平面几何的26个定理
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的60条著名定理一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nXAB2+mXAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABXCD+ADXBC=ACXBD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
平面几何知识点“61”个定理
平面几何知识点“61”个定理★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）★2、射影定理（欧几里得定理）★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。
★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：，s为三角形周长的一半★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC分成m和n两段，则有n×AB2+m×AC2=BC×（AP2+mn）17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上★19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD★20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
高中数学常用平面几何名定理
高中数学常用平面几何名定理定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
定理2 Ceva定理定理3 Menelaus定理定理4 蝴蝶定理定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
定理5 张角定理在△ABC中，D是BC上的一点。
连结AD。
张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
定理7 Eular line：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半定理8 到三角形三定点值和最小的点——费马点已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。
定理9 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心定理10到三角形三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心在几何里,平面是无限延展的,是无大小的,是不可度量的,是无厚度的,通常画平行四边形来表示平面0、勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。
1、欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半2、九点圆：任意三角形三边的中点.三条高线的垂足.垂心与各顶点连线的中点,这9点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
3、费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。
关于平面几何的61条著名定理
关于平面几何的61条著名定理一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形。
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6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
高中数学 平面几何常用的定理及其应用
平面几何常用的定理及其应用一、正弦定理、余弦定理已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ． 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=，2222cos a c b bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-．二、定差幂线定理定差幂线定理：PM ⊥AB 的充要条件是：AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2．推论Ⅰ（定差幂线轨迹定理）已知两点A 和B ，则满足AM^2一BM^2=k^2(k 为常数)的点P 的轨迹是垂直于AB 的一条直线．推论Ⅱ(斯坦纳定理)在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是三边BC 、CA 、AB 上的点，分别过点D 、E 、F 作所在边的垂线，则这三条垂线共点的充要条件是222222BD CE AF DC EA FB ++=++．等角线的定义：在△ABC 中，在线段BC 上取P 、Q ，使得∠BAP=∠CAQ ，则称AP 、AQ 为△ABC 中的等角线．等角线的性质：对于△ABC ，和线段BC 上两点P 、Q ，若AP 、AQ 为△ABC 中的等角线，则有22AB PB QBAC PC QC⨯=⨯．（面积法）中线长（巴布斯定理）：设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+．证明：用两次余弦定理．角平分线长（斯库顿定理）：在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,则AD ^2+BD·DC=AB·AC ．证明:延长∠BAC 的平分线AD 交⊙ABC 于E,连结BE ． ∴∠E=∠C,∠BAE=∠DAC,即△ABE ∽△ADC∴AB/AE=AD/AC,化简得AD(AD+DE)=AB·AC ．