高考数学中的极坐标系与极坐标方程详解
艺术生高考数学专题讲义：考点60 极坐标与参数方程
sin 30° 5
3
当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 5. 5
当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 5. 5
x＝1＋4cosθ
变式训练 已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
(θ为参数)，直线
y＝2＋4sinθ
π l 经过定点 P(3，5)，倾斜角为 .
方程为 x2＋y2－2y＝0.
变式训练
（2015 江苏）(本小题满分 10 分)已知圆 C 的极坐标方程为ρ2＋2
θ－π 2ρsin 4 －4
＝0，求圆 C 的半径．
解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐
标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为ρ2＋2
2ρ
(2)曲线 C1 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π.
因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α)．
| | α－π
所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4 sin 3 .
当α＝5π时，|AB|取得最大值，最大值为 4. 6
变式训练
3
(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；
(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA|·|PB|的值．
解析 (1)曲线 C 的标准方程：(x－1)2＋(y－2)2＝16，
x＝3＋1t 2
直线 l 的参数方程： y＝5＋
3t(t 为参数)．
2
(2)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的标准方程可得 t2＋(2＋3 3)t－3＝0，
4
得ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得ρ1＝2 2，ρ2＝ 2.
极坐标与参数方程知识讲解
x o θ φ
z P(r,φ,θ) r y Q
空间点P的直角坐标( x, y, z )与柱坐标(r , , ) 之间的变换公式为 x r sin cos { y r sin sin z r cos
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz, 设P是空间 任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q, 用( , ) ( 0,0 2 )表示点Q在平面Oxy上的极坐 标，这时点P的位置可用有序数组( , , z )( z R) 表示。这样，我们建立了空间的点与有序数组 ( , , z )之间的一种对应关系。
( x, y ) ,极坐标是 ( , ) ( 0 ),于是极坐标与直角坐标的互化
公式如表:
点M
直角坐标 ( x, y )
极坐标 ( , )
互化公式
x cos y sin
2 x2 y 2
tan y ( x 0) x
注：在一般情况下,由 tan 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 极坐标和直角坐标的两组互化公式必须满足三个条件才能使用：(1)原点和极点重合；(2)x 轴正
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半轴与极轴重合；(3)两坐标系中长度单位相同．极坐标和直角坐标的互化中，更要注意等价性。 直角坐标方程转化为极坐标方程很方便，直接带入
x cos 即可。反之，则比较麻烦，所以 y sin
直线和圆的极坐标方程对应的直角坐标方程需要记住，直接可以应用。由曲线的极坐标方程判 断曲线的类型，通常是将极坐标方程化为直角坐标方程再去判断．而求曲线的极坐标方程的常 用方法是直接法、转化法和待定系数法． 6、柱坐标系与球坐标系： 柱坐标：
极坐标系的性质与极坐标方程的应用
极坐标系的性质与极坐标方程的应用极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角来唯一确定一个点的位置。
极坐标系具有一些与直角坐标系不同的性质，同时，极坐标方程也有着广泛的应用。
本文将探讨极坐标系的性质以及极坐标方程在不同领域的应用。
一、极坐标系的性质在极坐标系中，一个点的位置可以由极径和极角来确定。
极径表示该点到原点的距离，而极角表示该点与极轴的夹角。
极坐标系的性质如下：1. 原点：极坐标系的原点即为极坐标的起点，表示为O。
2. 极轴：极轴是极坐标系中的一条直线，通过原点O，并与x轴方向相同。
极轴的角度为0或360度。
3. 极径：极径表示一个点到原点O的距离，通常用r表示。
极径的取值范围可以是非负实数，即r≥0。
4. 极角：极角表示一个点与极轴的夹角，通常用θ（读作西塔）表示。
极角的取值范围可以是[0, 2π) 或[0, 360°)。
5. 制正：在极坐标系中，负极径和负极角并不常见。
一般来说，极径为负表示该点位于极轴的反方向，而极径为正表示该点位于极轴方向。
极角为负表示该点位于极轴的逆时针方向，而极角为正表示该点位于极轴的顺时针方向。
二、极坐标方程的应用极坐标方程是一种通过极坐标表示点的坐标的方程形式。
极坐标方程在各个领域有着广泛的应用，以下将介绍几种常见的应用。
1. 极坐标方程与图形绘制：极坐标方程可以描述各种图形的形状，例如圆、椭圆、双曲线等。
通过调整极坐标方程中的参数，可以绘制出不同形态的图形，实现对图形的变换和调整。
2. 极坐标方程与物体运动：在物体运动的描述中，极坐标方程可以提供更直观的表达方式。
例如，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹可以使用极坐标方程来描述。
3. 极坐标方程与工程设计：在工程设计中，极坐标方程可以用来描述物体的形状和运动规律。
例如，在风力发电机的设计中，可以使用极坐标方程来描述风轮的叶片形状，以实现最大的能量转化效率。
4. 极坐标方程与电磁场分布：在电磁学和电路设计中，极坐标方程可以用来描述电场和磁场的分布情况。
高中数学：《极坐标方程总结》课件
6
即表示以A(2, )为圆心，以2为半径的圆
6
将极坐标A化为直角坐标A( 3,1)
整理得：(x 3)2 ( y 1)2 4，表示圆ຫໍສະໝຸດ 第十一页，编辑于星期一：点 四十三分。
由 3 cos sin 8 0
化直角坐标方程：3x y 8 0, 表示直线 圆心到直线距离：d 3 1 8 2
第七页，编辑于星期一：点 四十三分。
3、求过点(2, ),并且和极轴垂直的直线。
3
解：将(2, )化为平面直角坐标为(1, 3)
3 则和极轴垂直的直线为x 1
第八页，编辑于星期一：点 四十三分。
4、已知直线的极坐标方程为 sin( ) 2
42
求点A(2, 7 )到这条直线的距离。
4
解：将直线 sin( ) 2 化为直角坐标方
2＝5 3 cos－5 sin即化为直角坐标为
x2 y2 5 3x 5y
化为标准方程是(x 5 3 )2 ( y 5)2 25
2
2
所以圆心为(5 3 , 5),半径是5 22
第六页，编辑于星期一：点 四十三分。
3、直线的极坐标方程
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
极坐标方程
第一页，编辑于星期一：点 四十三分。
1、极坐标方程的定义：
