2020版高考数学(文)新精准大一轮课标通用版检测：第十章第3讲几何概型含解析

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2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第十章第三节随机事件的概率 Word版含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级基础夯实练1．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件解析：选B.因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．故选B.2．(2018·安徽“江南十校”联考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是( )A.45B ．35 C.25 D ．15解析：选D.令选取的a ，b 组成实数对(a ，b )，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种情况，其中b ＞a 的有(1,2)，(1,3)，(2,3)3种情况，所以b ＞a 的概率为315＝15.故选D. 3．(2018·河北石家庄一检)已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是( )A ．合格产品少于8件B ．合格产品多于8件C ．合格产品正好是8件D ．合格产品可能是8件解析：选D.产品的合格率是0.8，说明抽出的10件产品中，合格产品可能是8件，故选D.4．(2018·沈阳市教学质量检测)将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是( )A.12B ．14 C.16 D ．18解析：选B.A ，B ，C ，D 4名同学排成一排有A 44＝24种排法．当A ，C 之间是B 时，有2×2＝4种排法，当A ，C 之间是D 时，有2种排法．所以所求概率为4＋224＝14，故选B. 5．满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的概率为( )A.712B ．1112 C.1116 D ．1316解析：选D.满足条件的方程共有4×4＝16个，即基本事件共有16个．若a ＝0，则b ＝－1,0,1,2，此时共组成四个不同的方程，且都有实数解；若a ≠0，则方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实根，需Δ＝4－4ab ≥0，所以ab ≤1，此时(a ，b )的取值为(－1,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(－1,2)，(1,1)，(1,0)，(1，－1)，(2，－1)，(2,0)，共9个．所以(a ，b )的个数为4＋9＝13.因此，所求的概率为1316. 6．(2018·福建省普通高中质量检查)某食品厂制作了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为( )A.316B ．49 C.38 D ．89解析：选B.将3种不同的精美卡片随机放进4个食品袋中，根据分步乘法计数原理可知共有34＝81种不同放法，4个食品袋中3种不同的卡片都有的放法共有3×C 24×A 22＝36种，根据古典概型概率公式得，能获奖的概率为3681＝49，故选B. 7．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15. 答案：158．已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3表示命中靶心，4,5,6,7,8,9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 191 925 271 932 800 478 589 663531 297 396 021 546 388 230 113 507 965据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为________．解析：由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421,191,271,932,800,531，共6组随机数，所以所求概率为620＝0.30.答案：0.309．如下的三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12 a 13a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33 解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39＝9×8×71×2×3＝84种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 11＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314. 答案：1314 10．(2018·郑州测试)某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为________．解析：将3名男生记为M 1，M 2，M 3,2名女生记为W 1，W 2，从这5名志愿者中选出2名的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 1，W 1)，(M 1，W 2)，(M 2，M 3)，(M 2，W 1)，(M 2，W 2)，(M 3，W 1)，(M 3，W 2)，(W 1，W 2)，共有10种，其中所选的2名志愿者性别相同的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 2，M 3)，(W 1，W 2)，共有4种，因此选出的2名志愿者性别相同的概率为410＝25. 答案：25B 级能力提升练11．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B ．15 C.310 D ．25解析：选D.依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a ＞b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率为1025＝25，选D. 12．(2018·南昌调研)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，若三人抢到的钱数均为整数，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率是( )A.13B ．310 C.25 D ．34解析：选C.设乙、丙、丁分别抢到x 元，y 元，z 元，记为(x ，y ，z )，则基本事件有(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,3,4)，(2,4,3)，(3,2,4)，(3,4,2)，(4,3,2)，(4,2,3)，(3,3,3)，共10个，其中符合丙获得“手气最佳”的有4个，所以丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率P ＝410＝25.故选C. 13．(2018·安阳模拟)盒中有三张分别标有号码3,4,5的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为奇数的概率为________．解析：解法一：两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种，其中至少有一个是奇数为(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共8种，因此所求概率为89. 解法二：所求事件的对立事件为：两次抽取的卡片号码都为偶数，只有(4,4)这1种取法，而两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种，因此所求事件的概率为1－19＝89. 答案：8914．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如表所示.已知这55%.(1)求x ，y 的值；(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率．解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.(2)记A：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟．A1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟．A2：该顾客一次购物的结算时间为3分钟．将频率视为概率可得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝20100＋10100＝0.3，所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3.。

高考数学总复习第10章第3(文)、6(理) 几何概型课件新人教A版

于半径长度的概率为
1
2
A.2
B.3
3
1
C. 2
D.4
第二十一页，共61页。
(1)根据题意求出矩形各边的长，然后(ránhòu)求概率． (2)确定点A′在圆周上的位置，然后(ránhòu)求概率．
解析：(1)(理)设 AC＝x，CB＝12－x，所以 x(12－x)＝32，解得 x＝4 或 x＝8.所以 P＝4＋ 124＝23.
第十九页，共61页。
(文)(2012·辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点
C，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该
矩形面积大于 20 cm2 的概率为
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้
A.6
B.3
2
4
C.3
D.5
第二十页，共61页。
(2)如右图所示，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置
任取一点 A′，连接 AA′，它是一条弦，它的长度大于等
解析：记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨(bùfáng) 在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，
第二十八页，共61页。
弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型公式得：P(A)＝12×2 2＝12.
第三十六页，共61页。
(文)点 Q 取自△ABE 内部的概率为 1
SS矩△ 形AABBECD＝2|·A|ABB|·||·A|ADD| |＝12.故选 C. 答案(dáàn)：C
第三十七页，共61页。
(2)∵S 圆＝πR2，S 阴影＝ 43×( 3R)2＝343R2，

