专题二函数概念&基本初等函数-2.3二次函数与幂函数-2021届高三数学一轮复习讲义

专题2-3 二次函数与幂函数 二次函数图像与性质 内容 二次函数的图像、性质，求解二次函数问题 知识点 1、解析式的三种形式 一般式 2(),(0)fxaxbxca

顶点式 2()(),(0)fxaxmna

交点式 12()()(),(0)fxaxxxxa

2、图像及性质 2(),(0)fxaxbxca

：xR，对称轴x= - b2a

0a 0a 24[,)4acba 24(,]4acba



(,]2ba，[,)2ba (,]2ba，[,)2ba 例1 关于x的方程22(3)0xkxk的一个根小于1，另一根大于1，则k的取值范围( ) A (-2,1) B (-1,2) C (-∞,-1)∪(2,+∞) D (-∞,-2)∪(1,+∞) 【答案】 A

【分析】22()(3)fxxkxk在()0fx时两根在1的两边，即(1)0f 【详解】()fx开口方向及根的分布情况，知：2(1)20fkk

∴ (2,1)k 【考核】二次函数的图像、根的分布 例2 函数2()2(2)5fxxax在(4,)为增函数，则a的取值范围( ) A (-∞,-2] B [-2,+∞) C [-6,+∞) D (-∞,-6] 【答案】 B 【分析】二次函数的开口与对称轴确定增区间，已知区间为它的子集 【详解】f(x)开口向上，对称轴x = 2 - a：[2 - a,+∞)单调递增 ∴ 2 - a ≤ 4，a ≥ -2 【考核】二次函数单调区间

例3 函数1()4()1,[3,2]2xxfxx，则它的值域______ 【答案】 [34 ,13]

【分析】2()(2)21xxfx,换元转化为二次函数形式求值域 【详解】令t=2x，g(t)=t2-t+1，t∈[18 ,4]：g(t)∈[34 ,13] 【考核】二次函数区间内的值域 训练 函数2()34fxxx在[0,m]中的值域[74 ,4]，则m的取值范围( )

A (0,4] B [32 ,4] C [32 ,3] D [32 ,+∞)

例4 函数2(),(0)fxaxbxca满足(1)()2fxfxx，且(0)1f (1) 求()fx的解析式 (2) 当[1,1]x时，不等式()2fxxm恒成立，求实数m的取值范围 【答案】(1) 2()1fxxx (2) (-∞, -1) 【分析】(1) 根据方程中各项系数相等求出a、b、c；(2) 不等式恒成立，即区间任意取值都成立

【详解】1、f(0)=1知：c = 1； (1)()2fxfxx知：

22(2)(2)axabxabcaxbxc 111abc





2、()2fxxm恒成立，即 231xxm在[1,1]x上恒成立

∴ 令2()31fxxx，m小于()fx在[1,1]x上最小值即可 (,1)x 【考核】不等式恒成立：二次函数的开口方向、对称轴、区间端点值、判别式...

例5 已知函数2()(,,)fxaxbxcabcR，∀x有212()(1)2xfxx恒成立，那么对于12,[3,1]xx，恒有12|()()|1fxfx，求实数a的取值范围

【答案】 1917432a 【分析】区间内12|()()|1fxfx恒成立，即区间内最大与最小值差的绝对值≤1 【详解】 ∀x有212()(1)2xfxx恒成立，即22(2)0(1)(21)2(1)210(2)axbxcaxbxc恒成立；

由(1)20(2)40(1)2abacfabc⇒20()0aac⇒22acba① 由(2)2(21)(1)0ax恒成立，即a ≤ 12 ；综上1(0,]2a

又∵12|()()|1fxfx恒成立，即区间内最大与最小值差的绝对值≤1即可 21()2(1),(0,]2fxaxaxaa：对称轴为x0 = a-1a =1- 1a ∈(-∞,-1]，01()2fxa