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意
一点的极坐标中至少有一个满足方程f (, ) 0 并且坐标适合方程f (, ) 0的点都在曲线C上， 那么方程f (, ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
第二页，编辑于星期一：点 四十三分。
42
程为x y 1 0,点A(2, 7 )化为直角坐标为
4 （ 2，－ 2）
高考数学-专题复习-选修部分(2)极坐标及参数方程知识点
极坐标及参数方程知识点
1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建
立了一个极坐标系。
2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为
ρ；
以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .
极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标)R )(,0(∈θθ.
3. 若0<ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称
4．极坐标与直角坐标的互化：
（1）极坐标转化为直角坐标:θρθρsin ,cos ==y x
（2）直角坐标转化为极坐标:x
y y x =+=θρtan ,222(θ的取值还要注意()y x ,的位置) 5. 在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线，)R (∈=ραθ 表示过极点的一条直线.
6．参数方程与普通方程的互化：先消去参数，再注明y x ,的取值范围。
三年高考分析极坐标与参数方程
极坐标与参数方程是解析几何中的两种常见的表示曲线的方式。
在三年高考中，几何部分是一个相对较为困难的部分，掌握极坐标与参数方程的概念和应用是解题的基础。
本文将对极坐标与参数方程的概念、特点以及在高考中的应用进行详细分析。
一、极坐标的概念与特点1.极坐标的定义：极坐标是用一个点到极点的距离和该点与参考轴之间的夹角来表示平面上的点的坐标。
以原点为极点，与正半轴的夹角为极角，到原点的距离为极径。
2.极坐标的表示：设有一个点P(x,y)，则可以用极坐标表示为P(r,θ)，其中r表示极径，θ表示极角。
-极径r：点P到原点O的距离，可以是非负实数；-极角θ：线段OP与参考轴正半轴之间的夹角，可以取任意实数。
3.极坐标与直角坐标之间的转换：-从直角坐标到极坐标的转换：极径r=√(x²+y²)极角θ = tan⁻¹(y/x)。
-从极坐标到直角坐标的转换：x = r*cosθy = r*sinθ。
4.极坐标的特点：-极坐标表示点与坐标轴的夹角，更符合几何直观；-极坐标式所描述的曲线，形状更规整，方程一般最简化。
二、参数方程的概念与特点1.参数方程的定义：参数方程是指用参数与函数之间的关系来表达的方程。
在平面几何中，参数方程用一个或多个参数来表示一个曲线上的点。
2.参数方程的表示：一般形式为{x=f(t),y=g(t)}，其中x、y为自变量的函数，t为参数。
3.参数方程的特点：-参数方程可以表示一些直角坐标系难以表示的曲线，如椭圆、双曲线等；-参数方程通常可以描述曲线上每一个点的运动轨迹；-参数方程的参数可以取多种形式，如时间、角度等。
三、极坐标与参数方程在高考中的应用1.极坐标的应用：-区间与曲线的关系：根据极坐标系下曲线的特点，可以确定曲线所在的区间；-曲线方程求解：通过转换极坐标与直角坐标，可以将曲线方程转化为直角坐标系下的方程来求解，简化计算；-弧长与面积的计算：使用极坐标系统计算弧长和面积，常见于平面图形的计算。
高考极坐标与参数方程题型及解题方法
高考极坐标与参数方程题型及解题方法1. 引言在高考数学考试中，极坐标与参数方程是比较常见的题型。
掌握这些题型的解题方法对于考生来说非常重要。
本文将针对高考中常见的极坐标与参数方程题型进行介绍，并给出相应的解题方法。
2. 极坐标题型及解题方法2.1 求曲线方程在给定了极坐标方程$r=f(\\theta)$的情况下，求曲线的方程是比较常见的题型。
要解决这类题目，一般有以下步骤：•首先，观察函数$f(\\theta)$的性质，判断是否是一个周期函数，通过实例来确定周期。
•根据这个周期，可以得到对应的关系式。
•使用关系式消去r和$\\theta$，得到曲线的直角坐标方程。
•最后，通过画图或其他方式，验证所得方程是否正确。
2.2 求曲线的长度求曲线的长度也是一个常见的问题，一般分为以下几步：•根据给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$，利用弧长公式进行求解。
公式为：$$L=\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\sqrt{[f'(\\theta)]^2+f^2(\\theta)}d\\theta$$ •其中$\\alpha$和$\\beta$为曲线所在区间，$f'(\\theta)$为导数。
•确定曲线所在区间，并计算导数$f'(\\theta)$。
•将上述求得的值带入弧长公式中，进行计算。
2.3 求曲线与极轴的夹角有时候，我们需要求出曲线与极轴的夹角。
对于这类问题，一般可以按照以下步骤进行求解：•首先，通过给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$求出曲线与极轴的交点。
•然后，求出曲线在交点处的切线斜率k。
斜率的求解公式为：$$k=\\tan(\\pi/2-\\theta)=-\\frac{dr}{d\\theta}/r$$•最后，利用切线的斜率k求出曲线与极轴的夹角。
3. 参数方程题型及解题方法3.1 求曲线方程对于给定的参数方程x=f(t)和y=g(t)，求曲线的方程也是常见的高考题型。
高考数学复习专题07 极坐标系与参数方程(解析版)
专题七 极坐标系与参数方程 【考生存在问题报告】（一）对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位【例1】（2020·江苏高三）已知P 1，P 2是直线1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，-2)的距离是________. 【答案】122t t + 【解析】因为12,P P 对应的参数分别为12,t t 故其中点所对应的参数为122t t +， 又()1,2P -对应的参数为0t =，根据直线的参数方程中t 的几何意义可知：12P P 中点到点P 的距离为12121022t t t t +-=+,故答案为：122t t+. 【评析】本题考查直线的参数方程中参数的几何意义，属基础题，此类结论要非常熟悉. 【例2】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,()2x tt y =--⎧⎪⎨=⎪⎩为参数.直线与曲线22:(2)1C y x --=交于,A B 两点.求||AB 的长；【解析】把直线l的参数方程2()2x t t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩为参数化为标准的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-='232'212t y t x （'t 为参数）代入曲线:C ()2221,y x --=整理得010'4'2=-+t t ，所以10'',4''2121-=-=+t t t t ，所以142''4)''(''2122121=-+=-=t t t t t t AB .