2002年重庆市数学中考试卷[1]

2002年重庆市数学中考试卷

一、单项选择题（每小题4分，共40分）

1．据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失为1.5亿元．若一年按365天计算，用科学记数法表示我国一年因土地沙漠化造成的经济损失为 （ ）．

A ．5.475×1011（元）

B ．5.475×1011 （元）

C ．0.5475×1011 （元）

D ．5475×1011 （元） 2．下面是某同学在一次测验中解答的填空题： （1）若x 2＝a 2，则x ＝a ．

（2）方程2x （x －1）＝x －l 的解为x ＝0．

（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5． 其中答案完全正确的题目个数为（ ）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．函数1

2

++=

x x y 的定义域为（ ） A ．x ≥一2 B ．一2≤x ＜l C ．x ＞1 D ．x ≥一2且x ≠1 4．若（a m ＋

1b n ＋

2） ·（a 2n －

1b 2m ）＝a 5b 3，则m ＋n 的值为（ ）．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．一3

5．如果表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图1所示，那么化简

()2

b a b a ++

-的结果等于 （ ）．

图1

A ．2a

B ．2b

C ．－2a

D ．－2b

6．如图2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）．

A ．带①去

B ．带②去

C ．带③去

D ．带①和②去 图2

7．已知

11=-a a ，则a a

+1

的值为（ ）

． A ．5± B ．5 C ．3± D ．5或1

8．已知：如图3，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠BAE ＝30°，那么△ECD 的面积是（ ）．

A ．32

B ．3

C ．

23 D ．3

3

图3 9．如图4，某产品的生产流水线每小时可生产100件产品．生产前没有产品积压．生产3小时后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量（y ）是时间（t ）的函数，那么，这个函数的大致图象只能是（ ）．

（A ） （B ） （C ） （D ） 图4 10．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，斜边长为2

1

7，两直角边的长分别是关于x 的方程x 2—3（m ＋

21

）x ＋9m ＝0的两个根，则△ABC 的内切圆面积是（ ）． A ．4π B ．23π C ．47π D ．4

9

π

二、填空题（每小题4分，共48分）

11．分解因式：x 2－xy －2y 2—x －y ＝ ． 12．若不等式组

的解集为－l ＜x ＜1，

那么（a ＋1）（b －1）的值等于 ．

13．已知，如图5，在△ABC 中，AB ＝15cm ，AC ＝12cm ，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，那么CE ＝ cm ．

14．如图6，⊙O 1与半径为4的⊙O 2内切于点A ，⊙O 1经过 圆心O 2，作⊙O 2的直径BC 交⊙O 1于点D ，EF 为过点A 的公切线， 若O 2D ＝22，那么∠BAF ＝ 度． 图6

图五

2x －a>1

x －2b<3

15．若关于x 的方程

011

1

=--+x ax 有增根，则a 的值为 ． 16．如图7，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ．B 、E 在C 、D 的同侧，若AB ＝2，则BE ＝ ．

17．如图8所示的是初三某班60名同学参加初三数学毕业 会考所得成绩（成绩均为整数）整理后画出的频率分布直方图． 根据图中可得出该班及格（60分以上）的同学的人数为 ．图7

18．已知，反比例函数x

k

y =

的图象与直线 y ＝2x 和y ＝x ＋1的图象过同一点，则当x ＞0时， 这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 ． （填增大或减小） 图8

19．已知：如图9，PT 切⊙O 于点T ，PA 交

⊙O 于A 、B 两点且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3， BD ＝6，则PB ． 图9

20．已知：如图10，在正方形ABCD 中，F

是AD 的中点，BF 与AC 交于点G ，则△BGC 与四 边形CGFD 的面积之比是 ． 图10

21．已知：如图11，一次函数y ＝－2x+3的图象与 x 、y 轴分别相交于A 、C 两点．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点C 且与一次函数在第二象限交于另一点B ．

若AC ∶CB ＝1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为 ．图11

22．市场调查表明：某种商品的销售率y （销售率＝进货数量

售出数量

）与价格倍数x （价

格倍数＝

进货价格售出价格）的关系满足函数关系15

17

61+-=x y （0.8≤x ≤6.8）．根据有关规

定，该商品售价不得超过进货价格的2倍．某商场希望通过该商品获取50％的利润，那么该商品的价格倍数应定为 ．

三、解答题（解答时每个小题都必须给出必要的演算过程或推理步骤）

23．（8分）先化简，再求值：

2442

22

2-++-÷+-y xy x y x y x y x ．其中c ＝2－2，y ＝22－1．

24．（8分）解方程：31

24122=---x x

x x ．

25．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变．若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响． （1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?

