第02章误差与数据处理
误差理论与数据处理作业答案 第二章
第二章2-171因此无法说明测量数据中是否存在系统误差。
2通过马利科夫准则进行校核：△=0.4—（—0.4）=0.8因此，有马利科夫准则，当△显著不为零时，则有理由认为测量列存在线性系统误差。
3通过阿卑—赫梅特准则进行校核：u=0.3056因此，由u<= 0.789936可知，本次测量不一定存在周期性的系统误差。
2-19则t=1.404由ν=10+10—2=18及取α=0.05，查t分布表（书中附录表3），得tα=2.1因∣t∣=1.404< tα=2.1故无根据怀疑两组间有系统误差。
2-22解：(1) 3σ准则（莱以特准则）x̅=28.57067σ=0.2646153σ= 0.793844根据3σ准则（莱以特准则）第四测得值的残余误差∣v4∣=0.9493> 0.793844即它含有粗大误差，故将此测得值剔除。
再根据剩下的14个测得值重新计算，得x̅′=28.50286σ==0.0336113σ′= 0.100832由上表知，第十四测得值的残余误差∣v14∣=0.1029> 0.1008即它含有粗大误差，故将此测得值剔除。
再根据剩下的14个测得值重新计算，得x̅′′=28.51σ′′=0.016583σ′′=0.04975剩下的13个测得值的残余误差满足∣vi′′∣<3σ′′故可认为这些测量值不再含有粗大误差。
(2) 罗曼诺夫斯基准则首先怀疑第四测得值含有粗大误差，将其剔除。
然后根据剩下的14个测量值计算平均值和标准差，得x̅=28.50286σ=0.033611选取显著度α=0.05，已知n=15，查表得K(15,0.05)=2.24Kσ=2.240.033611=0.07528774因∣x4—x̅∣=0.90117>0.0752877故第四测量值含有粗大误差，应予剔除。
(3) 格罗布准则由3σ准则计算过程中表格知x̅=28.57067σ=0.264615按测得值的大小，顺序排列的x（1）=28.4，x（15）= 29.52进有两测得值x（1）、x（15）可怀疑，但由于x̅—x（1）=28.57067-28.4=-0.1707x̅—x（15）=28.57067-29.52=0.9493 故先怀疑x（15）是否含有粗大误差计算g(11)=x̅−x（15）σ=3.587查表得g(0)(15，0.05)=2.41则g(11)>g(0)故将第四测得值予以剔除，然后将剩下14个值再一次进行检验分析。
《误差理论与数据处理(第6版)》费业泰-课后答案全
《误差理论与数据处理》练习题第一章 绪论1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。
相对误差=0.3100%0.3%100.5-⨯≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2（h 1+h 2）/T 2给定。
今测出长度（h 1+h 2）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。
试求g 及其最大相对误差。
如果（h 1+h 2）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1+h 2）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。
由21224()g h h Tπ=+,得：2224 1.042309.81053(/)2.0480g m s π=⨯= 当12()h h +有微小变化12()h h ∆+、T 有T ∆变化时，令12h h h =+ g 的变化量为：22121212231221212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h Th h T T TTh h h h T Tπππ∂∂∆=∆++∆=∆+-+∆∂+∂∆=∆+-+2223224842()g g g h T h h Th T T T T h h T Tπππ∂∂∆=∆+∆=∆-∆∂∂∆=∆- g 的最大相对误差为：22222222124422[][]244()0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.04230 2.0480T T h h h h g h T T T T T g h Th h h T Tππππ∆∆∆-∆-∆∆∆===-+±⨯±=-⨯≈± 如果12()h h +测出为（1.04220±0.0005）m ，为使g 的误差能小于0.001m/s 2，即：0.001g ∆<也即 21212242[()()]0.001Tg h h h h T Tπ∆∆=∆+-+< 22420.0005 1.042200.0012.0480 2.04800.0005 1.017780.00106TT T π∆±-⨯<±-∆< 求得：0.00055()T s ∆<1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。
第二章《误差理论与数据处理》
n
i2
i 1
n
n
实际上真值一般情况下是 未知，在有限次测量下，用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值：
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下：
（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：
i li L0
x
n
结论
在n次测量的等精度测量中，算术平均值 1 n 的标准差是单次测量标准差 n ， ， x 。但 也不是n越大越好，因为 n 要出较大的劳动， 而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法， 最大误差法等。
（4）别捷尔斯（Peters）法
1.253
v
i 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
n
i
n n 1
x 1.253
