同济大学高等数学重积分

同济大学高等数学重积

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第十章重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间,a b ????上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节二重积分的概念与性质

二重积分的概念

下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义. 1.1.1. 曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是x Oy 平面上的一个有界闭区域D ，其侧面是以D 的边界为准线的母线平行于z 轴的柱面，其顶部是在区域D 上的连续函数(),z f x y =，且(),0f x y ≥所表示的曲面（图10—1）.

图10—1

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.

图10—2

(1)分割闭区域D 为n 个小闭区域

同时也用i Δσ表示第i 个小闭区域的面积，用()i d Δσ表示区域i Δσ的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n 个小曲顶柱体.

(2)在每个小闭区域上任取一点

对第i 个小曲顶柱体的体积，用高为，()i i f ξη而底为i Δσ的平顶柱体的体积来近似代替.

(3)这n 个平顶柱体的体积之和就是曲顶柱体体积的近似值.

(4)用λ表示n 个小闭区域i Δσ的直径的最大值，即()max 1i i n λd Δσ≤≤=.当0λ→ (可理解为i Δσ收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积： 1.1.2 平面薄片的质量

设薄片在x Oy 平面占有平面闭区域D ，它在点，()x y 处的面密度是,()ρρx y =.设()0x y ρ>,且在D 上连续，求薄片的质量(见图10-3).

图10-3

先分割闭区域D 为n 个小闭区域

在每个小闭区域上任取一点

近似地，以点,()i i ξη处的面密度,()i i ρξη代替小闭区域i Δσ上各点处的面密度，则得到第i 块小薄片的质量的近似值为,()i i i ρξηΔσ，于是整个薄片质量的近似值是

用()max 1i i n

λd Δσ≤≤=表示n 个小闭区域i Δσ的直径的最大值，当D 无限细分，即当0λ→时，上述和式的极限就是薄片的质量M

，即

lim (,)n

i i i λi M ρξηΔσ→==∑.

以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.

定义1 设D 是x Oy 平面上的有界闭区域，二元函数,()z f x y =在D 上有界.将D 分为n 个小区域

同时用i Δσ表示该小区域的面积，记i Δσ的直径为()i d Δσ，并令()max 1i i n λd Δσ≤≤=. 在i Δσ上任取一点,, 1,2,,()()i i ξηi n =，作乘积并作和式

Δ1(,)n

i i i

i n S f ξησ==∑.

若0λ→时，n S 的极限存在(它不依赖于D 的分法及点(,)i i εη的取法)，则称这个极限值为函数,()z f x y =在D 上的二重积分，记作(,)d D

f x y σ??，即

(,)d lim (,)Δn

i D

f x y f λ

σξησ→==∑??， (10-1-1)

其中D 叫做积分区域，,()f x y 叫做被积函数，d σ叫做面积元素，,d ()f x y σ叫做被积表达式，x 与y 叫做积分变量，Δ1(,)n

i i i i f ξησ=∑叫做积分和.

在直角坐标系中，我们常用平行于x 轴和y 轴的直线(y =常数和x =常数)把区域D 分割成小矩形，它的边长是x ?和Δy ，从而ΔΔΔσx y =?，因此在直角坐标系中的面积元素可写成d dx dy σ=?，二重积分也可记作

(,)d d lim (,)n

i D

f x y x y f λ

ξησ→==?∑??. 有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱

体的体积V 是函数,()z f x y =在区域D 上的二重积分

(,)d D

V f x y σ=??；

薄片的质量M 是面密度,()ρρx y =在区域D 上的二重积分

(,)d D

M x y ρσ=??.

因为总可以把被积函数,()z f x y =看作空间的一曲面，所以当,()f x y 为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当,()f x y 为负时，柱体就在x Oy 平面下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值. 如果,()f x y 在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的，那么,()f x y 在D 上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.

如果,()f x y 在区域D 上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在)，则称,()f x y 在D 上可积.什么样的函数是可积的呢与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.

如果,()f x y 是闭区域D 上连续，或分块连续的函数，则,()f x y 在D 上可积. 我们总假定,()z f x y =在闭区域D 上连续，所以,()f x y 在D 上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明.

1.1.3 二重积分的性质

设二元函数,,,()()f x y g x y 在闭区域D 上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.

性质1 常数因子可提到积分号外面.设k 是常数，则

(,)d (,)d D

kf x y k f x y σσ=????.

性质2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即

[]()()d ()d ()d D

f x y

g x y f x y g x y σσσ±=±??????,,,,.

性质 3 设闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则D 上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和.

例如D 分为区域1D 和2D (见图10-4)，则

(,)d (,)d (,)d D

D D f x y f x y f x y σσσ=+??????. (10-1-2)

图10-4

性质3表示二重积分对积分区域具有可加性.

性质4 设在闭区域D 上,1()f x y =，σ为D 的面积，则

1d d D

σσσ==????.

