八年级数学上册 第十三章《轴对称》课题学习 最短路径问题学案(新版)新人教版
人教版八年级数学上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题导学案
人教版八年级数学上册第十三章13．4 课题学习最短路径问题导学案教学目标1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定．2.理解并掌握平面内两平行线异侧有两个点，则在平行线间何处作垂线段使得顺次连接的三条线段之和最小的位置的确定．情景导入回顾：1.如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小，并说明理由．解：连接AB，线段AB与直线l的交点P即为所求．理由：两点之间，线段最短．2.如图，直线l外有一点A，在l上求一点B，使得线段AB的长度最短，并说明理由．解：过点A作AB⊥l于点B，垂足B即为所求．理由：垂线段最短．例题讲解问题1：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？将A，B两地抽象为两个点，将河流l抽象为一条直线，C为直线上的一个动点．上面的问题就转化为：如图，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？思考1：如何将点B“转移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？思考2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？作法：如图，(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l相交于点C，则点C即为所求．思考3：你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′.即AC＋BC最短．思考4：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里的“C′”的作用是什么？若直线l任意一点(与点C不重合)与A，B两点的距离和都大于AC＋BC，就说明AC＋BC 最小．问题2：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥建在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.上面的问题就转化为：如图，直线a∥b，N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a 于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋BN最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？思考5：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把上图的情况转化为下图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.这样问题就得到了转化．思考6：你能找到所要求的N点的位置吗？如图，连接A′B，交直线b于点N，则点N即为所求．即在点N处建桥MN，所得路径AMNB最短．思考7：你能证明点N的位置即为所求吗？如图，在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.求证：AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.证明：由作图可知M′N′＝MN＝AA′.由平移的性质可知AM＝A′N，AM′＝A′N′.根据“两点之间，线段最短”可知A′N′＋N′B＞A′B.∴AM′＋N′B＞AM＋NB.∴AM′＋N′B＋M′N′＞AM＋NB＋MN.巩固训练1.如图，已知直线m，l和点B，在直线m，l上分别取点A，C，使点B到点C再到点A的距离之和最小．解：如图，线段B′B″的长即为点B到点C再到点A的距离之和的最小值．2.如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路线．解：连接PQ，作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP.最短路线即为PQMP.课堂小结在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．。
数学八年级上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题作业课件 新人教版
10．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到B处，请画出最短路径．
解：如图所示，AQ＋PQ＋BP为所求．
11．如图，某护城河同在CC′处直角转弯，河宽均为5米， 从A处到达B处，须经过两座桥：DD′，EE′(桥宽不计)， 设护城河以及两座桥都是东西，南北方向的， 如何架桥可使ADD′E′EB的路程最短？
第十三章 轴对称
13．4 课题学习 最短路径问题
1．如图，直线l外有不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C， 使得AC＋BC的长度最短，作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点． 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( D) A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
8．如图，等边△ABC的边长为3，过点B的直线l⊥AB， 且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点， 则AD＋CD的最小值是_6__．
9．如图，小河边有两个村庄A，B， 要在河边建一个自来水厂分别向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B村的水管最省料，则应选择在哪建厂？ 解：(1)如图，连接AB，作AB的垂直平分线交EF于点M，点M即为所求． (2)如图，作点A关于EF的对称点A′， 连接A′B，交EF于点C，点C即为所求．
2．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A，B， 使△PAB周长最小的是(D )
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15， AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P， 使PB＋PD的值最小，则这个最小值为_6__.