v
i 1
i
n
n 1
（4）极差法
等精度多次测量被测值 x1 ,x2 ,x3 ,......,xn 服从正态分布，在其中选取最大值 xmax 与最小 值 xmin，则两者之差称为极差：n xmax xmin 标准差的无偏估计： n
n1 n2
x1
i 1
1i
n1
n1
, x2
n2
i 1
2i
n2
,..., xm
m
l
i 1
nm
mi
nm
x ( l1i l2i ... lmi ) / ni
i 1 i 1 i 1 i 1
第二章 误差与数据处理
标准偏差
0 . 036 % 100 % 100 % 0 . 35 % 10 . 43 % x d i2 8 . 6 10 7 s 4 . 6 10 4 0 . 046 % n 1 4
d
n
0 . 18 % 0 . 036 % 5
相对标准偏差
s
x
100 %
1 d甲 d i 0.24 n 1 d乙 d i 0.24 n
s甲
2 d i
数据范围：-0.4 ~ +0.4 数据范围：-0.7 ~ +0.5 结论:标准偏差表示精密度比平均 偏差好，因为将单次测定的偏差 平方以后，较大偏差更显著地显 示出来，更有效地说明了数据的 分散程度。
RSD以百分数表示时也称变异系数(Coefficient Variation)，简写为 CV
7
用平均偏差和标准偏差来判断数据离 散程度的优劣比较
例：甲、乙二人单次测量的偏差分别为：
甲 +0.3 -0.2 -0.4 +0.2 +0.1 +0.4 0.0 -0.3 +0.2 -0.3 乙 0.0 +0.1 -0.7 +0.2 -0.1 -0.2 +0.5 -0.2 +0.3 +0.1
对称性 单峰性
有界性
• 绝对值相等的正负误差出现的 概率相等
• 绝对值小的误差出现的概率大 • 绝对值大的误差出现的概率小 • 绝对值很大的误差出现的概率 极小
19
正态分布曲线用 N( ，2）表示,曲线的形状取决于 ，2 。
决定曲线在x轴的位置，决定曲线的形状
(σ相同，μ1不等于μ2)
二章误差及数据处理
x
x
（三）平均偏差(average deviation)：
各测量值绝对偏差的算术平均值。
xi x
d n
（四）相对平均偏差(relative average deviation) ： 平均偏差占平均值的百分比。
d
xi x
dr 100%
100%
x
nx
18
（五）标准偏差（standard deviation)：
总体 抽出样本 x n , s
例：
n4
s 1s
n 25 s 1 s
2
5
注：通常3~4次或5~9次测定足够
25
2、平均值的置信区间
总体平均值
x 有限次测量均值
（1）由单次测量结果估计μ的置信区间
x u
（2）由多次测量的样本平均值估计μ的置信区间
x u x u
13
§2-2 分析测试的误差和偏差
一 、误差(error)和准确度(accuracy) 准确度──分析结果与真实值的接近
程度，准确度的高低用误差来衡量，由 系统误差的大小来决定。
绝对误差 相对误差 （一）绝对误差(absolute error)：
测量值与真实值之差。
E x
14
（二）相对误差(relative error)： 绝对误差占真实值的百分比 .
f n 1 注：f t u
9
1 lim n n
n i 1
xi
10
两个重要概念
➢ 置信度（置信水平） P ：某一 t 值时，测量值出现在 μ± t •s范围内的概率
➢ 显著性水平α：落在此范围之外的概率
α 1 P
一定P下，t t p, f
第二章误差和分析数据处理
相对误差 100 100
x
用百分数或千分数表示 （ 无单位，有正负之分）
例如：用减重法称量：
绝对误差
相对误差
0.2000g 0.0200g
±0.0002g ±0.0002g
0.0002 100 0.1 0.2000
0.0002 100 1.0 0.0200
真值
理论真值 约定真值：
物质的量、原子量 相对真值
0.1
100
2.2.5 提高分析结果准确度的方法
1、选择恰当的分析方法
容量分析法与重量分析法 准确 度高，灵敏度低，适合常量分析（相 对误差≤0.2%)
仪器分析法 灵敏度高，适合 于微量分析与痕量分析
2、消除测量中的系统误差
与经典方法进行比较 校准仪器 做对照试验 做加样回收试验 做空白试验
3、减小测量误差
2.2.3 准确度与精密度
准确度与误差 指测量结果与真实值接近程度
表示方法： 用误差大小来衡量。 误差越小，准确度越高，反 之，则准确度越低。
通常，我们对试样进行多次平行测定， 取它们的算术平均值做为测定结果。用算 术平均值与真实值接近的情况衡量准确度。
精密度与偏差
精密度 平行测量的各测量值之间互相接近的
2.1 概述
测量值与真实值不可能完 全一致
误差是客观存在的。
2.2 测量误差（反应测量的准确性）
2.2.1 绝对误差和相对误差
绝对误差（absolute error)
指测量值与真实值之间的差值
x
（有单位，单位与测量值相同，有正负 之分)
相对误差（relative error) 绝对误差与真值的比值。
例题
C W
MV
第二章 误差及数据处理
第二章误差及数据处理§1 误差概述一、误差的来源1.测定值分析过程是通过测定被测物的某些物理量，并依此计算欲测组分的含量来完成定量任务的，所有这些实际测定的数值及依此计算得到的数值均为测定值。
2.真实值 true value真实值是被测物质中某一欲测组分含量客观存在的数值。
在实验中，由于应用的仪器，分析方法，样品处理，分析人员的观察能力以及测定程序都不十全十美，所以测定得到的数据均为测定值，而并非真实值。
真实值是客观存在的，但在实际中却难以测得。
真值一般分为：<1>理论真值：三角形内角和等于1800。
<2>约定真值：统一单位（m.k g,.s）和导出单位、辅助单位。
1）时， <3>相对真值：高一级的标准器的误差为低一级标准器的误差的51（31~20则认为前者为后者的相对真值。
思考：滴定管与量筒、天平与台称3.误差的来源真值是不可测的，测定值与真实值之差称为误差。
在定量分析中，误差主要来源于以下六个方面：<1> 分析方法由于任何一种分析方法都仅是在一定程度上反映欲测体系的真实性。
