勾股定理的简单应用(最短路径四种常见模型)学案苏科版数学八年级上册
八年级数学上册《3.3 勾股定理的简单应用》学案 (新版)苏科版
八年级数学上册《3.3 勾股定理的简单应用》学案（新版）苏科版1、能运用勾股定理及直角三角形的判定方法解决简单的实际问题、2、了解这一部分常作辅助线的思路是构造直角三角形，如作高、3、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的转化思想（如把解三角形问题转化为解直角三角形的问题），发展有条理的思考和表达的能力，体会数学的应用价值、教材导读阅读教材P86～P87内容，回答下列问题：1、运用勾股定理解决实际问题假期中，小明和同学到某海岛上去寻宝旅游、按照寻宝图，他们登陆后先向东走8千米，又向北走2千米，遇到障碍后向西走3千米，再折向北走到6千米处向东拐，仅走了1千米就找到宝藏，则登陆点A到宝藏埋藏点B 的距离是多少千米？如图，过点B作BC⊥AC，垂足为C，连接AB、可算出BC＝_______，AC＝______ ，由勾股定理，得AB ＝_______、2、勾股定理与方程思想的综合应用我们知道勾股定理揭示了_______三角形三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边长就可以根据勾股定理求出_______、从运用勾股定理解决实际问题的过程中，我们进一步认识到把直角三角形的三边关系“a2＋b2＝c2”看成一个方程，只要根据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为_______问题、例题精讲例1 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90，D为AC边上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F、若AE＝4，FC＝3，求EF的长、提示：连接BD，由等腰直角三角形ABC及D是AC边上的中点，可推出BD⊥AC，BD＝CD＝AD，∠ABD＝45，再由DE⊥DF，可推出∠FDC＝∠EDB、由等腰直角三角形ABC，可得∠C＝45，所以△EDB≌△FDC，从而得出BE＝CF＝3，那∠AB＝7，从而BC＝7，BF＝4，再根据勾股定理求出EF的长、解答：如图，连接BD、点评：本题着重考查同学们对勾股定理及全等三角形判定方法的掌握，其关键是由已知先证得隐含的两个三角形全等，进而求出BE和BF的长，再由勾股定理求出EF的长、例2 如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC边上的高、提示：作出BC边上的高，构造直角三角形，再运用勾股定理建立方程求解、解答：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于D、设BD＝x，则CD＝9＋x、在Rt△ACD和Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＝AC2－CD2，AD2＝AB2－BD2，∴AB2－BD2＝AC2－CD2，即102－x2＝172－(9＋x)2、解得x＝6、∴AD2＝AB2－BD2＝102－62＝64、∴AD＝8，即BC边上的高是8、点评：本题运用方程思想，结合勾股定理解题，关键是利用勾股定理构造出方程求解、例3 如图①是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1、(1)一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长、 (2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的平方为多少？提示：(1)需展开成平面图形，分三种情况讨论蚂蚁行走的路线、(2)即求AG的长度的平方、解答：(1)蚂蚁从点A爬到点G可能经过长方体盒子的前面和右面，也可能经过长方体盒子的前面和上面，还可能经过长方体盒子的下面和右面，展开成平面图形如图②所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为37、25、29，比较后得AG2最小为25，即最短路线的长是5、 (2)如图③，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2、在Rt△ACG中，由勾股定理，得AG2＝AC2＋CG2＝AB2＋BC2＋CG2＝42＋22＋12＝21、点评：把题中的长方体变成正方体或圆柱时，找直角三角形运用勾股定理的思想方法不变，在计算的过程中，可尝试将计算的过程和结果总结成公式、热身练习1、两只小鼹鼠在地下打洞，从同一地点开始，一只朝南挖，每分钟挖8 cm，另一只朝东挖，每分钟挖6 cm，10分钟后两只小鼹鼠相距 ( )A、50 cmB、100 cmC、140 cmD、80 cm2、如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树、在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米、出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到，那么大树倒下时会砸到张大爷家的房子吗？通过计算，得到的结论是 ( )A、一定不会B、可能会C、一定会D、不能确定3、一个直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，则斜边长为 ( )A、6B、8C、10D、124、在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 ( )A、42B、32C、42或32D、37或335、如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝8，折叠纸片使边AB 与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB 的长为 ( )A、3B、4C、5D、66、如图，在高为5米，长为13米的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为_______米、7、一个正方体箱子沿斜坡向下滑动，其截面如图所示，正方形DEFH的边长为2米，∠B＝90，AB＝8米，BC＝6米，当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝_______米时，有DC2＝AE2＋BC2、8、如图，一架长5米的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙脚3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，证明你的结论、参考答案1、B2、A3、C4、C5、D6、177、3、48、1米。
苏科版数学八年级上册《3.3 勾股定理的简单应用》教学设计2
苏科版数学八年级上册《3.3 勾股定理的简单应用》教学设计2一. 教材分析《苏科版数学八年级上册》第三单元《勾股定理的简单应用》是学生在学习了勾股定理之后的一个应用部分。
这部分内容主要让学生通过实际问题，运用勾股定理解决生活中的问题，培养学生的数学应用能力。
教材通过丰富的例题和练习题，让学生在解决实际问题的过程中，加深对勾股定理的理解和记忆。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了勾股定理，对勾股定理的基本概念和运用有一定的了解。