即AD~2+AD·DE=AB·AC, 由相交弦定理得AD·DE=BD·DC, 因此AD ^2+BD·DC=AB·AC ．例1 如图，点P 为ABC △内部一点，PL PM PN 、、分别垂直于BC CA AB 、、，且AM AN =，BN BL =．求证：CL CM =． 证明：由定差幂线定理： PN AB ⊥⇔2222PA PB NA NB -=-；PL BC ⊥⇔2222PB PC LB LC -=-； PM CA ⊥2222PC PA MC MA ⇔-=-．上述三式相加，结合AM AN =及BN BL =，得CL CM =．BP CN例2 如图，在ABC △中，CD AB ⊥，BE AC ⊥，D 、E 是垂足，CD 与BE 交于点H ． 证明：AH BC ⊥．证明：在凹四边形ACBH 中，由CH AB ⊥得2222AC BH BC AH +=+．在凹四边形ABCH 中，由BH AC ⊥得2222AB CH BC AH +=+． 于是，在凹四边形ABHC 中，得到2222AB CH AC BH +=+，则AH BC ⊥． 由此题可得ABC △垂线H 的一个性质：222222AB CH BC AH AC BH +=+=+．例3 若点P 在ABC △三边BC 、CA 、AB 所在直线上的射影分别为X 、Y 、Z ． 证明：自YZ 、ZX 、XY 的中点分别向BC 、CA 、AB 所作的垂线共点．证明：由三角形中线长公式，有22221()42a mbc a =+-．由DX BC'⊥，EY CA '⊥，FZ AB '⊥， 则2222X B X C BD CD ''-=-22211()24BZ BY YZ =+-22211()24CY CZ YZ ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦22221()2BY BZ CY CZ =+--．同理， 2222221()2Y C Y A CZ CX AZ AX ''-=+--2222221()2Z A Z B AX AY BX BY ''-=+--．以上三式相加，得222222X B X C Y C Y A Z A Z B ''''''-+-+-2222221()2XC XB YA YC ZB ZA =-+-+-．因为，由定差幂线定理可得：以上三式相加得所以222222X B X C Y C Y A Z A Z B ''''''-+-+-=0（*） 设与交于M 点，则由定差幂线定理可得，代入（*）得即所以M 在过引AB 的垂线上，所以、、三线共点．M Z'Y'F ED Y Z BP A B C D HE例4 锐角△ABC 的一边AC 为直径作圆，分别与AB 、BC 交于点K 、L ，CK 、AL 分别与△ABC 的外接圆交于点F 、D (F ≠C ，D ≠A )，E 为劣弧AC 上一点，BE 与AC 交于点N ． 若AF 2+BD 2+CE 2=AE 2+CD 2+BF 2． 求证：KNB BNL =∠∠．证明：如图，由于以AC 为直径的圆分别与AB 、BC 交于点K ，L ，则CK AB ⊥，AL BC ⊥．设CK 与AL 交于点H ，则H 为ABC △的垂心，故点H 与F 关于AB 对称，点H 与D 关于BC 对称． 从而，AF AH =，CD CH =，BD BH BF ==． 由222222AF BD CE AE CD BF ++=++，有 2222AH CE AE CH +=+．即2222AH CH AE CE -=-． 由定差幂线定理知，HE AC ⊥． 又注意到H 为垂心，有BH AC ⊥． 故知B 、H 、E 三点共线． 因为N 为边AC 与BH 的交点，则BN AC ⊥． 故KNB BNL =∠∠．三、共边比例定理、分角定理与张角定理1．共边比例定理（燕尾定理）：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，有S △AOB ∶S △AOC =BD ∶CD S △AOB ∶S △COB =AE ∶CE S △BOC ∶S △AOC =BF ∶AF2．分角定理：在△ABC 中，D 是边BC 上异于B,C 或其延长线上的一点，连结AD ，则有BD/CD=(sin ∠BAD/sin ∠CAD)*(AB/AC) ． 证明：面积法3．张角定理：在△ABC 中，D 是BC 上的一点，连结AD ．那么sin ∠BAD/AC+sin ∠CAD/AB=sin ∠BAC/AD ． 逆定理： 如果sin sin sin BAD DAC BACAC AB AD∠∠∠+=， 那么B,D,C 三点共线．证明：面积法，同一法HNFDK LABCE4．斯特瓦尔特定理 设P 为ABC △的BC 边上任一点（P B ≠，P C ≠），则有 222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅①或 2222PC BP BP PCAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅+⋅-⋅⋅． ② 证明 如图所示，不失一般性，不妨设90APC <︒∠，则由余弦定理，有 2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅⋅∠， 2222cos(180)AB AP BP AP BP APC =+-⋅⋅︒-∠ 222cos AP BP AP BP APC =++⋅⋅∠．对上述两式分别乘以BP ，PC 后相加整理，得①式或②式．斯特瓦尔特定理的逆定理：设B ，P ，C 依次分别为从A 点引出的三条射线AB ，AP ，AC 上的点，若 22AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅，或2222PC BP BP PCAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅+⋅-⋅⋅， 则B ，P ，C 三点共线．证明：令1BPA θ=∠，2APC θ=∠，对△ABP 和△APC 分别应用余弦定理，有 22212cos AB AP PB AP PB θ=+-⋅⋅，22222cos AC AP PC AP PC θ=+-⋅⋅．将上述两式分别乘以PC ，BP 后相加，再与已知条件式相比较得 ()122cos cos 0AP BP PC θθ-⋅⋅⋅+=，由此推出12180θθ=︒-，即证．