虚功原理应用例题

匀质杆AB始终在平面内，A端靠在墙上，B端在一光滑曲面上，如图所示。若无论B在何处杆均受力平衡，求曲面方程。

如图所示，四根相同的长度为l的光滑轻杆由铰链连接成菱形，一轻绳系在两对角线之间，下部挂一重量为P的重物，系统放置于两根等高相距为2a（2a<2l）的杆上，求绳中的张力？（φ角已知）

如图所示，一竖立在竖直平面内的半圆空心管，管内刚好装有2n个光滑小珠子，已知每个珠子重力为W，求第i个珠子与第i+1个珠子的作用力Ni。

如图所示，一个外半径为R1，内半径为R2的圆柱形电容器，竖直地插进相对介电常数为ε

r 的密度为ρ的电解液中，若将电容器接上电压为U 的电源，求电解液中液面上升的高度

第一题，常规做法用受力分析，建立水平竖直方向平衡方程，暴力解之。（约束力合力沿法向）

能量方法，利用随遇平衡，势能V 恒不变，解得y=f(x)。（具体见高妙）

虚功原理：因为此题为理想约束，主动力为重力，虚位移中主动力做功为0，即 P δyc=0

yc=常量

由几何关系：yc=y+

2221x l - 故yc=y+222

1x l -=常量 因x=0时y=0，故常量=21 故y=21???

???????? ??--2x 11l

第二题，直接虚功原理……

建立如图所示坐标系，把绳子忽略，于是两个拉力变为主动力T ，另一个主动力为P ，约束为理想约束，则有：

x A =lsin ? ?δ?δcos x l A =………………………………………..①

?δ??δ??δ?2sin sin 2cot cos 2a

l y a l y P P +-=-=……………….② 由虚功原理得：-2T P A P y x δδ+=0

将①②代入，得T=P ???? ??-???tan cos sin 22l a

第三题

设任意珠子的球心到管的圆心为OO ’长度为R ，前面i 个球为系统质心为C ，设CO 长度为L 。

由虚功原理：N ()θθθθαd Wd L iWd d R cos i sin cos i == 其中α=

n 4π 即N α

θcos cos i R iWL = 现在的目的就是求质心的位置函数L 和θ 由对称性已知角度θ=

ααi i =221 求L 用旋转矢量，如图所示

I 个大小为mR 、方向一次相差角度2α的矢量和的大小应该为imL

有：()()α

αααsin sin sin sin 22imL i i R L i mR ==即

代入N 的表达式得：

()()()()W n n i i i W R i i i P iW R iWL N i ?????? ?

?====2sin 2sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos ππαααααααααθ

第四题

为了求液面上升高度，就得求液体所受电场力。

先求出电容：设单位长度电容带电为λ，则离轴线r 处电场强度为E=r

20πελ 内外筒电势差为U=??==1

22100ln 22R R R R dr r Edr πελπελ 单位长度电容为C 0=???

? ??=210ln 2R R U πελ

若有电解质，则C 0’=???

? ??21r 0ln 2R R επε 设电容器长为L ，其中有长度为x 的电解液，则电容器电容为C=xC ()()2

1

000ln ]1[2x 'R R L x C L r +-=-επε 电容储存电场能为221CU E =

设电解液受力为F （方向向上），假设电解液在F 作用下向上移动dx ，由虚功原理得Fdx=dE=d ()()

21022/ln dx 122)21(R R U CU r -=επε 得F=()()

2102/ln 122R R U r -επε 液面上的电解液受力平衡：F=()22

21g R R h -πρ 得h=()()()21022212/ln 1g R R R R U r --εερ