从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积.

性质5 设在闭区域D 上有,,()()f x y g x y ≤，则

(,)d (,)d D

f x y

g x y σσ≤????.

由于 (,)(,)(,)

f x y f x y f x y -≤≤ 又有

(,)d (,)d D

f x y f x y σσ

≤????

这就是说，函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分.

性质6 设、M m 分别为()f x y ,在闭区域D 上的最大值和最小值，σ为D 的面积，则有

(,)d D

m f x y M σσσ≤≤??.

上述不等式是二重积分估值的不等式.因为()m f x y M ≤≤,，所以由性质5有

d (,)d d D

m f x y M σσσ≤≤??????，

即 d (,)d d D

m m f x y M M σσσσ

=≤≤=??????.

性质7 设函数,()f x y 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点,()ξη使得

(,)d ()D

f x y f σξησ=???,.

这一性质称为二重积分的中值定理. 证显然0σ≠.

因,()f x y 在有界闭区域D 上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理，在D 上必存在一点()11x y ,使()11f x y ,等于最大值M ，又存在一点

22()x y ,使22()f x y ,等于最小值m ，则对于D 上所有点,()x y ，有

由性质1和性质5，可得

d (,)d d D

m f x y M σσσ

≤≤??????．

再由性质4得

(,)d D

m f x y M σσσ

≤≤??，

或

(,)d D

m f x y M σσ

≤

≤??．

根据闭区域上连续函数的介值定理知，D 上必存在一点,()ξη，使得

(,)d ()D

f x y f σξησ

=??,，

即

(,)d ()D

f x y f σξησ=??,， ,()ξηD ∈.

证毕.

二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：

当:,()S z f x y =为空间一连续曲面时，对以S 为顶的曲顶柱体，必定存在一个以D 为底，以D 内某点,()ξη的函数值,()f ξη为高的平顶柱体，它的体积,()f ξησ?就等于这个曲顶柱体的体积.

习题10—1

1.根据二重积分性质，比较ln()d D

x y σ+??与[]2

ln()d D

x y σ+??的大小，其中

(1)D 表示以10,（）

、1,0（）、1,1（）为顶点的三角形； (2)D 表示矩形区域(){}|35,2,0x y x y ≤≤≤≤.

2.根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1)(22d D

a x y σ+??，()222{|}D x y x y a =+≤，；

(2)222d D

a x y σ--，()222{|}D x y x y a =+≤，.

3.设(),f x y 为连续函数，求20

lim (,)d πr D

f x y r

σ→??, ()()()22

200{,}D x y x x y y r =-+-≤|.

4.根据二重积分性质，估计下列积分的值：

(1)4+d D

I xy σ=，()22{|00}D x y x y =≤≤≤≤，，

； (2)22sin sin d D I x y σ=??，()ππ{,|00}D x y x

y =≤≤≤≤，；

(3)()2249d D

I x y σ=++??, ()224{,|}D x y x y =+≤. 5.设[][]0,10,1D =?，证明函数

在D 上不可积.

第2节二重积分的计算

只有少数二重积分(被积函数和积分区域特别简单)可用定义计算外，一般情

况下要用定义计算二重积分相当困难．下面我们从二重积分的几何意义出发，来介绍计算二重积分的方法，该方法将二重积分的计算问题化为两次定积分的计算问题．

直角坐标系下的计算

在几何上，当被积函数(),0f x y ≥时，二重积分(,)d D

f x y σ??的值等于以D 为底，

以曲面,()z f x y =为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法”来求曲顶柱体的体积V .

设积分区域D 由两条平行直线,x a x b ==及两条连续曲线()()y x y x ??==12,(见图10—5)所围成，其中()()a b x x ??<<12,，则D 可表示为

()()(){}12,,|D x y a x b φx y φx =≤≤≤≤.

图10—5

用平行于yOz 坐标面的平面()00x x a x b =≤≤去截曲顶柱体，得一截面，它是一

个以区间()()1020x x φφ????,为底，以,0()z f x y =为曲边的曲边梯形(见图10—6)，所以

这截面的面积为

()d 2010()

0()

0(,)φx φx f x y y A x =?

图10—6

由此，我们可以看到这个截面面积是0x 的函数.一般地，过区间［,］a b 上任一点且平行于yOz 坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为

()d 21

()

(,)φx φx f x y A y x =?，其中y 是积分变量，x 在积分时保持不变.因此在区间［,］a b 上，()A x 是x 的函数，应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为

d d d 21()

()()(,)b b φx a a φx A x x f x y V y x

??=???=?

???，

即得

21()()(,)d (,)d d b x a x D

f x y f x y y x ??σ??=????

??，或记作

21()

()

(,)d d (,)d b

x a

x D

f x y x f x y y ??σ=??

