论文概率论在经济方面的应用资料

1、引言

1.1 概率论发展历史简介

概率论与数理统计研究的对象是随机现象，是研究和谐是随机现象统计规律性的学科。概率论产生于十七世纪，本来是有保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。十七世纪中叶，法国贵族德·美黑在骰子赌博中，由于有要急近处理的事情必须中途停止赌博，要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论向前迈出了第一步。

帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。

随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后a.de棣莫弗和p.s.拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面a.n.柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a.a.马尔可夫、a.r辛钦、p.莱维及w.费勒等人作了杰出的贡献。

如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933 年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论的定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。

现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。

数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的由集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议。

数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动。早在公元前2250年，

大禹时代，根据人力物力和山川土质的多寡，分全国九州；殷周时代施行按人口分地，进行土地和户口的统计，施行井田制。春秋时代常以兵车多寡论诸侯实力，可见已进行了军事调查和比较；汉代全国户口与年龄的统计数字有据可查；明初编制了黄册与鱼鳞册，黄册乃全国户口名册，鱼鳞册系全国土地图籍，绘有地形，完全具有现代统计图表的性质。

在西方各国，统计工作开始于公元前3050年，埃及建造金字塔，为征收建筑费用，对全国人口进行普查和统计．到了亚里土多德时代，统计工作开始往理性演变。这时，统计在卫生、保险、国内外贸易、军事和行政管理方面的应用，都有详细的记载。统计一词，就是从意大利一词逐步演变而成的。

当前，由于计算机的应用，推动了数理统计在理论研究和应用方面不断地向纵深发展，数理统计的应用范围愈来愈广泛，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具。

1.2 概率与经济学结合的原因：

从理论研究角度看，借助概率论方法研究经济问题至少有三个优势：其一是前提假定用概率论语言描述得一清二楚，概率论强调事物处于不可能事件和必然事件之间，即事物出现的概率在(0,1)之间，这符合经济现象的现实，经济学强调经济现象要用数学来描述，由于概率论引进概率的概念，使得数学描述成为概率论描述的一个特例，因此概率论能够穷尽各种可能，能够更加清楚的描述经济现象；其二是逻辑推理严密精确，可以防止漏洞和谬误，通过内生化经济现象出现的概率，同时依据概率论的严密逻辑，推导经济运行的各种轨迹，再结合现有的经济理论，查看概率论的逻辑是否符合经济的行为规律，使得概率论与经济学达到共同解释问题的目的；其三是可以应用已有的概率论模型或概率论定理推导新的结果，得到仅凭直觉无法或不易得出的结论，传统的经济学假定经济现象或者经济行为在确定性的条件下发生，因此运用现有的经济理论能够清楚阐述经济现象的本质，概率论的引进使得经济学能够研究在不确定性条件下行为，扩大了经济学的视眼，得出的结论也更加具有概括性。运用概率论方法讨论经济问题，学术争议便可以建立在这样的基础上：或不同意对方前提假设；或找出对方论证错误；或是发现修改原模型假设会得出不同的结论。因此，运用概率论方法做经济学的理论研究可以减少无用争论，并且让后人较容易在已有的研究工作上继续开拓，也使得在深层次上发现似乎不相关的结构之间的关联变成可能。总而言之，概率论在经济学中的应用使得经济学成为一门更加规范的科学、更加符合经济行为规则的科学，这和马克思所说相吻合：一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。概率论在经济学中的应用使得经济学更加完善。

英国学者威尔斯说过，“统计的思维方法，就像读和写的能力一样，将来会成为效率公民的必备能力”。近几年来，我国的经济学界和经济部门越来越意识到用数学方法来解决经济问题的重要性，正在探索经济问题中应有数学的规律。现代经济学的一个明显特点是越来越多地使用统计学作为分析工具,绝大多数的经济学前沿论文都包含统计或计量模型。从经济学的分析框架来看,这并不难理解,因为参照系的建立和分析工具的发展通常都要借助

