初二三角形压轴题分类解析汇报

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B

A

O

D C

E

图8 济南初中数学压轴

--------姜姜老师

北师大版七年级下三角形综合题归类

一、双等边三角形模型

1. （1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

同类变式：如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE. (1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；

(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图

即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.

图c

3. 如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，,MN分别为,EBCD的中点，易证：

CDBE?，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CDBE?是否仍然成立？若成立,请

证明；若不成立，请说明理由；

（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．

图9 图10 图

11

C

B

O

D

图7 A

E

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同类变式：已知，如图①所示，在ABC△和ADE△中，ABAC?，ADAE?，BACDAE???，且点BAD，，在一条直线上，连接BECDMN，，，分别为BECD，的中点．

（1）求证：①BECD?；②ANAM?；

（2）在图①的基础上，将ADE△绕点A按顺时针方向旋转

180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.

4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．

（1）证明：△ABG ≌△ADE ；

（2）试猜想?BHD的度数，并说明理由；

（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜?BAE＜180°），设△ABE的面积为1S，△ADG的面积为2S，判断1S与2S的大小关系，并给予证明．

5.已知：如图，ABC△是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC∥，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB ，连接AECD，．

（1）求证：AGEDAC△≌△；

（2）过点E作EFDC∥，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF△是怎样的三角形，试证明你的结论．

C

G

A

E

D

B

F

二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） C

F

G

E

D

B A

H D

A 图①A

E

MB

D

N 图②

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考点1：利用垂直证明角相等

1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．

2.（西安中考）如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且

B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。

图(1) 图(2) 图(3) (1)试说明:

BD=DE+CE.

(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD

(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由。

3. 直线CD经过BCA?的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA??????．（1）若直线CD经过BCA?的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若90,90BCA?????，则EF

BEAF?（填“?”，“?”或“?”号）；

②如图2，若0180BCA???，若使①中的结论仍然成

立，则??与BCA?应满足的关系是；

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文案大全（2）如图3，若直线CD经过BCA?的外部，BCA????，请探究EF、与BE、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．

考点2：利用角相等证明垂直

1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

2. 如图，在等腰R t△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B 作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

(1)求证：CD=BF；

(2)求证：AD⊥CF；

(3)连接AF，试判断△ACF的形状.

拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

3. 如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明