高二数学(必修五)第一次月考试题

高二数学第一次月考试题，周三晚（10-10）考试 一、选择题：（每小题5分，共50分）

1．ΔABC 中, a = 1, b =3, ∠A=30°，则∠B 等于 （ ） A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120°

2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9

B ．18

C ．93

D ．183

3．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．c b c a -≥+ B ．bc ac > C ．

02

>-b

a c

D ．0)(2≥-c b a 4．已知｛a n ｝是等比数列，且公比,240,2100321=++++=a a a a q 若 则=++++1001284a a a a （ ） A ．15

B ．128

C ．30

D ．60

5．在锐角三角形中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，设B=2A ，则a

b

的取值范围是（ ）

A ．（-2，2）

B ．（2，3）

C ．（2，2）

D ．（0，2）

6．在△ABC 中，若3a = 2b sin A , 则B 为（ ）

A . 3π

B . 6π

C . 6π或65π

D . 3

π或32π

7．在-1和8之间插入两个数a,b ，使这四个数成等差数列，则 （ ） A ． a=2，b=5 B ． a=-2，b=5 C ． a=2，b=-5 D ． a=-2，b=-5 8．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰 好3km ，那么x 的值为（ ） A . 3 B . 23 C . 23或3 D . 3 9．在等差数列｛a n ｝中，前n 项和为S n ，若S 16—S 5=165，则1698a a a ++的值是（ ） A ．90

B ．90-

C ．45

D ．45-

10．各项为正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则34

45

a a a a ++的值是 （ ） A ．

1

2 B ．

12 C ．

12

D ．

12

或12

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.

11．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ． 12． 13、已知不等式x 2-ax-b<0的解集为（2,3），则不等式bx 2-ax-1>0的解集为 13．已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，则数列{}n a 的通项公式为

14．在等差数列{}n a 中，已知1a +4a +7a =39，2a +5a +8a =33，则3a +6a +9a = 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共80分). 15．（12分）已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．

16、（14分）根据所给条件，判断△ABC 的形状． (1)a cos A ＝b cos B ； (2)A a cos ＝B

b

cos ＝C c cos ．

18、（14分）已知数列{}.21

,5),2(12211n

n n n n n n a b a n a a a -==≥-+=-满足 证明：{}n b 为等差数列；

17. （14分） 已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2

)2

1(+=n n n a S S 满足，设10()n n b a n N =-∈（1）求证：数列}{n a 是等差数列，并求}{n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为T n ，求T n 的最大值。

19、（14分）设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+ 122n n b b +=+，（1）求证：数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比)（2）求数列}{n a 的通项公式．（3）求数列{}22n na n +的前n 项和.

20．（12分）某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?

一、选择题

1－5、BCDBB 6－10、DACCB 二、填空题

11

、 12、45

13、???≥==-)

2(,2)

1(,51n n a n n 14、27

15．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．

由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26

·22＝2

3． ∵c sin A ＝6×

2

2

＝3，a ＝2，c ＝6，3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°，

∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°． 故b ＝

A

a

sin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1， ∴b ＝3+1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．

16．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．

(1)解法1：由余弦定理得

a cos A ＝

b cos B ?a ·(b

c a c b 2222-+)＝b ·(ac

c b a 22

22+-)?a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0，

∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0， ∴a ＝b 或c 2

＝a 2

＋b 2

． ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 解法2：由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ?sin 2A ＝sin 2B

?2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝π－2∠B ，∠A ，∠B ∈(0，π) ?∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝

2

π

， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．

(2)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式，得

A A R cos sin 2＝

B B R cos sin 2＝

C C R cos sin 2，∴A A cos sin ＝B B

cos sin ＝C C cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ．

∵∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π)，∴∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 为等边三角形．

17、解：（1）当n=1时，2

1111(

)2

a a S +==，11a ∴= 当n ≥2时，221111()()22

n n n n n a a a S S --++=-=-，即：22

11220n n n n a a a a -----= 22112121n n n n a a a a --∴-+=++，221(1)(1)n n a a -∴-=+，111n n a a -∴-=+

12n n a a -∴-=，所以{}n a 是等差数列，21n a n =-

（2）10211n n b a n =-=-+，19b =，12n n b b --=-，{}n b ∴是等差数列

21()

102

n n n b b T n n +∴=

=-+，当n=5时，2max 510525n T =-+?= 18．证明：1

11121

2222221-----+=

-+=-=n n n n n n n n n a a a b ),2(112111

1≥+=+-=---n b a n n n

),2(11≥=-∴-n b b n n

{}n b ∴是公差为1，首项为22

1

11=-=a b 的等差数列

19解：(1)),2(222211+=+?+=++n n n n b b b b ,22

2

1=+++n n b b

又42121=-=+a a b ,

∴ 数列}2{+n b 是首项为4,公比为2的等比数列. (2)2224211-=??=+∴+-n n n n b b .

11n n n b a a --=- 12 2.

n n n a a -∴-=- 令),1(,,2,1-=n n 叠加得)1(2)222(232--+++=-n a n n ,

22)2222(3

2

+-++++=∴n a n

n .22221

2)

12(21n n n n -=+---=

+ （3）令22n n c na n =+，则12n n c n +=?，令前n 项和为n S ，

23451122232422n n S n +∴=?+?+?+?+

+?，345122122232(1)22n n n S n n ++=?+?+?+

+-?+?

23411222222n n n n S S n ++∴-=++++-?，14(21)2n n n S n +∴-=--?

12224n n n S n ++∴=?-+

20解：如图所示，设∠ACD=α，∠CDB=β.在△CBD 中．由余弦定理得 cosβ＝BD2＋CD2－CB2

2BD·CD

＝202＋212－3122×20×21＝－1

7，

∴sinβ＝437

.

而sinα＝sin(β－60°) ＝sinβcos60°－sin60°c osβ ＝437·12＋32·17＝5314

.

在△ACD 中，21sin60°＝AD

sinα，

∴AD ＝21×sinα

sin60°＝15(千米)．

所以这人再走15千米才可到城A.