2019最新高中数学 专题强化训练2 随机变量及其分布 新人教A版选修2-3

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专题强化训练(二) 随机变量及其分布
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题

1．设随机变量ξ～N(2,2)，则D12ξ＝( )

A．1 B．2 C.12 D．4
C [∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.
∴D12ξ＝122D(ξ)＝14×2＝12.]

2．正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝18πe－x28，x∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和
标准差分别是( )
A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和2
C [由条件可知μ＝0，σ＝2.]

3．设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝m，令随机变量，
则ξ的方差D(ξ)等于( )
【导学号：95032216】
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
D [随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1
P 1－m m
∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.
∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．]
4．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为
0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
B [设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，则P(AB)＝P(A)·P(B)
＝0.80·P(B)＝0.60，故P(B)＝0.75，故选B.]
5．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)
2

＝( )
A.158 B.154

C.52 D．5
A [两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B10，14，
因此D(ξ)＝10×14×1－14＝158.]
二、填空题
6．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑
球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.
【导学号：95032217】
1335 [P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝C44＋C34C13C47＝13
35
.]

7．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景
点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于________．
1
2
[由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.

所以P(B|A)＝nABnA＝612＝12.]
8．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥1)＝________.
【导学号：95032218】
1927 [因为X～B(2，p)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02(1－p)2＝59，解得p＝1
3
.

又Y～B(3，p)，所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C03(1－p)3＝1927.]
三、解答题
9．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，
设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
[解] ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编
号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，

则P(ξ＝0)＝2A33＝13；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
3

则P(ξ＝1)＝C13A33＝12；
ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝1A33＝16.
所以，ξ的分布列为
ξ 0 1 3

P
13 12 1
6

E
(ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；

D
(ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.

10．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么
(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
【导学号：95032219】
[解] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先
后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果．

所以P(A)＝12，P(AB)＝2×14×3＝16，所以P(B|A)＝1612＝13.
所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.
(2)设“先摸出1个白球后放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都
摸出白球”为事件A1B1，P(A1)＝12，P(A1B1)＝2×24×4＝14，

所以P(B1|A1)＝PA1B1PA1＝1412＝12.
所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.
[能力提升练]
一、选择题
1．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)
＝( )
4

A．0.025 B．0.050
C．0.950 D．0.975
C [由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，所以
P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P
(ξ<－1.96)＝1－

2×0.025＝0.950.]
2．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设

它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为( )
【导学号：95032220】
A．49 B．59

C．1 D．29
A [由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度，向右移动两个单位长度，所以蚂蚁

在x＝1处的概率为C23×232×131＝49.]
二、填空题
3．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中

选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12.其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率
是________．
1
2
[设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2

名学生选做同一道题的事件为“AB＋A B”，且事件A、B相互独立．
所以P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝12×12＋1－121－12＝12.]
4．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并
且概率都是p.若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p＝________.
【导学号：95032221】
2
3
[因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6,1

－p)，所以E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝23.]
三、解答题
5．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安
排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
5

(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值．
[解] 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．
(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙的演出序号

均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P(A)＝1－C23C26＝1－15＝45.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且
P(ξ＝0)＝5C26＝13，P(ξ＝1)＝4C26＝415，P(ξ＝2)＝3C26＝15，P(ξ＝3)＝2C26＝215，P
(ξ＝4)

＝1C26＝115.
从而知ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4

P
13 415 15 215 1
15

所以E(ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.