n ＋5－1
8n ＋9
＝?
????18n ＋2－18n ＋5＋? ??
?
?18n ＋2－18n ＋9>0，所以数列{}S 2n ＋1－S n (n ∈N *)是递减数列，数列
{}S 2n ＋1－S n (n ∈N *)的最大项为S 3－S 1＝
15＋19＝1445，所以1445≤m 15，m ≥14
3
.又m 是正整数，所以m 的最小值是5.
3．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6
＋15＝0，则d 的取值范围是________．
解析：由S 5S 6＋15＝0，得?
????5a 1＋5×42d ·(6a 1＋6×52d )＋15＝0.
整理可得2a 21＋9a 1d ＋10d 2
＋1＝0.
因为a 1，d 为实数，所以Δ＝(9d )2
－4×2×(10d 2
＋1)≥0，解得d ≤－22或d ≥2 2. 答案：d≤－22或d ≥2 2
4．(2019·台州诊断考试)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有
2a n
a n S n －S 2n
＝1成立，则S 2 017＝________．
解析：当n ≥2时，由
2a n a n S n －S 2n
＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2
n ＝－S n S n －1，
所以2S n －2S n －1＝1，又2
S 1
＝2，所以????
??2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，
则S 2 017＝11 009.
答案：
11 009
5．(2019·浙江“七彩阳光”联盟联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2?
??
??1＋1n a n .
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2
n
a n
，数列{b n }的前n 项的和为S n ，试求数列{S 2n －S n }的最小值．
解：(1)由条件a n ＋1＝2? ??
??1＋1n a n 得a n ＋1n ＋1＝2·a n n ， 又a 1＝2，所以a 1
1
＝2，
因此数列??????
a n n 构成首项为2，公比为2的等比数列，
从而a n n
＝2·2
n －1
＝2n ，因此，a n ＝n ·2n
.
(2)由(1)得b n ＝1n ，设c n ＝S 2n －S n ，则c n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n ，
所以c n ＋1＝
1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2
， 从而c n ＋1－c n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1>12n ＋2＋12n ＋2－1
n ＋1＝0，
因此数列{c n }是单调递增的，所以{c n }min ＝c 1＝1
2
.
6．(2019·浙江严州阶段测试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 7＝4，a 19＝2a 9，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足42a n －1＝λT n －(a 5－1)(n ∈N *
)．
(1)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由；
(2)已知对于n ∈N *
，不等式1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n
＜M 恒成立，求实数M 的最小值．
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d .
因为?
????a 7＝4，a 19＝2a 9，
所以?
????a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ）.解得a 1＝1，d ＝12，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝
n ＋1
2
.
因为a 5＝3，42a n －1＝λT n －(a 5－1)， 所以4n
＝λT n －2，T n ＝1λ4n ＋2λ
.
当n ＝1时，b 1＝6
λ
；
当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝1λ4n ＋2λ－1λ4n －1－2λ＝3λ
4n －1
.
所以b n ＋1＝3λ
4n
＝4b n (n ≥2)，
若数列{b n }是等比数列，则有b 2＝4b 1， 而b 2＝12λ，所以b 2
b 1
＝2与b 2＝4b 1矛盾．
故不存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列． (2)由(1)知S n ＝n （n ＋3）
4
，
所以1S n
＝
4n （n ＋3）＝43? ??
??1
n －1n ＋3，
从而1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n
＝43???? ????1－14＋? ????12－15＋? ????13－16＋…＋? ?1n －2
?
??
－
1n ＋1
?
?
?＋?
????1n －1－1n ＋2＋? ????1n －1n ＋3
＝43? ????1＋12＋1
3－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3
＝43? ????11
6－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3＜229，
所以M ≥229，故实数M 的最小值为22
9
.