数学高二专题 空间向量及其运算

数学高二专题空间向量及其运算

一、空间向量概念

1.向量共线：

2.共面向量：

二、空间向量定理

1.共线定理：

2.共面定理：

3.定理及推论：

①定理:如果三个向量e1、e2、e3、不共面，那么对空间任一向量P,存在唯一的有序实数组（x,y,z,)

使P=x e1+y e2+z e3.

②推论：设O、A、B、C是空间内不共面的四个点，则对空间任意一点P，都存在唯一有序实数组（x,y,z,)

使得z

+

=.

x+

y

三、空间两向量的数量积

1.非零向量a，b的数量积a.b=|a||b|cos.

2.空间向量的运算规律

①结合律:(λa).b=λ(a.b)；

②交换律：a.b=b.a；

③分配率：a.(b+c)=a.b+a.c.

四、空间向量的坐标运算

已知a=(a1,a2,a3)b=(b1,b2,b3)

1.a+b=

2.a-b=

3.a.b=

4.a//b=

5.a⊥b=

6.cos=

题型一：向量的线性运算

1.已知空间直角坐标系中A（1，1，0）且AB=（4，0，2），则B点坐标为（）

A．（9，1，4）B．（9，﹣1，﹣4）C．（8，﹣1，﹣4）D．（8，1，4）

2.已知向量，，则等于（）

A．﹣5 B．﹣4 C．2 D．1

变式练习

1.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）

A．﹣++B．

B．C．D．﹣﹣+

2.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为( ) A．2 B．3 C．4 D．5

3.已知三棱锥A﹣BCD的各棱长均为1，且E是BC的中点，则•=（）

A．B．C．D．﹣

题型二：平行、垂直、共线、面的判断

1.已知，，且与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是（）A．x＞4 B．0＜x＜4 C．x＜﹣4 D．﹣4＜x＜0

2.在空间直角坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），则三角形ABC 是（）A．直角三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．等边三角形

3.已知M 、N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，P 点在线段MN 上，且MP=2PN ，设=， =，

=，则=（ ）

A ． +

+

B ． +

+

C ． +

+

D ． +

+

变式练习

1.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，则x 的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．0

2.在空间直角坐标系中，给定点M （2，﹣1，3），若点A 与点M 关于xOy 平面对称，点B 与点M 关于x 轴对称，则|AB|=（ ）

A ．2

B ．4

C ．

D ．

3.已知A （2，﹣5，1），B （2，﹣2，4），C （1，﹣4，1），则向量与

的夹角为（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

4.已知A （1，0，2），B （1，﹣3，1），点M 在z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点坐标为（ ） A ．（﹣3，0，0）

B ．（0，﹣3，0）

C ．（0，0，﹣3）

D ．（0，0，3）

5.已知两直线l 1与l 2的方向向量分别为=（1，﹣3，﹣2），

=（﹣3，9，6），则l 1与l 2的位置关

系为 ．

6.若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ．

7.已知．

（1）若，求实数k 的值

（2）若，求实数k 的值．

课后练习

1.如图所示，空间四边形OABC 中，OA a = ， OB b = ，OC c =

，点Ｍ在OA 上，且OM=2MA, N 为BC 中点，则MN

等于（ ）

Ａ.

121232a b c -+ B. 211322a b c -++ C. 111222a b c +- D. 221332

a b c -+- 2.已知A （2，﹣5，1），B （2，﹣2，4），C （1，﹣4，1），则向量与

的夹角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

3.点P （x ，y ，z ）关于坐标平面xOy 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣x ，﹣y ，z ） B ．（﹣x ，y ，z ） C ．（x ，﹣y ，z ）

D ．（x ，y ，﹣z ）

4.已知

，若

则实数x= ．

5.已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，﹣3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为( ) A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

6.已知A （2，0，1），B （1，﹣3，1），点M 在x 轴上，且到A 、B 两点的距离相等，则M 的坐标为 。

7.已知向量=（1，1，0），

=（﹣1，0，2），且

与

互相垂直，则k 的值是（ ）

A ．1

B ．

C ．

D ．

8.已知M 、N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，P 点在线段MN 上，且MP=2PN ，设=， =，

=，则=（ ）

A ． +

+

B ． +

+

C ． +

+ D ． ++

9.如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若=

，

=

，

=

，则

。