斯特瓦尔特定理的推广：（1）设P 为ABC △的BC 边延长线上任一点，则2222PC BP PC BPAP AB AC BC BC BC BC BC=-⋅+⋅+⋅⋅． ③ （2）设P 为ABC △的BC 边反向延长线上任一点，则2222PC BP PC BPAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅-⋅+⋅⋅． ④ 注：若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的．推论1 设P 为等腰ABC △的底边BC 上任一点，则22AP AB BP PC =-⋅．注：此推论也可视为以A 为圆心，AB 为半径的圆中的圆幂定理．推论2 设AP 为ABC △的BC 边上的中线，则2222111224AP AB AC BC =+-．推论3 设AP 为ABC △的A 的内角平分线，则2AP AB AC BP PC =⋅-⋅． 推论4 设AP 为ABC △的A 的外角平分线，则2AP AB AC BP PC =-⋅+⋅． 推论5 在ABC △中，若P 分线段BC 满足BPBCλ=，则2222(1)(1)AP BC AB AC λλλλ=-+-+⋅． 注：若BPk PC =，则()222221111k k AP AB AC BC k k k =⋅+-⋅+++．例1 已知O 是ABC △的内切圆，D 、E 、N 分别为、、上的切点，连结并延长交于点，连结并延长交于点． 求证：是的中点．证明:如图，联结OD ，OE ，由O 、D 、B 、N 及O 、N 、C 、E 分别四点共圆有KOD B ∠∠=，KOE C ∠=∠． 由共边比例定理，有sin sin ODK OKE S DK OD OK DOK KE S OE OK KOE ⋅⋅∠==⋅⋅∠△△sin sin sin sin DOK B ACKOE C AB∠===∠， 及sin sin ADK AEK S DK DAK KE S EAK∠==∠△△． 于是，sin sin ABM ACM S BM AB BAM MC S AC CAM ⋅∠==⋅∠△△sin sin AB DAK AC EAK ⋅∠=⋅∠AB DK AC KE =⋅1AB ACAC AB =⋅=．故M 是BC 的中点．例2 在等腰△ABC 中，∠A ＜90°，从边AB 上点D 引AB 的垂线，交边AC 于E ，交边BC 的延长线于F ． 求证：AD =CF 当且仅当△ADE 面积是△CEF 面积的两倍．证明：连接BE ，则EA 外分BED ∠． 设βα=∠=∠AEB AED ,，作BC EM ⊥． 由分角定理得：BEDEAB AD :sin sin =βα ① 在BEF ∆中，EC 内分BEF ∠，由分角定理得：BEEFBC CF :sin sin =βα ② 由①=②且CF AD =，得EF ABBCDE ⋅=． 设θ=∠ABC ，在等腰ABC ∆中，有θcos 2=ABBC． ∴θcos 2⋅=EF DE ，∴EM DE 2=，∴CEF ADE S S ∆∆=2．以上过程均可逆．AB AC BC NO DE K AK BC M M BC KEDOBCEABCFDK DENOBC例3 如图，在线段AB 上取内分点M ，使，分别以MA ，MB 为边，在AB 的同侧作正方形和MBEF ，和分别是这两个正方形的外接圆，两圆交于M ，． 求证：B ，，三点共线．证明：连MD ，ME ，NE ，ND ，NM ，则90DNM ENM ==︒∠∠，则D ，N ，E 三点共线，注意454590DME =︒+︒=︒∠．设DMN NEM α==∠∠，P ，Q 的半径分别为1r ，2r ，则MC =，2MB =，12cos MN r α=⋅= 22sin r α⋅． 对视点M ，考察点B ，C ，N 所在的三角形△MBN ． 由22sin sin sin 902sin CMB CMN MN MB r α︒+=+=∠∠()2111sin cos sin cos sin cos 2cos 2cos r r αααααααα+⋅-+⋅==⋅11cos sin 2r αα+===sin 9045sin NMBMC α︒+︒-==∠．由张角定理可知B ，C ，N 三点共线．例4 在ABC △中，60A =︒∠，AB AC >，点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点，点M ，N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM CN =，求MH NHOH+的值．（2002年全国高中联赛题）解析：延长BE 交O 于L ，由三角形垂心性质，知L 为H 关于AC 的对称点，则LC CH =． 设O 的半径为R ，OH d =，CH x =，BH y =，由60CLB A =︒∠=∠，知LH LC CH x ===．延长OH 两端交O 于T ，S ，如图所示，由相交弦定理有TH HS BH HL ⋅=⋅， 得()()R d R d x y +-=⋅，即22R d xy =+．在△BCL 及边BL 上的点H ，应用斯特瓦尔特定理，并注意到2sin BC R A =⋅=∠ ，可得222BC LH LC BH LH BH BL CH BL ⋅+⋅=⋅⋅+⋅，即)()()222x x y x y x y x x y ⋅+⋅=⋅⋅++⋅+，亦即 ()22213R x xy y =++．于是，有()22213x xy y d xy ++=+．亦即 ()223x y d -=，即x y d -= 而当AB AC >时，MH NH BH BM CN CH BH CH y x x y +=-+-=-=-=-， 故x yMH NH OH d-+==AM BM ≤AMCD P Q N C NL ST图43四、Menelaus 、Ceva 、Pascal 定理1．梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点， 并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线 分别交于,,P Q R ，则1BP CQ ARPC QA RB⋅⋅=． 其他证明方法：面积法，作平行线导边． 