数学建模常见差分方程方法

可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确
定（ 1 时不能确定除外）。例如，对 x* b 1 ，讨论
xt1 f ( xt )在x*处的线性近似方程
b
xt1 x* f ( x* )( x t x* )
可知，当 f ( x* ) 2 b （1 即 1 b 3）时平衡点
b 1是稳定的，此时
b
Pt

(a 1)N a
xt

N（

xt
x*
b1
b1 b

a a1
）
若一当切a，p*2=Nb均为1L，o则gis平ti衡c方点程的b 稳是定不平稳衡定点的不，同（）这。与对
建模案例：最优捕鱼策略
问题简介
生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可 持续收获的前提下追求最大经济效益．考虑具有4个年 龄组：1龄鱼，…，4龄鱼的某种鱼．该鱼类在每年后4 个月季节性集中产卵繁殖．而按规定，捕捞作业只允许 在前8个月进行，每年投人的捕捞能力固定不变，单位 时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例称为捕捞强度系 数．使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两 个捕捞强度系数比为0.42:1．渔业上称这种方法式为固 定努力量捕捞．
离散时间 的Logistic模型 在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化 的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的 繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。 人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何 方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范 围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十 分自然地提了出来。
1 5
, c2


1 5
故
Fn
1 5

1 2
5
n


1
2
5
n
பைடு நூலகம்


常系数线性非齐次差分方程的解法
定义：形如 an b1an1 b2an2 L bk ank f n
( b1,L ,bk 为常数，bk 0, f n 0, n k
时，种群增长接 近Malthus模型；当Pt接近N时，这一因子将
越来越明显地发挥阻尼作用， 若Pt＜N，它将使种群增长速
度 在Pt接近N时变得越来越慢，若 Pt ＞N，它将使种群呈负
增长。
（1）式可改写为
Pt 1

(a
1)Pt 1

(a
a 1)N
Pt

（2）
记
a
b

二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r,
其中a, b, r为常数.
当r = 0时, 它有一特解 x* = 0；
当r ≠ 0, 且a + b + 1≠ 0时, 它有一特解 x*=r/( a + b +1).
不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方程
2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2.
显然，X i t 1是 X i1 t 到年底存活下来的鱼群数
i 1, 2,3,当i 4时 X 4 t 1 中还包括 X 4 (t)
中存活数．X 0 (t)指上一年由卵孵化而得到1龄鱼
据此可建立如下差分方程：
X1
t

1



m 2
c

k3

X
3
t


m
c

如何预报人口的增长
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 :
今年人口 x0, 年增长率 r x(t) ~时刻t的人口, 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t t) x(t) rt x(t)
dx rx, dt
x(0) x0
x(t) x e rt 0
x(t) x0 (er )t x0 (1 r)t
{Fn Fn1Fn2 F1F2 1
Fn 定义为fibonacci数列。
1.差分方程的解法 常系数线性齐次差分方程的解法
形如： an b1an1 b2an2 L bk ank 0 (1)
的差分方程，称为 an
的k阶常系数线性齐次差分方程，其中
bi 为常数， bk 0, n k ，方程:
an an* an
其中 an* 是对应齐次差分方程的通解，
an是非齐次差分方程的特解。
如何求非次差分方程的特解 an
一般来说，差分方程的求解是困难的，实际中往往不 需要求出差分方程的一般解，只需要研究它的平衡点 及其稳定性即可。
2.差分方程的平衡点与稳定性
对于k阶差分方程
F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0
例： 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月长成 成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对 小兔，新增小兔也按此规律繁殖，设第n月末共有 Fn 对 兔子，试建立关于 Fn 的差分方程。
解: 因第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留 Fn 下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的
小兔数等于前Fn月末的兔数，所以
若x0, x1, … , xk -1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 )
的差分方程的解可以在计算机上实现.
若有常数a是差分方程(1)的解, 即
F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程(1)的平衡点.
又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都 有
的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程
an b1an1 b2an2 L bk ank f n
对应的齐次差分方程为
an b1an1 b2an2 L bkank 0
定理： 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方 程的通解加上非齐次方程的特解，即
xn1 f (x*)(xn x*) f (x*),
当 | f (x*) | 1时,上述近似线性差分方程与原
非线性差分方程的稳定性相同. 因此
当 | f (x*) | 1 时, x*是稳定的； 当 | f (x*) | 1 时, x*是不稳定的.
例：人口问题的差分方程模型 我们已经讨论了两个常微分方程模型——Malthus模型和 Verhulst模型（又称Logistic模型）。前者可用于人口增长的 短期预测，后者在作中、长期预测时 效果较好。
1011 ＋n）（n为产卵总量）；
有如下问题需要解决： l）分析如何实现可持续捕获（即每年开始
捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并在此前提 下得到最高收获量；
2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼 群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年
龄组鱼群数量为122，29.7，10.l，3.29（×109 条
该鱼群本身有如下数据：
1. 各年龄组鱼的自然死亡率为0.8(l/年),其平 均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99(单位:g);
2. 1龄鱼和2龄鱼不产卵,产卵期间,平均每条4
龄鱼产卵量为1.109×105 (个)，3龄鱼为其一半；
3. 卵孵化的成活率为1.22 ×1011/(1.22 ×
建立离散模型的一条直接途径是 用差分代替微分。从人口问
题的Logistic模型
dP aP aP aP1 P
dt
N
N (a a)
可导出一阶差分方程 (1)式中右端的因子 (1