【评析】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清，由点,A B 对应的参数分别为12,t t错误得到12||||AB t t =-=当直线的参数方程非标准式时，其参数并不具有距离的几何意义，只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时，||t 才表示距离.一般地，直线⎩⎨+=bt y y 00（t 表示参数），当122=+b a 时，||t 表示点),(y x p 到点00()P x ,y 的距离.【例3】（2020·江苏金陵中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，直线315:45x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），与曲线24:4x k C y k⎧=⎨=⎩（k 为参数）交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 【答案】254【解析】解法一：将直线l 的参数方程化为普通方程得434x y -=， 将曲线C 的参数方程化为普通方程得24y x =，联立方程组24344x y y x -=⎧⎨=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩或141x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以()4,4A 、1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以254AB ==； 解法二：将曲线C 的参数方程化为普通方程得24y x =．将直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得2434155t t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2415250t t --=，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，解得154t =-，25t =， 因此，12525544AB t t =-=--=. 【评析】解法一：将直线l 与曲线C 的方程均化为普通方程，联立直线l 与曲线C 的普通方程求出交点A 、B 的坐标，利用两点间的距离公式可求出线段AB 的长；解法二：将曲线C 的方程化为普通方程，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，解出t 的二次方程，结合t 的几何意义可得出12AB t t =-，进而求解. （二）忽略参数的取值范围导致“互化”不等价【例4】（2020·山西大同一中高三）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x t y =--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C ：（y ﹣1）2﹣x 2＝1交于A ，B 两点． （1）求|AB |的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为34π⎫⎪⎭，，求点P 到线段AB 中点M 的距离． 【答案】（1）（2）1【解析】（1）∵直线l的参数方程为11212x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴直线l的参数方程的标准形式为11212x y μμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（μ为参数），代入曲线C 的方程得μ2+2μ﹣4＝0． 设点A ，B 对应的参数分别为μ1，μ2， 则μ1+μ2＝﹣2，μ1μ2＝﹣4， ∴|AB |＝|μ1﹣μ2|＝2（2）∵点P 的极坐标为34π⎫⎪⎭，，∴由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为（﹣1，1）， ∴点P 在直线l 上，中点M 对应参数为122μμ+=-1，由参数μ的几何意义，点P 到线段AB 中点M 的距离|PM |＝1．【评析】本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标化为直角坐标等.在第（1）问中将直线l 的参数方程的标准形式，代入曲线C 的方程得．设点A ，B 对应的参数分别为μ1，μ2，可得μ1+μ2，μ1μ2的值，可得|AB |的长；在第（2）问中将点P 的极坐标化为直角坐标，可得中点M 对应参数，由参数μ的几何意义，可得点P 到线段AB 中点M 的距离|PM |.【例5】【广东省深圳市高考模拟】若直线b x y +=与曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是__________． 【解析】曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-表示的是以原点为圆心，以1为半径的右半圆，如图，直线b x y +=与曲线有两个不同的交点,直线应介于 两直线21,l l 之间,则(2,1]b ∈--.【评析】本题易错点主要在于忽视θ所给的范围，以为⎩⎨⎧==θθsin cos y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-表示的图形是圆.其实本题中参数方程表示的是以原点为圆心1为半径的非左半部分的圆的一部分，有了这个认识之后，便不容易出错.（三）对极径的意义理解不到位，不能灵活使用极径解决问题【例6】（2020·湖南长沙一中高三）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()2211x y +-=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线1C 的极坐标方程；（2）曲线2:0,02C πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，求OB OA 的最大值及相应α的值.【答案】(1)直线l 的极坐标方程为：cos +sin 40ρθρθ-=；曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=；(2) 当38πα=时，,OB OA 21+.【解析】(1)由题意，直线l 的直角坐标方程为：+40x y -=，∴直线l 的极坐标方程为：cos +sin 40ρθρθ-=， Q 曲线C 的直角坐标方程：2220x y y +-=，曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=. (2)由题意设：(,)A A ρα，(,)B B ρα， 由(1)得4cos sin A ραα=+，2sin B ρα=，1111sin (cos sin )(sin 2cos 2))24444B A OB OAρπααααααρ∴==+=-+=-+， 02πα<<Q ，32444απππ∴-<-<， ∴当242ππα-=，即38πα=时，sin(2)14πα-=,此时OB OA取最大值14. 【评析】本题考查了曲线的极坐标方程与普通方程间的互化，以及极坐标系中极径的几何意义与三角函数的综合运用.(1)参数方程化为普通方程，只要消去参数方程中的参数即可；极坐标方程化为普通方程，只要利用极坐标与直角坐标的函数关系转换即可；(2)设出点,A B 的极坐标，结合极坐标的几何意义与三角函数求最值的知识，即可求解.【例7】（2019·广西大学附属中学高三）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值． 