上式右端是一个先对y ，后对x 积分的二次积分或累次积分.这里应当注意的是：

做第一次积分时，因为是在求x 处的截面积()A x ，所以x 是,a b 之间任何一个固定的值，

是积分变量；做第二次积分时，是沿着x 轴累加这些薄片的体积()A x dx

?，所以x 是积分变量.

在上面的讨论中，开始假定了,()0f x y ≥，而事实上，没有这个条件，上面的公式仍然正确.这里把此结论叙述如下：

若,()z f x y =在闭区域D 上连续，()():D a x b x y x ??≤≤≤≤12,，则

()

(,)d d d (,)d b

x a x D

f x y x y x f x y y ??=????

. (10-2-1) 类似地，若,()z f x y =在闭区域D 上连续，积分区域D 由两条平行直线

y a y b ==,及两条连续曲线()()x y x y ??==12,(见图10—7)所围成，其中

()()c d x x ??<<12,，则

D 可表示为

()()(){},|D x y c y d y x y ??=≤≤≤≤12,.

则有

21()

()

(,)d d d (,)d d

x c x D

f x y x y y f x y x ??=??

. (10-2-2)

图10—7

以后我们称图10-5所示的积分区域为X 型区域，X 型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于y 轴的直线与D 的边界的交点不多于两个．称图10—7所示的积分区域为Y 型区域，Y 型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于x 轴的直线与D 的边界的交点不多于两个.

从上述计算公式可以看出将二重积分化为两次定积分，关键是确定积分限，而确定积分限又依赖于区域D 的几何形状．因此，首先必须正确地画出D 的图形，将D 表示为X 型区域或Y 型区域．如果D 不能直接表示成X 型区域或Y 型区域，则应将D 划分成若干个无公共内点的小区域，并使每个小区域能表示成X 型区域或Y 型区域，再利用二重积分对区域具有可加性相加，区域D 上的二重积分就是这些小区域上的二重积分之和(图10—8)．

图10-8

例 1 计算二重积分d D

xy σ??，其中D 为直线y x =与抛物线2y x =所包围的闭区

域.

解画出区域D 的图形，求出y x =与2y x =两条曲线的交点，它们是()0,0及()1,1.区域D (图10—9)可表示为：

20.x x y x ≤≤≤≤1，

图10—9

因此由公式(10-2-1)得

()

d d d 2

x x x x

x xy x x ydy y x σ==?????

d 135011

()224

x x x -==

本题也可以化为先对x ，后对y 的积分，这时区域D 可表为：1，0y y y x ≤≤≤≤.

由公式(10-2-2)得

d d d y y

xy y y x x σ=????

积分后与上面结果相同.

例2 计算二重积分221d D

y x y σ+-??，其中D 是由直线，1y x x ==-和1y =所围

成的闭区域.

解画出积分区域D ，易知D ：11，1x x y -≤≤≤≤ (图10-10)，若利用公式(10-2-1)，得

图10-10

()

d d 113310121(1)33x x x -=-

-=--??x 12

若利用公式(10-2-2)，就有

()

2211

1d 1d d y

y x y y x y x y σ--+-=+-????

，

也可得同样的结果.

例3 计算二重积分22d D

x y σ??,其中D 是直线2，y y x ==和双曲线1x y =所围之闭

区域.

解求得三线的三个交点分别是1,(1,1)2

,2?? ???

及2,2().如果先对y 积分，那么当

1x ≤≤时，y 的下限是双曲线1y x =，而当12x ≤≤时，y 的下限是直线y x =，因此

需要用直线x =1把区域D 分为1D 和2D 两部分(图10—11).

1211， 21

D x y x

≤≤≤≤； 22， 2:1D x x y ≤≤≤≤.

图10—11

于是

432311

24626x x x x ????=-+-????????8127

19264==. 如果先对x 积分，那么:12， 1 D y x y y

≤≤≤≤，于是

d 2

541

1136312y y y y y ????=-=+?????????

64=.

由此可见，对于这种区域D ，如果先对y 积分，就需要把区域D 分成几个区

域来计算.这比先对x 积分繁琐多了.所以，把重积分化为累次积分时，需要根据区域D 和被积函数的特点，选择适当的次序进行积分.

例4 设,()f x y 连续，求证

d d d d (,)(,)b

x b b

x f x y y y f x y x

???.

证上式左端可表为

d d d (,)(,)b

x f x y y f x y σ=?

???，

其中，:D a x b a y x ≤≤≤≤ (图10—12)区域D 也可表为：，a y b y x b ≤≤≤≤，

图10—12

于是改变积分次序，可得

(,)d d (,)d b b

a y D

f x y y f x y x σ=????

由此可得所要证明的等式.

例5 计算二重积分d sin D x σx ??，其中D 是直线y x =与抛物线2y x =所围成的区域.