但是，对于一些生活中的实际问题，如何运用勾股定理来解决，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股定理的基本概念，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：让学生能够运用勾股定理解决实际问题。
2.难点：如何引导学生将实际问题与勾股定理相结合，提高学生的数学应用能力。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生在解决问题的过程中，运用勾股定理，提高学生的数学应用能力。
同时，采用小组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中，共同解决问题，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于课堂上引导学生解决。
2.准备PPT，用于展示问题和引导学生思考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生的思考，引出本节课的主题。
例题：一块直角三角形的木板，两条直角边的长度分别是3分米和4分米，那么这块木板的最大面积是多少？2.呈现（10分钟）呈现PPT，展示问题，引导学生思考如何解决这个问题。
3.操练（10分钟）学生独立思考，尝试解决PPT上的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
苏科版-数学-八年级上册-3.3勾股定理的简单应用教案
一、教学目标：知识与技能目标：1.运用勾股定理进行简单的计算；2．运用勾股定理解释生活中的实际问题．过程与方法目标：通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法．情感与态度目标：在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。
二、重点难点：重点：能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
难点：分析思路，渗透数学思想三、教学方法：自主探索、合作交流四、教学过程：一）温故知新勾股定理: 如果直角三角形的两直角边分别为a,b, 斜边为c,则有______________直接应用：如图:在直角三角形ABC中∠C=90°,∠A的对边为a, ∠B的对边为b, ∠C的对边为c，(1)已知a=5和b=12 , 求c.(2)已知a=4和c=5, 求b.(3)已知b=3和c=4, 求a.二）例题探索1、南京玄武湖隧道开通后，从B处可直接到C处，这将比绕道BA（约1.36 km）和AC(约2.95 km)减少约多少行程(精确到0.1 km)?提问：为什么走BC路程短？思路点拨：这是一道比较题，首先应确定Rt△ABC为计算BC长的三角形，应用勾股定理求出2222-=- 2.62（km），然后将BA+AC算出约AC BD2.95 1.364.31km，减去BC约1.7km，问题解决．探索2、例1、一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．此时梯子的底端距墙壁多少m？如果梯子的顶端下滑0.5m，你认为梯子的底端会发生什么变化?与同学交流．探索活动问题一在上面的情境中，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?问题二从上面所获得的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗?与同学交流．教学中学生可能会有多种思考．比如，①这个变化过程中，梯子底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大；②因为梯子顶端下滑到地面时，顶端下滑了8m，而底端只滑动4m，所以这个变化过程中，梯子底端滑动的距离不一定比顶端下滑的距离大；③由勾股数可知，当梯子顶端下滑到离地面的垂直距离为6m，即顶端下滑2m时，底端到墙的垂直距离是8m，即底端电滑动2m等。
新苏科版初中数学八年级上册3.3勾股定理的简单应用导学案
勾股定理的简单应用学习目标：1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题2 在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力学习重点：运用勾股定理及方程解决问题学习难点：运用勾股定理及方程解决问题学习过程：一、预习·质疑1若三角形的三边长a 、b 、c 满足()ab c b a 222+=+，则这个三角形是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 直角三角形 D 形状不能确定2分别以下列四组为一个三角形的三边的长①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9，其中能构成直角三角形的有 （ ）A4组 B3组 2组 D1组3小明和小强的跑步速度分别是6/s 和8/s ，他们同时从同一地点分别向东、南练习跑步，那么从出发开始需__________s 可以相距1604要登上8高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6．•问至少需要 米的梯子？ 5在△AB 中∠A 、∠B 、∠的对边分别是a 、b 、c ，下列条件中，能判断△AB 为直角三角形的是( )A c b a =+B 5:4:3::=c b a c b a 2== D ∠A ＝∠B ＝∠二、展示·探究例1 如下图今年的台风灾害中一棵大树在离 变式：若树高24米，AB =8米，求A的长地面3米处折断树的顶端落在离树杆底部4米处你能知道这棵树折断之前的高度吗？例2 如图，长为10的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8如果梯子的顶端下滑1那么它的底端是否也滑动1？例3 有一个边长为10尺的正方形池塘，一颗芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分B为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'，问水深和芦苇长各是多少?例4如图两电线杆AB、D都垂直于地面，现要在A、D间拉电线，则所拉电线最短为多少米？其中AB=8米，D=2米，两电线杆间的距离B=8米三、检测·反馈《同步练习》第53页第1题至第3题四、课后作业《同步练习》第53页至54页补充：1如图，OA⊥OB，OA＝45㎝，OB＝15㎝，一机器人在点B处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从B处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点处截住了小球，求机器人行走的路程B．2如图，一圆柱高8c，底面半径2c，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是（）A20c B10c 14c D无法确定3如图，一透明的直圆柱状的玻璃杯，由内部测得其底部半径为3㎝，高为8㎝，今有一支12㎝的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度至少为．。
苏科版数学八年级上册_优质导学案：勾股定理的简单应用(1)