A. -2 < 1- 1a ≤ -1：13 < a ≤12 ，01(3)()1681ffxaa⇒9179173232x ∴1917332x B. -3 ≤ 1- 1a < -2：14 ≤ a < 13 ，01(1)()441ffxaa⇒114a ∴ 14 ≤ a < 13 C. 1- 1a < -3：0 < a < 14 ，(1)(3)4121ffa⇒14a

综上：1917432a 【考核】二次函数的性质、不等式恒成立

例6 方程2(1)10mxmx在区间(0,1)内有两个不同根，则m的取值范围( ) A m>1 B m>3+22 C m>3+22 或0【答案】 B

【分析】2()(1)1fxmxmx恒过(0,1)，(1,2)即m>0，由根的分布情况列不等式组 【详解】

2061010122mmmbmam







⇒m>3+22

【考核】根的分布 训练 不等式210mxmx对∀x∈R都成立，m的取值范围( ) A (-∞,-4)∪[0,+∞) B [0,4) C (-∞,0]∪(4,+∞) D [-4,0)

总结 1、二次函数在区间值域或最值问题 (1) 最值影响因素：抛物线开口方向、对称轴、给定区间 (2) 注意：对称轴x0与给定区间D的相对位置关系 ① x0在D的左边 ② x0在D的右边 ③ x0在D的中间 2、二次函数不等式恒成立问题 (1) 四个方面考虑：开口方向、对称轴、区间端点、判别式 (2) 建立方程组或不等式组求参数取值范围 3、二次方程根的分布问题 (1) 对应于二次函数的零点分布问题 (2) 考虑角度 ① 一元二次方程的判别式 ② 二次函数的对称轴与区间端点位置关系 ③ 区间端点函数值的正负性 ④ 已知根与区间位置关系：可直接应用端点值正负求结果

幂函数 内容 幂函数的概念、及y=x, x2, x3, x-1, x1/2的图像和性质 知识点 概念 y=x

a的形式，自变量x、常量a

函数 y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1 定义域

R R R [0,+∞) {x|x≠0}

值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}

奇偶性

奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 增 (-∞,0] ↓ [0,+∞) ↑ 增 增 (-∞,0]↓和 [0,+∞)↓

定点 (0,0),(1,1) (1,1)

图像

1、幂函数图像：必过第一象限，而不过第四象限 2、奇函数：过第三象限；偶函数：过第二象限

例1 幂函数273235()(1)ttfxttx在R上为偶函数，则t的值( ) A 1或2 B -1或1 C 0或2 D 0或1 【答案】 B 【分析】幂函数的形式()afxx，系数必须为1 【详解】311tt，0,1tt ∵ 在R上是偶函数，即a为偶数或a的分子为偶数[最简分数形式] ∴ 1t，即25()fxx或85()fxx

【考核】幂函数的概念

例2 幂函数22()()mmfxxmZ的图像关于y轴对称，且与y轴有交点，则m的值______ 【答案】 m=0或m=1 【分析】y轴对称为偶函数，与y轴有交点即指数大于0

【详解】22012mmm，m=0或m=1 【考核】幂函数图像性质

例3 幂函数2231()(69)mmfxmmx在(0,+∞)上单调递增，则m的值( ) A 2 B 3 C 4 D 2或4 【答案】 C 【分析】利用()()fxfx得到对称区间解析式

【详解】269124mmmm或

m=2时，2314611mm

，f(x)=x-1在(0,+∞)上↓

m=4时，231161215mm

，f(x)=x5在(0,+∞)上↑ 【考核】幂函数图像、单调性 例4 函数34()fxx，则2(31)(1)fxfx的解集是______ 【答案】 1123xx或

【分析】34()fxx的函数图像、确定函数增减以及定义域范围得到不等式组 【详解】

2310131xxx



⇒1321xxx或⇒1123xx或

【考核】幂函数图像、单调性、定义域 总结 1、幂函数的系数为1 2、y=xa：a>0单调递增；a<0单调递减；二、三象限单调性结合幂函数的奇偶性判断

3、比较幂值大小：根据单调性，并结合函数图像