图12

26．（8分）若n ＞0，关于x 的方程x 2－（m －2n ）x ＋4

1

mn ＝0有两个相等的正实数根．求

n

m

的值．

四、解答题（解答时每个小题都必须给出必要的演算过程或推理步骤）

27．（10分）已知：如图13，在矩形ABCD 中，正为AD 的中点，EF 上EC 交AB 于F ，连结FC ．（AB ＞AE ）

（1） △AEF 与△EFC 是否相似，若相似，证明你的结论；

若不相似，请说明理由； （2）设

BC

AB

＝k ，是否存在这样的k 值，使得AEF ∽△BFC ． 若存在，证明你的结论并求出A 的值；若不存在，说明

理由． 图13

28．（10分）如图14，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点，C是y轴上的一点．∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为（0，3）．

（1）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式．

（2）求图象过点E、F的一次函数的解析式．

图14

29．（10分）阅读下面材料：

在计算3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21时，我们发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式d n n na S ⨯-+

=2

)

1(来计算它们的和． （公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，d 表示这个相差的定值） 那么3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋2

)

110(10-×2＝120． 用上面的知识解决下列问题．

为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997三年的坡荒地面积和植树面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．

参考答案

一、单项选择题 1．B

（题1涉及环保问题，那触目惊心的数字提醒我们：保护环境，防止土地沙化刻不容缓。）

2．A

（题2（1）应为x ＝土a ；（2）应为x ＝0或x ＝1；（3）第三边长为5或7，因第三边不一定就是斜边，千万注意，别再出现类似的错误。）

3．D （题3的定义域即指自变量x 的取值范围。） 4．B 5．D 6，C

（题6实质是考查三角形内角和定理，图③中有两个角完好，能准确地把破玻璃复原。）

7．B （题7中011 +=a a ，故排除选择支A ，C ，而a ＝1时，11

≠-a a

，故易选B 。

） 8．C 9．A

（题9中变量t 表示生产开始后的时间，而不是装箱开始后的时间，故前3个小时未装箱数量平稳上升，3小时后未装箱量逐步减少。）

10．D

（题10中若设Rt △ABC 中，两直角边为a ，b ，斜边为c ，则

22

2

2

2

2

)215(92)21(32)(=⨯-⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+=-+==+m m ab b a c b a ，

解得m ＝3（m ＝－2舍去）；又232=-+=

c b a r ，故π4

9

=S 。

） 二、填空题

11．（x ＋y ）（x －2y －1） 12．4

13．48 （题13注意推出AE ＝DE ，若设EC ＝xcm ，则可列式

15

12

12+=

x x 。） 14．67.5 15．－1 16．1 17．45 18．减小

（题18由题意先解⎩⎨⎧+==，

，12x y x y 求得公共点的坐标，再把这个坐标代入x k

y ＝，求出

k 值。）

19．15 20．4∶5 21．（4

11

21，-） 22．1.8

（题22中经济类专业术语较多，又涉及两个陌生的公式，理解清楚这些新知识，才能很好地解题。）

三、解答题

23．解：原式＝y

x x

y x y x y x y x y x y x y x +-=-++=-+-+⨯+-222))(()2(22．当x ＝2－2，y ＝22－1时，原式＝

2341

222-=+-．

24．解：将原方程变形为31

241222=-⋅--x x

x x ．令x x t 122-=

，则原方程化为：34

=-

t

t ．整理得：t 2－3t －4＝0．解这个方程得：t l ＝4，t 2＝－1．当t 1＝4时，有41

22=-x

x ．即2x 2—4x －1＝0．解这个方程得x 1＝1＋26，x 2＝l －26．当t 2＝—1

时，1122-=-x x ，即2x 2＋x －1＝0．解这个方程得：x 3＝2

1

，x 4＝－1．经检验，它们都是原方程的解．∴原方程的解为：x 1＝1＋

26，x 2＝1－26，x 3＝2

1

，x 4＝—1． 25．解：（1）如图1，由点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ．∵AB ＝220，∠B ＝30°∴AD ＝110（千米）．由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影

响．故该城市会受到这次台风的影响．

（2）题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受 到台风的影响．则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 处移到 F 处时，该城市都会受到这次台风的影响．由勾股定理得：