3.3勾股定理的简单应用（1）【学习目标】能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．【重、难点】在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．【预习指导】一、学前准备1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4，BC=2，则AC=_________．2、一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm、3cm，•则第三边的长是_________．3、要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m．•问至少需要多长的梯子？二、合作探究1．一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑0.5m，你认为梯子的底端会发生什么变化?和同学交流2、在上面的情境中，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?3、从上面所获得的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗?【典题选讲】1、今年9月11号，第十五号台风“卡努”登陆浙江，A市接到台风警报时，台风中心位于正南方向125km的B处，正以15km/h的速度沿BC方向移动，如图所示，（1）已知A市到BC的距离AD＝36km，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？（2）如果在距台风中心45km的圆形区域内都将受台风影响，那么A市受到台风影响的时间有多长？2、如图，在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B处，求它所行的最短路线的长。
【学习体会】我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a2+b2=c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．【课堂练习】一、选择题(每题4分，共32分)1.直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．482.三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（）A. 6B. 4.5C. 2.4D. 83.三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形4.已知一个直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长是（）A.5B.13C.7D. 5或135.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）D CB AAB CA.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm26.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A.121B.120C.90D.不能确定7.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A.600米B.800米C.1000米D.不能确定8.直角三角形的三边为a－b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（）A.61B.71C.81D.91备选题1. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ C ）A.13B.26C.47D.942. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ C ）A.0B.1C.2D.3二、填空题(每题4分，共24分)9. 在△ABC中，∠C=90°，（1）已知 a=2.4，b=3.2，则c= ；（2）已知c=17，b=15，则△ABC面积等于 .10．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.11. 如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，每一个直角三角形的面积为 .12. 拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a 、b 、c ，如图①. 分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形的面积，用关系式表示为________ .13. 一轮船以16海里/时的速度从A 港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A 港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．14.如图要修一个育苗棚，棚宽a=3m ，高b=4m ，底d=10m ，覆盖顶上的塑料薄膜的面积为 m 2.15.如图点C 是以为AB 直径的半圆上的一点，∠ACB=90°，AC=3，BC=4则图中阴影部分的面积是16. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 . 备选题1.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为 mm ．150 2. 如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，AD 是底边上的高，若AB=5cm ，BC=6cm ，则AD= cm ．4第10题ac b① ② ③ 第12题第14题 第15题 520 15 10C B 图3 第16题 180 150 6060 A B C 第1题A C DB 第2题三、解答题（共44分）17. 用作图的方法在数轴上找出表示3＋1的点A ．18．要做一个如图所示的零件，按规定∠B 与∠D 都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？19.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图，∠ACB =90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？2471520DC BA20. 如图，两种规格的钢板原料，图（1）的规格为1m ×5m.图（2）是由5个1m ×1m 的小正方形组成.电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）， 分别在图（1）和图（2）中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图（保留要焊接的痕迹）.备选题1.如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值. 分析：本题三个问题有一定的层次，第（1）问可根据勾股定理直接求解.1.(1)125)8(22+++-x x(2)当A 、C 、E 三点共线时，AC+CE 的值最小(3)如下图所示，作BD=12，过点B 作AB ⊥BD ，过点D 作ED ⊥BD ，使AB=2，ED=3，连结AE 交BD 于点C.AE 的长即为代数式9)12(422+-++x x 的最小值.过点A 作AF ∥BD 交ED 的延长线于点F ，得矩形ABDF ，则AB=DF=2，AF=BD=8.所以AE=22)23(12++=13，即9)12(422+-++x x 的最小值为13.2. 如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边为c.图（2）是以c 为直角边的等腰直角三角形。
