专题1 第06课时 导数
3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
高考数学总复习 专题一 导数应用问题专题精讲课件 理 新人教A版共64页
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
பைடு நூலகம்
高考数学总复习 专题一 导数应用问 题专题精讲课件 理 新人教A版
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
新教材高中数学第六章导数及其应用：导数与函数的极值最值pptx课件新人教B版选择性必修第三册
在x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 当函数f(x)在x0处取得极值时,f'(x0)=0一定成立,即“函数f(x)在x0处取得
极值”是“f'(x0)=0”的充分条件;
当f'(x0)=0时,若f'(x0)左右两侧同号时,则不能推出在x0处取得极值,如f(x)=x3,
因为(x-1)2≥0(当且仅当x=1时取等号),
则当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)≥0,
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0),
所以函数f(x)的极小值点为0,没有极大值点,
即函数f(x)有且仅有一个极值点.故选D.
规律方法
x0是极值点满足的条件
一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函
数的最值点一定是某个极值点;如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极
值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b,要么
是极值点.
名师点睛
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
1.极值点与极值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于
x0的x,都有
(1) f(x)<f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个 极大值点 ,且f(x)在x0处取极大
值;
(2) f(x)>f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个 极小值点 ,且f(x)在x0处取极小
高等数学课件：习题课(06)导数与微分续
3．已知函数 y y( x) 由方程 e y 6 xy x2 10 确定，
则 y(0) 2 。
4.
设
f
( x)
x2 x2 1
，
则 f (n)( x)
1(1)n 2
n![
(
1 x 1)n1
(
x
1 1)n1
]
。
(1)n1 n!
5．设 f ( x) x2ln(1 x) ，则 f (n)(0) n2 。
解： f (n)( x)[ln(1 x)](n) x2 n[ln(1 x)](n1)2 x
n(n1)[ln(1 x)](n2)2 ， 2
[ln(1 x)](k) (1)k1(k1)n)
(
x)
(1)n1(n1)! (1 x)n
x
2
2nx(1(1)nx2)(nn12)!
f (n)(0)(1)nn3(nn(n1)(1)1((1)nnx33)()nn!2(3)!1，)n1 n!. n2
导数的阶数 n 为（ C ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。
相关变化率
设x x(t ) , y y(t )都 是 可 导 函 数 ， 变 量
x和y之 间 存 在 某 种 对 应 关 系F ( x, y) 0,
•
•
因 而 它 们 对t的 变 化 率x(t ), y(t )也 存 在
三、求下列函数的导数 dy
dx
1．已知 yln 1ex xsinx ，求 y( ) . 2
2． ye x y xsinx
3.已知三叶玫瑰线 a sin3 (a 0) ,
求 时 ，曲线上相应点处的切线方程。
4
a
o
x
高中数学课件-第一部分 专题六 第一讲 用导数研究函数的切线、性质
函数与导数
专题六
第一讲
活用•经典结论
用导数研究函数的切线、性质
客观题·专项练 题型·综合练 专题•限时训练
主观题•专项练
-2-
1．闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定 有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值． 2．若 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 有两个极值点，且 x1<x2，当 a>0 时，f(x)的图象如图，x1 为极大值点，x2 为极小值点．
专题六
类型一
第一讲
活用•经典结论
用导数研究函数的切线、性质
客观题·专项练 题型·综合练 专题•限时训练
主观题•专项练
-4-
类型二
用导数解决与函数零点有关的问题 突破点 [例 1] 零点概念与转化 (本小题满分 12 分)(2016· 高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)
＝(x－2)ex＋a(x－1)2. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围．
专题六
类型一
第一讲
活用•经典结论
用导数研究函数的切线、性质
客观题·专项练 题型·综合练 专题•限时训练
主观题•专项练
-12-
类型二
b 跟踪训练 1 (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ln x－ax＋x， 对任意的 x∈(0，＋∞)，满足
1 f(x)＋fx＝0，其中
a，b 为常数．
当 a<0 时，f(x)图象如图， x1 为极小值点， x2 为极大值点．
专题六
第一讲
活用•经典结论
用导数研究函数的切线、性质
客观题·专项练 题型·综合练 专题•限时训练
主观题•专项练
专题01 导数与函数的最(极)值(精讲篇)-用思维导图突破导数压轴题