2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习高效演练分层突破：第十章第3讲几何概型Word版解析版

[基础题组练 ]1．已知会合 A＝{ a|y＝10＋ 3a－ a2}，若在会合 A 内任取一个数a，使得 1∈{ x|2x2＋ax－ a2＞ 0} 的概率为 ()1 3A. 7B.71 3C.2D.4分析：选 B.由 10＋ 3a－ a2≥0，解得－ 2≤ a≤ 5，即 A＝ [－ 2， 5]．由于 1∈ { x|2x2＋ ax － a2＞ 0} ，故2 ＋ a－ a2＞ 0，解得－ 1 ＜ a ＜ 2.由几何概型的知识可得，所求的概率 P ＝2－（－ 1）＝ 3 .应选 B.5－（－ 2）72.(2020 湖·南长沙四县联考)如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的极点在鱼缸的缸底上，此刻向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()ππA．1－4 B.12ππC.4D.1－12分析：选 A. 鱼缸底面正方形的面积为22＝ 4，圆锥底面圆的面积为π，因此“ 鱼食能被π鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－4，应选 A.3.(2020 安·庆二模 )中国人民银行刊行了2018 中国戊戌 ( 狗)年金银纪念币一套，如下图是一枚 3 克圆形金质纪念币，直径为18 mm，小米同学为了测算图中装修狗的面积，他用 1 枚针向纪念币上扔掷500 次，此中针尖恰有150 次落在装修狗的身体上，据此可预计装修狗的面积大概是 ()486 πmm2 243 π2A. 5B. 10 mm243 π243 πC. 5 mm2D. 20 mm 2分析：选 B. 设装修狗的面积为S mm 2.由题意得S 2＝150，因此S＝243πmm2.π×18 500 10 24．(2020 湖·南省五市十校联考)一只蚂蚁在三边长分别为6，8，10 的三角形内自由爬行，某时辰该蚂蚁距离三角形的随意一个极点的距离不超出 1 的概率为 ( )ππA. 24B.481 1C.12D.8分析：选 B.由题意，可得三角形为直角三角形，其面积为1× 6× 8＝ 24，三角形内距离2三角形的随意一个极点的距离不大于 1 的地区如图中暗影部分所示，它的面积为半径为 1π的半圆面积，即 S＝1 π 2＝π2＝，因此所求概率 P＝24，应选 B. 2π× 1 2 485．在区间 [0， 6]上随机取一个数x，则 log 2x 的值介于 1 到 2 之间的概率为．4－2 1 分析：由题知 1<log 2x<2，解得 2<x<4，故 log2x 的值介于 1 到 2 之间的概率为＝ .6－0 3 1答案：36.如图，正四棱锥 S-ABCD 的极点都在球面上，球心O 在平面 ABCD 上，在球 O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为．分析：设球的半径为 R，P＝V锥＝1×1×2R× 2R× R1 .则所求的概率为 3 2 ＝V球 4 2ππR331答案：2π7． (2020 西·安市八校联考 )从会合 {( x， y)|x2＋ y2≤ 4， x∈ R， y∈ R} 中任选一个元素 (x，y)，则知足 x＋ y≥2 的概率为．x2＋ y2≤ 4，分析：如图，先画出圆 x2＋ y2＝ 4，再画出不等式组x＋ y≥ 2对应的可行域，即图中暗影部分，则所求概率 P ＝S 暗影S 圆1× 4π－1× 2× 2π－ 2＝42＝4π 4π.答案： π－ 24π8． (2020 洛·阳尖子生第二次联考 )某港口有一个泊位，现统计了某月 100 艘轮船在该泊位的停靠时间 (单位：小时 )，假如停靠时间不足半小时按半小时计时，超出半小时不足 1 小时按 1 小时计时，依此类推，统计结果如表：停靠时间 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6轮船数目1212172015 1383设该月这 100 艘轮船在该泊位的均匀停靠时间为 a 小时．(1)求 a 的值；(2)假设某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一日夜的时间段中随机抵达，求这两艘轮船中起码有一艘在停靠该泊位时一定等候的概率．解： (1)a ＝ 1001× (2.5× 12＋ 3× 12＋ 3.5× 17＋ 4× 20＋ 4.5× 15＋ 5× 13＋ 5.5× 8 ＋ 6×3)＝ 4.(2)设甲船抵达的时间为 x ，乙船抵达的时间为 y ，0<x ≤ 24则 .0<y ≤ 24若这两艘轮船中起码有一艘在停靠该泊位时一定等候，则 |y － x|<4，切合题意的地区如图中暗影部分 (不包含 x ，y 轴 )所示．记“这两艘轮船中起码有一艘在停靠该泊位时一定等候” 为事件A，24× 24－2×1× 20× 20＝ 11则 P(A)＝ 224×24 36.11即两艘轮船中起码有一艘在停靠该泊位时一定等候的概率为36.[综合题组练 ]1.(2020 湖·南省湘东六校联考)如图，一靶子是由三个全等的三角形和中间的一个小等边三角形拼成的大等边三角形，此中3DF ＝ 2BF，若向靶子随机投镖，则镖落在小等边三角形内的概率是 ()A. 2B.47 493 3 13C.13D. 13分析：选 B.由于 3DF ＝2BF，因此不如设DF ＝ 2，BF＝3，则 DC ＝ 3，∠BDC ＝ 120°，由余弦定理可得BC＝25＋ 9－ 2× 5× 3×－1＝ 7，因此镖落在小等边三角形内的概率是21× DF 2× sin 60°2 ＝4，应选 B.1 492×BC 2× sin 60 °2． (2020 甘·肃张掖第一次联考)如图， B 是 AC 上一点，分别以AB， BC(AB<BC )，AC 为直径作半圆，从 B 作 BD ⊥ AC，与半圆订交于 D ，AC＝ 6，BD＝ 22，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中暗影部分的概率是()2 1A. 9B.34 2C.9D.3分析：选 C. 连结 AD ， CD，可知 △ACD 是直角三角形，又 BD ⊥AC ，因此 BD 2＝ AB ·BC ，设 AB ＝ x(0< x<3) ，则有 8＝ x(6－ x)，得 x ＝2，因此 AB ＝ 2， BC ＝ 4，2π× 12π× 22由此可得图中暗影部分的面积等于π× 3 －＋＝ 2π，2 2 2故概率 P ＝ 1 2π ＝ 49.应选 C.× 9π23．(2020 广·东六校第一次联考 )在区间 [ － π，π]上随机取两个实数 a ，b ，记向量 m ＝ (a ，2．4b) ，n ＝ (4a ， b)，则 m ·n ≥ 4π 的概率为分析：在区间 [－ π，π]上随机取两个实数 a ， b ，则点 (a ，b) 在如下图的正方形内部及其界限上．由于m ·n ＝ 4a 2＋ 4b 2≥ 4π2，因此 a 2＋ b 2≥ π2，知足条件的点 (a ， b)在以原点为圆心，π为半径的圆外面 (含界限 )，且在正方形内 (含界限 )，如图中暗影部分所示 2，因此 m ·n ≥ 4π23－ ππ的概率 P ＝4π2＝1－ .4π 4答案： 1－π4x ＋y － 4≤ 0，4．在平面地区 x>0，内随机取一点 (a ，b)，则函数 f(x)＝ ax 2－ 4bx ＋ 1 在区间 [1，y>0＋∞ )上是增函数的概率为．分析：不等式组表示的平面地区为如下图的△ AOB 的内部及界限 AB(不包含界限 OA ，OB)，则 S △ AOB ＝12× 4× 4＝ 8.函数 f(x) ＝ax 2－ 4bx ＋ 1 在区间 [1，＋∞ )上是增函数，则应知足4b≤ 1，知足 a>0，(包含界限 OC ， BC ，可得对应的平面地区如图中暗影部分a>0，且 x ＝2a a ≥2b ，不包含界限 OB)，由a ＝2b ，解得 a ＝ 8， b ＝4，因此 S △ COB ＝ 1× 4× 4＝8，依据几何a ＋b － 4＝ 0，3323 383 1概型的概率计算公式，可知所求的概率为 8＝ 3.1 答案：3。

