第二章误差理论与数据处理

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误差理论及数据处理

误差理论及数据处理
205.30
204.94 205.63
205.71
204.7 204.86
1.修正值不要考虑了 2.算术平均值 3.计算残差
205.24
206.65 204.97 205.36 205.16
205.35
205.21 205.19 205.21 205.32
x 205.30V
vi xi x
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1
i
i
i 1 2
i
n
B
n xi yi xi yi
i 1 i 1 i 1
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
n
n
2
A 2, B 1
第二章 测量误差理论与数据处理
2、 曲线拟合
y 2.66 0.422 x
第二章 测量误差理论与数据处理
曲线拟合例题2
[例] 已知
x y xj yj 0 100 1 223 2 497 3 1104 4 2460 5 5490
1)绘y_x曲线(a) 2)初步估计:y=ax2+b 3) 变换: y’=ax’+b (y’=y, x’=x2)
i 1 i 1 i 1 i 1 n
n
n
n
第二章 测量误差理论与数据处理
直线拟合(续)
求极值(求偏导数) n A, B [2( yi A Bxi )] 0 A i 1 n A, B [2 xi ( yi A Bxi )] 0 B i 1 求解方程
2000
1000
0
0
5
10
15
20

第二章 误差和数据处理

第二章 误差和数据处理

双向性、不可测性、 单向性、重现性、可测性 服从统计规律 准确度 精密度 进行多次平行测定
消除或减小 校正或减免 的方法
3.提高分析结果准确度的方法
(1)选择合适的分析方法
化学分析:滴定分析,重量分析灵敏度不高,准确度高, 常量、高含量组分较合适。 仪器分析:灵敏度高,准确度不高,微量组分分析较合适。
E x xT
Er x xT 1平行测定数据相互接近的程度,平行测
定的结果相互越接近,则测定的精密度越高。 精密度通常用与平均值相关的各种偏差来表示。 (1)偏差 偏差是测量值与平均值的差值。 与误差类似,偏差也有绝对偏差和相对偏差。
(1)精密度是保证准确度的先决条件;
(2)精密度高,准确度不一定高(可能存在系统误差) ;
(3)消除系统误差后,精密度高,准确度也高。——好结果!
三、公差
生产部门对于分析结果允许误差的一种限量(允差) 。 如钢铁中碳含量的公差范围,国家标准规定下表所示:
碳含量 范围(%)
0.100.20
0.200.50 0.020
用标准样品对照
用标准方法对照
做加标回收试验
2)空白实验
在不加试样的情况下,按照与试样分析同样的步骤和条件 进行的测定,试验得到的结果称为空白值。从试样分析结果中
扣除空白值即可消除试剂、蒸馏水和实验器皿带进杂质所引起
的误差。 空白值一般不应很大,否则应采取提纯试剂或改用适当器 皿等措施来减小误差。
过失(mistake)
由粗心大意或违反操作规程引起的,可以避免的。
例如:溶液溅失、沉淀穿滤、加错试剂、读错刻度、记录
和计算错误等。非随机误差 。
弃去该结果!
系统误差与随机误差的比较

《误差理论与数据处理》习题2及解答

《误差理论与数据处理》习题2及解答
试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料,试由②中 10 次重复测量的 测量值,写出上述①、②的测量结果。 【解】① 单次测量的极限误差以 3σ计算,δlimx=3σ=3×0.5=1.5(μm)=0.0015 (mm) 所以测量结果可表示为:26.2025±0.0015
(mm)
② 重复测量 10 次,计算其算术平均值为: x = 26.2025(mm). 取与①相同的置信度,则测量结果为:26.2025±3σ= 26.2025±0.0015 (mm). ③ 若无该仪器测量的标准差资料,则依 10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结 果。选参考值 x0 = 26.202,计算差值 ∆x i = x i − 26.202 、 ∆ x 0 和残差ν i 等列于表中。 序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号
∑ν
i =1
i
n( n − 1)
= 1.253
0.0008 5× 4
= 0.000224 (mm)
σx =
σ
n
=
0.000255 5
= 0.000114 ; σ x =
'
σ'
n
=
0.000224 5
= 0.0001
⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布,并且置信概率 P=2Φ(t)=99%,则Φ(t)=0.495,查附录
∆ x0 = 1 10 ∑ ∆xi = 0.0005 10 i =1
νi
0 +0.0003 +0.0003 0 +0.0001 -0.0003 -0.0002 0 +0.0001 -0.0003
ν i2
0 9×10 9×10 0 1×10

