指数运算与指数函数(教案)
指数运算与指数函数
高考要求
知识梳理
知识点一:有理数指数幂
1. n 次方根概念与表示
一般地,如果n
x =a ,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且*
N n .
2.根式概念
式子a n
叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.
3.根式的性质
①
n a =.
②
||,a n a n ?=??,为奇数为偶数; 4.分数指数幂
正分数指数幂:a m
n
=√a m n
(a >0,m,n ∈N ?,n >1) 负分数指数幂:a ? m n =
1
a m n
=
√a m
n
a >0,m,n ∈N ?,n >1)
0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质
a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (a
b )r =a r b r (a >0,s ∈Q )
知识点二:指数函数的图像和性质
1.指数函数概念:
形如0(>=a a y x
且1≠a )函数叫指数函数,其中x 是自变量,函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质
R
知识点三:指数函数性质的运用(比较大小)
指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大
考点解析
典型习题一:指数幂(根式)的化简与计算
例1、已知当27=x ,64=y 时,化简并计算
【解析】原式??=4561
2121311)32(5
6+--+-y x 24=61
y x 24=61
y ,
当27=x ,64=y 时,原式48224=?=. 例2、已知 01x <<,且1
3x x -+=,求112
2
x x -
-的值.
【解析】因为1
3x x -+=,则
1212
212
1
=-+=---x x x x )(,因为01x <<, 则01
12
12
1<x
x x x x
x -=-=--,所以121
21
-=--x x
典型习题二:指数函数的图像问题
例1、已知函数2
()x f x m
-=(0m >,且1m ≠)恒过定点(,)a b ,则在直角坐标系中函数
||1
()()x b g x a
+=的图象为( )
)6
5
)(41(561
312112
13
2-----y x y x y
x
【解析】根据指数函数的性质,可得函数2
)(-=x m x f ,恒经过定点)
(1,2,即1,2==b a ,所以函数1
)
2
1
()(-=x x g ,当1-=x 时1)1(=-g ,且函数为偶函数,且在)
,(∞+1-上函数为单调递减函数,所以函数的图像为D 项,故选D . 例2、函数221()
2
x x
y -+=的值域是( )
A.R
B.1
[,)2
+∞ C.(2,)+∞ D.(0,)+∞
【解析】令22t x x =-+,则1()2
t y =,而22
2(1)11t x x x =-+=--+≤,所以11()22
t
y =≥
.故选B .
例3、函数12y ?=
???
的单调递增区间是 .
【解析】由题意得,函数满足2
20x x -++≥,解得12x -≤≤,且函数()22f x x x =-++,在区间1
(,)2-∞上单调递增;在区间1[,)2+∞上单调递减,根据复合函数的单调性,可得
12y ?= ???
的单调增区间为1,22
?????
?
.
例4、若21
21
2
()4
x x +-≤,则函数2x y =的值域是( ) A.1[,2)8 B.1,28??
????
C.1
(,]8
-∞ D.[2,)+∞ 【解析】将21
22(2)1
2
()=24
x x x +---≤化为212(2)x x +≤--,即2230x x +-≤,解得[]3,1x ∈-,所以31222x -≤≤,所以函数2x y =的值域是1,28??
????
.故选C .
例5、函数()()23201x
x f x a
a a a =+->≠且在区间[]1,1-上的最大值为8,则它在这个
区间上的最小值是 .
【解析】由题意得,令0>x
a t =,因为]1,1[-∈x ,当1>a 时,则],1[a a
a t x
∈=,则
417
)23(23)(22-
+=-+=t t t x f ,所以当a t =,函数取得最大值,此时最大值为823)(2=-+=a a a f ,解得2=a ,所以函数的最小值为4
1
2213)21()21(2-=-?+=f ;
当10<<a 时,则]1
,[a
a a t x
∈=,则417)2
3(23)(2
2
-+=-+=t t t x f ,所以当a
t 1
=时,函数取得最大值,此时最大值为8213)1()1
(2
=-?+=a a
a f ,解得2
1
=a ,所以函数的最小值为412213)2
1()21
(2
-=-?
+=f ,所以函数的最小值为4
1-. 典型习题三:指数函数性质的运用(比较大小)
例1、已知3
1
16
=a ,5
42=b ,3
25
=c
,则( )
A.c a b >>
B.b c a >>
C.a b c >>
D.b a c >>
【解析】因为3
24
3
42==a ,幂函数3
2x y =在)
,(∞+0上是增函数,5大于4,所以a c ==3
23245>,又因为指数函数x
y 2=是增函数,3
4
54>,所以a b ==34
5422<,所以
c a b <<,故选D .