数学。统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考，它被广泛的应用在各门学科之上。

1.3 概率论在经济学中的新发展

除了本文所提到的概率统计在经济风险决策、经济生产、经济销售、经济利润和经济损失估计等方面的应用外，概率论在博弈论、激励理论和经济计量学中都有十分重要的作用。比如经济计量学的实证研究，通过估计有限样本条件下数据之间的关系来推断总体之间的关系，就是通过使用概率统计的统计推断来完成的；至于概率论在激励理论方面的应用就是考查在不同的概率条件下，如何设计激励机制从而给市场主体各种激励使得均衡结果达到帕累托最优，并考查在概率事件下，各个主体的行为特征；至于在博弈论方面的应用1994年的诺贝尔获得者海萨尼通过在博弈参与者之间引入选择策略的概率，从而提高纳什均衡的精度，使市场均衡更加广泛，更具有应用性，并把纳什均衡作为贝叶斯均衡的一个特例。由此可见，概率论知识在经济学中的应用是现代经济学的动态前沿，概率论对现代经济学的发展做出了卓越的贡献。

2 在经济风险决策中的应用

2.1 风险决策简介

风险决策是指存在一些不可控制的因素，有出现几种不同结果的可能性，要冒一定风险的决策。

风险决策是在多种不定因素作用下，对2个以上的行动方案进行选择，由于有不定因素存在，则行动方案的实施结果其损益值是不能预先确定的。“多种不定因素”在学术名词上常称为“自然状态”风险决策可分为两类：若自然状态的统计特性（主要指概率分布）是可知的，则称为概率型决策；若自然状态的统计特性不知道，则称为不定型决策。对不成熟的高新技术产业所进行的风险投资决策，有些属于不定型决策，而有些则属于概率型决策。比较而言，不成熟的高新技术产业面临风险决策的时候更多。但现实情况是，这个术语适用于所有和风险投资无关的普通人经济生活：生活成本风险、购房风险、股市风险等等。随着我国经济体制改革的不断深入和发展，社会主义市场经济不断完善，项目投资经济分析的重要性日益突出。在经济分析中．对经济效益分析的闹时，风险分析正逐步成为必不可少的重要组成部分。由于人们认识的局限性和现有资料的不完善，以及客观环境多变，对于那些未来的事件人们很难预测的很准确。因而一般说来，投资总是包含有不确定性因素，即风险。进行决策之前，往往存在不确定的随机因素，从而所作的决策有一定的风险，谓之风险型决策。只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标，才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策，从而实现管理者的目标。

2.2 随机变量的数学期望和方差

2.2.1 数学期望

在概率统计中有很常用的两个数字特征叫“数学期望”和“方差”。它们俩在分析风险和收益的关系时的作用非常强。

（1）设离散随机变量X 的分布列为

??????===n i x X P x p i i ，，，

，21)()( 如果

∞<∑∞=1)(i i i x p x ，

则称

∑∞==1)()(i i i x p x X E

为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。 若级数)(1k k k x p x

∑∞=不收敛，则称X 的数学期望不存在。

（2）设连续随机变量X 的密度函数为)(x p ,如果

∞

∞-dx x p x )(，

则称

?∞∞-=

dx x xp X E )()(

为X 的数学期望，或称为该分部)(x p 的数学期望，简称期望或均值。若

)(x p x ?∞

∞-不收

敛，则称X 的数学期望不存在。

2.2.2 方差 方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数。在概率论和数理统计中，方差（英文Variance ）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。

简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

若随机变量2X 的数学期望)(E 2X 存在，则称偏差平方2)(EX X -的数学期2)(EX X E -为随机变量X 的方差，记var （X ）=2))((E X E X -

???????--=?∑∞

∞-22,)()(),())((在连续场合）（在离散场合dx x p X E x x p X E x i i i 称方差的正平方根）（X V ar 为了随机变量X 的标准差，记为）（X σ。方差是指表示一系列数据或统计总体的分布特征的值，即方差表示的是和中心偏离的程度。

2.2.3 应用举例

下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济决策中的应用。

列1 某商店根据以往的经验预测在未来一段时间内商品畅销与滞销的概率分别为

0.4,0.6, 现在有两种促销方案:

(1)采用便民措施, 提高服务质量, 预计可在商品畅销时获利6万元,在商品滞销时获利2万元。

(2)翻建商店, 扩大营业场所, 预计可在商品畅销时获利10万元, 在商品滞销时损失4万元。

经过一段时间的试销, 发现原来认为畅销的商品中, 实际畅销与滞销的概率分别为0.6,0.4, 原来认为滞销的商品中,实际畅销与滞销的概率分别为0.3,0.7 根据这一信息我们应该采取哪一种促销方案?

解: 由全概率公式, 可求得商品在试销过程中实际畅销(滞销)的概率分别为58.07.06.04.04.0,42.03.06.06.04.021=?+?==?+?=P P

又由贝叶斯公式可求得试销过程中, 实际畅销(滞销)的商品被预测为畅销, 滞销的概率分别为3P 、4P )(65P P 、

即

57.042.06.04.03=?=P 43.042.03.06.04=?=P 28.058.04.04.0(5=?=P )72.058.07.06.06=?=P

故可求出在试销过程中, 实际畅销的商品采用第一方案与第二方案所获利的均值为.98.343.0)4(57.010,28.443.0257.0621=?-+?==?+?=E E

试销过程中, 实际滞销的商品, 采用第一方案与第二方案所获利的均值为 .08.072.0)4(28.010,12.372.0228.0643-=?-+?==?+?=E E

由此可知, 无论商品畅销还是滞销, 第一方案的均值较大, 故可采用第一方案。

例2 某投资商拥有一笔资金，可投资到三个项目中：服装业、汽车业、餐饮业。 不同产业的经济状态，各行业收益大不相同，若经济运作状态情况分为好、中、差三个级别，其发生的概率分别为1.0,7.0,2.0321===p p p 。根据数据分析，不同经济状态下各种投资的季度收益（万元），如下表：

请问：该投资者应怎样合理投资？

解：我们先分别从数学期望方面考虑，

2.3)1.02(7.022.010)(=?-+?+?=x E

4)1.03(7.032.010)(=?-+?+?=y E

2.3)1.01(7.032.06)(=?-+?+?=z E

根据三个行业数学期望我们知道，当投资者投资汽车行业时投资者的平均收益最大，但是我们也要考虑到风险因素，下面考虑它们的方差：

，96.121.0)2.32(7.0)2.32(2.0)2.310()(222=?--+?-+?-=x D

,4.151.0)43(7.0)43(2.0)411()(222=?--+?-+?-=y D

.36.31.0)2.31(7.0)2.33(2.0)2.36()(222=?--+?-+?-=z D

方差是用来描述随机变量取值的集中与分散程度的特征数，在此题中方差越大，其收益的波动性越大，风险也就越大，所以从方差方面考虑首选餐饮业，虽然在平均收益方面不如服装业和汽车行业，但是风险要小50%以上。通过上例说明在进行经济管理决策之前，往往存在不确定的随机因素，从而所做的决策有一定的风险，只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大安全的总目标，才能尽可能节约成本。而期望和方差的数字特征可以帮助我们可以进行合理的选择，为我们的科学决策提供良好的依据，从而最优的实现目标。

3 在经济生产中的应用

在经济问题中，生产是一个不可或缺的过程。概率统计在经济生产中也有广泛的应用，下面以泊松分布和中心极限定理为例来说明它在这方面的应用。

3.1 泊松分布

泊松分布是1873年由法国数学家泊松首次提出的。泊松分布的概率分布列是

,,2,1,0,!)(???==

=-k e k k X P k λλ

)(~,0λλP X 记为其中参数>。 对泊松定理而言，很容易验证其和为1

.1!!00===-

∞=--∞=∑∑λλλλλλe e k e e

k k k

k k 泊松分布是一种常用的离散分布，它常与单位时间（或单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系，譬如，

● 在一天内，来到某商场的顾客数；

● 在单位时间内，一电路受到外界电磁波冲击的次数；

● 1平方米内，玻璃上的气泡数；

● 一铸件上的沙眼数；

● 在一定时期内，某种放射性物质放射出来的α-粒子束，等等，

都服从泊松分布。因此泊松分布的应用面是十分广泛的。

3.2泊松分布应用举例

例2 一铸件的砂眼（缺陷）服从参数为5.0=λ的泊松分布，试求此铸件上至多有一个砂眼（合格品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率。

解：以X 表示这种铸件的砂眼数，由题意知，)5.0(~P X 则此种铸件上至多有1个砂眼的概率为

.91.0!