【答案】（1）()22x 2y 40x -+=≠（）；（2）2【解析】（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知 |OP|=ρ，OM =14cos θρ=. 由OM ⋅|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）. （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积1S AOB 4cos α|sin α|2|sin 2α|22332B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=--≤ 当α12π=-时， S取得最大值2.所以△OAB面积的最大值为2.【评析】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. （四）思维不严谨性，完备性欠缺【例8】（2020·广东高三期末）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =-⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mmy k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）写出1C 的普通方程；（2）求曲线1C 和曲线2C 交点的极坐标.【答案】（1）()2240x y y +=≠（2）2,6π⎛⎫⎪⎝⎭或52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由2x ty kt=-⎧⎨=⎩,消去参数t 得1l 的普通方程()2y k x =-,由2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩,消去参数m 得2l 的普通方程()12y x k =+, 设(),P x y ,由题意得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩,消去k 得()2240x y y +=≠（2）由（1）曲线1C 的坐标方程为()20,ρθθπ=≠≠,由题意4sin 2ρθρ=⎧⎨=⎩得1sin 2θ=,故6πθ=或56πθ=, 所以曲线1C 和曲线2C 交点的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭或52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭【评析】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查轨迹方程,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查极坐标系下的交点（1）分别求得直线1l 与直线2l 的普通方程,联立两直线方程消去k 即可；（2）由（1）可得曲线1C 的极坐标方程,联立曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程,求解即可【例9】【2018全国卷II 22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos ,2sin ,x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求C 和l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【解析】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（Ⅱ）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 【评析】(Ⅰ)根据同角三角函数关系将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分0cos ≠α 与0cos =α两种情况——这也是考生容易忽略之处.( Ⅱ)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得ααcos ,sin 之间关系，求得αtan ，即得的斜率．这里，直线的参数方程的标准形式的应用显得特别重要——也是能否顺利求解的关键.（五）作图分析不到位【例10】（2020·内蒙古高三期末）平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）若()1,A ρα是直线l 上一点，2,3B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭是曲线C 上一点，求||||OB OA 的最大值. 【答案】（120y --=，2220x y y +-=；（2）2.【解析】（1）由题，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数）.消去参数t 得直线l20y --=， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l的极坐标方程)sin 2ρθθ-=，即cos 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，所以22sin ρρθ=，由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）因为()1,A ρα在直线l 上，2,3B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭在曲线C 上， 所以1cos 16πρα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22sin 2cos 2cos 3326ππππρααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以221||2cos 2||6OB OA ρπαρ⎛⎫==-+≤ ⎪⎝⎭，OB OA 的最大值为2.【评析】本题考查了参数方程化普通方程,考查了极坐标与直角坐标互化公式,考查了极坐标的几何意义,考查了三角函数的最值.在第(1)中消去参数可得普通方程,极坐标与直角坐标互化公式可得答案;在第(2)中根据极坐标的几何意义以及三角函数的最值可得到答案.【命题专家现场支招】一、解决问题的思考与对策（一）关注两个“互化”的技能训练参数方程和普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化是高考每年必考的内容之一，考查形式多样，有直接要求互化的，也有通过转化化为直角坐标方程或普通方程，然后利用解析几何的相关知识解决问题的，因此，应通过专项训练使之熟练化、自动化.【例11】（2020·江苏高三）在极坐标系中，曲线C 的极方程为2sin (0)a a ρθ=≠．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴的平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．已知直线l 与曲线C 有公共点，求实数a 的取值范围．【答案】(,1[1)-∞-⋃+∞【解析】在平面直角坐标系中，曲线C 的方程为222()x y a a +-=，直线l 的普通方程为10x y ++=， 因为直线l 与曲线C 有公共点， 所以圆心(0,)a 到直线l的距离||d a =，解得1a …，或1a …故实数a的取值范围是(,1[1)-∞⋃+∞．