达标训练
1.若0a >,且m ,n 为整数,则下列各式中正确的是( ) A .m m
n n
a
a a
÷=
B .m
n mn a
a a ?=
C .()
n
m
m n a a +=
D .01n
n
a a
-÷=
2.化简12
60
[()]()21---的结果为( )
A .9-
B .7
C .10-
D .9
3 A .0
B .2()a b -
C .0或2()a b -
D .a b -
4.下列函数中:①23x
y =?;②13x y +=;③3x y =;④3
y x =.其中,指数函数的个数是
( ) A .0
B .1
C .2
D .3
5.若函数x
a y )1(-=在实数集R 上为减函数,则a 满足( ) A .1<a
B .10<<a
C .21<<a
D .21<<a
6.函数1
2+=x y 的大致图象是( )
7.若10
2,104m
n
==,则32
10
m n
-= .
8.化简并求值:
(1)25
2
008.0)949(82732
5.032
?
+--)(; (2
)
4133
223
3
8(14a a b a b
-÷-+ 9.已知函数()1
31
x
f x a =
++为奇函数,则a 的值为 . 10.求下列函数的定义域与值域:
(1
)y =
(2)21
21
x x y -=+;
(3
)y =
11.已知函数)(x f 的定义域是)2,1(,则函数)2(x
f 的定义域是( ) A .)1,0(
B .)4,2(
C .)1,2
1(
D .)2,1(
12.化简625625++-=___________
13.已知0a >,0b >,且b
a
a b =,9b a =,求a 的值. 14.已知1
3x x
-+=,求下列各式的值:
(1)1122
x x -+; (2)332
2
x
x -+
15.设函数11()7,0
()22,0x
x x f x x -?-=??≥?
,若()1f a <,则实数a 的取值范围是( )
A .(,1)-∞
B .(3,)-+∞
C .(3,1)-
D .(,3)
(1,)-∞-+∞
16.函数x
a
k x f -?=)((a k ,为常数,10≠a a ,且>)的图象过点)1,0(A ,)8,3(B .
(1)求函数)(x f 的解析式;
(2)若函数()1
()()1
f x
g x f x -=+,试判断函数)(x g 的奇偶性,并给出证明.
答案与解析 1.【答案】D
【解析】由指数幂的运算,A 、B 、C 错误,故选D . 2.【答案】B
【解析】原式=12
6)2(17-=. 3.【答案】C
【解析】当0≥-b a 时,原式)(2b a b a b a -=-+-=;当0<b a -时,原式
0=-+-=b a a b ,故选C .
4.【答案】B
【解析】①中x
3前面的系数不是1,不是指数函数;②中指数不是x 而是1+x ,不是指
数函数;③是指数函数;④中自变量在底数上,不是指数函数.所以指数函数的个数是1,故选B . 5.【答案】C
【解析】依题意,有011a <-<,即12a <<. 6.【答案】A
【解析】函数1
2+=x y 的图象是由函数x y 2=的图象向左平移一个单位长度得到的,观察
各选项可知选A . 7.
【解析】3331312
2
22222
10
10
10(10)(10)24m n
m n m n -=÷=÷=÷=.
8.【答案】(1)
23
12
;(2)a . 【解析】(1)原式97223
25432512
=-+?=;
(2)原式313
13
13
12
313
13
12
31
3
12)
2(2)()8(a
b
a a
b b a a b a a ?-?
++-=
a b a b a a
=--=
++3
313
31313131)
2()()
8(.
9.【答案】2
1-
【解析】方法一:)(x f 为奇函数,
01
31
131,0)()(=+++++=+-∴-a a x f x f x
x 即
, 1131
31311312-=++-=+-+-=-x x x x a ,2
1-=∴a
方法二:由题意得a a f +=++=2
1
131)0(0
, 又0)0(=f ,
2
1
-=∴a
10.【答案】(1)定义域为[0,)+∞,值域为[0,1);(2)定义域为R ,值域为(1,1)-;(3)
定义域为(,1]-∞,值域为[1,)+∞.
【解析】(1)∵11()02
x
-≥,∴1()12
x
≤,解得0x ≥, ∴原函数的定义域为[0,)+∞.
令11()(0)2
x
t x =-≥,则01t ≤<,∴01≤,
∴原函数的值域为[0,1). (2)易知原函数的定义域为R .
由2121x x y -=+,得121x y y +=--,∵20x
>,∴101
y y +->-,∴11y -<<.
∴原函数的值域为(1,1)-. (3)∵10x -≥,∴1x ≤, ∴原函数的定义域为(,1]-∞.
0≥,∴1≥,
∴原函数的值域为[1,)+∞. 11.【答案】A
【解析】∵)(x f 的定义域是)2,1(,
101222221<<,即<<x x ∴
10<<x ∴故选A .