因此，对于一个样品来说，采用不同的分析方法常常得到不同的分析结果。
实验中，当我们采用不同手段对同一样品进行同一项目测定时，经常得到不同的结果，说明分析方法和操作均会引起误差。
例如：在酸碱滴定中，选用不同的指示剂会得到不同的结果，这是因为每一种指示剂都有着特定的pH变化范围，反应的变色点与酸、碱的化学计量点有或多或少的差距。
另外在样品处理过程中，由于浸取、消化、沉淀、萃取、交换等操作过程，不能全部回收欲测物质或引入其他杂质，对测定结果也会引入误差。
<2> 仪器设备由于仪器设备的结构，所用的仪表及标准量器等引起的误差称为仪器设备误差。
如：天平两臂不等、仪表指示有误差、砝码锈蚀、容量瓶刻度不准等。
<3> 试剂误差试剂中常含有一定的杂质或由贮存不当给定量分析引入不易发现的误差。
最新误差理论与数据处理-第二章2PPT课件
k
n
vi vj
i1
jk1
k
n
k
n
vi' v'j (li x) (lj x)
i1
jk1
i1
jk1
当n足够大时，随机误差：
v k
'
n
v'
0
i1 i
jk1 j
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有： (2) 准则：
k
n
vi vj
i1
jk1
k
n
(li x) (lj x)
i1
jk1
a) Δ显著不为零认为测量列存在线性系统误差 又称马利科夫准则
b) Δ=0 仍有可能存在系统误差
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15/80
（3）和检验法
记
k
vi
分n vj别为前后各半残差和
i 1
jk 1
引入统计量
▪对于可变系统误差的情形，上式第二项一般不为 零，说明可变系统误差还会对标准偏差的估计产生 影响
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小结
恒定系统误差
由于它在数据处理中只影响算术平均值，而不影 响残差及标准差，所以除了要设法找出该恒定系统 误差的大小和符号，对其算术平均值加以修正外， 不会影响其他数据处理的过程。
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(二) 残余误差观察法（统计法）
第二章第二章测量误差和数据处理测...
灵敏度调整 基准电压
2 环境误差 1. 温度、湿度、气压、振动、照明、电磁场、重力加速度
等引起的误差；包括被测量量和测量仪器的变化； 2. 基本误差：在规定的测量条件下； 3. 附加误差：超出规定的测量条件下； 3 方法误差 1. 计算参数不同引起的误差；π＝3.14？3.14159？ 2. 测量原理不同引起的误差；测温度：热电偶、远红外 3. 方法不同引起的误差；内径：2点测量、3点测量 4 人员误差 1. 技能素质 2. 生理条件 3. 身体疲劳 4. 精神心态
当X越接近于Xm时，其测量准确度越高，即测试值 应接近于满刻度值。
思考：某待测电流为100MA，现有0。5级量程为0300MA和1。5级量程为0-100MA的两个电流表，问 用哪个电流表测量较好？ [1] P24
2.1.2 误差来源（①测量方法；②测量设备；③测量环境；④ 测量人员素质。）
x
2 测量列中的单个测量值的标准偏差 当测量次数n为无穷大时有：
σ = lim n→∞
n
∑ (xi − μ)2
i =1
n
式中： σ－理论标准偏差；“标准差” Xi－第i次测量 μ－期望值 n－测量次数
实际上测量次数 n 不可能为无穷大，期望值一般也不可 知，故可用贝塞尔（Bessel)公式计算标准偏差的估计 值，有：
[1]P41-43 1. 求算术平均值；
∑ 1: x = 1
n
n 1
xi ;(i = 1, 2,..., n)
2. 计算残差；
2 :Vi = xi − x; (i = 1, 2,..., n)
∑ ∑ 3.
判断系统误差（马利科夫准
K
3 : M = vi −
n
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章 绪论1—1．研究误差的意义是什么?简述误差理论的主要内容.答： 研究误差的意义为：（1）正确认识误差的性质,分析误差产生的原因，以消除或减小误差;(2）正确处理测量和实验数据,合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；（3）正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下,得到理想的结果。
误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等. 1-2．试述测量误差的定义及分类,不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下,误差的绝对值和符号保持恒定,或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。
1—3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同,并举例说明。
答：（1）误差的绝对值都是正数,只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了"，只是差别量;绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少. （2）就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于:1—6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解: 绝对误差＝测得值－真值，即: △L ＝L －L 0 已知:L ＝50，△L ＝1μm ＝0。
001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0。
001＝49.999(mm ）1—7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100。