15.0!05.0)1(5.01

5.00

=+=≤--e e X P 所以至少有2个砂眼的概率为

.09.0)1(1)2(=≤-=≥X P X P

例3 厂家接到订单要生产一批设备，为保证设备正常工作，需要配备一些维修工。

如果各台设备发生故障时相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01。试在以下各种情况下，求设备发生故障而不能及时维修的概率：

（1）1名维修工负责20台设备，

（2）3名修工负责90台设备，

（3）10名修工负责500台设备。

解：（1）以1X 表示20台设备中同时发生故障的台数，则.01.0,20~1）

（b X 用参数为2.001.020=?==np λ的泊松分布作近似计算，得所求概率为

.

018.0982.01!2.01)3(2.01

02=-=-≈>-=∑e k X P k k

以2X 表示90台设备中同时发生故障的台数，则).01.0,90(~2b X 用参数为9.001.090=?==np λ泊松分布作近似计算，得所求概率为

.

013.0987.01!9.01)3(9.03

02=-=-≈>-=∑e k X P k k

在此种情况下，不但所求概率比（1）中有所降低，而且3名维修工负责90台设备相当于每个维修工负责30台设备，工作效率是（1）中的1.5倍。

以3X 表示500台设备中同时发生故障的台数，则).01.0,500(~3b X 用参数为501.0500=?==np λ的泊松分布作近似计算，得所求概率为

.

014.0986.01!51)10(510

03=-=-≈>-=∑e k X P k k

在此种情况下，所求概率比（2）中基本一样，而且10名维修工负责500台设备相当于每个维修工负责50台设备，工作效率是（2）中的1.67倍，是（1）中的2.5倍。

由计算可知，若干维修工共同负责大量设备的维修，将提高工作的效率。

3.3 中心极限定理简介

中心极限定理（central limit theorem ）是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。它是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象 。最早的中心极限定理是讨论重伯努利试验中，事件A 出现的次数

渐近于正态分布的问题。

1716年前后，A.棣莫弗对n 重伯努利试验中每次试验事件A 出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.莱维在1919～1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到

了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。

3.3.1 独立分布下的中心极限定理

（1）林德伯格-莱维中心极限定理

设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记

,21n

n X X X Y n n σμ-+???++=

* 则对任意实数y,有

.21)()(lim 22dt e y y Y P y t n ?∞--*=

=≤πφ

（2）棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理概率论历史上第一个中心极限定理，它是专门针对二项分布的，因此成为“二项分布的正态近似”。

设n 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为p(0

.npq np S Y n n -=* 则对任意实数y,有

.21)()(lim 22dt e y Y P y t n n ?∞--*∞→=Φ=π

3.4 中心极限定理的应用举例

例4 一复杂系统由100个相互独立工作的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9.已知整个系统中至少有85个部件正常工作，系统工作才正常。试求系统正常工作的概率。

解：记n Y n ,100=为100个部件中正常工作的部件数，则

)9.0,100(~b Y n ， 90)(=n Y E ， 9)(=n Y Var .

所求概率为

.994.0)83.1()3

5.5(1)3905.085(

1)85(=Φ=-Φ-=--Φ-≈≥n Y P 例5 某车间有同型号的机床200台，在一小时内每台机床约有%70的时间是工作的。假定各机床工作是相互独立的，工作时每台机床要消耗电能15KW 。问至少要多少电能，才可以有%95的可能性保证此车间正常生产。

解：记n Y n ,200=为200台机床中同时工作的机床数，则)7.0,200(~b Y n ,140)(=n Y E ,42)(=n Y Var .

