最值问题解题思路奥数

马到成功奥数专题: 离散最值

引言：在国外数学竞赛中，常出现一些在自然数围变化的量的最值问题，我们称之为

离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：

1.着眼于极端情形；

2.分析推理——确定最值；

3.枚举比较——确定最值；

4.估计并构造。

离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。

一、从极端情形入手

从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。

题目1. 一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10 个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“ 4”，黄色小球上标有数字“ 5”，绿色小球上标有数字“ 6”。小明从袋中摸出8 个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？

解：假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为(4X 8=) 32，与实际的和39相差7,这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。

用一个绿球换一个红球,数字和可增加( 6－4=) 2,用一个黄球换一个红球,数字和可增加

(5-4= ) 1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在7-2=3……1,因此可用3

个绿球换红球,再用一个黄球换红球,这样8 个球的数字之和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39,其中最多可能有( 8-3-1= ) 4个是红球。

题目2. 有1 3个不同正整数, 它们的和是100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？

解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72 还要有5个奇数，但和是奇数，100是偶数，所以只能少一个偶数, 2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17,最多有7个偶数。

② 1+3+5+7+9+11 + 13+15=64 还要5 个偶数，100-64=36 36=2+4+6+8+16 最少有5 个偶数。

题目3. 一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。为了能称出1克到

91 克的任意一种整数克重量,如果只允许在天平的一端放砝码,那么最少需要准备砝码多

少个。

解：要能称出1克到91克的任意一种整数克重量,要有9个9克、1个5克、1个3克、2 个1克,它们的和是91,这样即可。需要9+1+1+2=13个。

题目 4. 一台计算器大部分按键失灵，只有数字“ 7”和“ 0”以及加法键尚能使用，因此 可以输入 77，707 这样只含数字 7和 0的数，并且进行加法运算。为了显示出

222222，最

少要按“ 7”键多少次？ 当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。这种方法的大 意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种 情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。

题目 5. 将 6，7，8，9，10 按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得 5 个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？ 解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。对于 10，旁边添 6 和 7，这样积小一些。于是有

两种添法：

题目 6. 某公共汽车从起点开往终点站， 中途共有 13 个停车站。 如果这辆公共汽车从起点 站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站， 那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？

解法 1：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：

由上表可见，车上最多有 56 人，这就是说至少应有 56 个座位。

说明： 本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的， 座位最少有多少， 取决于什么时 候车

上人数最多， 要保证乘客中每人都有座位， 应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人 数。所以， 我们不能只看表面现象， 误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析 清楚后再作判断。

解法 2：因为车从某一站开出时， 以前各站都有同样多的人数到以后各站 （每站 1 人）， 这

一人数也和本站上车的人数一样多，因此

车开出时人数=（以前的站数+1）X 以后站数

=站号X （ 15-站号）。

因此只要比较下列数的大小：

1X 14, 2X 13, 3X 12, 4X 11, 5X 10,

6X 9, 7X 8, 8X 7, 9X 6, 10X 5,

11X 4, 12X 3, 13X 2, 14X 1。

由这些数，得知7X8和8X7是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是

56人，所以 222222-70000*3=12222 按下了 3 个 7 12222-7000*1=5222 按下了 1个 7

5222-700*7=322

7 42-7*6=0 按下了 7 个 7 322-70*4=42 按下了 4 个 按下了 6 个 7。 3+1+7+4+6=21 次

枚举法与逐步调整

它应有56 个座位。

说明：此题的两种解法都是采用的枚举法, 枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出, 逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论。

题目7.

在如图18-2 所示得2*8 方格表中,第一行得8 个方格依次写着1 、2、3、4、5、6、7、8。如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格,使得每列两

数的8 个差数两两不同,那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？

解：这8个差分别是0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,和为28,分成两组,每组14。8和7必然填在1, 2两个方格。前两列的差是7和5,第3个如果填6,那么7+5+3超过14,所以只能填5,此时3个差为7、5、2,和为14,第4个格子只能填4,填6就会有重复。数字6 只能填在第7 格,再凑一凑即可得出87541362。

三、从简单情形入手

解决复杂问题可以从简单问题入手,经过分析得出规律,也就找到了解决复杂问题的方法。

题目8. 从11…99100中划去100个数字，其他数字顺序不变，求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。