【例12】【湖北省2020届高三】已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x t y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为3π4θ=. （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）圆C：π4ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭；直线l ：sin cos 1ρθρθ-=；（2）2【解析】（1）由于222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ= ，又圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，则圆C 的极坐标方程为22cos 2sin 0ρρθρθ+-=，即π4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.直线l 的参数方程为1x ty t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1，直线l 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=. （2）当3π4θ=时，3ππ||44OP ⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 则点P的极坐标为3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，||222OQ ==，则点Q的极坐标为3π,24⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故线段PQ的长为22=. 【评析】本题考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程间的转化，利用极坐标求两点间的距离是解决本题的关键.（1）结合直角坐标方程、参数方程及极坐标方程间的关系，求出圆C 和直线l 的极坐标方程即可； （2）将3π4θ=与圆C 和直线l 的极坐标方程联立，可求得,P Q 的极坐标，进而可求得线段PQ 的长.（二）强化对直线参数方程中参数t 的几何意义的认识利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以快速求解与线段长度、距离等相关的问题. 使用时应注意t 表示距离时方程的特征和t 所具有的“方向”性.【例13】（2020·广东高三）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与曲线C交于不同的两点A ，B . （1）求曲线C 的参数方程； （2）若点P 为直线与x 轴的交点，求211||+2|PA|PB 的取值范围. 【答案】（1）1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；（2）15,416⎛⎤⎥⎝⎦【解析】（1）2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=， 将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入上式，可得曲线C 的直角坐标方程为2220+-=y y x ，即()2211x y -+=，所以曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.（2）将2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入曲线C 的直角坐标方程，整理得；26cos 80-+=t t α，由题意得236cos 320∆=->α，故28cos 9>α，又2cos 1≤α，∴28cos ,19⎛⎤∈ ⎥⎝⎦α， 设方程26cos 80-+=t t α的两个实根分别为1t ，2t ，则126cos t t α+=，128t t =， 所以1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义，可得1212||||6|cos |+=+=+=PA PB t t t t α，12||||8⋅==PA PB t t ，∴()()22212122222212211(||||)2||||9cos 4||||||||16+-+-⋅-+===⋅t t t t PA PB PA PB PA PB PA PB t t α， ∵28cos ,19⎛⎤∈ ⎥⎝⎦α，∴29cos 415,16416-⎛⎤∈ ⎥⎝⎦α，所以2211||||+PA PB 的取值范围是15,416⎛⎤⎥⎝⎦. 【评析】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．（三）关注圆、椭圆参数方程最值问题向三角函数问题的转化涉及有关最值或参数范围问题的求解，常可利用圆与椭圆的参数方程，化为三角函数的最值问题处理. 【例14】（2020·福建高三）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,A B 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）当1a =时，求11||||PA PB +的值. 【答案】（1）22(0)y ax a =>，2y x =-；（2）11||||4PA PB +=【解析】（1）由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得：2(sin )2cos a ρθρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为：22(0)y ax a =>由2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为2y x =- （2）解：当1a =时,曲线C 的直角坐标方程为：22y x =将直线l的参数方程2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,代入22y x =得：2400t -+=设,A B 两点对应的参数分别为12t t 、,则有121240t t t t +==∴1212||||||||||PA PB t t t t +=+=+=12||||||40PA PB t t ⋅=⋅=∴11||||||||||||PA PB PA PB PA PB ++===⋅ 【评析】(1)根据极坐标与参数方程和直角坐标的互化求解即可.(2)联立直线的参数方程与曲线C 的直角坐标方程,设,A B 两点对应的参数分别为12t t 、,再利用参数的几何意义求解即可.（四）理解极径、极角几何意义，强化应用意识【例15】（2020·云南昆明一中高三）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为54π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ+=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）50x y --=，()2224x y ++=；（2）1.【解析】（1）直线l 的普通方程为：50x y --=，由线C 的直角坐标方程为：()2224x y ++=. （2）曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），点P 的直角坐标为()3,3--，中点32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 到直线l的距离d =， 当cos 14πα⎛⎫⎪⎝⎭+=时，d的最小值为1， 所以PQ 中点M 到直线l的距离的最小值为1.