因为n Y 台机床同时工作需要消耗)(15kW Y n 电能，所以设供电数位)(kW y ,则正常生产为{}y Y n ≤15，由题设95.0)15(≥≤y Y P n ，其中

.95.0)42

140

5.015()15(≥-+Φ≈≤y y Y P n 查正态分布表得95.0的分位数为1.645，故有

,645.142

1405.015≥-+y 从中解得)(2252kW y ≥，即此车间每小时至少需要)(2252kW 电能，才有95%的可能性保证此车间正常工作。

4 在经济销售中的应用

4.1在营销信誉度中的应用

我们知道营销的成功与信誉度有很大的关系，下面利用贝叶斯公式来考察假如一家公司多次不讲究信誉会有怎么样的结果。

4.1.1 贝叶斯公式

贝叶斯公式由英国数学家贝叶斯(Thomas Bayes 1702-1763)发展,用来描述两个条件概率之间的关系，是在乘法公式和全概率公式的基础上推得的。

设n B B B , (21)

是样本空间Ω的一个分割，即n B B B ,...,21，互不相容，且Ω== n

i i B 1，如果0)(>A P ，0)(>i B P ，n i ,...,2,1=，则

.

,...,2,1,)()()()()(1n i B A P B P B A P B P A B P n j j

j i i i ==∑=

证明 由条件概率的定义 .)()()(A P AB P A B P i i =

对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式，

)

()()(i i i B A P B P AB P =，

)()()(1j n j j B A P B P A P ∑==

代入得：

.)()()

()()(1j n j j i i i B A P B P B A P B P A B P ∑==.

结论得证。

4.1.2应用举例 例6 设一家公司的可信度为0.8，不可信度为0.2，问该公司多次失信后客户对其可信度变为多少？

解： 现在用贝叶斯公式来分析此问题中客户对这家公司的可信度是如何下降的。 首先记事件A 为“该公司不可信”，记事件B 为“该公司可信”。不妨设客户过去对这家

公司的印象为

8.0)(=B P ,2.0)(=B P 我们现在用贝叶斯公式来求)(A B P ，亦即这家公司失信一次后，客户对其可信程度的改变。在贝叶斯公式中我们要用到概率)(B A P 和)(B A P ，这两个概率的含义是：前者是“诚信”的公司“不可信”的可能性，后者为“不诚信”的公司“不可信”的可能性。在此不妨设

1.0)(=B A P ,5.0)(=B A P .

第一次客户相信该公司，发现该公司不可信。客户根据这个信息对这家公司的可信程度改变为

444.05.02.01.08.01.08.0)()()()()

()()(=?+??=+=B A P B P B A P B P B A P B P A B P

这表明客户上了一次当后，对这家公司的可信程度由原来的0.8调整为0.444，也就是调整为

444.0)(=B P ,556.0)(=B P . 在此基础上，我们再一次利用贝叶斯公式来计算)(A B P ，亦即这家公司第二次不诚信后，客户对其的可信程度改变为

138.05

.0556.01.0444.01.0444.0)(=?+??=A B P . 这表明客户经过两次上当，对这家公司的可信程度已经从0.8下降到了0.138，如此低的可信度，该公司如何奢望对客户进行第三次营销的时候会成功，顾客怎么会相信怎么会愿意购买呢？如此下去便会严重影响这家公司的业绩，当然公司也可以据此来调整公司的方针政策，以求得改善。

4.2 确定商品进货量

在商品销售过程中，商品的进货量是一个很重要的因素。若商品进货过多，卖不出去，不但要占用大量资金，商店还要支付商品的保管费用；若进货过少，商品脱销，则商店的营业额减少，利润降低。因此，既要保证商品不积压，又要保证商品不脱销，对商店来说，控制好各商品的的进货量是至关重要的。

下面用均匀分布来确定进货量已达到销售者的期望目标。

4.2.1 均匀分布

若随机变量X 的密度函数为