北大版-线性代数第一章部分课后答案详解
习题1.2：
1.写出四阶行列式中
11121314212223243132333441
42
43
44
a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项
解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有()
()
13241τ-11233244a a a a 或()
()
13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项
为11233244a a a a 和11233442a a a a
2.用行列式的定义证明111213141521
22232425
31
3241425152
000000000
a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值：
（1）
0100002
;0
001000
n n -（2）00100
2
00
1000
n n
-；
解：（1）
01
0002
001000
n n -=()
()
23411n τ-123n ???
?=()
1
1!n n --
（2）
00100
200
10
000
n n
-=()
()()()
12211n n n τ---123n ???
?=()
()()
122
1!n n n ---
4.设n 阶行列式：A=
11
11
n
n nn
a a a a ，B=111112122122212
12n n n n n n n n nn
a a
b a b a b
a a
b a b a b a -----，其中0b ≠，试
证明：A=B 。 证明：
B=
111112122122212
12n n n n n n n n nn
a a
b a b a b
a a
b a b a b a -----=
()
(
)
[]12
121212
12121n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a b a b a b τ---∈-∑！
=
()(
)
[]12
121212
1212
1()n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a a a b b b τ---∈-∑！
=
()(
)
[]12
121212
(1)(2)()
12
1n n n n s s s s s s n s s s n s s s n a a a b τ-+-+
-∈-∑
！
=
()(
)
[]12
1212
121n n n s s s s s s n s s s n a a a τ∈-∑
！
=A
命题得证。
5.证明：如下2007阶行列式不等于0：
D=
22
22
33332007
2007
2007
2007
1
220062007232007200834200820082007200820082008； 证明：最后一行元素，除去2007
2007是奇数以外，其余都是偶数，故含2007
2008
的因式也都
是偶数。若最后一行取2007
2007
，则倒数第二行只有取2006
2007
才有可能最后乘积为奇数，
以此类推，只有次对角线上的元素的积为奇数，其余项的积都为偶数。故原命题得证。
习题1.3
1求下列行列式的值：
(1)
3111
131111311113
; (2)
0111
101111011110
;（3.）A=
+c 23243236310+6b 3a b c d a
a b
a b c
a b d
a a
b a b
c a b c
d a a b a b c a c d
++++++++++++++++，
解：
(1)
3111
131111311113
3423
12
λλλλλλ-+-+-+???→
31112200022
22
---4332
21
c c c c c c +++???→
6321020000200002
=48
；
(2)
0111101111011110
3423
12
λλλλλλ-+-+-+???→
011111
0001100
1
1
---4332
21
c c c c c c +++???→
332101
0000100
1
---=3-;
（3.）.A=
+c 23243236310+6b 3a b c d a
a b
a b c
a b d
a a
b a b
c a b c
d a a b a b c a c d
++++++++++++++++，
+c 23243236310+6b 3a b c d a
a b
a b c
a b d a a b a b c a b c d
a a
b a b
c a c
d ++++++++++++++++==
023*********+63a c d a
a
a b c
a b c d a a a b c
a b c d
a a a
b
c a b c
d +++++++++++++++
=324326310+63a b c d a b
a b c
a b c d
a b a b c a b c d a b a b c a b c d
++++++++++++++0023243236310+63a
d a
a
a b
a b c d a a a b
a b c d
a a a
b a b
c d
+++++++++++
0000+=2432232432310+6336310+63a c d a a
a
c
a b c d a
a
a b
a b c a a c a b c d a a a b a b c a a c a b c d a a a b a b c
++++++++++++++++00000000+
=+=
23223432224323633610+633310+63a
d a a a
a
a b
d a
a
a
a b c a
a
b
a b c a a a b d a a a a b c
a a
b a b c
a a a
b d
a a a a
b
c a a
b a b c
+++++++++++++
000000000000+
=
23432322342333610+63633610366a a a a a
a
a
a b a
a
a
c a
a
a
a a
a
a
b a a a a b
a a a c a a a a
a a a
b a a a a b a a a c
a a a a
a a a b
++
=+
24
32431
+62
2
+3
5
000
000
00011
1100002
6
26234343
23405
55
361036103610a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a
a a
a a
a
a a a
λλλλλλ-+????→????→=
—
413
1065
a a a a a ???=
2.求下列n 阶行列式的值：
（1）
()()2
1
212221
22
31112
n n n n n n n n n n n n +++
+-+-+；（2）32222322
2232222
3
；（3）