【评析】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及将距离的最值转化为三角函数问题，意在考查转化与化归的思想，以及计算求解的能力，属于基础题型. （五）注重算法的选择，关注运用本领域知识进行的问题解决将陌生的问题化为已知的问题加以解决，是问题解决的常见思维模式，对极坐标、参数方程的有关问题解决，最简洁的思路就是将极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程，再利用解析几何的知识解决问题，然而在有些情况下这种转化却会加大运算过程，有时还会出现无法计算结果的情形，近年来高考全国卷就经常出现这种情况，因此除了掌握化为普通直角坐标方程求解的算法外，还应关注运用本领域知识解决问题的算法.【例16】【2018江苏卷】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos 236AB ==． 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23．【评析】本题的解法多样，比如转化为平面直角坐标系中进行研究，如果通过本领域知识——极坐标系进行研究也是一个不错的选择，但对极坐标系中常见方程的类型要很熟悉. （六）注重作图能力的培养与解析几何相同，本部分核心内容也是利用代数的手段研究几何问题，因此正确的作图对于成功解题有着决定性作用，应养成边读边画，以图助理解，以图找思路的良好习惯，图形引领数形结合，战无不胜.【例17】（2020·重庆西南大学附中高三）已知平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1(82x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223695sin ρθ=-.（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；（2）过曲线C 上任意一点E 作与直线l 的夹角为75o 的直线，交l 于点F ，求EF 的最小值. 【答案】（1）2100x y +-=，2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩；（2）3010-.【解析】（1）由182x t y t =+⎧⎨=-⎩得22282x t y t=+⎧⎨=-⎩，两式相加并化简得2100x y +-=.将222,cos x y xρρθ=+=代入曲线C 的极坐标方程，可得曲线C 的直角坐标方程为229436x y +=，即22194y x +=，故曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）（2）由（1）得(2cos ,3sin )E ϕϕ，则E 到l 的距离4cos 3sin 10105sin 55d ϕϕϕγ+--+==，其中4tan 3γ=. ()62sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30+=+=+=o o o o o o o . 如图，过点E 作EG l ⊥，交l 于G ，则d EG =，在Rt EFG ∆中，62sin75dEF+==o，当()sin 1ϕγ+=，d 取得最小值5，故EF 的最小值为53010sin 12π=-二、典型问题剖析（一）两种“互化”及其应用【例18】（2020·河南高三）以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，P 是1C 上一动点，2OP OQ =u u u r u u u r，Q 的轨迹为2C .（1）求曲线2C 的极坐标方程，并化为直角坐标方程， （2）若点(0,1)M ，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线l 与曲线2C 的交点为A ，B ，当||||MA MB +取最小值时，求直线l 的普通方程.【答案】（1）2cos 4sin ρθθ=+，22(1)(2)5x y -+-=（2）–10x y +=【解析】（1）设点P ，Q 的极坐标分别为()0,ρθ，(,)ρθ)， 因为012cos 4sin 2ρρθθ==+， 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+， 两边同乘以ρ，得224cos sin ρρθρθ=+，所以2C 的直角坐标方程为2224x y x y +=+，即22(1)(2)5x y -+-=.（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12||,||MA t MB t ==，将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入2C 的直角坐标方程()()22–125x y +-=中，整理得22(cos sin )30t t αα-+-=.由根与系数的关系得12122(cos sin ),3t t t t αα+=+=-. ∴1212||||MA MB t t t t +=+=-===≥( 当且仅当sin 21α=-时，等号成立)∴当||||MA MB +取得最小值时，直线l 的普通方程为–10x y +=.【评析】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化、直线参数方程的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. （1）设点P ，Q 的极坐标分别为()0,ρθ，(,)ρθ)，利用012ρρ=这一关系，可得Q 的极坐标方程，再化成普通方程，即可得答案；（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12||,||MA t MB t ==，将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入2C 的直角坐标方程，利用韦达定理，从而将问题转化为三角函数的最值问题，求出此时的α值，即可得答案. （二）利用参数方程解决问题【例19】【2019年上海市浦东新区高考一模】已知点，，P 为曲线上任意一点，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】 设则由可得，令，， ，，，，，，.选A.（三）利用,ρθ的几何意义解决问题【例20】（2020·全国高三）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程32sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩（β为参数）.直线l的参数方程3cos 1sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭时，求直线l 的倾斜角. 【答案】（Ⅰ）221124x y +=；（Ⅱ）56π. 【解析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩（β为参数），得：cos sin 2yββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴曲线C 的参数方程化为普通方程为：221124x y +=； （Ⅱ）解法一：中点极坐标2,6π⎛⎫⎪⎝⎭化成直角坐标为).设直线l 与曲线C 相交于()11,A x y ，()22,B x y两点，则122x x +=，1212y y+=.