检测技术 第二章:误差分析与数据处理

检测技术 第二章:误差分析与数据处理

可以得到精确的测量结果,否则还可能损坏仪器、设备、元器件等。
2.理论误差 理论误差是由于测量理论本身不够完善而采用近似公式或近似值计算测量 结果时所引起的误差。例如,传感器输入输出特性为非线性但简化为线性 特性,传感器内阻大而转换电路输入阻抗不够高,或是处理时采用略去高 次项的近似经验公式,以及简化的电路模 型等都会产生理论误差。
误差,周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。如图2.1所示,其中1为定值系差,2 为
线性系统误差,3为周期系统误差,4为按复杂规律变化的系统误差。 系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法不正确,
测量设备的基本误差、读数方法不正确以及环境误差等。
系统误差是一种有规律的误差,故可以通过理论分析采 用修正值或补偿校正等方法来减小或消除。
•理论真值又称为绝对真值,是指在严格的条件下,根据一定的理论,按定义确定的数值。 例如三角形的内角和恒为180°一般情况下,理论真值是未知的。 •约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值,就给定的目的而言它被认为充分接近于 真值,因而可以代替真值来使用。如:基准米定义为“光在真空中1/299792458s的时间 间隔内行程的长度”。测量中,修正过的算术平均值也可作为约定真值。
表等级为0.2级。
r=
0.12 100% 100% 0.12 A 100
在选仪表时,为什么应根据被测值的大小,在满足被测量数值范围的前提下,尽可能 选择量程小的仪表,并使测量值大于所选仪表满刻度的三分之二。在满足使用 要求时,满量程要有余量,一般余量三分之一,为了装拆被测工件方便。 (同一精度,量程越大,误差越大,故量程要小,但留余量)
第二章 误差分析与数据处理
三.测量误差的来源
1.方法误差 方法误差是指由于测量方法不合理所引起的误差。如用电压表测量电压时,

误差理论与数据处理-第二章.part2

误差理论与数据处理-第二章.part2

第15页 页
算术平均值的实验标准差
算术平均值的实验标准差与测量次数n的平方根成反比,因此要减小随机 因素的影响,可适当增加测量次数;但是,当n大于10以后,其减小已很 缓慢;此外,由于测量次数越大,恒定的测量条件越难以保证,以致引起 新的误差。因此一般情况下,取10≤n≤ 15的测量次数为宜。
第16页 页
n
n
(2-8)
n
而 δx =
∑δ
i =1
i
n
∑δi 2 ,nδ x=n i =1 n
n
∑ δ i2 + 21∑j δ iδ j ≤i< = i =1 n
n
2
第7页 页
单次测量的实验标准[ 单次测量的实验标准[偏]差
当n适当大时,可认为
n
1≤ i < j
需进一步研究的问题: 需进一步研究的问题: 我们已可求出单次测量的实验标准偏差σs,那么,多个 测值的算术平均值的实验标准差又怎样计算?
第13页 页
算术平均值的实验标准差
算术平均值:
l1 + l2 + ⋯ + ln ∑ x= = i =1 n n
δ x = x − l0
n
li
算术平均值的误差:
---算 ( δ x ---算术平均值的真误差) ( l0 ---真值 ---真 )
第9页 页
实例
用游标卡尺测某一尺寸10次 数据见表( 用游标卡尺测某一尺寸10次,数据见表(设无系统和粗大 10 误差),求算术平均值及单次测值的实验标准差。 ),求算术平均值及单次测值的实验标准差 误差),求算术平均值及单次测值的实验标准差。
测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 序 li/mm 75.01 75.04 75.07 75.00 75.03 75.09 75.06 75.02 75.05 75.08 vi/mm -0.035 -0.005 +0.025 -0.045 -0.015 +0.045 +0.015 -0.025 +0.005 +0.035 vi2/mm2 0.001225 0.000025 0.000625 0.002025 0.000225 0.002025 0.000225 0.000625 0.000025 0.001225

误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理考试重点

误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理考试重点

1、随机误差产生的原因(装环人)2、随机误差具有统计规律性对称性:绝对值相等的正误差和负误差出现的次数相等。

单峰性:绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多有界性:在一定的测量条件下,随机误差的绝对值不会超过一定界限。

