考研数学模拟测试题完整版及答案解析数一

2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数一）

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）当0x →时，下面4个无穷小量中阶数最高的是 （ ）

2

3

5

45x x x ++

(C) 33

ln(1)ln(1)x x +--

(D) 1cos 0

x

-⎰

【答案】（D ）

【解析】（A ）项：当0x →

2

2x =

（B ）项：显然当0x →时，235

2454x x x

x ++

（C ）项：当0x →时，333

3

3

3333

122ln(1)ln(1)ln

ln 12111x x

x x x x x x x

⎛⎫++--==+ ⎪---⎝⎭

（D ）项：1cos 3

1

10

0001(1cos )2lim

lim lim k k k x x x x x

x x x kx kx ---→→→→-⋅==

=⎰

所以，13k -=，即4k =时1cos 0

lim

k

x x

-→⎰存在，所以

4

1cos 0

8

x -⎰

（2）下列命题中正确的是 （ ） (A) 若函数()f x 在[],a b 上可积，则()f x 必有原函数 (B)若函数()f x 在(,)a b 上连续，则

()b

a

f x dx ⎰

必存在

(C)若函数()f x 在[],a b 上可积，则()()x

a

x f x dx Φ=

⎰

在[],a b 上必连续

(D)若函数()f x 在[],a b 上不连续，则()f x 在该区间上必无原函数 【答案】 C

【解析】选项（A ）错误，反例：1,01

()2,12

x f x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，在[]1,2可积，但它无原函数。

选项（B ）错误，反例：1

()f x x

=

在(0,1)上连续，但101dx x ⎰不存在。

选项（D ）错误，反例：112cos sin ,0

()00x x f x x x

x ⎧

+≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处不连续，但其原函数可取2

1cos ,0

()00

x x F x x

x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 。所以，正确选项为（C ）。

（3）以下关于二元函数的连续性的说法正确的是 ( )

(A) (),f x y 沿任意直线y kx =在某点0x 处连续,则(),f x y 在点()00,x y 连续 (B) (),f x y 在点()00,x y 处连续,则()0,f x y 在0y 点连续,()0,f x y 在0x 点连续 (C) (),f x y 在点()00,x y 处偏导数()00,x f x y '及()00,y f x y '存在,则(),f x y 在点

()00,x y 处连续

(D) 以上说法都不对 【答案】B

【解析】由二元函数(),f x y 在点()00,x y 极限存在及在该点连续的定义知B 正确.

（4）设区域{}

22

(,)4,0,0D x y x y x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为

常数，则D

I σ=

＝ ( )

(A) ab π (B) 2ab π (C) ()a b π+ (D) 2

a b π+ 【答案】D

【解析】D

I σ=

,D 关于y x =对称⇒

D

I σ=两式相加得

2()()D

D

I a b d a b σσπ==+=+⎰⎰

2

a b

I π+⇒=

（5）设m n A ⨯矩阵经过若干次初等行变换后得到B ，现有4个结论正确的是： （ ） ①A 的行向量均可由B 的行向量线性表示 ②A 的列向量均可由B 的列向量线性表示 ③B 的行向量均可由A 的行向量线性表示 ④B 的列向量均可由A 的列向量线性表示

(A) ①、② (B) ③、④ (C) ②、③ (D) ①、③ 【答案】(D)

【解析】由题设A 经初等行变换得到B 知，有初等矩阵12,,,s P P P 使得21.s P P P A B =记

21s

P P P P =则ij m m

P p ⨯⎡⎤=⎣⎦

是可逆矩阵，将,A B 均按行向量分块有

1112

11121

2122211

1m m m m m m m p p p p p p PA B p p p αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

这表明1122(1,2,

,)i i im m i p p p i m αααβ+++==，故B 的行向量均可由A 的行向量线

性表出，因ij m m

P p ⨯⎡⎤=⎣⎦

是可逆矩阵，所以两边同乘1

P -得

1122

1m m P αβαβαβ-⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

故故A 的行向量均可由B 的行向量线性表出。所以答案选(D)

（6）已知110110,001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

那么下列矩阵 110300121110,020,252001000121-⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中，与A 合同的矩阵有 （ ）