元一次方程组的应用13种类型

二元一次方程组的应用

要点突破：

应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤回顾：关键

（1 ）理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）

（2 ）制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）

（3 ）执行计划（列出方程组并求解，得到答案）

（4）回顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）

列方程组思想：

找出相等关系“未知”转化为“已知”?有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等? * \

（1）行程问题：（2）工程问题；（3）销售中的盈亏问题；（4）储蓄问题；（5）产品配套问题；（6）增长率问题；（7）和差倍分问题；（8）数字问题；（9）浓度问题；（10）几何问题；（11）年龄问题；（12）优化方案问题?丿

一、行程问题

（1）三个基本量的关系：

路程s=速度v X时间t 时间t =路程s十速度V 速度V=路程s十时间t

（2）三大类型：

①相遇问题：快行距+慢行距=原距

②追及问题：快行距-慢行距=原距

③航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度

逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度顺速-逆速=2水速;

顺速+逆速=2船速顺水的路程=逆水的路程

相遇问题:

两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。

它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。

A车路程+B车路程=相距路程总路程=（甲速+乙速）x相遇时间相遇时间=总路程+（甲速+乙速）

另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度

甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在

乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度?

练习：学校距活动站670米，小明从学校前往活动站每分钟行80米，2分钟后，小丽从活动站往学校走，每分

钟行90米，小明出发多少分钟后和小丽相遇？相遇时二人各行了多少米？

先行路A车后行路程

追追及问题：两物体速度不同向同一方向运动，两物体同时运动，一个在前车一个在后程前后相隔的路程若把它叫做“追及的路程”，那么，在后的追上前一个的时间叫“追及时间”

关系式是：追及的路程十速度差二追及时间

顺速-逆速=2水速；顺速+逆速=2船速顺水的路程=逆水的路程

A、B两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A、B两地同一方向开出，甲车每小时行32千米，乙车每小时行2

5千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？

A车路稈B车路程

A 车路程+

B 车路程=相距路程 总路程=（甲速+乙速）x 相遇时间

相遇时间=总路程+（甲速+乙速）

甲、乙二人相距6km,二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？ 解:

设甲每小时走x 千米，乙每小时走 y 千米

题中的两个相等关系：

1、 同向而行：甲的路程 =乙的路程 + _____________ 可列方程为： ___________________________________

2、 相向而行：甲的路程 +

=

________ 可列方程为： ___________________________________

【变式】

1.

甲、乙两地相距160千米，一辆汽

车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行， 1小时20分相遇.相遇后，

拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机 ?这时,

汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

2.

甲以5km/h 的速度进行有氧体育锻炼， 2h 后，乙骑自行车从同地出发沿同一条

路追赶甲。根据他们两人的约

定，乙最快不早于 1h 追上甲，最慢不晚于 1h15min 追上甲，则乙骑车的速度应当控制在什么范围？

3. 从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段 3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走 3千米，

平路每小时走4千米，下坡每小时走 5千米，那么从甲到乙地需 90分，从乙地到甲地需 102分。甲地到乙地

全程是多少？

4. 甲，乙两人分别从甲，乙两地同时相向出发，在甲超过中点50米处甲，乙两人第一次相遇，甲，乙到达乙，甲两地 后立即

返身往回走，结果甲，乙两人在距甲地100米处第二次相遇，求甲，乙两地的路程.

5. 两列火车同时从相距

910千米的两地相向出发，10小时后相遇，如果第一列车比第

1二列车早出发4小时20

分，那么在第二列火车出发 8小时后相遇，求两列火车的速度

6. 某班同学去18千米的北山郊游?只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车，乙组步行?车行至A处，甲组下车步行

汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站?已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离.

7. 通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米,

则要迟到15分钟。求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？

总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。

一只船在河中航行，水速为每小时2千米，它在静水中航行每小时8千米，顺水航行每小时行多少千米？逆水航行每小时行多少千米？顺水航行50千米需要用多少小时？

练习：1.某船在静水中的速度是每小时7千米，水流速度是每小时2千米，那么它逆水中的速度是多少？若逆水航行3小时，可航行多少千米？

2. 某船顺水速度是每小时17千米，逆水航行速度是每小时10千米，那么此船的静水速度是每小时多少千米？

水流速度是每小时行多少千米？

3. 两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

工程问题

三个基本量的关系:

工作总量=工作时间X工作效率; 工作时间=工作总量十工作效率;