530502701101602222=⨯=-=-=AD AE DE ．

∴EF ＝6015（千米）．∵该台风中心以15千米／时的速 度移动．∴这次台风影响该城市的持续时间为

15415

15

60=（小时）．图1 （3）当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－

20

110

＝6.5（级）． （题25是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A 点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A 作AD ⊥BC 于D ，设E ，F 分别表示A 市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE ＝AF ＝160；当台风中心位于D 处时，A 市受台风影响的风力最大。）

26．解：x 2－（m —2n ）x ＋4

1

mn ＝0。有两个相等的实数根，∴△＝（m —2n ）2—mn ＝0．整理得：m 2—5mn ＋4n 2＝0．∴m ＝4n 或m ＝n ．又∵x 2—（m －2n ）2＋4

1

mn

＝0的两根均为正根，∴x 1＋x 2＝m －2n ＞0，x 1x 2＝41

mn ＞0．∵n ＞0，当m ＝n 时，x 1

＋x 2＝m －2n ＝—n ＜0，∴m ＝n 舍去，∴m ＝4n ，即n

m

＝4．

四、解答题

27．解：（1）相似，如图2，证明：延长EF 与CD 的延长线交于点G ．在Rt △AEF 与Rt △DEG 中，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝ED ．∠AEF ＝∠DEG ，∴△AFE ≌△DGE ．∴△AFE ＝△DGE ．∴E 为FG 的中点．又CE ⊥FG ，∴FC ＝GC ．∴∠CFE ＝∠G ．∴∠AFE ＝∠EFC ．又△AEF 与△EFC 均为五角三角形，∴△AEF ∽△EFC ．

图2

（2）①存在．如果∠BCF ＝∠AEF ，即k ＝

2

3

=BC AB 时，△AEF ∽△BCF ．证：当

2

3=BC AB 时，3=DE DC

．∴∠ECG ＝30°．∴∠ECG ＝∠ECF ＝∠AEF ＝30°，∴

∠BCF ＝90°－60°＝30°．又△AEF 和△BCF 均为直角三角形．∴△AEF ∽△BCF ．

②因为EF 不平行于BC ，∴∠BCF ≠∠AFE ．∴不存在第二种相似情况． 28．解：

（1）如图3 ∵C 点的坐标为（0，3），且∠CAB ＝30°，∴A 点的坐标为（－3，0），B 点的坐标为（1，0）．设这个二次函数的解析式为y ＝a （x ＋3）（x －1）① 将C 点的坐标代入①得：33-=a ．∴这个二次函数的解析式为y ＝3

3

-（x ＋3）（x －1），即y ＝33-

x 2－3

3

2x ＋3．

图3

（2）设E 、F 所在直线的解析式为y ＝kx ＋b ．② 过E 、F 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ．∴EO ＝

23，故EM ＝433，MO ＝43．∴点E 的坐标为（－4

3，43

3）．同

理可得点F 的坐标为（43，433）．将点E 、F 的坐标分别代入②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-．，434

3

4

3

343b k b k 解

这个方程组得：⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧=-

=．，233

3

b k ∴E 、F 所在直线的解析式为2333+-=x y ． 29．解法一：从表中可知，1995年植树1000公顷，以后每年均比上一年多植树400公顷．1995年实有坡荒地25200公顷．种树1400公顷后，实有坡荒地只减少丁25200—24000＝1200（公顷），因此，每年新产生的坡荒地为200公顷，即树木实际存活1200公顷．设从1996年起（1996年算第1年），n 年全县的坡荒地全部植树，有1400n ＋

2

)

1(+n n ×400—200n ≥25200．即：n 2＋5n ≥126．估算：当n ＝8时，82＋5×8＝104≤126．当n ＝9时，92＋5×9＝126．故到2004年，可将全县所有的坡荒地全部种上树木．

解法二：从表中可知，1995年实有坡荒地25200公顷，1996年减少1200公顷，以后每年均比上一年多减少400公顷．设第n 年的减少为0，则25200一（1200n ＋

2

)

1(-n n ×400）≤0．即126一（n 2＋5n ）≤0．当n ＝9时，126—8l 一45＝0．故到2004年可将全县所有的坡荒地全部种上树木．

解法三：从表中可知：1996年荒地实际面积减少1200公顷，以后每年均比上一年多减少400公顷．

列表：

从表中可知，到2004年，可将全县所有的坡荒地全部种上树木．

（题29是一道新颖独特的阅读题，它的基本形式可归纳为：“阅读——理解——应用”，解题时应抓住三点：（1）读：读懂材料，读懂表格；（2）用：把阅读材料提供的结论正确地套用于解题中；（3）活：指解题时的计算，对n 2＋5n ≥126这样的不等式，用估算法求年数n 。）