则2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，②-①得：222221210124x x y y --+=， 化简得：()211221123323y y x x x x y y -+=-=-=--+⨯，即tan 3l k α=-=， 又()0,απ∈Q ，∴直线l 的倾斜角为56π； 解法二：中点极坐标2,6π⎛⎫⎪⎝⎭化成直角坐标为)，将cos 1sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩分别代入221124x y +=，得)()22cos 1sin 1124t t αα++=.()()222cos 3sin 6sin 60t t αααα∴+++-=，12226sin 0cos 3sin t t αααα+∴+=-=+，即6sin 0αα--=. sin cos αα∴=，即tan α=.又(0,)απ∈Q ，∴直线l的倾斜角为56π. （四）极坐标与参数方程的综合应用【例21】【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C. （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径. 【解析】设(),p x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.【例22】（2020·四川高三）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为510()10x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2） 【解析】(1) 曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+= 曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =. 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=. (2) 直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l的参数方程为4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号.所以1212MA MB t t t t +=+=+=【评析】(1)先将1C 和2C 化为普通方程，可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得相交直线的普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)先求出l 的普通方程有4x y +=，点(0,4)M ，写出直线l的参数方程242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入曲线1C ：22(5)10x y -+=，设交点,A B 两点的参数为1t ，2t ，根据韦达定理可得12t t +和12t t ，进而求得MA MB+的值．【新题好题针对训练】一、单选题1．（2020·北京101中学高三）已知曲线C ：22{22x t y a t ==+（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为（ ）A ．22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．[]2,2-【答案】C【解析】曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a =+的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有:12a ≤,解得22a -≤≤,故选C.2．（2020·吉林高三）在正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP x AB y AD =+u u u v u u u v u u u v，则x y +的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设正方形ABCD 的边长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，直线BD 的方程为221x y+=，即20x y +-=，点C 到直线BD的距离为d ==则以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆C 的方程为()()22222x y -+-=， 设点P的坐标为()2,2θθ+，由AP x AB y AD =+u u u r u u u r u u u r，得()()()()2,22,00,22,2x y x y θθ+=+=，11x y θθ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩，所以，cos 2sin 2224x y πθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 因此，x y +的最大值为3.故选：C. 二、填空题3．（2020·北京市十一学校高三）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2x t y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标为___．【答案】4π⎫⎪⎭ 【解析】由曲线2C 的参数方程为2x ty t=-⎧⎨=⎩，则曲线2C 的普通方程为：2x y +=所以221212x x y y x y =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，则交点为()1,1A由tan y x ρθ=，所以4πρθ= 则点A极坐标为4π⎫⎪⎭，故答案为：4π⎫⎪⎭4．（2020·浙江高三期末）已知正三角形ABC 的边长为4，P 是平面ABC 内一点，且满足3APB π∠=，则PB AC ⋅u u u v u u u v的最大值是______，最小值是______.【答案】不存在 163-【解析】设正三角形ABC 的外接圆为O e ，则O e 的直径4832sin3R π==，43R ∴=，如图以O 为坐标原点，以OC 为y 轴建立平面直角坐标系，3APB ACB π∠=∠=Q ，则点P 在O e 的优弧¼ACB上， 设4343P αα⎫⎪⎪⎝⎭，7,66παπ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ 又2323432,,2,,0,333A B C ⎛⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (432343832,2,238sin PB AC αααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∴⋅=⋅u u u r u u u r 16336πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=， 7,66παπ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q ，40,63παπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭3sin 126πα⎛⎫∴-<+≤ ⎪⎝⎭，则1631638336πα⎛⎫-≤-+< ⎪⎝⎭， 则PB AC ⋅u u u r u u u r的最大值不存在，最小值是163.故答案为：最大值不存在，最小值是. 5．（2020·江苏高三）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为______.