Pt 1
Pt ) N

Pt

aPt (1
Pt N
)
常被称为阻尼因子。
（1） 当Pt＜＜N
则
① 当1, 2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分
方程的通解为
xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; ② 当1, 2=是两个相同实根时,二阶常系数线性差分
方程的通解为
xn= x* + (C1 + C2 n)n; ③ 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根时,二阶
(a
1),
xt


(a
1)N
Pt

,于是(2)式又可改写为
xt1 bxt (1 xt ) f ( xt ), t 0,1,2,
（3）
虽然，（3）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0， 其差微后分分的方方程程x1（稳可定3利）性用有的方两讨程个论确平，定衡非的点线递，性推即差关x分系*=方迭0和程代平求衡出x*点。的b稳b。1定类性似也于
），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采 取作怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高．
基本假设（略）
设X ( X1，X2, X3, X 4)——鱼群数向量．
——单位时间的自然死亡率．
c ——年存活率，c=1-0.8＝0.2． k ——单位时间4龄鱼的捕捞强度系数．
——孵化卵成活率
=1.22 × 1011/（1.22×1011＋n）
Fn

c1

1
2
5
n

c2

1
2
5
n
由初始条件 F1 1, F2 1 得
1 c1 2
5
c2
1 2
5

1
2
2
1 5
c1
2

c2
1 2
5

1
联立解得:
c1
xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当|a|＜1 时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
(1)
若有xn = x (n), 满足
F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
k 则称xn = x (n)是差分方程(1)的解, 包含k个任意常数的解 称为(1)的通解, x0, x1, … , xk-1为已知时称为(1)的初始条件, 通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1)的特 解.
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数
假设 r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
k4

X
4
t

X 2 t 1 cX1 t
X3 t 1 cX 2 t
X 4 t 1 c k3 X3 t +c k4 X 4 t
常系数线性差分方程的通解为
xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |i |＜1时, 平
衡点x*是稳定的.
对于一阶非线性差分方程
xn+1 = f (xn ) 其平衡点x*由代数方程
x = f (x) 解出.
为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近似为一 阶常系数线性差分方程
r(xm ) 0
s r r(x) r(1 x )
xm
xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx r(x)x rx(1 x )
dt
xm
x
xm
xm/2
0
xm/2 xm x
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
x0
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
xk b1xk1 L bk 0
(2)
称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。
{ 例:求Fibonacci数的通项:
Fn Fn1 Fn2 F1F2 1
解 : 差分方程的特征方程为：
x2 x 1 0
特征根:
x1
1 2
5 与x2
1 2
5
是互异的，所以，得通解:
m—4龄鱼的平均产卵量，m为 1.109 ×105
（个），3龄鱼为其一半．
模型建立
这里只讨论问题1），即可持续捕获策略模 型．以一年为一个离散化的单位时间．
记年初鱼群为X t X1 t , X 2 t , X3 t , X 4 t T
下一年的鱼群数为:
X t 1 X1 t 1, X 2 t 1, X3 t 1, X 4 t 1T