解把区域D 表示为x 型区域，即(){}

2D =x ,y |0x 1,x y x ≤≤≤≤.于是

注：如果化为y 型区域即先对x 积分，则有

d d d 10sin sin y y D

x σy x x x =????.

由于sin x x

的原函数不能由初等函数表示，往下计算就困难了，这也说明计算二重积

分时，除了要注意积分区域D 的特点（区分是x 型区域，还是y 型区域）外，还应注意被积函数的特点，并适当选择积分次序.

二重积分的换元法

与定积分一样，二重积分也可用换元法求其值，但比定积分复杂得多.我们知道，对定积分()d b

a f x x ?作变量替换()x φt =时，要把()f x 变成()()f φt ，d x 变成d ()φt t ',积分限

,a b 也要变成对应t 的值.同样，对二重积分(),d D

f x y σ??作变量替换

时，既要把()

,f x y 变成()()(),,,f x u v y u v

，还要把x Oy 面上的积分区域D 变成uOv 面上的区域uv D ，并把D 中的面积元素d σ变成uv D 中的面积元素d *σ.其中最常用的是极坐标

系的情形.

2.2.1 极坐标系的情形

下面我们讨论利用极坐标变换，得出在极坐标系下二重积分的计算方法.把极点放在直角坐标系的原点，极轴与x 轴重合，那么点P 的极坐标(),P r θ与该点的直角坐标

(),P x y 有如下互换公式：

πcos ,sin ;0,02x r θy r θr θ==≤<+∞≤≤；

22,arctan

;,y

r x y θx y x

=+=-∞<<+∞. 我们知道，有些曲线方程在极坐标系下比较简单，因此，有些二重积分用极坐标代换后，计算起来比较方便，这里假设(),z f x y =在区域D 上连续. 在直角坐标系中，我们是以平行于x 轴和y 轴的两族直线分割区域D 为一系列小矩形，从而得到面积元素d d d σx y =.

在极坐标系中，与此类似，我们用“常数r =”的一族同心圆，以及“常数θ=”的一族过极点的射线，将区域D 分成n 个小区域(),1,2,,ij σi j n ?=，如图10—13所示.

图10—13

小区域面积

i i j i j r r θr θ=??+??.

记 ()()()2

,,1,2,

,ij i j

ρr θi j n ?=?+?=，

则有

()

ij i i j ij σr r θορ?=??+?,

故有

d d d σr r θ=.

则

()()d d d ,cos ,sin D

f x y σf r θr θr r θ=????.

这就是直角坐标二重积分变换到极坐标二重积分的公式.在作极坐标变换时，只要将被积函数中的,x y 分别换成cos ,sin r θr θ，并把直角坐标的面积元素d d d σx y =换成极坐标的面积元素d d r r θ即可.但必须指出的是：区域D 必须用极坐标系表示.

在极坐标系下的二重积分，同样也可以化为二次积分计算.下面分三种情况讨论： (1)极点O 在区域D 外部，如图10—14所示.

图10—14

设区域D 在两条射线,θαθβ==之间，两射线和区域边界的交点分别为,A B ，将区域

D 的边界分为两部分，其方程分别为()()12,r r θr r θ==且均为

［］,αβ上的连续函数.此时 ()()(){}12,|,D r θr θr r θαθβ=≤≤≤≤.

于是

(2) 极点O 在区域D 内部，如图10—15所示.若区域D 的边界曲线方程为()r r θ=，这时积分区域D 为

()(){}π,|0,02D r θr r θθ=≤≤≤≤，

且()r θ在π0,2????上连续.

图10—15

于是

()()()

d d d d 20

cos ,sin cos ,sin r θD

f r θr θr r θθf r θr θr r =????

(3) 极点O 在区域D 的边界上，此时，积分区域D 如图10—16所示.

图10—16

()(){},|,0D r θαθβr r θ=≤≤≤≤, 且()r θ在π0,2????上连续，则有

()()()d d d d 0

cos ,sin cos ,sin β

r θα

f r θr θr r θθf r θr θr r =????

在计算二重积分时，是否采用极坐标变换，应根据积分区域D 与被积函数的形式来决定.一般来说，当积分区域为圆域或部分圆域，及被积函数可表示为()22f x y +或

y f x ??

???

等形式时，常采用极坐标变换，简化二重积分的计算.

例6 计算二重积分

1d d 1D

x y I x y x y --=++??

，

其中()(){}222,|01D x y x y a a =+≤<<.

解在极坐标系中积分区域D 为

(){}π,|0,02D r θr a θ=≤≤≤≤,

则有

()

220

πarcsin 1πarcsin 11a t t a a =+-=+--.

例7 计算二重积分2d D

xy σ??，其中D 是单位圆在第I 象限的部分.

