相交线与平行线章节复习C(学生)

学科教师辅导讲义

年级：科目：数学课时数：3 课题相交线平行线

教学目的

掌握平面中两条直线的位置关系：相交线与平行线的有关知识，并能灵活应用，解决实际问题．

教学内容

【知识点梳理】

【典型例题讲解】 【例1】如图所示，直线AC ∥m ∥OB ，AP 、OP 分别是∠CAO 与∠AOB 的平分线，直线m 经过点P ．AC 与直线m 的距离和OB 与直线m 的距离相等吗？请说明理由．

【借题发挥】

如图，已知AB ∥CD ，ABE DCF ∠=∠，试证明：E F ∠=∠的理由．

【例2】如图所示，一束光线AD 经CD 镜面反射至镜面AB ，再经镜面AB 反射至镜面CD ，再经镜面CD 反射至镜面AB ．已知CD ∥AB ．

(1)从图中找出互相平行的直线，并说明理由；

(2)若∠A ＝70°，求四边形ABCD 各个内角的度数．

【例3】如下图所示，AB ∥CD

(1)若点E 在图①中的位置，试探究BED ∠与CDE ∠、ABE ∠三者之间的关系，并尝试解释；

(2)若点E 在图②中位置．以上三角之间又有何关系？表示出来并解释；

(3)尝试探索点E 除(1)(2)两种位置之外的一种情况，画出图形，并写出此种情况BED ∠与CDE ∠，ABE ∠三者之间的关系．(不需要解释)

【例4】如图所示，已知AB ∥CD ，

(1)如图①，B E ∠+∠与BED ∠相等吗？为什么？

(2)将图①改为图②，B ∠、D ∠、E ∠间的关系如何？为什么？

(3)将图①改为图③，B ∠、D ∠、E ∠、F ∠间的关系如何？为什么？

(4)将图①改为图④，猜想121n B E E E D -∠+∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠等于多少度？（不必证明）

【借题发挥】

阅读下列内容：

①如图1，若AB ∥CD ，求12∠+∠的度数．

【解】因为AB ∥CD ，所以12∠+∠＝180°．

②如图2，已知AB ∥CD ，求123∠+∠+∠的度数．

【解】过E 作EF ∥AB ，则EF ∥CD

所以1180,3180AEF FEC ∠+∠=︒∠+∠=︒，

所以1231802360∠+∠+∠=︒⨯=︒．

回答下列问题：

(1)第①题中得12∠+∠＝180°的依据是 ．

(2)第②题中EF ∥CD 的依据是 ．

(3)如图3，若AB ∥CD ．则1234∠+∠+∠+∠的度数是 ．

(4)如图4，若AB ∥CD ，则122n ∠+∠+⋅⋅⋅+∠的度数是 ．（2n ≥，且n 为整数）

【解析】

(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行；

(3)540°(4)()21180n -⋅︒（n ≥2，且n 为整数）

【随堂练习】

1．如图所示，已知13180,23180∠+∠=︒∠+∠=︒，试判断AB 和CD 的关系并说

明理由．

【分析】观察图形可直观地判断AB ∥CD ，为此只需说明12∠=∠或A D ∠=∠．

【解析】因为13180∠+∠=︒,

所以11803∠=︒-∠.

又因为23180∠+∠=︒

所以21803∠=︒-∠

所以12∠=∠.所以AB ∥CD

【方法总结】观察——猜想——验证是解决开放性问题的一般思路．

2．如图所示，已知BE MN ⊥，DF MN ⊥，12∠=∠，直线AB 与CD 平行吗？为什

么？

【分析】本题产生错解：因为12∠=∠，所以AB ∥CD (同位角相等，两直线平行)．误

认为1∠与2∠是同位角、实质上1∠与2∠不是两条直线被第三条直线所截得的角，应由

已知推出ABM CDB ∠=∠，再由同位角相等，两直线平行判定AB ∥CD ．

【解析】 因为BE MN ⊥，DF MN ⊥

所以90EBM FDM ∠=∠=︒（垂直的定义），

又12∠=∠，

所以12EBM FDM ∠-∠=∠-∠,

即ABM CDB ∠=∠,

所以AB ∥CD (同位角相等，两直线平行)．

【方法总结】找同位角、内错角或同旁内角时，必须确定它们是不是两条直线被第三条直线所截得的角．

3．如图所示，已知25,45,30,10B BCD CDE E ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，试说明AB ∥EF 的理由．

【分析】要说明AB ∥EF ，需分析直线AB 、EF 被第三奈直线所截所形成的同位角相等或内错角相等，而图中没有第三条直线，这就需要作出相应的辅助线帮助我们解决问题．

【解法一】如图甲所示，在BCD ∠内部作25BCM ∠=︒，在CDE ∠内部作

10EDN ∠=︒，因为25,10B E ∠=︒∠=︒，所以,B BCM E EDN ∠=∠∠=∠．所

以AB ∥CM ，EF ∥DN (内错角相等，两直线平行)．又因为

45,30BCD CDE ∠=︒∠=︒，所以20,20DCM CDN ∠=︒∠=︒，所以

DCM CDN ∠=∠，

所以CM ∥DN (内错角相等，两直线平行)．因为 AB ∥CM ，EF ∥DN ．所以AB ∥EF (平行tR 一备莹线的两条直线平行)，

【解法二】如图乙所示．分别延长线段CD 、DC ,变EF 于点M 、交AB 于点N ．因

为45BCD ∠=︒，所以135NCB ∠=︒．因为25B ∠=︒，所以

18020CNB NCB B ∠=︒-∠-∠=︒（三角形的内角和等于180︒）．又因为30CDE ∠=︒，所以150EDM ∠=︒，又因为10E ∠=︒，所以18020EMD EDM E ∠=︒-∠-∠=︒（三角形的内角和等于180︒）．所以CNB EMD ∠=∠．所以AB ∥EF (内错角相等，两直线平行)．

【方法总结】利用辅助线的目的是把AB 、EF 联系起来，分析和说明这两条直线被其他直线所截所形成的；内错角之间的关系（相等关系），从而依据平行线的判定方法判定这两条直线平行．

4．如图所示，已知C ，P ，D 在同一直线上，BAP ∠与APD ∠互补，12∠=∠，

试说明E F ∠=∠．

【分析】要说明E F ∠=∠，可以先说明AE ∥PF ．要说明AE ∥PF ，必须设法说

明，FPA PAE ∠=∠，显然， 只要能说明AB ∥CD ，问题就解决了．

【解析】因为180BAP APD ∠+∠=︒（已知），

所以AB ∥CD (同旁内角互补，两直线平行)，

所以CPA PAB ∠=∠(两直线平行，内错角相等)，

又12∠=∠（已知），