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立 （用同一法证明）梅涅劳斯定理逆定理：P Q R ABC BC CA AB P Q R ABC BP 021P Q R PC CQ ARQA RB ∆∆⋅⋅=设、、分别是的三边、、上或它们的延长线上的三点，并且、、三点中，位于边上的点的个数为或，若，则、、三点共线；''''''''''1BP BP 11PC PC 02,PQ AB R CQ AR CQ AR AR AR QA R BQA RB R B RBP Q R ABC R R AB AB R R AB R R AR AR ⋅⋅=⋅⋅=∆>证：设直线与直线交于，于是由定理得：又，则：＝由于在同一直线上的、、三点中，位于边上的点的个数也为或，因此与或者同在线段上，或者同在的延长线上；若与同在线段上，则与必定重合，不然的话，设 '''''',,AR AR AR AR AB AR AB AR BR BR BR BR BR BR-<-<>这时即于是可得这与＝矛盾''R R AB R R P Q R 类似地可证得当与同在的延长线上时，与也重合综上可得：、、三点共线；利用面积转换，可得出如下两个角元形式： 第一角元形式：1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠FCBACFEBA CBE DAC BAD第二角元形式：1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠FOBAOFEOA COE DOC BOD（O 为不在三边所在直线上的任意一点）例1 已知AD 为锐角三角形ABC 的一条高，K 为AD 上任一点，BK 、CK 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、F ． 求证：∠EDK ＝∠FDK ．证明：过点A 作MN ∥BC ，与DE 、DF 的延长线分别交，于点M 、N ．由于AF FB ·BD DC ·CEEA=1．而AF FB ＝AN BD ，CE EA ＝DC AM ． ，ANAM ＝1，AN ＝AM ，即DA 是等腰三角形DMN 的底边上的高， 从而∠EDA ＝∠FDA ．例2 （完全四边形的性质）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 所在直线交于点E ，AD 与BC 所在直线交于点F ，BD 与EF 所在直线交于点H ，AC 与EF 所在直线交于点G ． 求证：HE FG HF EG ⋅=⋅．证明：考虑AEF ∆被直线HBD 截，应用梅涅劳斯定理可知1=⋅⋅DAFD HF EH BE AB ① 考虑AEG ∆被直线BCF 截，同理可得1=⋅⋅CAGC FG EF BE AB ②考虑AGF ∆被直线ECD 截，同理可得1=⋅⋅DAFDEF GE CG AC ③ ②×③÷①可得1=⋅EHHFFG GE ，所以原命题成立CBAFDDB CA EFK DBCA EFK MN2．赛瓦（Ceva)定理及其逆定理设点P 不在ABC ∆三边所在直线上，直线AP ，BP ，CP 分别与BC ，CA ，AB 交于点D ，E ，F ，则1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD ，反之，若三角形三边所在直线上的点使得上述等式成立，则AD ，BE ，CF 交于一点或互相平行．证明：面积法，同一法 Ceva 定理角元形式：为了方便，我们可以从某个角开始，把六个角顺时针（或逆时针）标记为1∠至6∠，则16sin 5sin 4sin 3sin 2sin 1sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠．或者改为判断过ABC ∆的顶点的三条直线AX ，BY ，CZ 是否共点， 等价于1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠YBACBYZCB ACZ XAC BAX例3 在锐角ABC △中，AD 是A ∠的内角平分线，D 在边BC 上，过D 作DE AC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，连结BE ，CF ，它们相交于点H ，求证：AH BC ⊥．分析：“过A 作BC AK ⊥于K 点，只须证：1=⋅⋅EA CEKC BK FB AF 即可HE FDABC证明：由题意知K D F A ,,,四点共圆，则BK BD BA BF ⋅=⋅K D E A ,,,四点共圆，则CA CE CD CK ⋅=⋅所以CA CE BA BF CK BK CD BD ⋅⋅=⋅又因为AD 平分BAC ∠ 所以AC AB CD BD =所以CEBFCK BK =又因为AF =AE ，所以1=⋅⋅EAAFBF CE CK BK ．所以由赛瓦定理逆定理知原命题成立．例4 四边形BCEF 内接于圆O ，其边CE 与BF 的延长线交于点A ，由点A 作圆O 的两条切线AP 和AQ ，切点分别为P ，Q ，BE 与CF 的交点为H ，求证：P ，H ，Q 三点共线．分析：考虑连结FQ ，QB ，只须说明H 是FBQ ∆的赛瓦点即可 证明：设M CF BQ L BE FQ K PQ BF === ,,则BQ PB FQ PF S S KB FK PBQ FPQ ⋅⋅==∆∆；CQFQ BCFB S S MQ BM FQC FBC ⋅⋅==∆∆； FBEF QBEQ S S LF QL EFB EQB ⋅⋅==∆∆ 所以EFBCCQ EQ PB PF LF QL MQ BM KB FK ⋅⋅=⋅⋅（*） 因为APF ∆~ABP ∆，AQE ∆~ACQ ∆，AFE ∆~ACB ∆所以AF ACEF BC AC AQ CQ EQ AB AP PB PF ===,,所以（*）可化为12=⋅AFAB AP （圆幂定理） 所以由赛瓦定理逆定理可知H 在PQ 上，所以P ，H ，Q 三点共线．HEFPQBAC3．Pascal 定理圆O 上六点654321,,,,,A A A A A A ，则164365325421,,,,,A A A A A A A A A A A A 的交点X ，Y ，Z 共线．