用思维导图突破导数压轴题解答数学题的“思维导图”：逛公园顺道看景，好风光驻足留影. 把条件翻成图式，关键处深挖搞清. 综合法由因导果，分析法执果索因. 两方法嫁接联姻，让难题无以遁形.这里把解题比作逛公园，沿路而行，顺道看景，既有活跃气氛，又有借景喻理之意，即理解题意后把已知条件“翻译”出来，如果能得到结论那是最好，如果不行就要转化，即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说，解题就是“找关系”----找出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之间的差距，从而达到解题目的.这个思维导图不仅是用来解答压轴题，其实，每个层次的学生都有相应的难题。
中等以下水平的学生高考基本不用做压轴题的，但他们做中档题会有困难，思维导图一样适用。
专题01 导数与函数的最（极）值问题利用导数求函数f (x )极值、最值的基本方法是先求f (x )的导数f 'x （），再求f 'x （）的零点i x ，i N ∈，根据f 'x （）在i x 两边的符号判断的单调性，最后确定i f x （）是极大值或极小值，再确定最值。
先求导数 再定零点 考查单调极值来了思路点拨第（1）只要直接计算即可。
第（2）题先求出()f x 和()f x '的含参数零点（用a 、b 表示），再根据零点均在集合{3-，1，3}中确定a 、b 的值。
第（3）题求出()f x '的零点12,x x （设12x x <），根据单调性确定极大值为321111()(1)=-++f x x b x bx ，这里含有两个变量，最容易想到的方法就是转化为一元变量，但恒等变形能力要求较高，也可以挖掘隐含条件利用基本不等式整体消元。
第（3）解题思维导图如下：.（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--， 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =.又2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---，令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=. 因为()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，所以3a =-，1b =，则2615333a b A +-+==-∉，舍去； 1a =，3b =-，则2231333a b A +-==-∉，舍去； 3a =-，3b =，则263133a b A +-+==-∉，舍去； 3a =，3b =-，则263133a b A +-==∈； 3a =，1b =，则2617333a b A ++==∉，舍去； 1a =，3b =，则2533a b A +=∉，舍去.因此3a =，3b =-，213a bA +=∈，从而2()(3)(3)f x x x =-+，()3[(3)](1)f x x x '=---， 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：从而可知，()f x 的单调递增区间为(−∞,−3]和[1,+∞),单调递减区间为[−3,1]，由此可知当1x =时，函数()f x 取得极小值，2(1)2432f =-⨯=-.（3）证明：0a =，01b <„，1c =，()()(1)f x x x b x =--，则2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++.因为△22214(1)124444()332b b b b b =+-=-+=-+…，所以()0f x '=有两实根12,x x ，设12x x <，则()f x 单调递增区间为(−∞,1x ]和[2x ,+∞),单调递减区间为12[,]x x ，于是()f x 取得极大值为1111()()(1)M f x x x b x ==--。
新教材高中数学第六章基本初等函数的导数：求导法则及其应用pptx课件新人教B版选择性必修第三册
2
(3)y= ;
=
2
1
2
=
3
2
3 1
,∴y'= 2 .
2
(4)∵y=5x,∴y'=5xln 5.
(4)y=5x;
(5)y=cos
π
2
(6)y=log 1 x.
2
- ;
(5)∵y=cos
π
2
- =sin x,∴y'=cos x.
1
1
(6)∵y=log 1 x,∴y'= 1=-ln2 .
(3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.
过关自诊
[北师大版教材例题]求函数y= 3x + 1 的导数.
1
2
解引入中间变量 u=φ(x)=3x+1,则函数 y= 3 + 1是由函数 f(u)= = 与
u=φ(x)=3x+1复合而成的.
由复合函数的求导法则,可得
y'x=( 3 + 1)'=f'(u)·φ'(x)=(
导数之和(或差)
差)的导数,等于这两个函数的
.
.即两个函数之和(或
2.函数积的求导法则
设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
.即两个函数之
积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第
二个函数的导数.
由上述法则立即可以得出[Cf(x)]'=Cf'(x).即常数与函数之积的导数,等于常
'≠
g'(x)
≠
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的概念及其几何意义、导数的运算课件-2025届高三数学一轮复习
A．e+e1＋2 B．－e+e1＋2
C．2
D．－2
答案：B
解析：因为f(x)＝ln x－f′(1)ex＋2， 则f′(x)＝1x－f′(1)ex， 则f′(1)＝1－f′(1)e， 即则ff′((11))＝＝－e+1e1+e，1＋2.故选B.
5 ． ( 易 错 ) 过 原 点 与 曲 线 y ＝ (x － 1)3 相 切 的 切 线 方 程 为 _y_＝__0_或_2_7_x_－__4_y＝__0__．
A．12 B．20 C．10 D．24
答案：D
解析：由题意得f′(x)＝3x2－2，故f′(2)＝3×4－2＝10，则f(x)＝x3－2x＋20，故 f(2)＝8－4＋20＝24.故选D.
题后师说
巩固训练1
(1)(多选)[2024·吉林长春模拟]已知下列四个命题，其中不正确的是
()
A．(e2x)′＝2e2x
3
．
(
教
材
改
编
)
曲
线
y
＝
x2
＋
3 x
在 点 (1 ， 4) 处 的 切 线 方 程 为
____x_＋_y_－__5_＝_0_____．
解析：∵y′＝2x－x32， ∴y′|x＝1＝2－3＝－1. ∴所求切线方程为y－4＝－(x－1)， 即x＋y－5＝0.
