线性代数知识点及总结

线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式1212n nλλλλλλ=，()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义记111212122212nn n n nna a a a a a D a a a =，112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =，行列式TD 称为行列式D 的转置行列式。

性质1行列式与它的转置行列式相等。

性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ，行列式变号。

推论如果行列式有两行〔列〕完全一样〔成比例〕，则此行列式为零。

性质3 行列式*一行〔列〕中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的*一行〔列〕中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中*一行〔列〕所有元素为零，则=0D 。

性质4 假设行列式的*一列〔行〕的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()i i n i i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222*********12i n i n i n i n n n ninnn n ninna aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的*一列〔行〕的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。

而算得行列式的值。

4. 行列式按行〔列〕展开余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M 。

代数余子式()1i jij ij A M +=-记，叫做元素ij a 的代数余子式。

引理一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除〔i ，j 〕(,)i j 元外ij a 都为零，则这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij D a A =。

〔高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0，保存一个非零元素，降阶〕定理n 阶行列式111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 等于它的任意一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++，(1,2,,)i n =1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++或，(1,2,,)j n =。

第二章 矩阵1.矩阵111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭行列式是数值，矩阵是数表，各个元素组成方阵：行数与列数都等于n 的矩阵A 。

记作：A n 。

行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。

也称行(列)向量。

同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。

记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵〔不同型的零矩阵不同〕 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

2. 矩阵的运算矩阵的加法111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进展加法运算。

矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。

数与矩阵相乘111212122211,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律〔设A B 、为m n ⨯矩阵，,λμ为数〕()()()1A A λμλμ=；()()2A A A λμλμ+=+；()()3A B A B λλλ+=+。

矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘设(b )ij B =是一个m s ⨯矩阵，(b )ij B =是一个s n ⨯矩阵，则规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m n⨯矩阵(c )ij C =，其中()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1sik kj k a b ==∑，()1,2,;1,2,,i m j n ==，并把此乘积记作C AB = 注意1。

A 与B2。

矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB BA ≠，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

3。

对于n 阶方阵A 和B ，假设AB=BA ，则称A 与B 是可交换的。

矩阵乘法的运算规律()()()1AB C A BC =；()()()()2AB A B A B λλλ==()()3A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+()4m n n n m m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯⨯⨯== ()5假设A 是n 阶方阵，则称A k为A 的k 次幂，即k k A A AA =个，并且m k m k A A A +=，()km mk A A =(),m k 为正整数。

规定：A 0＝E 〔只有方阵才有幂运算〕注意 矩阵不满足交换律，即AB BA ≠，()kk k AB A B ≠〔但也有例外〕转置矩阵把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作A T ，()()1TT A A =；()()2T T T A B A B +=+；()()3T T A A λλ=；()()4TT T AB B A =。

方阵的行列式由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作A注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表，而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。

()1T A A =；()2n A A λλ=；(3)AB A B B A BA ===对称阵设A 为n 阶方阵，如果满足A =A T，则A 称为对称阵。

伴随矩阵行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵。

性质AA A A A E **==〔易忘知识点〕 总结〔1〕只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进展加法运算。

〔2〕只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。

〔3〕矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。

逆矩阵：AB ＝BA ＝E ，则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵。

1A B -=即。

说明1 A ，B 互为逆阵，A = B -12 只对方阵定义逆阵。

〔只有方阵才有逆矩阵〕 3.假设A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的。

定理1矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，并且当A 可逆时，有1*1AA A-=〔重要〕奇异矩阵与非奇异矩阵当0A =时，A 称为奇异矩阵，当0A ≠时，A称为非奇异矩阵。

即求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在；（）求；求。

初等变换的应用：求逆矩阵：()1(|)|A E E A -−−−−→初等行变换。

逆矩阵的运算性质()()1111,,A AAA---=若可逆则亦可逆且()()1112,0,,A A A A λλλ--≠=若可逆数则可逆且。

()1113,,,A B AB AB B A ---=若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()。

()()()114,,TTTA A AA--=若可逆则亦可逆且。

()115,A A A --=若可逆则有。

3.矩阵的初等变换初等行〔列〕变换()1()i j r r ↔对调两行，记作。

()20()i k r k ≠⨯以数乘以某一行的所有元素，记作。

()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。

初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把"r 〞换成"c 〞。

矩阵等价A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。

行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线〔每段竖线的长度为一行〕后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。

〔非零行数及矩阵的秩〕.00000340005213023012的秩求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=B R(B)=3行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m nE OF O O ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭的矩阵，称为标准型。

标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。

初等变换的应用求逆矩阵：()1(|)|A E E A -−−−−→初等行变换或1A E E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换。

4. 矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵m n A ⨯，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。

〔非零行的行数即为矩阵的秩〕说明1. 矩阵A m ×n ，则R (A ) ≤min{m ,n };2. R (A ) = R (A T );3. R (A )≥r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零;4. R (A )≤r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零. 满秩和满秩矩阵矩阵()ij m nA a ⨯=，假设()R A m =，称A 为行满秩矩阵；假设()R A n =，称A 为列满秩矩阵；,(),A n R A n A =若为阶方阵且则称为满秩矩阵。