抵偿性:随着测量次数的增加,随机误差的算术平均值趋向于零。

3、算术平均值非X=X1+X2+...+XiVi(残余误差)=Xi-非X4、标准差(1)单次测量的标准差(δi)标准差=根号下(δi平方和/n)标准差的估计值=根号下(Vi平方和/n-1)(贝塞尔公式)评定单次测量不可靠的参数或然误差p=2/3标准差的估计值平均误差θ=4/5标准差的估计值(2)算术平均值的标准差标准差非x=标准差/根号下n或然误差R=2/3算术平均值标准差非x平均误差T=4/5标准差非x5、极差法Wn=Xmax-Xmino=Wn/dn6、最大误差法真值可代替o=|δi|/Kn真值未知o=|Vi|/Kn'7、权的确定方法:按测量的次数确定权8、单位权化的实质是使任何一个量值乘以自身权数的平方根,得到新的量值权数为1。

9、系统误差产生的原因(装环方人)10、系统误差的特征(服从某一确定规律变化的误差)不变的系统误差线性变化的系统误差周期性变化的系统误差复杂规律变化的系统误差11、系统误差的发现方法实验对比法残余误差观察法残余误差校核法不同公式计算标准差比较法计算数据比较法秩和检验法t检验法12、系统误差的减小和消除(1)从产生误差的根源上消除系统误差(2)用修正方法消除系统误差(3)不变系统误差消除法(代替法抵消法交换法)(4)线性系统误差消除法(对称法)(5)周期性系统误差消除法(半周期法)13、粗大误差产生的原因测量人员的主观原因客观外界条件的原因14、防止与消除粗大误差的方法(1)设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除(2)加强测量者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作(3)保证测量条件的稳定(4)采用不等精度测量方法(5)互相之间进行校核的方法15、判别粗大误差的准则3o准则(莱以特准则)罗曼诺夫斯基准则格罗布斯准则狄克松准则计算题测量某电路电流共5次,测得数据(单位位mA)为168.41 168.54 168.59 168.40 168.50 试求算术平均值及标准差或然误差和平均误差。

误差理论与数据处理智慧树知到课后章节答案2023年下陕西理工大学

误差理论与数据处理智慧树知到课后章节答案2023年下陕西理工大学

误差理论与数据处理智慧树知到课后章节答案2023年下陕西理工大学陕西理工大学第一章测试1.误差按照性质分为()A:随机误差、系统误差B:随机误差、粗大误差、偶然误差C:随机误差、系统误差、粗大误差答案:随机误差、系统误差、粗大误差2.有关修正值的描述,正确的是()A:修正值没有误差B:修正值与误差大小相等,符号相反C:修正值就等于误差答案:修正值与误差大小相等,符号相反3.环境误差的影响因素有()A:温度场、电磁场B:工作疲劳C:振动、照明答案:温度场、电磁场;振动、照明4.精确度高则一定()A:系统误差小,随机误差也小B:准确度高C:精密度高答案:系统误差小,随机误差也小;准确度高;精密度高5. 3.14159保留四位有效数字为()A:3.141B:3.142C:3.143答案:3.142第二章测试1.下列计算标准差的方法中,计算精度最高的是()A:别捷尔斯法B:贝塞尔公式法C:最大误差法D:极差法答案:贝塞尔公式法2.适用于发现组内数据系统误差方法是()A:t检验法B:不同公式计算标准差比较法C:秩和检验法D:计算数据比较法答案:不同公式计算标准差比较法3.如果一把米尺的测量结果表示为999.9420±0.0021(mm),则表示测量这把米尺的精度为()A:0.0063mmB:0.0021mmC:0.0007mm答案:0.0021mm4.如果对一钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量,其标准差分别为0.05mm,0.20mm,0.10mm,则其三组测量结果的权分别为()A:5,2,10B:10,25,2C:16,1,4答案:16,1,45.下列不属于粗大误差的判别准则的是()A:马利科夫准则B:莱以特准则C:狄克松准则D:罗曼诺夫斯基准则答案:马利科夫准则第三章测试1.误差间的线性相关关系是指它们之间具有的线性依赖关系,其取值范围在()A:-1至1之间B:-1值0之间C:0值1之间答案:-1至1之间2.随机误差的合成可以按照()合成A:相对误差B:极限误差C:标准差答案:极限误差;标准差3.系统误差合成可以按照()合成A:代数和法B:标准差C:极限误差答案:代数和法;标准差;极限误差4.误差分配的步骤有()A:验算调整后的总误差B:按等作用原则分配误差C:按照可能性调整误差答案:验算调整后的总误差;按等作用原则分配误差;按照可能性调整误差5.下列关于误差间的线性相关关系,说法正确的是()A:这种关系有强有弱,联系最强时,在平均意义上,一个误差的取值完全决定了另一个误差的取值,此时两误差间具有确定的线性函数关系。