解采用极坐标系. D 可表示为π

， 1002

θr ≤≤≤≤（图10-17），

图10-17

于是有

πd d 1

242

1cos sin 15

θθθr r ==

??.

例8 计算二重积分D

x σ??2d ，其中D 是二圆221x y +=和224x y +=之间的环形闭区

域.

解区域D ：2，120θπr ≤≤≤≤，如图10—18所示.

图10—18

于是

2π

2π222

11cos215d cos d d d π24

x r r r r r θσθθθ+=?==??????2d . 2.2.2. 直角坐标系的情形

我们先来考虑面积元素的变化情况.

设函数组,，,()()x x u v y y u v ==为单值函数，在uv D 上具有一阶连续偏导数，且

其雅可比行列式

(,)

0(,)

J x y u v ?≠?=

, 则由反函数存在定理，一定存在着D 上的单值连续反函数

,，,()()u u x y v v x y ==.

这时uv D 与D 之间建立了一一对应关系，uOv 面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为x Oy 面上的曲线,，,00()()u x y u v x y v ==.我们用uOv 面上平行于坐标轴的直线

将区域uv D 分割成若干个小矩形，则映射将uOv 面上的直线网变成x Oy 面上的曲线网（图10—19）.

图10—19

在uv D 中任取一个典型的小区域Δuv D (面积记为*Δσ)及其在D 中对应的小区域ΔD (面积记为Δσ)，如图10—20所示.

图10—20

设ΔD 的四条边界线的交点为1211322,，,，,000000()()()P x y P x x y y P x x y y +?+?+?+?和ΔΔ433,00()P x x y y ++.当ΔΔ,u v 很小时，()ΔΔ123,,,i i x y i =也很小，ΔD 的面积可用12P P 与14P P 构成的平行四边形面积近似.即

Δ1214

P P P P σ?≈. 而

()()ΔΔ1112x y P P =+i j

()()ΔΔ［］［］0000,,u u x u v u y u v u ≈'+'i j

同理

()()ΔΔ［］［］001400,,v v P P x u v v y u v v ≈'+'i j .

从而得

ΔΔΔΔΔ1214y x

u u u u P P P σP y x v v v v

?????=???=?的绝对值

*(,)(,)(,)(,)

x y x y Δu Δv u v u v Δσ??==??. 因此，二重积分作变量替换,,,()()x x u v y y u v ==后，面积元素d σ与d *σ的关系为

或

(,)

x y dxdy dudv u v ?=

?. 由此得如下结论：

定理1 若,()f x y 在x Oy 平面上的闭区域D 上连续，变换：,,,()()T x x u v y y u v ==，将uOv 平面上的闭区域uv D 变成x Oy 平面上的D ,且满足:

(1),,,()()x u v y u v 在uv D 上具有一阶连续偏导数， (2)在uv D 上雅可比式

(0(,)

x y J u v ??=

≠； (3)变换：uv T D D →是一对一的，则有例9 计算二重积分e

d d y x y x

D x y -+??，其中D 是由x 轴，y 轴和直线2x y +=所围成

的闭区域.

解令,u y x v y x =-=+，则

，22

x y v u v u

=+.

在此变换下，x Oy 面上闭区域D 变为uOv 面上的对应区域D '(图10—21).

图10—21

雅可比式为

11(,)122(,)211

x y u v J -

?==-?=，则得

e e 1=--.

例10 设D 为x Oy 平面内由以下四条抛物线所围成的区域：222,,x ay x by y px ===，2y qx =，其中＜＜, ＜＜00a b p q ，求D 的面积.

解由D 的构造特点，引入两族抛物线22,y ux x vy ==，则由u 从p 变到q ，v 从a 变到b 时，这两族抛物线交织成区域D '（图10—22）.

图10—22

雅可比行列式为

2222113

22y y x x x x y

--，则所求面积

()()11

d d d d 33D D S x y u v b a q p '

===--????.

习题10—2

1.画出积分区域，把(,)d D

f x y σ??化为二次积分：

(1)()1,1,{,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥｜； (2)()22{,}D x y y x x y =≥-≥｜，.

2.改变二次积分的积分次序：

(1)20d d 2

2(,)y

y f x y x

??； (2)e 1d d ln 0(,)x

x f x y y ??；

(3)()2

20,x

x dx f x y dy ??；

(4)1

-1d (,)d x f x y y ?.

3.设(,)f x y 连续，且(,)(,)d D

f x y xy f x y σ=+??，其中D 是由直线0,1y x ==及曲线

2y x =所围成的区域，求(,).f x y

4.计算下列二重积分： (1)()22D

x y d σ+??，(){},|

1,1D x y x y =≤≤；

(2)d sin D

x σx

??，其中D 是直线y x =与抛物线y x π=所围成的区域；

(3)D

，(){}22,|D x y x y x =+≤；

(4)2

2-y e d d ??D

x x y ，D 是顶点分别为()0,0O ，()，

11A ，()0,1B 的三角形闭区域. 5.求由坐标平面及2,3,4x y x y z ==++=所围的角柱体的体积.

