3矩阵特征值及特征向量的计算

第3章 矩阵特征值与特征向量的计算

一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或部分特征值及相关的特征向量。

3.1 特征值的估计

较粗估计ρ(A )≤ ||A ||

欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来。

3.1.1盖氏图

定义3.1-1 设A = [a ij ]n ⨯n ，称由不等式∑≠=≤-n

i

j j ij

ii a

a z 1

所确定的复区域为A 的第i 个盖氏图，

记为G i ，i = 1，2，…，n 。

>≤-=<∑≠=}:{1n

i

j j ij ii i a a z z G

定理3.1-1 若λ为A 的特征值，则 n

i i

G

1

=∈

λ

证明：设Ax = λx (x ≠ 0)，若k 使得∞

≤≤==x

x x i n

i k 1max

因为

k n

j j kj

x x a

λ=∑=1

⇒∑≠=

-n

k

j j kj

k kk x a

x a )(λ

⇒∑∑∑

≠=≠=≠≤≤=

-n

k

j j kj n

k

j j k

j kj

n

k j k

j kj kk a x x a x x a a 11λ

⇒ n

i i

k G

G 1

=⊂

∈λ

例1 估计方阵⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡----=41.03.02.05.013.012.01.035.03.02.01.01A 特征值的X 围

解：

G 1 = {z ：|z – 1|≤ 0.6}；G 2 = {z ：|z – 3|≤ 0.8}； G 3 = {z ：|z + 1|≤ 1.8}；G 4 = {z ：|z + 4|≤ 0.6}。

注：定理称A 的n 个特征值全落在n 个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。

3.1.2盖氏圆的连通部分

称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。

孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。

定理3.1-2若由A 的k 个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A 的k 个特征值。 证明: 令D = diag(a 11，a 12，…，a nn )，M = A –D ，记

)10(00

0)(212211122211≤≤⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=εεεε

n n n n nn a a a a a a a a a M D A 则显然有A (1) = A ，A (0) = D ，易知A (ε)的特征多项式的系数是ε的多项式，从而A (ε)的特征

值λ1(ε)，λ2(ε)，…，λn (ε)为ε的连续函数。

A (ε)的盖氏圆为：)10(,}||||:{)(11≤≤⊂=≤

-=∑∑≠=≠=εεεεi n

i

j j ij n

i

j j ij

ii i G a a

a z z G

因为A (0) = D 的n 个特征值a 11，a 12，…，a nn ，恰为A 的盖氏圆圆心，当ε由0增大到1时，λi (ε)画出一条以λi (0) = a ii 为始点，λi (1) = λi 为终点的连续曲线，且始终不会越过G i ；

不失一般性，设A 开头的k 个圆盘是连通的，其并集为S ，它与后n –k 个圆盘严格分离，显然，A (ε)的前k 个盖氏圆盘与后n –k 个圆盘严格分离。

当ε = 0时，A (0) = D 的前k 个特征值刚好落在前k 个圆盘G 1，…，G k 中，而另n –k 个特征值则在区域S 之外，ε从0变到1时，

k

i i

G 1

)(=ε与 n

k i i

G 1

)(+=ε始终分离（严格）

。连续曲线始终在S 中，所以S 中有且仅有A 的k 个特征值。

注：1) 每个孤立圆中恰有一个特征值。

2) 例1中G 2，G 4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分，故它们各有一个特征值，而G 1，G 3构

成的连通部分应含有两个特征值。

3) 因为例1中A 为实方阵，所以若λ为A 的特征值，则λ也是A 的特征值，所以G 2，G 4中各有一个实特征值。

3.1.3盖氏圆与相似变换

由于特征值是相似不变量，所以代数上常用相似变换将矩阵化简以得到特征向量，这里也可用相似变换将盖氏圆的半径变小，以得到更好的估计。

原理：取对角阵作相似变换阵：P = diag(b 1，b 2，…，b n )其中b i > 0，i = 1，2，…，n 则),,,(diag )1

,,1,1(

21211

n n

b b b A b b b diag AP P B ==-与A 有相同特征值. 而B 的第i 个盖氏圆为：}:{1

∑≠=≤

-n

i

j j i

j

ij

ii b b a

a z z ，

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭⎫

⎝

⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=n nn n n n n n b b b a a a a a a a a a b b b B

212

1222

21112112

1111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

=nn

n

n n n n

n n a b b a b

b a b b

a a b

b a b b a b b a a

2

2112

24222121111

2

12

11 适当选取b 1，b 2，…，b n 就有可能使B 的某些盖氏圆的半径比A 的相应盖氏圆的半径小。 1) 欲缩小G i ，可取b i 最大。

2) 欲缩小除G i 外的圆，可取b i 最小。

例2，估计⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=4.002.001.013.08.001.012.001.09.0A 的特征值X 围。

解：A 的三个盖氏圆分别为：

G 1 = {z ：| z – 0.9|≤ 0.13}；G 2 = {z ：| z – 0.8|≤ 0.14}； G 3 = {z ：| z – 0.4|≤ 0.03} λ3∈G 3，较好。

为了更好地估计另外两个特征值可取b 3最小：