分析与解将此题简化为从中划去9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为91,最小数为10,也就是在求最大数时,高位上的数字尽可能取大数字；求最小数时,高位上尽可能取小数字。本题中从中划去10个数字剩下9;从111213…484950中划去76

个数字剩下4 个9；再从960 中划去1 4个数字剩下尽可能大的数是785960,从而得到所求

的最大数61…99100。求最小值时，从中划去9个数字剩下10,从11121314?-484950中划

去76个数字剩下4个0,再从960中划去15个数字剩下尽可能小的数12340,从而得到所求最小数6162…99100。

题目9. 将1, 2, 3,…，49, 50任意分成10组，每组5个数。在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”。求这10个中位数之和的最大值与最小值。

解：{1 , 2, 3, 49, 50} {4 , 5, 6, 47, 48} …… {28 , 29, 30, 31, 32}

3+6+……+30=165 （最小值）

{1 , 2, 48, 49, 50} {3 , 4, 45, 46, 47} …… {19 , 20, 21, 22, 23}

48+45+……+2仁345 （最大值）

四、和一定问题

例如，和为10的两个自然数，它们的积的最大值是什么？我们知 道和为10的自然数共有5对，每对自然数乘积后又得到 5个不同 的数，如下表： 由此我们得到，当这两个自然数都取 5时积有最大值25。

成立。也就是和一定时差最小乘积越大。

题目10.

有3条线段a,b,c ，线段a 长2.12米，线段b 场2.71米，线段c 长3.53米。如图18-1， 以它们作为上底、下底和高，可以作出 3个相同的梯形。问第几号梯形的面积最大？

解：由于梯形体积=（上底+下底）*高/2 在和一定的情况下，要使乘积最大，让两个数越 接近。可见a+b 与c 十分接近，所以③的面积最大。

题目11.如果将进货单价为 40元的商品按50元售出，那么每个的利润是

10元，但只能 卖出500个。当这种商品每个涨价

1元时，其销售量就减少 10个。为了赚得最多的利润，

售价应定为多少？ 解：设每个商品售价为（50+x ）元，则销量为（500-10X ）个。总共可以获利

（50 + x-40 ）X （ 500-10X ）

=10X （ 10+X ）X （ 50-X ）（元）。

因（10+x ） + （ 50-x ） =60为一定值，故当 10+X=50- X 即X=20时，它们的积最大。 此时，每个的销售价为 50+ 20=70 （元）

题目12.用3, 4, 5, 6, 7, 8六个数字排成三个两位数相乘，要求它们的乘积最大。应 该怎样排列？

【分析与解】 十位数字分别是8、7、6, 8>7>6,个位数字分别是5, 4, 3, 5>4>3,依据“接 近原则"，大小搭配可得 83X 74X 65,三个数最接近因而它们的乘积最大。

综上数例， 可以归纳出这样的规律 : 较大数后配较小的数， 较小的数后配较大的数， 这样才 能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘．积．越．大．。．．．．

1+ 9= 10 T 1X 9= 9 2+8=10 T 2X 8=16

3 + 7=10 T 3X 7=21

4+6=10 T 4X 6=24

5+5= 10 T 5X 5=25

综上数例，可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接．近．，乘积越大。

五、积一定的问题

两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？

观察下面的表：

我们不难得出如下的规律：

两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。

2

题目13. 长方形的面积为144 cm 2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？

解：设长方形的长和宽分别为xcm 和ycm ，则有

xy =144。

故当x=y=12时，x+y有最小值，从而长方形周长 2 (x + y)也有最小值。

题目14.农场计划挖一个面积为432 m2的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m和4m的

堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？

解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm和ym,则有

xy= 432。

占地总面积为S= (x + 6)( y + 8) cm。于是

S=Xy+6y+8X^ 48 = 6y+8X+480。

我们知道6y X 8X=48X 432为一定值，故当6y=8X时，S最小，此时有6y=8X=144，故y=24, x=18。

六、从整体入手从整体抓住数据的本质特征进行分析，较易突破难点。

题目15. 在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（2）这个算式中的所

有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？题目16. 在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成