考虑63ZA A ∆三顶点引出的直线5623,,A A ZX A A 与两边所成角的正弦值4114545612412366536563232sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin XZA XZA A A A Z A A A A A A A A XZA XZA Z A A A A A A A A Z A A ∠∠⋅∠∠⋅∠∠=∠∠⋅∠∠⋅∠∠（*）定理（角元形式）运用中，对点在Ceva X Z A A 41∆1sin sin sin sin sin sin 14441141=∠⋅∠∠⋅∠∠A XA ZXA XZA XZA Z XA A XA所以（*）为1，由Ceva 定理（角元形式）逆定理知原命题成立．注：结论与六个点在圆上的次序无关． 六个点中相邻两个点若重合，则对应两点连线变为该点的切线，从而六边形可以变为五边形或者四边形甚至三角形．例5 △ABC 内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在线段AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过K ，P ，C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ，连结BD 交圆Ω于点E ，连结PE 并延长与边AB 交于点F ，证明：2ABC FCB ∠=∠．F E D K OABCP分析：设CF 与圆Ω交于点S ，考虑圆Ω上六点形KPEDCS ，由Pascal 定理可知B ，K ，S 三点共线． 证明：设圆Ω与BC 交于点T ，连结KT ，则KBC ABC APC KPC KTC ∠=∠=∠=∠=∠2． 所以FCB SCB BKT KBC ∠=∠=∠=∠，所以FCB ABC ∠=∠2．例6 如图，ABC △的外心为O ，CD 为高线，M 为边AC 的中点，射线DM 与以AD 为直径的圆Γ的另一个交点为Y ，圆Γ与⊙O 的另一个交点为X ，直线DO 与AC 交于点Z ． 证明：X ，Y ，Z 三点共线．分析：设'Z 是XY ，AC 的交点，下面证明：D O Z ,,'共线即可．证明：设直线'XYZ 交圆O 于点L ，连结XD 并延长交圆O 于点P ，那么 90=∠=∠AXD AXP ， 从而P O A ,,三点共线，所以连结AOP ，因为'Z 是XY ，AC 的交点，即XL 与AC 的交点，而延长CD 交圆O 于点G ， 则D 点就是XP 和CG 的交点，此时考虑六点形CAPXLG ，只要能证明O 是AP 和LG 的交点即可由Pascal 定理证得． 所以下面证明：L ，O ，G 三点共线． 要证L ，O ，G 三点共线，只要证：BG LB ⊥因为YDA YXA LXA LBA ∠=∠=∠=∠，所以LB //MD ，所以只要证BG MD ⊥，这由DBG MCD MDC ∠=∠=∠可得． 证毕．五、Ptolemy 定理、三弦定理、Simson 定理1． 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。
平面几何定理及公式
初等几何选讲复习资料二平面几何定理及公式1 过两点有且只有一条直线２两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等４同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8假如两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行１0 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13两直线平行,内错角相等１4 两直线平行,同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边１７三角形内角和定理三角形三个内角的和等于１8０°18 推论１直角三角形的两个锐角互余1９推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和２０推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角2１全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等２4 推论(AＡS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等２5边边边公理(ＳSS)有三边对应相等的两个三角形全等２6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上２９角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合３0等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)31推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边同时垂直于底边3２等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合3３推论3等边三角形的各角都相等,同时每一个角都等于60°3４等腰三角形的判定定理假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)3５推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于6０°的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中,假如一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等4０逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合4２定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 