【答案】34π⎫⎪⎭【解析】联立2,1sin cos ρθρθ==- 得32sin cos 1sin 214θθθθπ=-∴=-∴=32sin 4ρπ∴==34π⎫⎪⎭，故答案为：34π⎫⎪⎭.三、解答题6．（2020·江苏高三）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (0sin x a a b y b ϕϕ=⎧>>⎨=⎩，ϕ为参数），且曲线C上的点M 对应的参数3πϕ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若曲线C 上的A ，B 两点的极坐标分别为1(A ρ，)θ，2(B ρ，)2πθ+，求221211ρρ+的值．【答案】(1)221164x y +=；(2)516.【解析】（1）将M 及对应的参数3πϕ=，代入cos (0sin x a a b y b ϕϕ=⎧>>⎨=⎩，ϕ为参数），所以42a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的普通方程为221164x y+=．（2）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将1(A ρ，)θ，2(B ρ，)2πθ+，代入得到：222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222cos ()sin ()221164ππρθρθ+++=，所以221211516ρρ+=． 7．（2020·湖北高三期末）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：()4R πθρ=∈．（Ⅰ）求直线l 与曲线1C 公共点的极坐标；（Ⅱ）设过点()0,1P -的直线m 交曲线1C 于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值． 【答案】（Ⅰ）(0,0)，)4π（Ⅱ）1【解析】（Ⅰ）易得曲线1C 为圆心是()1,0,半径为1圆,故1C 的普通方程为()2211x y -+=,直线l 的普通方程为y x =,联立方程()2211x y y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩,解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩, 所以直线l 与曲线1C 公共点的极坐标为()0,0与4π⎫⎪⎭． （Ⅱ）依题意,设直线m 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩(α为倾斜角,t 为参数),代入()2211x y -+=,整理得()22sin cos 10t t αα-++=．设,A B 对应的参数分别为12,t t 则121PA PB t t ⋅==.8．（2019·福建上杭一中高三）在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线2cos :sin x t l y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点,A B .（1）若3πα=，求线段AB 中点M 的坐标；（2）若2PA PB OP ⋅=，其中(2P ，求直线l 的斜率.【答案】（1）12,13⎛⎝⎭；（2【解析】设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为1t ，2t ．将曲线C 的参数方程化为普通方程2214x y +=．（1）当3πα=时，设点M 对应参数为0t ．直线l方程为122{x ty =+=（t 为参数）．代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得21356480++=t t ，则12028213t t t +==-，所以，点M的坐标为12,13⎛ ⎝⎭．（2）将2cos {sin x t y t αα=+=代入2214x y +=，得()()222cos 4sin 4cos 120t t αααα++++=，因为122212cos 4sin t t ααPA ⋅PB ==+，27OP =，所以22127cos 4sin αα=+． 得25tan 16α=．由于()32cos cos 0ααα∆=->，故tan α=． 所以直线l的斜率为4． 9．（2020·鄂尔多斯市第一中学高三）在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），经过变换2x xy y=''⎧⎨=⎩，得曲线C .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程.（Ⅱ）若A ，B 为曲线C 上的动点，且2AOB π∠=，证明：2211OAOB+为定值.【答案】（Ⅰ）2222cos sin 14ραρα+=；（Ⅱ）证明见解析.。
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高考数学中的极坐标系与极坐标方程详解极坐标系与极坐标方程是高中数学中的一项重要知识点，也是高考数学中的必考内容。
对于不少同学来说，极坐标系和极坐标方程相对传统的笛卡尔坐标系和方程来说可能会较为陌生，因此需要我们对其进行深入的了解和探究。
一、极坐标系的概念及其构成方式
极坐标系是一种平面直角坐标系，只不过采用了极轴和极角这两个参数来表示平面上的点。
极轴通常被用作坐标系中的横轴，而极角则被用作坐标系中的纵轴，符号通常为 $(\rho,\theta)$。
在图形上，我们可以将极坐标系的构建方式理解为：首先确定一个原点 $O$，然后以该点为中心，画出若干个互相垂直的半射线，这些半射线便构成了极坐标系的纵轴，也就是极角。
此外，为了确定另一个参数 $\rho$，可以在每一条极角半射线上取一个刻度点，并沿着该半射线逐渐扩大或缩小刻度单位，这样就可以标出每个点的极径，并用 $(\rho,\theta)$ 的形式进行表示。
二、极坐标方程的定义与求解方法
极坐标方程是表示极坐标系中点的一种数学表达式形式，它由极径 $\rho$ 和极角 $\theta$ 两个参数所构成。
在大多数情况下，极坐标方程可以被转化为解析式，以便进行更加方便的数学分析和计算。
通常情况下，我们可以通过利用直角三角形的正、余弦等基本函数，将极坐标方程 $\rho=f(\theta)$ 转化为解析式 $y=f(x)$ 的形式，以便于对其进行计算和分析。
特别地，对于圆、椭圆、抛物线和双曲线等常见几何图形，其极坐标方程已经有了标准型的表示形式，我们只需根据标准方程进行微小的变形即可。
另外，值得注意的是，在进行极坐标方程的求解过程中，我们需要格外关注不仅仅是函数本身的性质，还需要注意其在不同情况下的定义域和值域等约束条件，以避免发生计算失误和解题错误。
三、极坐标系的使用场景与一些具体例子
极坐标系在数学和物理学中都有着很广泛的应用场景，比如在三维坐标系中，许多物理量都可以通过以其他物理量或极坐标系
为基础进行计算和表示。
此外，极坐标系还可以被用于描述各种不同的几何图形，如圆形、椭圆形、双曲线、抛物线等，这些图形的几何特征可以通过极坐标方程来刻画和分析。
举个例子，如果我们要计算一个物体的圆周运动速度，我们就需要使用极坐标系来代替笛卡尔坐标系，以更加方便的方式来描述物体的运动轨迹和各种微小的变化。
又如，如果我们要维护一个数据库，极坐标系中的有序排列和划分方式也可以被用于优化数据存入和查询的效率与速度等，更加高效地完成复杂的数据分析和计算任务。
总之，极坐标系和极坐标方程可以被广泛地应用于各种数学和物理学领域的研究和实践中，尤其是在对于立体空间的描述和分析，极坐标系的优势更加明显。
因此，了解和掌握极坐标系和极坐标方程的应用方法和计算技巧，已经成为高考数学的必备知识点之一，也是我们进行科学研究和创新的必需之物。