【复习必备】(全国通用版)2020版高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例、概率第6节几何概型学案文

第6节几何概型最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.知识梳理1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.2.几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.3.几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.[常用结论与微点提醒]1.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关.2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是110.( )(3)概率为0的事件一定是不可能事件.( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( )答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B ). 答案 A3.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710B.58C.38D.310解析至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.答案 B4.(2018·莆田质检)从区间(0，1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长度不大于1的概率是( ) A.π8B.π4C.12D.34解析任取的两个数记为x ，y ，所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 位于阴影区域内(不包括x ，y 轴). 故所求概率P ＝14π×121×1＝π4.答案 B5.如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.解析由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，因为S 正＝1，所以 S 阴＝0.18.答案0.18考点一与长度(角度)有关的几何概型【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13B.12C.23D.34(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.解析 (1)如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 上，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12.(2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧DB ′︵交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′.依题意，点P ′在B ′D ︵上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在B ′C ′︵上发生”. 又在Rt △ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π6.故所求事件的概率P ＝l B ′C ′︵l B ′D︵＝π6·1π2·1＝13.答案 (1)B (2)13规律方法 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.2.(1)例1第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求P ＝12.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比. 【训练1】 (1)(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________.(2)(2018·西安调研)在区间[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.解析 (1)由6＋x －x 2≥0，得－2≤x ≤3，即D ＝[－2，3]. 故所求事件的概率P ＝3－（－2）5－（－4）＝59.(2)直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于3. 则|5k －0|k 2＋（－1）2＜3，解得－34＜k ＜34. 故所求事件的概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－（－1）＝34.答案 (1)59 (2)34考点二与面积有关的几何概型(多维探究) 命题角度1 与平面图形面积相关的几何概型【例2－1】(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4解析设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4. 又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π.所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝π2.由几何概型的概率公式，概率P ＝S 黑S 正方形＝π8. 答案 B命题角度2 与线性规划的交汇问题【例2－2】由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≤－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________.解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.由几何概型的概率公式，所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.答案 78规律方法 1.与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.2.解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n mB.2n mC.4mnD.2mn(2)(2018·石家庄调研)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.14B.34C.13D.23解析 (1)如图，数对(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率计算公式知P ＝S 扇形S 正方形＝14πR2R 2＝π4，又P ＝m n ，所以π4＝m n ，故π＝4mn . (2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0表示的平面区域(即△ABC )，其面积为 4.事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3.所以事件A 发生的概率是34.答案 (1)C (2)B考点三与体积有关的几何概型【例3】 (1)(2018·深圳模拟)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18B.16C.127D.38(2)已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S－ABC的概率是( )A.78B.34C.12D.14解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.(2)由题意知，当点P 在三棱锥的中截面A ′B ′C ′以下时，满足V P －ABC <12V S －ABC ，又V 锥S －A ′B ′C ′＝12×14V 锥S －ABC ＝18V 锥S －ABC .∴事件“V P －ABC <12V S －ABC ”的概率P ＝V 台体A ′B ′C ′－ABC V 锥S －ABC ＝V 锥S －ABC －V 锥S －A ′B ′C ′V 锥S －ABC ＝78.答案 (1)C (2)A规律方法 1.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求. 2.本题易忽视基本事件的等可能性，错用“长度”度量，误求P ＝12.【训练3】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________.解析设四棱锥M －ABCD 的高为h ，由于S 正方形ABCD ＝1，V 正方体＝1，且h 3S 正方形ABCD <16.∴h <12，则点M 在正方体的下半部分，故所求事件的概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.答案 12基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.为了测量某阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( ) A.4B.3C.2D.1解析由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13，所以阴影部分的面积约为9×13＝3.答案 B2.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为 2 km ，大圆的半径为4 km ，卫星P 在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为()A.112B.512C.13D.15解析根据几何概型公式，小于3 km 的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为P ＝5π12π＝512.答案 B3.(2018·潍坊一中质检)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34B.23C.13D.14解析由－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34，故选A.答案 A4.(2018·成都诊断)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )A.117B.217C.317D.417解析 ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝217.答案 B5.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.13B.23C.34D.14解析设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13. 故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23.答案 B6.(2018·西安调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e 在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( )A.1e B.1－1eC.e1＋eD.11＋e解析当0≤x <1时，恒有f (x )＝e x<e ，不满足题意. 当1≤x ≤e 时，f (x )＝ln x ＋e.由ln x ＋e≥e，得1≤x ≤e. ∴所求事件的概率P ＝e －1e ＝1－1e .答案 B7.已知平面区域D ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y ＝kx (k ∈R )下方的概率为( ) A.12B.13C.23D.34解析由题设知，区域D 是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y ＝kx 将其面积平分，如图，故所求概率为12.答案 A8.(2018·福州调研)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12解析因为四边形ABCD 为矩形，B (1，0)且点C 和点D 分别在直线y ＝x ＋1和y ＝－12x ＋1上，所以C (1，2)，D (－2，2)，E (0，1)，则A (－2，0). 因此S 矩形ABCD ＝6，S 阴影＝12×1·|CD |＝32.由几何概型，所求事件的概率P ＝326＝14.答案 B 二、填空题9.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3. 答案 310.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.解析因为V A －A 1BD ＝V A 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为V A －A 1BD V 长方体＝16.答案 1611.(2018·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为________.解析由x ，y ∈[0，4]知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分.易知A (4，2)，S 正方形＝16，S 阴影＝（2＋4）×42＝12.故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34. 答案 3412.在区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________.解析设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两负根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4（3p －2）>0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p <1或p >2.又因为p ∈[0，5]，得p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(2，5]，故所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋（5－2）5＝23. 答案 23能力提升题组 (建议用时：10分钟)13.(2018·西北工大附中调研)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1πC.12－1πD.14－12π解析由|z |≤1得(x －1)2＋y 2≤1，由题意作图如图所示，则满足条件的区域为图中阴影部分，∴y ≥x 的概率为π4－12π＝14－12π.答案 D14.在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12B.23C.34D.14解析要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0. ∵a ，b ∈[0，1]，a ＋2b >0， ∴a －2b <0.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P＝1－12×1×121×1＝34.答案 C15.已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________.解析依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x )cm ，由4x (12－x )>128得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，故所求的概率等于8－412＝13.答案 1316.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116，∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.答案 1316。

