人教版高中数学必修4章末检测 第二章 平面向量
第二章章末检测
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列各式叙述不正确的是( ) A ．若a ＝λ b ，则a 、b 共线
B ．若b ＝3a (a 为非零向量)，则a 、b 共线
C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝3
2
a －2
b ，则m ∥n
D ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c 答案：C
解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解． 2．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a |·|b | 答案：B
解析：|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a ·b |＝|a ||b |，可知B 是错误的．
3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →
同方向的单位向量为( ) A.????35，－45 B.????45，－35 C.????－35，45 D.????－45，35 答案：A
解析：AB →
＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →
|AB →|
＝15
(3，－4)＝????35，－45. 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →
＝0，那么( )
A.AO →＝OD →
B.AO →＝2OD →
C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案：A
解析：由于2OA →＋OB →＋OC →＝0，则OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →
.
所以12
(OB →＋OC →)＝AO →
，又D 为BC 边中点，
所以OD →＝12
(OB →＋OC →)．所以AO →＝OD →.
5．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：C
解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2，cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π
3
.
6．若四边形ABCD 满足：AB →＋CD →＝0，(AB →＋DA →)⊥AC →
，则该四边形一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．直角梯形 答案：B
解析：由AB →＋CD →＝0?AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，即四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →＋DA →
)⊥AC →?AC →⊥DB →
，所以四边形ABCD 是菱形．
7．给定两个向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，若(a ＋x b )⊥(a －b )，则x 等于( ) A.1327 B.132 C.133 D.727 答案：D
解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a
＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝7
27
.
8．如图所示，在重600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )
A ．300 3N,300 3N
B ．150N,150N
C ．300 3N,300N
D ．300N,300N 答案：C
解析：如图：作?OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝|OC →
|cos30°＝300 3N.
|OB |→＝|OC →
|sin30°＝300N.
9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52
，则a 与c 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150° 答案：C
解析：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝5
2
，
∴5×5·cos θ＝5
2，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相
反，∴a 与c 的夹角为120°.
10．若向量AB →＝(1，－2)，n ＝(1,3)，且n ·AC →＝6，则n ·BC →
等于( ) A ．－8 B ．9
C ．－10
D ．11 答案：D
解析：n ·AB →＝1－6＝－5，n ·AC →＝n ·(AB →＋BC →)＝n ·AB →＋n ·BC →＝6，∴n ·BC →
＝11.
11．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13
BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE →
等于( )
A ．－12
B ．－23
C ．－13
D ．－16
答案：A
解析：建立如图所示的直角坐标系，则A ????－12，0，B ????12，0，C ???
?0，32，依题意设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝13BA →
，∴????x 1－12，0＝13(－1,0)，∴x 1＝16
. ∵E 是CA 的中点，∴CE →＝12CA →，又CA →
＝????－12
，－32，∴x 2＝－14，y 2＝34.
∴CD →·BE →＝????1
6，－32·????－34，34＝16×????－34＋????－32×34
＝－12.故选A. 12．已知|a |＝2 2，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4
，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →
＝a －3b ，
且D 为BC 中点，则AD →
的长度为( )
A.152
B.152 C ．7 D ．8 答案：A
解析：AD →＝12(AB →＋AC →)＝1
2(5a ＋2b ＋a －3b )＝12(6a －b )
∴|AD →
|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254.
∴|AD →|＝152
.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则a ·b ＝________. 答案：3
解析：a ·b ＝2×3×3
2
＝3.
14．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________． 答案：[0,1]
解析：∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时，|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]，所以|b |∈[0,1]．
15．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝________.
答案：31010
解析：设b ＝(x ，y )，则2b －a ＝(2x －3,2y －3)＝ (－1,1)，∴x ＝1，y ＝2，则b ＝(1,2)， cos α＝a ·b |a |·|b |＝93 2×5＝310
＝310
10.
16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
答案：②
解析：①a 与b 的夹角为θ1，a 与c 的夹角为θ2. a ·b ＝a ·c ，
有|a ||b |cos θ1＝|a ||c |cos θ2，得不到b ＝c ，错误． ②a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)， ∵a ∥b ，∴b ＝λa ，得k ＝－3.正确． ③设|a |＝|b |＝|a －b |＝m (m >0)， 且a 与a ＋b 的夹角为θ.
则有(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝m 2， ∴2a ·b ＝m 2.
a ·(a ＋
b )＝a 2＋a ·b ＝m 2＋
m 22＝3m 2
2
， (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝m 2＋m 2＋m 2＝3m 2， ∴cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝32m 2m ·3m ＝3
2.
∴θ＝30°.∴③错误．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )·(2a －b )； (2)|4a －2b |.
解：(1)(a ＋2b )·(2a －b ) ＝2a 2＋3a ·b －2b 2 ＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2
＝2×42＋3×4×8×???
?－3
2－2×82
＝－96－48 3.
(2)|4a －2b |＝(4a －2b )2 ＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2
＝ 16×42－16×4×8×(－
3
2
)＋4×82 ＝8(2＋6)
18．(12分)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R ， (1)求|a ＋t b |的最小值及相应的t 值； (2)若a －t b 与c 共线，求实数t 的值．
解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)， ∴a ＋t b ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋t b |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13
＝5????t －452＋495≥495＝755
， 当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋t b |的最小值为755，此时t ＝4
5
.
(2)∵a －t b ＝(－3－2t,2－t )，
又a －t b 与c 共线，c ＝(3，－1)，
∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0，解得t ＝3
5
.
19．(12分)已知a ＝(1,1)、b ＝(0，－2)，当k 为何值时， (1)k a －b 与a ＋b 共线；
(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°. 解：∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)
∵k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2) a ＋b ＝(1，－1)
(1)要使k a －b 与a ＋b 共线，则－k －(k ＋2)＝0，即k ＝－1. (2)要使k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝2，
∴cos120°＝(k a －b )·(a ＋b )
|k a －b |·|a ＋b |
＝k －k －22·k 2＋(k ＋2)2
＝－12.
即k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3. 20．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→
|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．
证明：如图所示，设OD →＝OP 1→＋OP 2→，由于OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 3→＝－OD →，|OD →
|＝1，
∴|OD →|＝1＝|P 1D →
|，∴∠OP 1P 2＝30°，
同理可得∠OP 1P 3＝30°，∴∠P 3P 1P 2＝60°. 同理可得∠P 2P 3P 1＝60°， ∴△P 1P 2P 3为正三角形．
21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →
＝0，求t 的值．
解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →
＝(4,4)，
所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →
|＝42，故所求的两条对角线的长分别为42，210.
(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →
＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，
即5t ＝－11，所以t ＝－11
5
.
22．(12分)设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f 满足：对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．
(1)若|a |＝|b |，且a 、b 不共线，试证明：[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )；
(2)若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，求f (AC →)·AB →
. 解：(1)证明：∵f (a )－f (b )＝λa －λb ＝λ(a －b )， ∴[f (a )－f (b )]·(a ＋b )＝λ(a －b )(a ＋b )＝λ(a 2－b 2)＝λ(|a |2－|b |2)＝0， ∴[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )．
(2)由已知得AB →＝(2,4)，BC →＝(1,2)，AC →
＝(3,6)．
∵f (BC →)＝AB →，∴λBC →＝AB →. 即λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.
∴f (AC →)·AB →＝(2AC →)·AB →＝(6,12)·(2,4)＝60.