3.4基本不等式第2课时精品教案

3.4

2

a b

+≤

【课题】3.4.2

2

a b

+≤的应用 【教学目标】

1

2

a b

+≤

；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题

2

2

a b

+≤

，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】

2

a b

+≤的应用 【教学难点】

2

a b

+≤求最大值、最小值。

值是

A.

2

33 cm 2

B.4 cm 2

C.32 cm 2

D.23 cm 2

解析：设两段长分别为x cm ，（12－x ） cm ，

则S =

43（3x ）2+43（312x -）2=183

（x 2－12x +72）=183［（x －6）2+36］≥23. 答案：D 2． 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 解析：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得

)1600

(720240000x

x l +

+=

297600

4027202400001600

2720240000=⨯⨯+=⋅

⨯+≥x

x 当.2976000,40,1600

有最小值时即l x x

x ==

因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元答案：当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

3一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

解析：法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜

2

1

，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤2

18)222(2

2L x L x =-+

当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝

4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4

L

m 时菜园面积最大为8

2L m 2

法二：设矩形的长为x m ，则宽为

2

x

L -m ，面积 S ＝2)(2)(2

x L x x L x -⋅=-≤8

2)2(22L x L x =-+（m 2）

当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为2L

m ，宽为4

L m 时，

菜园的面积最大，最大面积为8

2L m 2

答案：菜园的长为2L

m ，宽为4

L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2

4.建筑一个容积为8000 m 3、深6 m 的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a 元／米2，池底造价为2a 元／米2，把总造价y 元表示为底的一边长x m 的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________ m 时总造价最低是___________元.

解析：设池底一边长x （m ），则其邻边长为

x 68000（m ），池壁面积为2·6·x ＋2·6·x

68000

＝12（x ＋x 68000）（m 2），池底面积为x ·x 68000＝6

8000（m 2），根据题意可知蓄水池的总造价y （元）与池

底一边长x （m ）之间的函数关系式为y ＝12a （x ＋x 68000）＋3

8000

a .

定义域为（0，＋∞）.

x ＋

x 68000≥2x x 68000⋅＝

3

40

30（当且仅当x =

x 68000即x =3

20

30时取“=”）.

∴当底边长为

3

20

30 m 时造价最低，最低造价为（16030a ＋

3

8000

a ）元. 答案：y =12a （x +x 68000）+38000a （0，+∞） 3

2030 16030a +38000

a

5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y 万元与营运年数x （x ∈N ）的关系为y =－x 2+12x －25，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大.

A.2

B.4

C.5

D.6

解析：设年平均利润为g （x ），则g （x ）=x x x 25122-+-=12－（x +x 25）.∵x +x

25

≥2x x 25⋅=10，

∴当x =

x

25

，即x =5时，g （x ）max =2. 答案：C

6如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a 、b 的乘积ab 成反比现有制箱材料60平方米，问a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A 、B 孔面积忽略不计)

解析：法一：设y 为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y ＝ab

k

，其中k ＞0且k 是比例系数依题意要使y 最小，只需求ab 的最大值

由题设得：4b ＋2ab ＋2a ＝６0 （a ＞0，b ＞0） 即a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0)

∵a ＋2b ≥2ab 2 ∴2ab ⋅2＋ab ≤30 当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 有最大值

∴当a ＝2b 时有2ab ⋅2＋ab ＝30,即b 2

＋2b －1５＝0

解之得：b 1＝3，b 2＝－５（舍去)∴a ＝2b ＝６

故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少

解析：法二：设y 为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b ＋2ab ＋2a ＝６0（a ＞0，b ＞0）

∴a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0）,∴b ＝a

a

+-230 （0＜a ＜30） 由题设：y ＝

ab

k

，其中k ＞0且k 是比例系数，依题只需ab 取最大值 ∴y ＝

264322302

+-+-=+-=a a k

a a a k a

b k ＝⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++-264)2(34a a k