新苏科版八年级数学上册学案：勾股定理的简单应用(第 1 课时)
新苏科版八年级数学上册学案：勾股定理的简单应用（第 1 课时） 一．学习目标1、能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．2、构造直角三角形及正确解出此类方程二．重点难点1、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值.2、要善于运用直角三角形三边关系，关键是根据实际情形准确构造出直角三角形。
三．自主交流1：如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？2：如图8，在△ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边上的中线AD=24，求AC.3: 如图9，在△ABC 中， AB=15，A D=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。
CB A 图7DC B A图8图9D CB A1、在一棵树的10m 高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m 的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。
如果两只猴子经过的距离相等，问这一棵树有多高？四．展示点评五．当堂检测:1.在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2+BC 2+CA 2=________．2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________．3. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4,BC=3.求Rt△ABC斜边上的高．4.已知一个三角形的三边长分别是12cm、16cm、20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？5. 邮递员从车站O正东1km的邮局A出发，先向正北走了3km到B，又向正西走了4km到C，最后再向正南走了6km到D，那么最终该邮递员与邮局的距离为多少km？6.如图，某人欲在A处横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了250m，求该河流的宽度。
苏科版-数学-八年级上册八上3.3 勾股定理的简单应用 参考学案
数学教学设计教材：义务教育教科书·数学（八年级上册）3.3勾股定理的简单应用标1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．2．构造直角三角形及正确解出此类方程．3．运用勾股定理解释生活中的实际问题．点能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．点在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．要善于运用直角三角形三边关系，关键情形准确构造出直角三角形．教学过程（教师）学生活动设计思，前一阶段我们学习了勾股定理，数学研究中具有极其重要的地位，罗庚曾经说过：把勾股定理送到外星人进行数学交流！咱们今天就来股定理在数学中的应用．把勾股定理送到外星球，与外星人流！——华罗庚进入状态，兴致盎然．给学生展现前景，激发学生学望．根芦苇的长度各是多少？（图3）面几幅图像，同学之间议一议：它的逆定理在应用上有什么区积极思考，回答问题．勾股定理主要应用于求线段的长度、图形的周长、面积；勾股定理的逆定理用于判断三角形的形状．由学生熟悉给学生一个展示增强学生学习数图4，等边三角形ABC的边长是的面积．5，在△ABC中，AB＝AC＝17，△ABC的面积6，在△ABC中，AD⊥BC，AB 12，AC＝13，求△ABC的周长和互相讨论，踊跃回答：参考答案：解：作AD⊥BC，∵△ABC是等边三角形，∴BD＝12BC＝12×6＝3，在Rt△ABC中，AD＝AB2－BD2＝62－32＝27 ≈5.196，S△ABC＝12BC·AD≈12×6×5.196＝15.58≈15.6．通过学生相生主动参与到学培养学生合作交散思维能力，同时知识面．ACBAC BD（图4）：如图7，在△ABC中，AB＝25，＝24，问△ABC是什么三角形？如图8，在△ABC中，AB＝26，边上的中线AD＝24，求AC．小组讨论，代表回答：1．由勾股定理逆定理可以发现△ABC是直角三角形．2．解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝12BC＝12×20＝10．∵AD2＋BD2＝576＋100＝676，AB 2＝262＝676，∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，AD垂直平分BC．∴AC＝AB＝26．通过学生相学生的观察分析生善于思考的良AC D（图5）AC BD（图6）CB（图7）9，在△ABC 中， AB ＝15，AD，AC ＝13，求△ABC 的周长和面定理的应用中我们进一步体会到直等腰三角形有着密切的联系，把研形转化为研究直角三角形，这是研种策略．讨论后共同小结． 师生互动，锻头表达能力，培养表自己看法的能7练习1、2．DAC （图8）DAC（图9）。
八年级数学上册 3.3《勾股定理的简单应用》教学设计 苏科版(2021年整理)
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勾股定理的应用教学目标:能运用勾股定理及直角三角形的判定方法解决实际问题；重点、难点:运用勾股定理解决问题过程中的“转化"思想，“建模”思想；典例精析例1．如图，马路边一根电线杆高为8m ，被一辆卡车从离地面3m 处撞断．倒下的电线杆顶部是否会落在离它的底部3m 的快车道上？练习1．如图，在一块平地上,张大爷家屋前8.5米远处有一棵16米的大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下,出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到，那么大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？你认为（ )A ．一定不会B ．可能会C ．一定会D ．以上答案都不对练习2。
小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ )．A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米例2．台风苏迪罗登陆台湾,A 市接到台风警报时,台风中心位于正南方向125km 的B 处，正以15km /h 的速度沿BC 方向移动，如图所示， （1)已知A 市到BC 的距离AD ＝35km ,那么台风中心从B 点移到D 点经过多长时间？(2）如果在距台风中心45km 的圆形区域内都将受台风影响，那么A 市受到台风影响的时间有多长？练习3．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km／h ．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30 m处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50 m ，这辆小汽车超速了吗?A B C D BA例3．如图，圆柱体的高为6，底面圆周长是8,如果用一根细线从点A开始经过圆柱侧面缠绕一圈到达点B ．那么所用细线最短需要______cm ；变1：如图．