2022版高考数学一轮复习第十章概率(文)第三讲几何概型(文)第六讲几何概型学案(理,含解

学习资料2022版高考数学一轮复习第十章概率（文）第三讲几何概型（文）第六讲几何概型学案（理，含解析）新人教版班级：科目：第三讲几何概型(文) 第六讲几何概型(理）知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度（面积或体积）__成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型．知识点二几何概型的特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性．知识点三几何概型的概率公式P（A）＝__错误!__．知识点四随机模拟方法（1）使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．（2）用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A）＝错误!作为所求概率的近似值．错误!错误!错误!错误!几种常见的几何概型（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3）与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．（√）(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√）(3）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（√）（5）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．（×)（6）从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝错误!．（×）题组二走进教材2．(P140T1）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分,则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(A)［解析]∵P(A)＝错误!，P(B)＝错误!，P(C)＝错误!，P（D）＝错误!,∴P(A)＞P(C)＝P（D）＞P（B)．故选A．3．（P146B组T4)设不等式组错误!表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析]如图所示,正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4,而阴影部分(不包括错误!)表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π．因此满足条件的概率是错误!，故选D．题组三走向高考4．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（B)A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!［解析] 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝错误!S 圆＝错误!，所以由几何概型知,所求概率P ＝错误!＝错误!＝错误!．故选B ．5．（2019·全国）在Rt △ABC 中,AB ＝BC ，在BC 边上随机取点P ,则∠BAP ＜30°的概率为（ B ）A ．12B ．错误!C ．错误!D ．错误![解析] 在Rt △ABC 中,AB ＝BC ，Rt △ABC 为等腰直角三角形,令AB ＝BC ＝1，则AC ＝错误!;在BC 边上随机取点P ，当∠BAP ＝30°时，BP ＝tan 30°＝错误!,在BC 边上随机取点P ,则∠BAP ＜30°的概率为：P ＝错误!＝错误!，故选B ．考点突破·互动探究考点一与长度有关的几何概型——自主练透例1 （1）（2021·山西运城模拟）某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8:15－8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到单位且到达单位的时刻是随机的，则他能正常刷卡上班的概率是（ D ）A ．错误!B ．错误!C ．13D ．错误!(2)(2021·福建龙岩质检）在区间错误!上随机取一个实数x,使cos x≥错误!的概率为（B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(3）（2020·山东省青岛市模拟)已知圆C:x2＋y2＝1和直线l：y＝k（x＋2）,在（－错误!，错误!）上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相交"发生的概率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析](1)一名职工在7：50到8：30之间到单位,刷卡时间长度为40分钟，但有效刷卡时间是8:15－8：30共15分钟，由测度比为长度比可得,该职工能正常刷卡上班的概率P＝错误!＝错误!．故选D．(2)由y＝cos x在区间错误!上单调递增，在错误!上单调递减，则不等式cos x≥错误!在区间错误!上的解为－错误!≤x≤错误!,故cos x≥错误!的概率为错误!＝错误!．(3）直线l与C相交⇒错误!＜1⇒－错误!＜k＜错误!．∴所求概率P＝错误!＝错误!．故选C．［引申］本例(3)中“圆上到直线l的距离为错误!的点有4个”发生的概率为__错误! __．[解析］圆上到直线l的距离为错误!的点有4个⇔圆心到直线l的距离小于错误!⇔错误!＜错误!⇔－错误!＜k＜错误!,∴所求概率P＝错误!＝错误!．名师点拨与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P（A)＝错误!．〔变式训练1〕（1）（2017·江苏卷）记函数f（x)＝6＋x－x2的定义域为D．在区间［－4，5］上随机取一个数x，则x∈D的概率是__错误!__．（2)（2021·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f（x）＝sin x＋错误!cos x，当x∈[0，π］时,f（x）≥1的概率为（D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]（1)D＝｛x|6＋x－x2≥0｝＝［－2，3]，∴所求概率P＝错误!＝错误!．(2)由f(x）＝2sin错误!≥1，x∈［0，π]得x∈错误!,∴所求概率P＝错误!＝错误!，故选D．