12.【答案】32
【解析】2322323223+?+++?-=原式 )23()23(++-= 32=
13.【解析】∵0a >,0b >,b
a
a b =,
∴1119
()()(9)a b a b b b a b a b a a =?=?=,
∴ 818
2
9
9
93a a a =?=?=
14.【答案】(1;(2)
【解析】(1)
11112
11
2
22
2
()2325x x x x x x
-
-
-+=++=+=,∴112
2
x x
-
+=
1
3x x -+=,0x ∴>,1
12
2
x x -∴+=
(2)33113
32
2
22()()x x
x x -
-
+=+11111122
2
222
2
2()[()()]x x x x x
x -
-
-
=+-+
1
1
12
2
()[()1]1)x x x x --=++-=-=
15.【答案】C
【解析】当0a <时,不等式()1f a <可化为1
()712
a
-<,即1()82
a
<,解得30a -<<;当0a ≥时,不等式()1f a <可化为1
21a -<,所以01a ≤<.故a 的取值范围是(3,1)-故
选C .
16.【答案】(1)x
x f 2)(=;(2)奇函数,证明见解析.
【解析】(1)由已知得3
18
k k a -=???=?,∴11,2k a ==,∴x
x f 2)(=.(2)函数)(x g 为奇函数.证明:21
()21
x x g x -=+,其定义域为R ,又
211221
()()211221
x x x x x x g x g x ------===-=-+++,∴函数)(x g 为奇函数.
课后训练
1.若210
25x
-=,则10x 的值为( )
A .15±
B .
15 C .1
5
-
D .1625
2.已知2
2
x x
-+=,且1x >,则22x x --的值为( )
A .2或2-
B .2-
C .6
D .2
3.化简:10.5
23
3
277(0.027)2______1259-
????
+-= ? ?
????
4.设 1.2
0.8
0.46
14,8
,2a b c -??=== ?
??
,则,,a b c 的大小关系是( )
A .a b c >>
B .b a c >>
C .c a b >>
D .c b a >> 5.已知x
a x f -=)((10≠a a ,且>),且)3()2(f f >-,则a 的取值范围是( ) A .0>a B .1>a C .1<a
D .10<<a
6.当10≠a a ,且>时,函数3)(2
-=-x a x f 的图象必过定点 .
7.= . 8.已知函数1
2log )(2
--=x x x f 的定义域为集合A ,关于的不等式x
a a --22<的解集为B ,若B A ?,求实数a 的取值范围.
9.(11
04
21()0.25(
2-+?; (2)已知1
12
2
3x x
-
+=,求221
1
2
x x x x --++++的值. 10.是否存在实数a ,使得函数
()()22101x x f x a a a a =+->≠且在区间[]1,1-上的最大值为14?若存在,求出a 的值;
若不存在,说明理由.
11.
12.已知函数1()3()3
x x
f x =-,则()f x ( )
A .是奇函数,且在R 上是增函数
B .是偶函数,且在R 上是增函数
C .是奇函数,且在R 上是减函数
D .是偶函数,且在R 上是减函数
13.求函数11()()14
2
x
x
y =++的值域.
14.设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?,,,,
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .
15.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(–∞,0)上单调递增.若实数a 满足
1
(2
)(a f f ->,则a 的取值范围是 .
16.已知函数)10()(≠+=a a b a x f x
,>的定义域和值域都是]0,1[-,则b
a += .
答案与解析 1.【答案】B 【解析】25)
10(2
=-x ,所以5
1
10=
x ,故选B . 2.【答案】D
【解析】2
22
2
22
()()44x x x x ---=+-=,因为1x >,所以22x x ->,所以22
2x x --=.
3.【答案】0.09
【解析】原式2
55
=0.0933
++-. 4.【答案】A
【解析】由题得 1.2
0.8 1.60.46 1.38 1.2142,82,22-??
====== ?
??
a b c ,又函数2=x y 在R 上
是增函数,所以a b c >>,故选A . 5.【答案】D
【解析】因为32-->时,且)3()2(--f f >),所以函数x
a x f -=)((10≠a a ,且>)
是增函数,所以10<<a .故选D . 6.【答案】()
2,2-
【解析】令20x -=,即2x =,则2)(,12
-=∴=-x f a x ,从而函数()f x 的图象过定
点()2,2-. 7.【答案】78
a
11117
11
82488
24
a a a a a
++
===. 所以答案应填:
7
8
a.
8.【答案】1
a≤-.
【解析】要使有意义,则,解得,
即
由,解得,
即
∴解得
故实数的取值范围是
9.【答案】(1)3
-;(2)
3
16
.
【解析】(1)原式3
2
2
1
5
)
2
(
2
1
1
42
4
2
1
-
=
?
+
-
=
-
?
+
-
-
=-
-
(1)47
7
9
)
(
,32
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
=
+
?
=
+
?
=
+
∴
=
+-
-
-
-
x
x
x
x
x
x
x
x
,
∴原式
3
16
9
48
=
=.
10.【答案】
1
3
3
a=或.
【解析】令t
a x=,则1
2
2-
+
=t
t
y,开口向上,对称轴为1-
=
t,
当1
>
a时,?
?
?
??
?
∈a
a
t,
1
,故函数1
2
2-
+
=t
t
y在?
?
?
??
?
a
a
,
1
上单调递增,故14
1
2
2
max
=
-
+
=a
a
y,
解得3
=
a或5
-
=
a(舍去)
当1
0<