长方体的底面边长分别为1 cm 和3 cm ，高为6 cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ．那么所用细线最短需要______cm ；变2：如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要_______cm ．例4．如图是一个正方体盒子，棱长为2．（1）这个正方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．（2）一只蚂蚁从盒子下底面的点A 沿盒子表面爬到点G ,那么它所行走的最短路线的长是______．变式:若改成一个长方体盒子,长AB ＝4，宽BC ＝2,高CG ＝1．(1）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．(2）一只蚂蚁从盒子下底面的点A 沿盒子表面爬到点G ，那么它所行走的最短路线的长是______．练习4．如图，在长为4、宽为3，高为8的长方体纸箱的外部,一只蚂蚁从顶点A 沿纸箱表面爬到顶点B 处，求它所行的最短路线的长．B AB练习5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm、3 dm、2 dm,A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_______．练习6．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ )．A．17m B．18m C．25m D．26m课堂小结会利用勾股定理进行建模、转化运用。
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（最短路径四种常见模型）
【学习目标】 1．掌握如何求长（正）方体中的最短路径
2．掌握如何求圆柱中的最短路径
3．掌握如何求阶梯的最短路径
4. 掌握如何求U 型滑道的最短路径
【典型例题】
类型一、长（正）方体中的最短路径
【例1】如图，一长方体木块长6AB =，宽5BC =，高1BB 2=， 一直蚂蚁从木块点A 处，沿木块表面爬行到点1C 位置最短路径的长度为（ ）
举一反三：
【变式1】如图，正方体的棱长为2cm ，点B 为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A 爬到点B 的最短路程是（ ）
A ．√10cm
B ．4cm
C ．√17cm
D ．5cm
【变式2】如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C 1处．若AB =3，BC =4，CC 1=5，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A ．√74
B ．3√10
C ．√89
D ．12
【变式3】棱长分别为5cm ，3cm 两个正方体如图放置，点P 在E 1F 1上，且E 1P =13E 1F 1，一只
蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点P ，需要爬行的最短距离是 ．
【变式4】如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为15cm 的正方形，高为20cm ；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.
(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；
(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）
类型二、圆柱中的最短距离
【例2】如图，已知圆柱底面的周长为6，圆柱高为3，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）
A．4√3B．2√3C．3√5D．6√2
举一反三：
【变式1】如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（）m．
A．8 B．5 C．20 D．10
【变式2】如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（）（杯壁厚度不计）
【变式3】如图，已知线段BC是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高12
AB=，在圆柱的侧面上，过点A、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)见将圆柱侧面沿的开，所得的圆针侧面展开图是___________．
(2)求该金属丝的长．
【变式4】如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿A→C→B爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（π取3）
(1)当1
h=时，哪种方式的爬行距离更近？
R=，4
(2)当1
h=时，哪种方式的爬行距离更近？
R=，1
(3)当R与h满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？
类型三、阶梯的最短距离
【例3】某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13
米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元．
举一反三：
【变式1】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．
【变式2】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1,A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）
A．18B．15C．12D．8
【变式3】如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
【变式4】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C 处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
类型四、U型池的最短距离
【例4】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB=CD=20m（边缘的宽度忽略不计），点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（）
A．28m B．24m C．20m D．18m
举一反三：
【变式1】如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为10 m的半圆，其边缘AB＝CD＝30 m. 小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为__________ m．(π取3)
【变式2】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方
体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32
m的半圆，其边缘AB＝CD
＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_____m．（边缘部分的厚度忽略不计）。