考点二与面积有关的几何概型——师生共研角度1与平面图形有关的问题例 2 （1）(2021·河南商丘、周口、驻马店联考）如图，AC,BD上分别是大圆O 的两条相互垂直的直径，4个小圆的直径分别为OA，OB，OC，OD，若向大圆内部随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为(D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2）设复数z＝(x－1）＋y i（x，y∈R），若|z｜≤1，则y≥x的概率为（C）A．错误!＋错误!B．错误!＋错误!C．错误!－错误!D．错误!－错误!［解析](1)不妨设大圆的半径为2,则大圆的面积为4π，小圆的半径为1，如图，设图中阴影部分面积为S，由图形的对称性知，S阴影＝8S．又S＝错误!π×12－错误!×2＝1,则所求概率为错误!＝错误!，故选D．(2)∵|z｜＝错误!≤1，∴(x－1）2＋y2≤1，其几何意义表示为以(1,0）为圆心，1为半径的圆面,如图所示，而y≥x所表示的区域如图中阴影部分,故P＝错误!＝错误!－错误!．［引申]本例（1)中图形改成下图，则此点取自图中阴影部分的概率为__错误!__．[解析]不妨设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，∴所求概率P＝错误!＝错误!．角度2与线性规划交汇的问题例3 在满足不等式组错误!的平面点集中随机取一点M（x0，y0）,设事件A为“y0＜2x0”,那么事件A发生的概率是（B)C．错误!D．错误![解析］如图所示，不等式组错误!表示的平面区域为△ABC且A（1,2)，B（－1，0）,C(3,0)，显然直线l:y＝2x过A且与x轴交于O，∴所求概率P＝错误!＝错误!＝错误!．选B．名师点拨解决与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何元素，必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解．〔变式训练2〕 (1)（2021·唐山模拟）右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（B）A．8 B．9C．10 D．12(2）(2021·四川模拟）以正三角形的顶点为圆心,其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性"曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图,D，E,F为正三角形ABC各边中点,作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分)，若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为(C）C．错误!D．错误!［解析］(1)根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S＝4×4×错误!＝9，故选B．（2)设△ABC的边长为2,则正△DEF边长为1，以D为圆心的扇形面积是错误!＝错误!，△DEF的面积是错误!×1×1×错误!＝错误!，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为3×错误!＋错误!＝错误!,△ABC面积为错误!,所求概率P＝错误!＝错误!．故选C．考点三，与体积有关的几何概型—-师生共研例 4 (1)（2021·山西省模拟)以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P,则P落在该几何体内的概率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（2）（2020·江西抚州临川一中期末）已知三棱锥S－ABC，在该三棱锥内任取一点P，则使V P－ABC≤错误!V S－ABC的概率为(D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析](1）如图以正方体各面中心为顶点的几何体是由两同底正四棱锥拼成，不妨设正方体棱长为2，则GH ＝错误!，∴所求概率P ＝错误!＝错误!＝错误!,故选C ．(2)作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝错误!V S －ABC ，则三棱锥P －ABC 的高等于错误!SO ，P 点落在平面EFD 上，且错误!＝错误!＝错误!＝错误!, 所以错误!＝错误!，故V S －EFD ＝错误!V S －ABC ，∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率P ＝1－错误!＝错误!．故选D ．名师点拨求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积(事件空间）,对于某些较复杂的问题常转化为其对立事件的概率问题求解．〔变式训练3〕一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( C ）A ．4π81B ．错误!C．错误!D．错误![解析］由已知条件可知,蜜蜂只能在以正方体的中心为中心棱长为1的小正方体内飞行,结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝错误!＝错误!．[引申]若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体8个顶点的距离均大于1，称其为“安全飞行"，则蜜蜂“安全飞行"的概率为__1－错误!__．[解析］所求概率P＝错误!＝1－错误!．考点四，与角度有关的几何概型-—师生共研例5 （1)(2021·南岗区校级模拟）已知正方形ABCD的边长为错误!，以A为顶点在∠BAD内部作射线AP,射线AP与正方形ABCD的边交于点M,则AM＜2的概率为（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（2）在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D，则AD＜AC的概率为__错误!__．[解析］(1)正方形ABCD的边长为错误!,以A为顶点在∠BAD内部作射线AP，射线AP 与正方形ABCD的边交于点M，如图所示：己知AD＝AB＝BC＝CD＝错误!，DM＝1，所以AM＝错误!＝2．所以∠DAM ＝错误!．根据阴影的对称性，故P (AM ＜2)＝错误!＝错误!，故选D ． (2）在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67。