初中数学人教八年级上册(2023年更新)第十三章 轴对称1课题学习 最短路径将军饮马问题
13.4 课题学习最短路径问题(2课时)-----将军饮马绵阳外国语实验学校王婵教学目标：1、利用轴对称解决简单的最短路径问题2、理解最值问题在具体题目中的运用教学重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题教学难点: 寻找题目中的最短路径模型教学过程：一．复习引入【师】同学们，以前我们就学过最短路径的理论知识，现在我们先来回顾复习一下涉及到的知识【师】1.如图，连接A、B两点的所有线中，哪条最短？为什么？【生】②最短，因为两点之间，线段最短.【师】2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？【生】PC最短，因为垂线段最短.【师】3.在以前学习三角形中，有哪些有关线段大小的结论？【师】三边关系还可以这样理解，当三点共线时，BA’+CA’最短，BA+CA>BA’+CA’【师】如图，如何做点A关于直线l的对称点？二．新课讲解例1.（将军饮马问题）如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（两点一线）BAl实际问题【师】这个题求的A到l再到B最短路径即哪些线段和最短？【生】AP+BP两条线段和最短问题1.【师】假如A、B是直线l异侧两个点，你能得到最短路径P所在位置吗？【生】连接AB，与l的交点即为P点【师】你运用的是什么知识点解决这个问题？【生】两点之间，线段最短问题2.【师】如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？【生】将B对称到B’，连接AB’，交l于P点问题3.【师】此时A、B’、P三点共线，AB’=AP+BP，你能否证明此时AP+BP为最短？证明除了P点以外任意的点C，AC+BC>AP+BP。
【师】提示：此时任取一个点C，AC+BC=AC+CB’【生】根据三角形两边之和大于第三边，则AC+CB’>AB’【师】即三点共线时，AB’最短【师】方法总结：练1.△ABC为等边三角形，高AH=10，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为.【师】请小组讨论，能不能得到答案？[通过交流讨论，让学生学会用用轴对称知识解决问题，对将军饮马问题进行理解，对课堂听课效率进行检测，提高听课效率]【师】这个题用到了什么模型？哪些数学知识？【生】将军饮马模型，轴对称，等边三角形三线合一【师】最短路径的证明用的是什么方法？【生】三角形三边关系，三点共线时取最小值【师】将军饮马问题用到的“最短”知识是什么？【生】两点之间，线段最短变式1.将军带着马从营房出发，先去草地吃草，再去河边喝水，最后回到营房，怎么走路径最短？（两线一点）【师】请同学们先分析出定点、动点、对称轴，做出你的画法【师】再请同学们小组交流谈论【师】请同学们先分析出定点、动点、对称轴，做出你的画法【师】再请同学们小组交流讨论练2.（教材p93）如图，牧马人从A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到B 处，请画出最短路径【师】将军饮马问题中一点两线、两点一线、两点两线用到的“最短”知识是什么？【生】两点之间，线段最短例2.如图，在△ABC 中，∠ABC=30°，AB=6，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，点P 、Q 分别是BD 、AB 上的动点，则AP+PQ的最小值为 ．【师】这里有两个动点P 、Q ，角平分线即为角的对称轴，因此将直线BD 看成对称轴，Q 关于直线BD 对称后一定在直线BC 上，A 、P 、Q’三点形成AP+PQ’何时最短？【生】三点共线时AP+PQ’最短【师】此时P 、Q’均为动点，且A 、P 、Q’三点共线，A 为定点，Q’在直线BC 上运动，何时AQ’最短？【生】当AQ’⊥BC 时，AQ’最短Q’Q【师】这个题用到了什么模型？哪些数学知识？【生】轴对称，30°所对的直角边为斜边的一半【师】例2用到的“最短”知识是什么？【生】垂线段最短练3.BH为∠ABC的角平分线，点O为线段BH上的动点，点G为线段BC上的动点，BC=4，∠ABC=30°，则OC+OG的最小值是．三．课堂小结1.①动点P所在的直线l为对称轴，将其中一个定点B对称为B’，再连接新的定点B’和另一个定点A，AB’与对称轴l的交点即为所求动点P②两点一线、两线一点、两点两线所用的“最短”知识是“两点之间，线段最短”2.①A为定点，P、Q为动点，A、P、Q三点共线时AP+PQ’最短②角平分线，一定点两动点所用的“最短”知识是“垂线段最短”四．随堂检测1.四边形ABCO为正方形，边长为3，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，P为OB上一动点，QA.两点之间，线段最短B.轴对称的性质C.两点之间，线段最短及轴对称的性质D.以上都不正确2.P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最短五．板书设计13.4课题学习最短路径问题------将军饮马（两点之间，线段最短）（垂线段最短）两点一线两线一点两点两线六．作业布置。
八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题课件 新人教版
上述方法都能做到使AM+MN+BN 不变吗？请检验.
1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？ 把A或B分别向下或上平移一个桥长 那么怎样确定桥的位置呢?
精选教育课件
13
探索新知
如图，平移A到A1，使 ＡA1等于河宽，连接 A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥Ｍ Ｎ，此时路径ＡＭ＋Ｍ Ｎ＋ＢＮ最短.