一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（2）这个算式中的

所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？

解：把10 个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2 倍。

因为55-37 = 18,所以我们变成减数的这些数之和是18-2=9。对于大于2的数来说，

两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。9最多可拆成三数之和2+ 3 + 4=9,因此这些减数的最大乘积是2X 3X 4= 24,添上加、减

号的算式是

10 ＋9＋8＋7 ＋6＋5- 4- 3- 2 ＋1=37。

七、抓不等关系

题目17. 某校决定出版“作文集”,费用是30册以为80 元,超过30册的每册增加1.20 元。当印刷多少册以上时,每册费用在1.50 元以？

解：显然印刷的册数应该大于30。设印刷了（30+ x）册，于是总用费为（80+1.2X ）元。

故有

80+1.2X < 1.5 X（ 30+x）, 答案:117+30= 147以。

题目18. 有4袋糖块,其中任意3袋的总和都超过60块。那么这4袋糖块的总和最少有多少块？

解：要使其中任意3袋的总和都超过60块,那么至少也是61,先在每袋中放20个糖块, 但任意3 袋中至少一个21 ,否则就无法超过60。要使任意3 袋中至少一个21,这4个袋子的糖块分别是20, 20, 21, 21。和为20+20+21+21=82

八、抓相等关系题目19. 10 位小学生的平均身高是1.5 米。其中有一些低于1.5 米的，他们的平均身高是

1.2 米；另一些高于1.5 米的平均身高是1.7 米。那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5 米？

解: 要最多有多少位同学的身高恰好是1.5 米，就要使低于和高于1.5 米的人越少，设高于和低于的人分别为a,b 。可得：1.2a+1.7b=1.5(a+b) 2b=3a 至少是5人那么最多有10-5=5 位同学的身高恰好是1.5 米。

题目20. 4 个不同的真分数的分子都是1，它们的分母只有2 个奇数、2 个是偶数，而且2

个分母是奇数的分数之和与2 个分母是偶数的分数之和相等。这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的偶数尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？

解：1/奇+ 1/奇=1/偶+ 1/偶偶/奇=(偶+偶”偶X

偶

奇*(偶+偶)=偶*偶*偶。因为偶*偶*偶是8 的倍数所以偶+偶是8的倍数若是8，只能为2和6则1/2+1/6=1/3+1/3 不符合题意，因为奇相等;若是16，有1/6+1/10=1/5+1/15 因此本题答案是16。

九、位值展开式

题目21. 一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？解：设两位数位ab( a 表示十位数字，b 表示个位数字) ab=(10a+b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+1

a+b 最大是1 8，此时余数为9]

当a+b=17,若a=9余数为13 若b=9 余数为4

题目22.当a+b=16,若a=9余数为1 若b=9 余数为15此时余数最大。由3个非零数字组成的三位数与这3个数字之和的商记为K。如果K是整数，那么K的最大值是多少？解：设这个数为abc( a 表示百位数字，b 表示十位数字，c 表示个位数字)

那么abc/ ( a+b+c)=K (100a+10b+c)/(a+b+c)=K 要使这个算式最大，就要让a 尽可能

大，b,c 尽可能的小。试一下：911/ (9+1+1) =82……9, 811/ (8+1 + 1) =81……1, 711/

(7+1+1) =79，所以K 最大是79。

题目23.用1, 3, 5, 7, 9这5个数组成一个三位数ABC和一个两位数DE再用0, 2, 4,

6,8这5个数组成一个三位数FGH和一个两位数IJ。求算式ABCX DE-FGX IJ的计算结果的最大值。解：要使ABC*DE-FGH*IJ这个算式最大就要使ABC*DE最大，FGH*IJ最小。那么前面最大是

751*93 。后面最小是468*20 。那么算式的最小值是751*93-468*20=60483 十、“估计+构造”

“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法，要求某个离散最值，先估计该量的上界或下界，然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到，这样便求出了这个量的最大值或最小值。

题目24.把1 , 2, 3,…，12填在左下图的12个圆圈里，然后将任意两个相邻的数相加，得到一些和，要使这些和都不超过整数n，n 至少是多少？为什么？并请你设计一种填法，满足你的结论。