安徽省淮南市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2017年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）（解析版）
一、选择题（共12题，每题5分，共60分）
1．已知集合A={x|x2≤1}，B={x|x＜a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．若复数z满足i?z=（1+i），则z的虚部是（）
A．﹣i B． i C．﹣D．
3．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（）
A．B． C．D．
4．阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）
A．计算数列{2n﹣1}前5项的和 B．计算数列{2n﹣1}前5项的和
C．计算数列{2n﹣1}前6项的和 D．计算数列{2n﹣1}前6项的和
5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），直线x=是它的一条对称轴，且（，0）是离该轴最近的一个对称中心，则φ=（）
A． B． C． D．
6．函数y=的图象大致是（）
A．B．C．
D．
7．函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）
A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）
8．已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（）
A． B． C． D．
9．设e是自然对数的底，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，则“log a2＞log b e”是“0＜a＜b＜1”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）
A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，] D．（1，]
11．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a取值范
围是（）
A．[，+∞）B．[，1] C．[1，+∞）D．[0，1]
12．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有x l f（x l）+x2f（x2）≥x l f（x2）+x2f（x l），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：
①y=﹣x3+x+l；
②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；
③y=l﹣e x；
④f（x）=；
⑤y=
其中“H函数”的个数有（）
A．3个B．2个C．l个D．0个
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知两个单位向量，的夹角为60°，则|+2|= ．
14．实数x，y满足，则的取值范围是．
15．若（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为30，则（3x2+1）dx= ．
16．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b ﹣c）cosA．
（1）求角A的大小；
（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．
18．数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）设b n=3n?，求数列{b n}的前n项和S n．
19．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学
生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．
20．设椭圆E的方程为+y2=1（a＞1），O为坐标原点，直线l与椭圆E交于点A，B，M为线段AB的中点．
（1）若A，B分别为E的左顶点和上顶点，且OM的斜率为﹣，求E 的标准方程；
（2）若a=2，且|OM|=1，求△AOB面积的最大值．
21．已知函数f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．
（1）当a=0时，求函数f（x）在[，1]上的最小值；
（2）若?x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；
（3）若?x＞0，不等式f（）﹣1≥e+恒成立，求a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若|AB|=2，求a的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣a|+5x．
（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．
2017年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12题，每题5分，共60分）
1．已知集合A={x|x2≤1}，B={x|x＜a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】并集及其运算．
【分析】若A∪B=B可得 A?B，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵A={x|x2≤1}=[﹣1，1]，B={x|x＜a}=（﹣∞，a），若A∪B=B，
∴A?B，∴a＞1，
故选：C．
2．若复数z满足i?z=（1+i），则z的虚部是（）
A．﹣i B． i C．﹣D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由i?z=（1+i），得，
∴z的虚部为．
故选：C．
3．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（）
A．B． C．D．
【考点】模拟方法估计概率．
【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，然后分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率公式即可求出所
求．
【解答】解：由题意，直角三角形，斜边长为17，由等面积，可得内切圆半径r==3，
∴向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是=，
故选C．
4．阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）
A．计算数列{2n﹣1}前5项的和 B．计算数列{2n﹣1}前5项的和
C．计算数列{2n﹣1}前6项的和 D．计算数列{2n﹣1}前6项的和
【考点】程序框图．
【分析】根据算法流程，依次计算运行结果，由等比数列的前n项和
公式，判断程序的功能．
【解答】解：由算法的流程知，第一次运行，A=2×0+1=1，i=1+1=2；第二次运行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；
第三次运行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；
第四次运行，A=2×7+1=15，i=5；
第五次运行，A=2×15+1=31，i=6；
第六次运行，A=2×31+1=63，i=7；满足条件i＞6，终止运行，输出A=63，
∴A=1+2+22+…+25==26﹣1=64﹣1=63．
故选：C．
5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），直线x=是它的一条对称轴，且（，0）是离该轴最近的一个对称中心，则φ=（）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据题意，利用求出ω的值，再根据函数f（x）图象过点（，0）求出φ的值．
【解答】解：根据题意， =﹣=，
∴T=2π，
∴ω=1；
又函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象过点（，0），∴sin（+φ）=0，
+φ=kπ，k∈Z；
解得φ=kπ﹣，k∈Z；
当k=1时，φ=满足题意．
故选：B．
6．函数y=的图象大致是（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．
【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，
即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，
因为函数y为偶函数，
故选：D
7．函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）
A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由已知中函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，我们可得函数y=f（x）在[2，4]上单调递减，且在[0，4]
上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），由此要比较f（），f（1），f（）的大小，可以比较f（），f（3），f（）．
【解答】解：∵函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，
∴函数y=f（x）在[2，4]上单调递减
且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x）
即f（1）=f（3）
∵f（）＜f（3）＜f（）
∴f（）＜f（1）＜f（）
故选B
8．已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（）
A． B． C． D．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式性质可得： =，可得+=+，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．
【解答】解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；
等差数列的前n项和为：S n=．
∴==
∴+
=+=+
===
==
=
故选：A．
9．设e是自然对数的底，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，则“log a2＞log b e”是“0＜a＜b＜1”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据对数函数的性质结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：a＞1，0＜b＜1时，“log a2＞0，log b e＜0，推不出0＜a ＜b＜1，不是充分条件，
0＜a＜b＜1时，log a2＞log b2＞log b e，是必要条件，
故选：B．
10．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，] D．（1，]
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由直角三角形的判定定理可得△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，运用双曲线的定义，可得|PF1|﹣|PF2|=2a，
又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤a，运用离心率公式，即可得到所求范围．
【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，
即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，
可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，
又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，
即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，
化为（|PF2|+a）2=2c2﹣a2，
即有2c2﹣a2≤4a2，
可得c≤a，
由e=可得
1＜e≤，
故选：C．
11．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a取值范围是（）
A．[，+∞）B．[，1] C．[1，+∞）D．[0，1]
【考点】分段函数的应用．
【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：令f（a）=t，
则f（t）=2t，
当t＜1时，3t﹣1=2t，
由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，
在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，
即有g（t）＜g（1）=0，
则方程3t﹣1=2t无解；
当t≥1时，2t=2t成立，
由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；
或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．
综上可得a的范围是a≥．
故选：A
12．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有x l f（x l）+x2f（x2）≥x l f（x2）+x2f（x l），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：
①y=﹣x3+x+l；
②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；
③y=l﹣e x；
④f（x）=；
⑤y=
其中“H函数”的个数有（）