假如两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线4４定理3两个图形关于某直线对称,假如它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上４5逆定理假如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边ｃ的平方,即a^2＋b^2=c^２47勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、ｂ、c有关系ａ^２+b^2＝c＾2,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于３60°49四边形的外角和等于3６0°50多边形内角和定理ｎ边形的内角的和等于(n-2)×18０°51推论任意多边的外角和等于36０°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等5５平行四边形性质定理３平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理２两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理４一组对边平行相等的四边形是平行四边形６０矩形性质定理１矩形的四个角都是直角6１矩形性质定理２矩形的对角线相等62矩形判定定理１有三个角是直角的四边形是矩形６3矩形判定定理２对角线相等的平行四边形是矩形６４菱形性质定理1菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,同时每一条对角线平分一组对角６6菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷２67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边都相等7０正方形性质定理２正方形的两条对角线相等,同时互相垂直平分,每条对角线平分一组对角7１定理1关于中心对称的两个图形是全等的７2定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,同时被对称中心平分73逆定理假如两个图形的对应点连线都经过某一点,同时被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80 推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,同时等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,同时等于两底和的一半L=(a+b)÷2 S＝L×h8３(１)比例的基本性质假如a:b=c:ｄ,那么aｄ=bc假如ad=bc,那么a:b＝ｃ:d84 (2)合比性质假如a／b=ｃ／d,那么(a±b)/b=(ｃ±d)/d85 (3)等比性质假如a／b=c/ｄ=…=ｍ/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…＋m)／(b+d+…+n)=a／b86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例8８定理假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边,同时和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似９1 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA)9２直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理２两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(ＳＡS)94 判定定理３三边对应成比例,两三角形相似(SSＳ)9５定理假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理３相似三角形面积的比等于相似比的平方9９任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值1０0任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合１0２圆的内部能够看作是圆心的距离小于半径的点的集合１03圆的外部能够看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等１05到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆１06和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线1０7到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线1０8到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线１０9定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
初中平面几何知识的60个定理
初中平面几何知识的60个定理1、勾股定理、勾股定理((毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理) )小学都应该掌握的重要定理小学都应该掌握的重要定理 2、射影定理、射影定理((欧几里得定理欧几里得定理) )重要重要3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分的两部分重要重要4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点学习中位线时的一个常见问题，中考不需要，初中竞赛需要学习中位线时的一个常见问题，中考不需要，初中竞赛需要5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