6.计算由四个平面0,0,1,1x y x y ====所围的柱体被平面0z =及236x y z ++=截得的立体的体积.

7.在极坐标系下计算二重积分：

(1)d D

x y ??, ()ππ22224{,|}D x y x y =≤+≤；

(2)()d d D

x y x y +??， (){},|22D x y x y x y =+≤+；

(3)d d D

xy x y ??，其中D 为圆域222x y a +≤；

(4)22ln(1)d d D

x y x y ++??，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象

限内的闭区域.

8. 将下列积分化为极坐标形式：

(1) 2d d 220

)x x y y

+?a

;

(2) d 00x

x y ??a .

9.求球体2222x y z R ++≤被圆柱面222x y Rx +=所割下部分的体积. 10.作适当坐标变换，计算下列二重积分：

(1)2

2d d D

x x y y ??,由12，，xy x y x ===所围成的平面闭区域；

(2)d d y x y

e x y +??，(){,|0,0}1,D x y x y x y =+≤≥≥；

(3)d D

x y , 其中D 是椭圆22

221y x a b

+=所围成的平面闭区域；

(4)()()sin d d D

x y x y x y +-??, (){,|0,0}D x y x y x y ππ=≤+≤≤-≤.

11.设闭区域D 由直线100，，x y x y +===所围成，求证：

12.求由下列曲线所围成的闭区域的面积：

(1) 曲线334,8,5,15xy xy xy xy ====所围成的第一象限的平面闭区域； (2) 曲线,,,x y a x y b y x y x αβ+=+===所围的闭区域0,0（）

a b αβ<<<<.

第3节三重积分

三重积分的概念

三重积分是二重积分的推广，它在物理和力学中同样有着重要的应用.

在引入二重积分概念时，我们曾考虑过平面薄片的质量，类似地，现在我们考虑求解空间物体的质量问题.设一物体占有空间区域Ω，在Ω中每一点,,()x y z 处的体密度为,,()ρx y z ，其中,,()ρx y z 是Ω上的正值连续函数.试求该物体的质量.

先将空间区域Ω任意分割成n 个小区域

(同时也用i Δv 表示第i 个小区域的体积).在每个小区域i Δv 上任取一点,,()i i i ξηζ，由于,,()ρx y z 是连续函数，当区域i Δv 充分小时，密度可以近似看成不变的，且等于在点,,()i i i ξηζ处的密度，因此每一小块i Δv 的质量近似等于

,,()i i i i ρξηζΔv ，

物体的质量就近似等于

(,,)n

i ρξηζΔv =∑i

令小区域的个数n 无限增加，而且每个小区域i Δv 无限地收缩为一点，即小区域的最大直径()max 10i i n

λd Δv ≤≤=→时，取极限即得该物体的质量 0

1lim (,,)n

i i i

λi ρξηζΔv M →==∑i .

由二重积分的定义可类似给出三重积分的定义：

定义1 设Ω是空间的有界闭区域，,,()f x y z 是Ω上的有界函数，任意将Ω分成n 个小区域12,,,n Δv Δv Δv ，同时用i Δv 表示该小区域的体积，记i Δv 的直径为()i d Δv ，并令()max 1i i n

λd Δv ≤≤=，在i Δv 上任取一点,,()i i i ξηζ，1,2,,()i n =，作乘积

,,()i i i i f ξηζΔv ，把这些乘积加起来得和式1(,,)n

i i i

i f ξηζΔv =∑i ，若极限0

lim (,,)n

i i i

λi f ξηζΔv →=∑i 存在(它不依赖于区域Ω的分法及点(,,)i i i ξηζ的取法)，则称这个极限值为函数,,()f x y z 在空间区域Ω上的三重积分，记作

(),,f x y z dv Ω

???,

即 ()0

,,lim (,,)n

i i i i i f x y z dv f v λξηζ→=Ω

=?∑???, 其中,,()f x y z 叫做被积函数，Ω叫做积分区域，d v 叫做体积元素.

在直角坐标系中，若对区域Ω用平行于三个坐标面的平面来分割，于是把区域分成一些小长方体.和二重积分完全类似，此时三重积分可用符号(),,d d d f x y z x y z Ω

???来表示，即在直角坐标系中体积元素d v 可记为d d d x y z .

有了三重积分的定义，物体的质量就可用密度函数,,()ρx y z 在区域Ω上的三重积分表示，即

(),,M x y z dv Ω

ρ=???,

如果在区域Ω上,,1()f x y z =，并且Ω的体积记作V ，那么由三重积分定义可知

1d v dv V Ω

==??????.

这就是说，三重积分dv Ω

???在数值上等于区域Ω的体积.