2020普通高等高等学校统一招生(新课标I)(文数)(含详细答案及解析)(全国1卷高考数学真题)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A. {4,1}-B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}【答案】D 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若312i i z =++，则||=z （） A. 0 B. 1C.2D. 2【答案】C 【解析】【分析】先根据21i =-将z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．【详解】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.514- B.512- C.514+ D.512+ 【答案】C 【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab-=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得154b a +=（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（） A. 15B.25 C.12D. 45【答案】A 【解析】【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=.故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（） A. y a bx =+ B. 2y a bx =+C. e x y a b =+D. ln y a b x =+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP =-+-=根据弦长公式得最小值为229||2982CP -=-=.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A.10π9 B. 7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C 【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 8.设3log 42a =，则4a -=（）A.116B.19C.18D.16【答案】B 【解析】【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =，所以有149a-=，故选：B .【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9.执行下面的程序框图，则输出的n =（）A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足135100n ++++>的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =．故选：C. 【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题． 10.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（） A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q qq ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．11.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（）A.72B. 3C.52D. 2【答案】B 【解析】【分析】由12F F P 是以P 为直角直角三角形得到2212||||16PF PF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2PF PF -=，联立即可得到12||||PF PF ，代入12F F P S =△121||||2PF PF 中计算即可. 【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，因为121||1||2OP F F ==，所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，所以12F F P S =△121||||32PF PF = 故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.12.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】A 【解析】【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.【答案】1 【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________. 【答案】5 【解析】【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【答案】2y x = 【解析】【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.16.数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________.【答案】7 【解析】【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=， 17a ∴=故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为280.28100=；（2）甲分厂加工100件产品的总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题． 18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a =3c ，b =27，求ABC 的面积；（2）若sin A +3sin C =2，求C . 【答案】（1）3；（2）15︒. 【解析】【分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,23,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 32S ac B ==；（2）30A C +=︒，sin 3sin sin(30)3sin A C C C ∴+=︒-+132cos sin sin(30)2C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 19.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO 23π，求三棱锥P −ABC 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】【分析】（1）根据已知可得PA PB PC ==，进而有PAC ≌PBC ，可得90APC BPC ∠=∠=，即PB PC ⊥，从而证得PC ⊥平面PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边长，在等腰直角三角形APC 中求出AP ，在Rt APO 中，求出PO ，即可求出结论.【详解】（1）连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC ≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为3,3rl rl ππ==2222OD l r =-=，解得1,3r l ==2sin 603AC r ==，在等腰直角三角形APC 中，2622AP AC ==，在Rt PAO 中，2262142PO AP OA =-=-=， ∴三棱锥P ABC -的体积为112363332P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯=△.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.20.已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞.【解析】【分析】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，将其转化为2x e a x =+有两个解，令()(2)2x eh x x x =≠-+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当1a =时，()(2)xf x e x =-+，'()1x f x e =-，令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >，所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2xe a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-，所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e+∞.【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线xy e =和直线(2)y a x =+有两个交点，利用过点(2,0)-的曲线xy e =的切线斜率，结合图形求得结果.21.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+ 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共10分。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十章算法、统计与概率 10.5 Word版含