完全没有意义，学习解析几何后显然的结论，不用知道完全没有意义，学习解析几何后显然的结论，不用知道6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
重要重要7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点重要重要8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 中考不需要，竞赛中很显然的结论中考不需要，竞赛中很显然的结论9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
高中竞赛中非常重要的定理，称为欧拉线高中竞赛中非常重要的定理，称为欧拉线1010、、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆))三角形中，三角形中，三边中心、三边中心、三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，高中竞赛中的常用定理高中竞赛中的常用定理1111、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线((欧拉线欧拉线))上 高中竞赛中会用，不常用高中竞赛中会用，不常用1212、库立奇、库立奇、库立奇**大上定理：大上定理：((圆内接四边形的九点圆圆内接四边形的九点圆) ) ) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
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ED C B A 高一数学竞赛班二试讲义第1讲 平面几何中的26个定理班级一、知识点金 1. 梅涅劳斯定理：假设直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立〔用同一法证明〕2. 塞瓦定理： 设,,P Q R 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，假设,,AP BQ CR 三线共点，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。
()ABCD E BAE CAD ABE ACDAB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CDAB AE BAC EAD ABC AED AC ADBC ED AD BC AC ED AC ADAB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C D ∠=∠∠=∠∆∆∴=⇒⋅=⋅=∠=∠∴∆∆∴=⇒⋅=⋅∴⋅+⋅=⋅+∴⋅+⋅≥⋅证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、四点共圆时成立；注：托勒密定理的逆定理也成立4. 西姆松定理：假设从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F ，则,,D E F 三点共线。
西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F 。
假设,,D E F 三点共线，则点P 在ABC ∆的外接圆上。
5． 蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点。
证明：过圆心O 作AD 与BC 的垂线，垂足为S 、T ， 连接OX ，OY ，OM ，SM ，MT 。
∽△CMB ∴AM/CM=AD/BC∵AS=1/2AD ，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT又∵∠A=∠C ∴△AMS ∽△CMT∴∠MSX=∠MTY∵∠OMX=∠∴∠OMX+∠OSX=180°∴O ，S ，X ，M 四点共圆同理，O ，T ，∴∠MTY=∠MOY ，∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM ⊥PQ ∴XM=YM注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立6． 坎迪定理：设AB 是已知圆的弦，M 是AB 上一点，弦,CD EF过点M ，连结,CF ED ，分别交AB 于,L N ，则1111LM MN AM MB-=-。
7． 斯特瓦尔特定理：设P 为ABC ∆的BC 边上任一点，则有2222PC BP BP PC AP AB AC BC BC BC BC BC=⋅+⋅-⋅⋅。
注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立8．张角定理： 设,,A C B 顺次分别是平面内一点P 所引三条射线,,AB AP AC 上的点，线段,AC CB 对点P 的张角分别为,αβ，且180αβ+<，则,,A C B 三点共线的充要条件是：sin()sin sin PC PB PAαβαβ+=+ 9．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点， 共九点共圆。
此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。
ABC ∆的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是ABC ∆的外接圆半径的12。
证明：ABC ∆的九点圆与ABC ∆的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似中心。
位似比均为1:2。
10．欧拉线：ABC ∆的垂心H ，重心G ，外心O 三点共线。
此线称为欧拉线，且有关系：2HG GO = 11．欧拉公式：设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为R 和r ，则这两圆的圆心距(2)OI R R r =-。
由此可知，2R r ≥。