三重积分的存在性和基本性质，与二重积分相类似，此处不再重述.

三重积分的计算

为简单起见，在直角坐标系下，我们采用微元分析法来给出计算三重积分的公式.

三重积分(,,)d f x y z v Ω

???表示占空间区域Ω的物体的质量.设Ω是柱形区域，其

上、下分别由连续曲面()()z z x y z z x y ==12,,,所围成，它们在x Oy 平面上的投影是有界闭区域D ；Ω的侧面由柱面所围成，其母线平行于z 轴，准线是D 的边界线.这时，区域Ω可表示为

(){}12,,, ,,,|()()()Ωx y z z x y z z x y x y D =≤≤∈ 先在区域D 内点,()x y 处取一面积微元d d d σx y =，对应地有Ω中的一个小条，再用与x Oy 面平行的平面去截此小条，得到小薄片(图10—23).

图10—23

于是以d σ为底，以dz 为高的小薄片的质量为

,,d d d ()f x y z x y z .

把这些小薄片沿z 轴方向积分，得小条的质量为

d d d 21(,)(,)(,,)z x y z x y f x y z z x y ??????

?. 然后，再在区域D 上积分，就得到物体的质量

21(,)(,)(,,)d d d z x y z x y D

f x y z z x y ?????????. 也就是说，得到了三重积分的计算公式 (),,f x y z dv Ω

???=21(,)(,)(,,)d d d z x y z x y D f x y z z x y ?????????21(,)

(,)d d (,,)d z x y z x y D

x y f x y z z =???. (10-

3-1)

例1 计算三重积分d d d x x y z Ω

???，其中Ω是三个坐标面与平面1x y z ++=所围成的

区域（图10—24）.

图10—24

解积分区域Ω在x Oy 平面的投影区域D 是由坐标轴与直线1x y +=围成的区

域：10x ≤≤，10y x ≤≤-，所以

d 21

0(1)1

224x x x -==?. 例2 计算三重积分d z v Ω

???，其中2222:

，，， 000Ωx y z x y z R ≥≥≥++≤（见图10—25）.

图10—25

解区域Ω在x Oy 平面上的投影区域222:，，00D x y x y R ≥≥+≤.对于D 中任意

一点,()x y ，相应地竖坐标从0z =变到222R x z y --=.因此，由公式(10-3-1)，得

21π240

224R

ρρR ????- ? ??=?π416R =. 三重积分化为累次积分时，除上面所说的方法外，还可以用先求二重积分再

求定积分的方法计算.若积分区域Ω如图10-26所示，它在z 轴的投影区间为

［,］

A B ，对于区间内的任意一点z ，过z 作平行于x Oy 面的平面，该平面与区域Ω相交为一平面区域，记作D (z ).这时三重积分可以化为先对区域()D z 求二重积分，再对z 在[]A B ,上求定积分，得

()(,,)d d (,,)d d B

A D z f x y z v z f x y z x y Ω

=??????. (10-3-2)

图10—26

我们可利用公式(10-3-2)重新计算例2中的积分. 区域Ω在z 轴上的投影区间为［,］

0R ，对于该区间中任意一点z ，相应地有一平面区域():，00D z x y ≥≥与2222R x y z +≤-与之对应.由公式(10-3-2)，得

()

zd d d d R

D z v z z x y Ω

=??????.

求内层积分时，z 可以看作常数：并且()2222:R D z x y z +≤-是14

个圆，其面积为

()π

224

R z =-，所以

()01

πzd π416

v =z R

z z R Ω

?-=

????2

d . 例

3 计算三重积分2

d z v Ω

???，其中:122

2222y x z a b Ωc +≤+. 解我们利用公式(10-3-2)将三重积分化为累次积分.区域Ω在z 轴上的投影

区间为［,］

c c -，对于区间内任意一点z ，相应地有一平面区域()D z ： 1

22(1)(1)y x z z a b c c --≤+

与之相应，该区域是一椭圆(图10—27)，其面积为π2

21z c ab ??- ?

.所以 22

2()

d d d d π1d c

c c D z z z v =z z x y abz z c --Ω??

=- ??????????π3415abc =π3415abc =.

图10—27

三重积分的换元法

对于三重积分(,,)f x y z dv Ω

???作变量替换：

它给出了Orst 空间到Ox yz 空间的一个映射，若()()(),,,,,,,,x r s t y r s t z r s t 有连续的一阶偏导数，且(,,)(,,)

0x y z r s t ?≠?,则建立了Orst 空间中区域*Ω和Ox yz 空间中相应区域Ω的一

一对应，与二重积分换元法类似，我们有

d d d d (,,)

(,,)

x y z r s t v r s t ??=

. 于是，有换元公式

[]*

(,,)

(,,)(,,),(,,),(,,)d d d (,,)

x y z f x y z dv f x r s t y r s t z r s t r s t r s t Ω

Ω?=?