4．(易错)已知函数f(x)＝ln x－f′(1)ex＋2，则f(1)＝( )
(1)
1 fx
′＝__－__ff′_xx_2__(f(x)≠0)．
(2)[exf(x)]′＝_e_x[_f_(x_)_＋_f_′(_x_)]_．
f′ x − f x
(3)
新教材高中数学第6章导数及其应用6.1导数6.1.2导数及其几何意义课件
[跟进训练] 2．设曲线 f(x)＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平 行，则 a 等于( ) A．1 B.12 C．－12 D．－1
A [由题意可知，f′(1)＝2.
又 lim Δx→0
f1＋ΔΔxx－f1＝Δlixm→0
a1＋Δx2－a Δx
＝ lim Δx→0
(aΔx＋2a)＝2a.
利用导数的几何意义求切线方程的方法 1若已知点x0，y0在已知曲线上，求在点x0，y0处的切线方程， 先求出函数 y＝fx在点 x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程， 得切线方程 y－y0＝f′x0x－x0. 2若点x0，y0不在曲线上，求过点x0，y0的切线方程，首先应 设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标， 进而求出切线方程.
2．一个物体的运动方程为 s＝1－t＋t2，其中 s 的单位是：m，t
的单位是：s，那么物体在 3 s 末的瞬时速度是( )
A．7 m/s
B．6 m/s
C．5 m/s
D．8 m/s
C [∵ΔΔst＝1－3＋Δt＋3＋ΔΔt t2－1－3＋32＝5＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0
(5＋Δt)＝5(m/s)．]
近于一个常数 k，那么称常数 k 为函数 f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率．简记
为：当 Δx→0 时，fx0＋ΔΔxx－fx0→k 或Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0＝k.
(2)导数
①f(x)在 x0 处的导数记作 f′(x0) ；
②f′(x0)＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
(3)曲线的切线方程
曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ．
专题06 导数 6.4导数与函数的零点 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)
专题六《导数》讲义6.4导数与函数的零点知识梳理.函数的零点1.判断、证明或讨论函数零点个数的方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.2.已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.题型一.讨论零点个数1．函数f（x）=13x3+2x2+3x+43的零点个数为．2．设函数f（x）=13x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（）A．在区间（1，1），（1，e）内均有零点B．在区间（1，1），（1，e）内均无零点C．在区间（1，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点D．在区间（1，1），内无零点，在区间（1，e）内有零点3．已知定义在R上的奇函数f（x），满足当x＞0时f（x）=12x2﹣xlnx，则关于x的方程f（x）＝a满足（）A．对任意a∈R，恰有一解B．对任意a∈R，恰有两个不同解C．存在a∈R，有三个不同解D．存在a∈R，无解题型二.已知零点求参考点1.参变分离1．已知函数f（x）＝（x2﹣4x+1）e x﹣a恰有三个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2e3，0）B．（−6，0）C．（−6，2e3）D．（0，6）2．已知函数op=3+4l−−在区间（0，2）上至少有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．[2，4ln3﹣2）C．(2，4l2−12)D．[2，+∞）考点2.转化成两个函数的交点问题3．已知函数f（x）=12ax2+cos x﹣1（a∈R），若函数f（x）有唯一零点，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）4．已知函数f（x）＝e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）＝0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A．（e2﹣3，e2+1）B．（e2﹣3，+∞）C．（﹣∞，2e2+2）D．（2e2﹣6，2e2+2）考点3.讨论参数——单调性+极值、最值5．若函数f（x）＝e x（x3﹣3ax﹣a）有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，+∞）C．（0，14）D．（14，+∞）6．已知函数f（x）＝2e2x﹣2ax+a﹣2e﹣1，其中a∈R，e为自然对数的底数．若函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A．（2，2e﹣1）B．（2，2e2）C．（2e2﹣2e﹣1，2e2）D．（2e﹣1，2e2﹣2e﹣1）7．（2020·全国1）已知函数f（x）＝e x﹣a（x+2）．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．题型三.隐零点问题——设而不求，虚设零点1．已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是．2．若函数f（x）＝x2+2−alnx（a＞0）有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1B．3C．5D．73．已知函数f（x）＝lnx+1B（a∈R且a≠0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝2时，若关于x的方程f（x）＝m有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．课后作业.零点1．已知函数f（x）＝（x2+a）e x有最小值，则函数y＝f'（x）的零点个数为（）A．0．B．1C．2D．不确定2．若函数f（x）=33−x2﹣3x﹣m在区间[﹣2，6]有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣9，18）B．[−23，53）C．（﹣9，53）D．[−23，18）3．设函数f（x）＝（x﹣1）e x，若关于x的不等式f（x）＜ax﹣1有且仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，e2]B．(1，22] C．(1，2+12]D．(2+12，23+13]4．函数f（x）＝ae x+2x在R上有两个零点x1，x2，且21≥2，则实数a的最小值为（）A．−l22B．﹣ln2C．−2D．ln25．已知函数f（x）＝e x﹣ax2．（1）若=12，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a的值．6．（2019·全国1）已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，2）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．。