姓名，年级：时间：§10。

5 古典概型考情考向分析古典概型每年都会考查，主要考查实际背景下的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查，其中计数的方法局限于枚举法．常以填空题形式出现，属于中低档题．1．基本事件的特点（1)任何两个基本事件是互斥的；(2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(1)所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的．3．如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是错误!。

如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P（A)＝错误!。

4．古典概型的概率公式P(A)＝错误!。

概念方法微思考1．任何一个随机事件与基本事件有何关系?提示任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和．2．如何判断一个试验是否为古典概型？提示一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1）“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．( ×）(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面",这三个结果是等可能事件．（×）（3）从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．（×）(4)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13。

（√）（5)从1，2，3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0。

2。

( √) (6）在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为错误!.( √)题组二教材改编2．[P103练习T6]从A，B,C三名同学中选2名为代表,则A被选中的概率为________．答案错误!解析从A，B，C三名同学中选2名为代表，有AB，AC，BC三种可能，则A 被选中的概率为错误!。

2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第十章核心素养提升(十)

X2 40 60 80
P
12 63
1 6
X2 的期望为 E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60， X2 的方差为 D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2× 16＝4030. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励额的
方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.
①第 n 次操作后袋中有(a＋k)个白球，显然每次取球后，球的总数保持不变，即(a＋b)个(此时黑球有(b－k)个)，第(n＋1) 次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为 pk·aa＋＋kb； ②第 n 次操作后袋中有(a＋k－1)个白球，第(n＋1)次取出来的是黑球，由于球的总数保持不变，为(a＋b)个，故此时黑球的个数为 b－k＋1，这种情况发生的概率为 pk－1·b－a＋k＋b 1(k≥1)．故 P(Xn＋1＝a＋k)＝pk·aa＋＋kb＋pk－1·b5－(ak＋＋b1) (k≥1)．
1．【解】因为两球颜色相同包含：一是从两袋中都取得白球，二是从两袋中都取得黑球，三是从两袋都取得红球，这三种情况对应的三个事件是互斥的，在两个口袋中都取得球是相互独立事件，所以两球颜色相同的概率 P＝16×26＋26×36＋36×16＝3116. 2．【解】我认为获奖的概率小于 0.5，理由如下：甲箱子里有 3 个白球、2 个黑球，从甲箱中摸出一个白球的概率为35，乙箱子里有 2 个白球、2 个黑球，从乙箱中摸出一个白球的概率为24＝12，
3．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；

