《高等数学》A试卷A答案

一、填空题（每小题4分,共20分）： 1

．设ln(y x =

，则1d 2

x y dx ==

. 2．曲线sin ,1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩ 在 2t π

= 处的切线斜率为1.

3．若1

lim ()x f x →存在，且1

1

1

()2lim ()x x f x x

f x -→=+，则

1()2x f x x e -=-.

4．若01()f x '=，则000(2)()

lim arctan u f x u f x u u

→+--=3.

5．若2lim 8x

x x a x a →∞+⎛⎫

= ⎪-⎝⎭，则a =ln 2.

二、选择题（每小题4分,共20分）：

1．设()232x x f x =+-，则当0x →时（ D ）. （A ）()f x 与x 是等价无穷小量 （B ）()f x 是比x 较低阶的无穷小量

（C ）()f x 是比x 较高阶的无穷小量 （D ）()f x 与

x 是同阶但非等价无穷小量

2．若函数()f x 在0x 点存在左、右导数，则()f x 在点0x （ A ）.

（A ）连续 （B ）可导 （C ）不可导 （D ）不连续

3．当1x →时，

1

2111

x x e x ---的极限（ C ）. （A ）等于2 （B ）等于0 （C ）不存在但不为∞ （D ）为∞

4．设函数21()1lim n

n x

f x x →∞+=+，讨论()f x 的间断点，

其结论为（ A ）.

（A ）存在间断点1x = （B ）存在间断点

1x =-

（C ）存在间断点0x = （D ）不存在间断点

5．设对任意的x ，总有()()()x f x x ϕψ≤≤，且

[]lim ()()0x x x ψϕ→∞

-=，则lim ()x f x →∞

（ C ）.

（A ）存在且等于0 （B ）存在但不一定

等于0

（C ）不一定存在 （D ）一定不存在

三、计算题（本题共4题，共计24分）： 1.（5分）设tan y x y =+，求d y ； 解：(tan )()d y d x y =+

22s c 1

e 1

sec d ydy dx y d d x

y

y ==-+

2.（6分

）求极限：)

lim x x

x →-∞

；

解：)

lim x x

x →-∞

lim

lim 0

5x x ==-=

3.（6分）求极限：

lim x +

→；

解：

01lim lim 1()

2

x x x x +

+

→→=⋅

2

2

lim lim 212

x x x x +

+

→→===

4.（7分）设2

(cos )y f x =，且f 二阶可导，求22d d y

x

.

解

：

22(cos )2cos (sin )sin 2(cos )dy

f x x x xf x dx

''=⋅-=- (2cos 2)2sin )((cos 2sin )(cos 2cos 2'2''2'2

2xf x x xf x xf dx y

d -=---=

四、解答题（本题共3小题，共计24分）： 1.（6分

）设1x =

1n x +=列{}n x 的极限存在，并求其极限.

证 明：单调性：当1n =时

，1x =

，21x x =>， 假设当n k =时有1k k x x +>，则当1n k =+时仍然有，

21k k x x ++=

即，数列}{n x 是单调增加数列。

有界性：当1n =时

，13x =<， 假设n k =时有3k x <，则当

1n k =+时仍然有，

13k x +==

即，单调增加数列}{n x 有上界3.

综上所述，数列}{n x 的极限存在，设

lim n n x a →∞

=。

在等式1n x +=求极限，得到

a =3a =。即，数列}{n x 的极限值为3。

2.（8分）若0x →时，2(1)x e ax bx -++是比2x 高阶的无穷小，求,a b .

解：由题意知：22

0(1)

lim

0x x e ax bx x →-++=。 另一方面，由洛必达法则得到：

2200(1)2lim lim 2x x x x e ax bx e ax b

x x

→→-++--=，

则 0

0lim 21x x e ax b b →=--=-，

即有：

1b =。

此时，再次用洛必达法则得

000221

1

0lim lim (12)

222

x x x x x e ax b e ax a x x →→→----====-，

即有：

1

2

a =

。 3.（10分）设(),0,()0,0,x

g x e

x f x x

x -⎧-≠⎪

=⎨⎪=⎩

其中()g x 有二阶连续导数，且(0)(0)1g g ''==，(0)1g '=-，

（1）求()f x '；

（2）讨论()f x '在(,)-∞+∞内的连续性. 解

：

（

1

）

当

0x ≠时

，

2

(())(())

()x x g x e x g x e f x x

--'+⋅--'=； 当0x =时，

200()(0)()lim lim x

x x f x f g x e x x

-→→--= （连续用两次洛必达法则）

00()()lim lim 22

x x

x x g x e g x e x --→→'''+-==1

((0)1)02

g ''=-=。 即有：

2

(())(())

0,)00.

x x g x e x g x e x x x --'⎧+⋅--≠⎪

=⎨⎪=⎩

2

）

20(())(())

()lim x x x g x e x g x e f x x --→'+⋅--'=00(())()(())

lim 2(())lim 21

((0).1)2

0x x x x x x g x e x g x e g x e x g x e x x g ---→-→''''-⋅++-+=''-⋅=''=-=)0('f =

∴ ()f x '在0x =处连续。