精选教育课件
14
典题精讲
精选教育课件
4
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
最短？
B
A
l
M
s精选教育课件
N
5
探索新知
如图，点A，B 在直线ｌ的异侧， 点C 是直线上的一个动点，当点C 在ｌ 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
精选教育课件
18
课堂练习
如图：牧马人从A地出发，先到草地边某一 牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请 画出最短路径。
草地
N
河
M
A
B
精选教育课件
P
19
课堂练习
草地
A′
N
河
B′
M
A
B
P
精选教育课件
20
课堂练习
已知直线m∥n,直线m,n外分别有 两点A,B如图所示，分别在直线m,n上 确定P,Q两点（PQ⊥m），使得 AP+PQ+QB最小。
精选教育课件
9
典例精讲
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现 要在河上造一座桥MN.桥造在何处才 能使从A到B的路径AMNB最短？（假 定河的两岸是平行的直线，桥要与河 垂直） A
新人教版八年级数学上【教案】课题学习 最短路径问题
新人教版八年级数学上【教案】课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题【教学目标】教学知识点能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.能力训练要求在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.【教学重难点】重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.【教学过程】一、创设情景引入课题师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.(板书)课题学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.二、自主探究合作交流建构新知追问1:观察思考,抽象为数学问题这是一个实际问题,你打算首先做什么?活动1:思考画图、得出数学问题将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2:尝试解决数学问题问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的问题2 如图,什么位置时,AC 与CB的和最小?师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充教师可作如下提示如果学生有困难,作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B';(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.如图所示:问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.由轴对称的性质知,BC =B'C,BC'=B'C'.AC +BC= AC +B'C = AB',AC'+BC'= AC'+B'C'.在?AC'B'中,AC'+B'C'>AB',当只有在C点位置时,AC+BC最短.方法提炼:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4练习如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR 的和最小”.问题5 造桥选址问题如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法)1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?问题解决:如图,平移A到A,使AA等于河宽,连接AB交河岸于N.作桥MN,此时111路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥MN,连接AM,BN,AN. 由平移性质可111111 知,AM=AN,AA=MN=MN,AM=AN. AM+MN+BN转化为AA+AB,而111111111AM+MN+BN 转化为AA+AN+BN. 在?ANB中,由线段公理知AN+BN>AB.11111111111111因此AM+MN+BN> AM+MN+BN,如图所示: 1111三、巩固训练)基础训练 (一1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.2.如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+QB.桥MN和PQ在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧.平移的方法有三种:两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处.)变式训练 (二如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.(1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂?(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?(三)综合训练茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?图a 图b四、反思小结(1)本节课研究问题的基本过程是什么?(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法?你还有哪些收获?五、作业布置课本93页第15题.。
人教版八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.让学生在解决实际问题的过程中，体验数学的乐趣，提高学生学习数学的兴趣。
2.培养学生面对困难时积极思考、勇于挑战的精神，增强学生的自信心。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识和社会责任感。
三、教学重难点
2.跨学科教学：结合其他学科的知识，如地理、信息技术等，拓宽学生的知识视野，培养学生的综合能力。
六、教学资源
1.教材：人教版八年级上册数学教材。
2.辅助材料：相关的最短路径问题的案例、练习题和拓展问题。
3.现代教育技术：多媒体课件、网络资源等。
七、教学评价
1.学生评价：通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习成绩等方面进行评价。
（二）讲授新知
在导入新课后，我会开始讲解最短路径问题的相关知识。首先，我会向学生们介绍最短路径问题的定义，让学生们明白什么是最短路径。接着，我会讲解解决最短路径问题的基本方法，如坐标系法、函数法等。在讲解的过程中，我会结合具体的例子，让学生们更直观地理解这些方法。
（三）学生小组讨论
在讲授完新知识后，我会让学生们进行小组讨论。我会给每个小组提供一个实际问题，让他们运用所学知识，合作解决这个最短路径问题。这样的讨论，可以培养学生的团队合作精神，也可以让学生们在实践中加深对知识的理解和应用。
3.互动评价：小组之间进行互动评价，相互学习和提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身的优点和不足，制定改进措施。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给予意见和建议，促进共同进步。
3.教师评价：教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。
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八年级数学上册 第十三章《轴对称》课题学习
最短路径问题学案（新版）新人教版
13、4 课题学习：最短路径问题课 题
13、4 课题学习：最短路径问题课 型综合课课 时
14、根据你发现的规律，在图（2）中完成本题。探究
（二）问题为什么在P点的位置修建泵站，就能使所用的输
气管线最短呢？
四、达标测评
1、如图（3），在铁路的同侧有两个工厂
A、B，要在路边建一个货场C，使
A、B两厂到货场C的距离的和最小、问点C的位置如何选
择？
2、如图（4），如果我们把台球桌做成等边三角形的形状，
那么从AC的中点D处发出的球，能否依次经BC,AB两边反射后回
到D处？如果认为不能，请说明理由；如果认为能，请作出球的
运动路线。ADBC图（4）图（3）（（99AB
3、如图（5），A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩
牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐
篷，请你帮他确定这一天的最短路线。图（5）
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五、总结反思课堂记录或学法指导学 习目 标能利用轴对称
解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的
作用，感悟转化思想、学 习重 点利用轴对称将最短路径问题转
化为“两点之间，线段最短”问题、 学 习难 点利用轴对称将
最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题、学习过程：
一、自主学习预习课本P85—
87、
二、问题探究
1、把下列图形补成关于对称的图形。
2、仔细观察第三个图形，你能尽可能多的从图中找出一些线
段之间的关系吗？
三、自主探究 合作展示探究
（一）图（2）BA
1、如图（1）、要在燃气管道上修建一个泵站，分别向
A、B两镇供气、•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输
气管线最短？图（1）
2、请同学们任意取点探究，并完成下列表格。=1=2=3=4…
3、通过以上探究，你发现什么规律吗？