2020届高考文科数学一轮(新课标通用)训练检测：考点测试53 几何概型 Word版含解析

考点测试53 几何概型高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率 2．了解几何概型的意义一、基础小题1．在区间(0，4)上任取一数x ，则14<2x －1<1的概率是( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．34 答案 C解析由题设可得－2<x －1<0，即－1<x <1，所以d ＝1，D ＝4，则由几何概型的概率公式可知所求概率P ＝14．故选C ．2．取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为( )A ．2πB ．π－2πC ．2πD ．π4 答案 B解析设圆的半径为r ，所以正方形的边长为2r ，正方形的面积为2r 2，圆的面积为πr 2，∴所求概率P ＝1－2r 2πr 2＝π－2π．3．要产生[－3，3]上的均匀随机数y ，现有[0，1]上的均匀随机数x ，则进行平移与伸缩变换为( )A ．－3xB ．3xC ．6x －3D ．－6x －3 答案 C解析利用伸缩和平移变换进行判断得－3≤6x －3≤3，故y 取6x －3． 4．在圆心角∠AOB 为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )A ．13B ．23C ．14D ．34 答案 A解析记M ＝“射线OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”．如图所示，作射线OD ，OE 使∠AOD ＝30°，∠AOE ＝60°．当OC 在∠DOE 内时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90．所以P (M )＝3090＝13．5．一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5 m ，4 m ，3 m ，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是( )A ．2πB ．π－2πC ．2πD ．π120 答案 D解析屋子的体积为5×4×3＝60 m 3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×4π3×13×3＝π2 m 3，故苍蝇被捕捉的概率是＝π260＝π120．6．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14答案 C解析当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝2π32π＝13．故选C ．7．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，即可中奖，小明希望中奖，则他应当选择的游戏盘为( )答案 A解析 A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4(其中r 为圆的半径)，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π(其中r 为圆的半径)，故A 游戏盘的中奖概率最大．故选A ．8．向等腰直角三角形ABC (其中AC ＝BC )内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为( )A ．22B ．1－22C ．π8D ．π4答案 D解析以A 为圆心，AC 为半径画弧与AB 交于点D ．依题意，满足条件的概率P ＝S 扇形ACD S △ABC ＝π8·AC212AC2＝π4．故选D ．9．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A ．13B ．23C ．14D ．34 答案 B解析不妨设矩形的长为x cm ，则宽为(12－x ) cm ，由x (12－x )>20，解得2<x <10，所以该矩形的面积大于20 cm 2的概率为10－212＝23．故选B ．10．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0．18解析由题意知，S 阴S 正＝1801000＝0．18．∵S 正＝1，∴S 阴＝0．18．11．过等腰Rt △ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与AB 相交于点D ，则AD <AC 的概率是________．答案 0．75解析在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE (如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD <AC ．易知∠ACE ＝67．5°，∴AD <AC 的概率P ＝67.5°90°＝0．75．12．利用随机模拟方法计算y ＝x 2与y ＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND ，然后进行平移与伸缩变换a ＝a 1·4－2，b ＝b 1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a 1＝0．3，b 1＝0．8及a 1＝0．4，b 1＝0．3，那么本次模拟得出的面积约为________．答案 10．72解析由a 1＝0．3，b 1＝0．8，得a ＝－0．8，b ＝3．2，(－0．8，3．2)落在y ＝x 2与y ＝4围成的区域内；由a 1＝0．4，b 1＝0．3，得a ＝－0．4，b ＝1．2，(－0．4，1．2)落在y ＝x 2与y ＝4围成的区域内，所以本次模拟得出的面积约为16×67100＝10．72．二、高考小题13．(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3 答案 A解析不妨取AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积为S △ABC ＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p 1＝p 2．故选A ．14．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π4 答案 B解析不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S正方形＝4．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8．故选B ． 15．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34 答案 B解析解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12．故选B ．解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12．故选B ．16．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m n 答案 C解析如图，数对(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝π412⇒π＝4mn ．故选C ．17．(2015·湖北高考)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1 C ．12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2 答案 D解析如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1．事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12；事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D ．18．(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案 59解析由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2，3]．如图，区间[－4，5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59．三、模拟小题19．(2018·唐山模拟)右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为( )A ．8B ．9C ．10D ．12 答案 B解析根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S ＝4×4×225400＝9．故选B ．20．(2018·郑州质检三)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为( )A ．932B ．516C ．38D ．716 答案 C解析设正方形的边长为2，则由几何概型的概率公式，知所求概率为2×1×12＋1×1222＝38．故选C ．21．(2018·合肥质检三)如图所示的图形是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N ，落在圆内的豆子个数为M ，则估计圆周率π的值为( )A ．23MN B ．3M N C ．3M N D ．23M N答案 D解析设圆的半径为r ，则根据几何概型的概率公式，可得MN ＝πr 26×34×23·r2，故π＝23MN ，选D ．22．(2018·福建质检)如图，已知曲线y ＝sin πx2＋3把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分．若在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．13C ．38D ．34 答案 A解析如图，点D ，E 在直线y ＝3上，F 为y ＝3与曲线y ＝sin πx2＋3(0＜x ＜4)的交点．将y ＝3代入y ＝sin πx 2＋3得sin πx2＝0．又因为0＜x ＜4，所以x ＝2．由正弦函数的性质可知y ＝sin πx2＋3的图象关于点F (2，3)对称，所以阴影部分的面积S ＝S四边形BCDE＝4×(4－3)＝4．又因为S正方形OABC＝4×4＝16，所以此点取自黑色部分的概率是416＝14．故选A ．23．(2018·长春质检二)若向区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤1，0≤y ≤1}内投点，则该点到原点的距离小于1的概率为________．答案 π4解析如图，由题意知区域Ω的面积为1，在区域Ω内，到原点的距离小于1的区域为阴影部分，即四分之一个圆，其面积为π4，所以所求概率为π4．24．(2018·合肥质检二)小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00～6：00之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午5：30～6：00．快递员到小李家时，若小李未到家，就将商品存放快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于________．答案 34解析设快递员到小李家的时间为5点x 分，小李到家的时间为5点y 分，则依题意，若需要去快递柜收取商品，需满足⎩⎨⎧0≤x ≤60，30≤y ≤60，y －x >0，则可行域所表示的区域为图中阴影部分．由于随机试验落在矩形方框内的任何位置的等可能性，进而依据几何概型的概率公式，可得小李需要去快递柜收取商品的概率为12×(30＋60)×3030×60＝34．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2018·湖北黄冈、黄石等八市联考)若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，求张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率．解设第一天工作的时间为x 小时，第二天工作的时间为y 小时，则⎩⎨⎧ 6≤x ≤9，6≤y ≤9，因为连续两天平均工作时间不少于7小时，所以x ＋y 2≥7，即x ＋y ≥14，⎩⎨⎧6≤x ≤9，6≤y ≤9表示的区域面积为9，其中满足x ＋y ≥14的区域面积为9－12×2×2＝7，∴张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是79．2．(2018·安徽皖南地区调研)某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位：小时)，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如下表：(1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a 小时，求a 的值；(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．解 (1)a ＝1100×(2．5×12＋3×12＋3．5×17＋4×20＋4．5×15＋5×13＋5．5×8＋6×3)＝4．(2)设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，则⎩⎨⎧0<x <24，0<y <24，若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|y －x |<4，符合题意的区域为阴影部分(不包括x ，y 轴)，所以所求概率P ＝24×24－2×12×20×2024×24＝1136，则这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为1136． 3．(2018·山东临沂一模)设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1，2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝b x ．(1)若a ∈{1，4}，b ∈{－1，1，4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1，4]，b ∈[1，4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．解 (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1，2])所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ，共6种且每种情况被取到的可能性相同．又当a >0，b >0时， ax ＋b x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞上递增；x －1x 和4x －1x 在(0，＋∞)上递增，∴对x ∈[1，2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23．(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1，4]中任取的数，b 是从区间[1，4]中任取的数， ∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．要使x ∈[1，2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立，需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b2≤8， ∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分．∴P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924，故所求概率是1924．。

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