误差理论与数据处理第二章

误差理论与数据处理第二章

vi2 (mm)
0.001225 0.000025 0.000625 0.002025 0.000225 0.002025 0.000225 0.000625 0.000025 0.001225
x 75.045mm
v
i 1
10
i
0
v
i 1
10
2 i
0.00825mm 2
0.250 1.253 mm 0.0330mm 1010 1
11 i
v l
i 1
11x 22000.74mm 22000.737mm 0.003mm
规则2:
n 11 0.5 0.5 5, A 0.001mm 2 2 11 n v 0 . 003 mm 0 . 5 A 0.005mm i 2 i 1
x
l (l
i 1 i
n
n
n

i 1
o
li )
n

l nl
i 1 i
n
o
n
l0
l
i 1
n
i
n
l0 x 0
三、算术平均值
例 2-1 测量某物理量10次,得到结果见表,求
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
理论值
x
vi
0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01
vi n(n 1)
四、测量标准差(方均根误差)
表 23
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
li (mm)
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权的计算
将各组的权予以约简,用简单的数值来
表示各组的权,如设 x
1
0.05, x2 0.2, x3 0.1,
则 p1 : p2 : p3 16 : 1 : 4 ,则
p1 16, p2 1, p3 4
(3)加权算术平均值
x1
l
i 1
n1
1i
n1
n1
, x2
ˆ dn
极差法可迅速算出标准差,并且有一定 精度,一般在n<10均可采用,不象Bessel或 Peters法那样求算术平均值,残余误差那么麻 烦。
(4)最大误差法
当多个独立测量值服从正态分布时,可用 下式求得的标准差的无偏估计:
ˆ vi
max ' n
k
最大误差法简单、迅速、方便,且n<10时, 该法具有一定精度。在代价较高的破坏性实验 中一般只容许进行一次实验,且需估计精度情 形下,则该法则特别有用。
分布。
高斯公布的四个特点
对称性:正误差与负误差出现的次数在绝对值相
等时一样。
单峰性:绝对值小的误差出现的次数比绝对值大
的误差出现的次数多。
有界性:在一定测量条件下,随机误差的绝对值
不会超过一定界限。
抵偿性:随着测量次数的增加,随机误差的算术
实际上真值一般情况下是 未知,在有限次测量下,用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值:
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下:
(一)构建残余误差与随机误差之间的关系:
i li L0
i li x x l0 vi x vi li x
依据算术平均值的定义计算算术平均值既 烦琐又易产生错误,可用下列简便方法计算:
任选一个 接近所有测量值的数 (称为中数) 作为参考值,计算每个测得值 li 与中数 l0 的差 值 li li l0 i 1, 2,, n 因
x
l
i 1
n
i
n
x0
l
i 1
n
i
n
则 x l0 x0 x0 当 l0 取值合适时因前后相减而变得好计算。
x xi x
i
单位权化可得:
pi vxi pi xi pi x
已成为等精度测量列, pi vx 也成为等精度测量 列,将 pi vx 代入等精度测量列求标准查的公式中,就 有
pi xi
i
i

pv
i 1 i
m
2 xi
m 1
x

i 1
m
2 pi vx i m
( m 1 ) pi
但是由于存在有效数字舍入的情况,实际 得到的可能是经过凑整的非准确数,存在舍入 误差 即 舍前值
x
n
l
i 1
i
n

v
i 1
n
i
n
舍后值
规则一
当n为偶数时:
n vi A 2 i 1
n
当n为奇数时:
n vi ( 0.5) A 2 i 1
n
式中的A为实际求得的算术平均值末位数 的一个单位。
(2)计算校核
算术平均值及其残余误差的计算是否正确, 可用残余误差代数和性质进行校核。 n 因 li
x
i 1
于是
n
n
vi li x ,
i 1, 2,......n
v l x nx nx 0
i 1 i i 1 i i 1
n
n
残余误差代数和为零的性质可作为校核算术 平均值及其残余误差计算是否正确的依据。
i
x