????

???. 作为变量替换的实例，我们给出应用最为广泛的两种变换：柱面坐标变换及球面坐标变换.

3.3.1 柱面坐标变换

三重积分在柱面坐标系中的计算法如下：变换

称为柱面坐标变换，空间点(),,M x y z 与,,()r θz 建立了一一对应关系，把,,()r θz 称为点

(),,M x y z 的柱面坐标.不难看出，柱面坐标实际是极坐标的推广.这里,r θ为点M 在x Oy

面上的投影P 的极坐标.π＜，2，＜＜00r θz ≤+∞≤≤-∞+∞（图10—28）.

图10—28

柱面坐标系的三组坐标面为

(1)常数r =，以z 为轴的圆柱面； (2)常数θ=，过z 轴的半平面； (3)常数z =，平行于x Oy 面的平面.

由于

cos sin 0

(,,)

sin cos 0(,,)

001

θr θx y z θr r r θθz -?==?，则在柱面坐标变换下，体积元素之间的关

系式为：

d d d d d d x y z r r θz =.

于是，柱面坐标变换下三重积分换元公式为：

(,,)d d d (cos ,sin ,)d d d f x y z x y z =f r r z r r z θθθ'

Ω??????. (10-3-3)

至于变换为柱面坐标后的三重积分计算，则可化为三次积分来进行.通常把积分区域Ω向x Oy 面投影得投影区域D ，以确定,r θ的取值范围，z 的范围确定同直角坐标系情形.

例4 计算三重积分22d d d z x y x y z Ω

+???，其中Ω是由锥面22z x y =+与平面1

z =所围成的区域.

解在柱面坐标系下，积分区域Ω表示为π1，1，200r z r θ≤≤≤≤≤≤ (图10—29).

图10—29

所以有

d ππ1221220

(1)15

r r r =-=?

. 例5 计算三重积分()22d d d x y x y z Ω

+???，其中Ω是由曲线22，0y z x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与两平面2，8z z ==所围之区域.

解曲线2=2，0y z x =绕z 旋转，所得旋转面方程为222x y z +=.

设由旋转曲面与平面2z =所围成的区域为1Ω，该区域在x Oy 平面上的投影为1D ,(){}4221|D x ,y x +y =≤.由旋转曲面与8z =所围成的区域为2Ω,2Ω在x Oy 平面上的投影为2D ，()21622{|}D x ,y x +y =≤.则有21ΩΩΩ=,如图10—30所示.

图10—30

2d d d 8d 222

26π

θr r θr r ??

=+- ??

????

?r π336=. 3.3.2 球面坐标变换

三重积分在球面坐标系中的计算法如下：

变换

称为球面坐标变换，空间点(),,M x y z 与,,()r φθ建立了一一对应关系，把,,()r φθ称为点(),,M x y z 的球面坐标(图10-31)，其中

ππ＜,,2000r φθ≤+∞≤≤≤≤.

图10-31

球面坐标系的三组坐标面为：

(1)常数r =，以原点为中心的球面；

(2)常数φ=，以原点为顶点，z 轴为轴，半顶角为φ的圆锥面； (3)常数θ=，过z 轴的半平面.

由于球面坐标变换的雅可比行列式为

sin cos cos cos sin sin (,,)

sin sin cos sin sin cos (,,)

cos sin 0

φθr φθr φθ

x y z φθr φθr φθr φθφr φ-?=?-2sin r φ=，

则在球面坐标变换下，体积元素之间的关系式为: 2d d d sin d d d x y z r φr θφ=.

于是，球面坐标变换下三重积分的换元公式为

(,,)d d d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z x y z =f r r r r r ?θ?θ???θ'

Ω???????. (10-3-4)

例6 计算三重积分222()d d d x y z x y z Ω

++???，其中Ω表示圆锥面222x y z +=与球面

2222x y z R z ++=所围的较大部分立体.

解在球面坐标变换下，球面方程变形为2cos r R φ=，锥面为π4

φ=(图10—

32).这时积分区域Ω表示为

2，， 2cos 4

000θπφr R φ≤≤≤≤≤≤，

图10—32

所以 ππ

d d d 22cos 4

000sin R φ

θφr φr =???

πd π52cos 0

540

228sin ()

R φφr φR ==

?. 例

7 计算三重积分22(2)d d d y x z x y z Ω

+???，其中Ω是由曲面2222x y z a ++=，

22224x y z a ++=22x y z +=所围成的区域.

解积分区域用球面坐标系表示显然容易，但球面坐标变换应为

sin cos sin sin cos ,,x r φθz r φθy r φ===，

这时2d sin d d d v r φr φθ=，积分区域Ω表示为ππ224

,00,a r a φθ≤≤≤≤≤≤ (图10—33).

图10—33

所以