证明：设外心为O ，内心为I ，连结OI ，延长交外接圆于,N P 两点，令d OI =，AI 交外接圆于L ，则()()2sin22sin 2A r R d R d NI IP LI IA LB IA R Rr A-+=⋅=⋅=⋅=⋅= 12．笛沙格定理;在ABC ∆和A B C '''∆中，假设,,AA BB CC '''相交于一点O ，则AB 与A B ''，BC 与B C ''，AC 与A C ''的交点,,F D E 共线。
证明：OBC ∆和梅尼线B C D ''，1OB BD CC B B DC C O ''⋅⋅=''；OAB ∆和梅尼线A B F ''，1OA AF BB A A FB B O''⋅⋅=''； OAC ∆和梅尼线A C E ''，1OC CE AA C C EA A O ''⋅⋅=''，三式相乘，得1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=。
得证13．牛顿〔Newton〕定理1：圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。
证法1：设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H.首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'.显然∠AHI‘=∠BFI ’ ，因此易知AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'故AI'/CI'=AH/CF. 同样可证:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG. 故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH交于一点.同理可证:直线BD,EG,FH交于一点. 因此直线AC,BD,EG,FH交于一点。
证法2：外四边形为ABCD，对应内切四边形为EFGH。
连接EG，FH交于P。
下面证明BD过P即可。
过D座EG的平行线交BA与S，过D做FH的平行线交BC于T。
由于弦切角及同位角，角BEG=角CGE=角CDS=角BSD。
所以SEGD四点共圆，且为等腰梯形。
设此圆为圆M，圆M与圆O，内切圆交于EG，所以其根轴为EG，同理对圆N，DHFT，与圆O交于HF。
HF为此两圆的根轴。
由根轴定理，只需证明BD为圆M与圆N的根轴即可证明BD，EG，HF共于点P。
D在圆M和圆N上，所以其为根轴一点。
由于SEGD，和DHFT为等腰梯形，所以ES=DG，DH=FT。
由切线长定理，DH=DG，BE=BF；所以BE=BF，ES=FT，BS=BT。
假设B为圆M与圆N的根轴上一点，则BE*BS=BF*BT，其为割线长。
明显等式成立。
所以BD为圆M与圆N 的根轴，则BD，EG，HF共于点P。
同理AC，EG，HF共于点P。
命题得证。
14．牛顿〔Newton〕定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。
证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。
显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。
注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC+S△CEI-S△BCE=S△ADE+S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。
15．牛顿〔Newton〕定理3：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。
这条直线叫做这个四边形的牛顿线。
证明：四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N 取BE 中点P,BC中点R,PN∩CE=QR,L,Q共线，QL/LR=EA/AB；M,R,P共线，RM/MP=CD/DE；N,P,Q共线，PN/NQ=BF/FC。
三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FCQL/LR*RM/MP*PN/NQ=1及梅尼线LMN，PQR由梅涅劳斯定理的逆定理知L，M，N三点共线。
16．布利安双定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。
在此，提供用初等几何证明外切于圆的情形。
记六边形为ABCDEF外切于圆O，AB，BC，CD,DE,EF,FA上的切点分别是G,H,I,J,K,L.设AB,DC 交于X,AF,DE交于Y.则四边形AXDY外切于圆O,切点分别是G,I,J,L。
圆外切四边形对边切点连线与主对角线交于一点，有AD,GJ,LI共点(记为点P)。
同理，BE,GJ,KH共点(记为点r),CF,LI,KH 共点〔记为点q则命题可转为证明DP,BR,FQ共点。
17．拿破仑定理：假设在任意三角形的各边向外作正三角形。
则它们的中心构成一个正三角形。
证明：设等边△ABD的外接圆和等边△ACF的外接圆相交于O；连AO、CO、BO。
∴∠ADB=∠AFC=60°；∵ A、D、B、O四点共圆；A、F、C、O四点共圆；∴∠AOB=∠AOC=120°；∴∠BOC=120°；∵△BCE是等边三角形∴∠BEC=60°；∴ B、E、C、O四点共圆；∴这3个等边三角形的外接圆共点。
设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P 相交于O；连AO、CO、BO。
∵A、D、B、O四点共圆；A、F、C、O四点共圆，B、E、C、O四点共圆，∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°；∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°；∵ NP、MP、MN是连心线；BO、CO、AO是公共弦；∴ BO⊥NP于X；CO⊥MP 于Y；AO⊥NM于Z。
∴ X、P、Y、O四点共圆；Y、M、Z、O四点共圆；Z、N、X、O四点共圆；∴∠N=∠M=∠P=60°；即△MNP是等边三角形。