n
x x
ni
i
i
n
i 1
m
i
为什么要权单位化?
当 不可知时,各组测量结果 的残余误差为 x xi x 。 因该残余误差是不等精度的测 量列,其权不一致,为此需使得其 权位单位化。
i
单位权化的定义 单位权化的实质就是使任何
一个量值乘以自身权数的平方根, 得到新的量值权数为1。
(二)随机误差一次方与二次方的和式公式:
v n
i i
x
n x
2 2 2 2 2 v n 2 v v n i i i x x i x
(三)求平均值误差平方和的公式:
n 2 x 2 ( i )2 i 2 2 i j i 2
比较常见的。 定义:即在相同的测量条件,同一个测量者
使用相同的测量仪器和测量方法对同一测量 量进行了多组的测量。
如何求得最后的测量结果及精度?
(1)权的概念
在等精度测量中,各个测得值认为同样可 靠,既具有相同的权。在不等精度测量中,如 不同的测量次数,各组的平均值的可靠精度不 一样,最终的结果不能简单地表示为算术平均 值的形式: x
Байду номын сангаас
1 D( x ) 2 D( l1 ) D( l2 ) ...... D( ln ) n
D( l1 ) 2 1 D( x ) 2 nD( l1 ) n n n
D(l1 ) D(l2 ) ...... D(ln )
x

n
结论
在n次测量的等精度测量中,算术平均值 1 n , x 。但 的标准差是单次测量标准差 n , 也不是n越大越好,因为 n 要出较大的劳动, 而且 难保证测量条件的恒定,从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
vx1 x1 x 0.5mm,vx2 0.4mm,vx3 0.1mm m 3, p1 3, p2 2, p3 5 3 ( 0.5 )2 2 ( 0.4 )2 5 ( 0.1 )2 x 0.0002mm ( 3 1 )( 3 2 5 )
测量结果为:
x 999.9420 0.0002( mm )
三、随机误差的几种分布
随机误差的分布中,最常见的是正态分布,还
有均匀分布、三角形分布、x 2 分布、 t 分布、F 分布 等。
1、正态分布
测量列的随机误差 i li L0 满足下列四个条
件的概率分布,称之为正态分布,也称高斯(Gauss)
i 1 1i j n n
i j 0
1i j
n
(四)展开随机误差平方和公式:
2 2 2 2 v n v i i i x 2 i
n 1 i 2 n vi 2
2 v i
n

n 1

2 i
n

精度低的,权低。
★不同的测量方法:测量方法完善的,权高;
测量方法低劣的,权低。 手,权低。
★不同的测量人员:经验丰富的,权高;新
这些权的确定,都基于权代表的数 值的可靠程度这一原则。
不同测量次数的不等精度测量是我
们的研究重点。因单次测量精度皆相同, 其标准差均为 表示
P i ni
i组的权用 ,第
px
i 1 m
m
i i
p
i 1
i
等精度测量是不等精度测量的特例
p1 p2 pm 1 各组的权相等时,
,可见不等精度测量是等精度测量 的特例。
x xi / m
i 1 m
(4)加权算术平均值的标准差
当单次测量的标准差 可知时 :
x
i

ni
全部 为:
n 测得值的算术平均值 x 的标准差
§2.1 随机误差
定义: 在同一测量条件下,多次测量同一量值时,
绝对值和符号的 不可预定方式变化的误差,该
数的出现没有确定的规律,但具有统计规律性。
其产生的原因不外乎有测量装置、环境方面、
人员方面等因素所造成。
二、随机误差的几个统计量
随机误差常见的几个统计量有均值、均方 值、方差等。 1、均值 均值即算术平均值。 (1)算术平均值的意义 在测量中,被测量的N 个测得值的代数和 除以N 得到的值称之为算术平均值。 设n次测得值为则算术平均值为:
3.不等精度测量
上述都是等精度测量问题,一般测量实 践中基本都属于这种类型。为了得到更为精 确的测量结果,我们便会遇到不等精度测量 问题: (一)不同的测量条件; (二)不同的测量仪器; (三)不同的测量方法; (四)不同的测量人员 (五)不同的测量次数。
测量次数的不等精度测量问题
不同的测量次数的不等精度测量问题是
pi xi
pz 1
证明:
D( Z ) PD( xi ) i
P i
2 z
2 xi
1 1 1 1 1 pz : pi 2 : 2 : z xi pi x2 x 2 pi i i 1 pz pi 1 pi
已知各组测量结果的残余误差为:
(2)测量列算术平均值的标准差
算术平均值的标准差是算术平均值作为 测量结果后其不可靠性的评定标准。 也可用于表示同一被测量的多个独立测 量列算术平均值的分散性的参数。因为各个 独立测量列的算术平均值由于随机误差的存 在也不可能相等,必在真值的上下有一定的 分散。
算术平均数值标准差公式推导
l1 l2 ...... ln x n
数时, v 为负,其大小为求 x 时的亏数;
2、方差
(1)定义:方差一般也称之为标准差,这里计 算单次测量的标准差。 在等精度测量中,单次测量的标准差按下 列公式计算: i li L0
2 2 12 2 ...... n 2 i i 1 n
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