三角函数的图象和性质专题训练及解析

合集下载

专题05 三角函数的图象和性质-2019版高人一筹之高一数学特色专题训练(必修四)【解析版】

专题五三角函数的图象和性质一、单选题1．函数y＝2sin(3x ＋)，x ∈R的最小正周期是( )A． B． C． D．π【答案】B【解析】函数y＝2sin(3x ＋)，x∈R 的最小正周期是.选B.2．在四个函数，，，中，最小正周期为的所有函数个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】B【解析】函数y=sin|2x|不是周期函数，不满足条件；令y=f（x）=|sinx|，则f（x+π）=|sin（x+π）|=|﹣sinx|=|sinx|=f（x ），∴函数y=|sinx|是最小正周期为π的函数，满足条件；又函数y=sin （2x+）的最小正周期为T==π，满足条件；函数y=tan（2x﹣）的最小正周期为T=，不满足条件．综上，以上4个函数中，最小正周期为π有2个．故选：B．3．已知函数（为常数）为奇函数，那么（）A． B． C ． D ．【答案】A【解析】因为函数（为常数）为奇函数所以，代入12所以选A 4．若则下列不等式成立的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D5．函数y ＝的定义域是( ) A ． (k ∈Z) B ． (k ∈Z) C ． (k ∈Z) D ．(k ∈Z)【答案】B 【解析】由题意得可得，即，所以，即函数的定义域为，故选B.6．设函数f (x )=sin(x +)，则下列结论错误的是( )A ． f (x )的一个周期为−4πB ． y =f (x )的图像关于直线对称x =C ． f (x +π)的一个零点为x =D ． f (x )在(,π)单调递增【答案】D7．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称【答案】A【解析】试题分析：由得，，解得，函数解析式是，对称中心为，即，验证得A正确．学科！网8．设函数，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数【答案】B【解析】∵函数=sin2x，x∈R，则f（x ）是周期为=π的奇函数，故选：B．9．设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A． f（x ）在（，π）单调递减 B． y=f（x）的图象关于直线x=对称C． f（x+π）的一个零点为x= D． f（x）的一个周期为﹣2π3【解析】A ．当时，，此时函数f（x）不是单调函数，故A错误，B．当x=时，为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．函数的周期为2kπ，当k=-1时，周期T=-2π，故D正确，故选：A ．10．已知函数，则以下说法正确的是（）A．的对称轴为B．的对称中心为C．的单调增区间为D．的周期为【答案】B【解析】对称轴：，即对称轴为，故A错误；对称中心：，即对称中心为，等价于，故B正确；单调增区间：，即递增区间为，故C错误；周期性：最小正周期，故D错误.故选B.11．下列说法正确的是（）A．正切函数在整个定义域上是增函数 B．正切函数会在某一区间内是减函数C．函数的周期为 D．412．同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】“①最小正周期是π，可得ω=2，排除选项A；②图象关于直线对称，可得：2×+=，cos =，排除选项D ，对于B ，函数，最小正周期为π，且2×-=，sin=1，函数图象关于对称；x∈时，2x-∈[，]，∴是单调增函数，B满足条件．故选：B．二、填空题13．函数的最大值是______．【答案】5【解析】，则：当＝2kπ+时，即：x=kπ+（k∈Z）时函数故答案为5.．514．函数在上的零点个数为________．【答案】3【解析】令=0所以（），又因为定义域为所以所以零点个数为3个.15．若函数在区间上的最大值是，则__________．【答案】0【解析】由函数，因为，所以，当时，则，所以.16．给出下列四个命题：①函数的一条对称轴是；②函数的图象关于点对称；③若，则，其中；④函数的最小值为.学科%网以上四个命题中错误的个数为____________个.【答案】1【解析】对于①，因为，所以的一条对称轴是，故①正确；对于②，因为函数满足，所以的图象关于点对称，故②正确；67对于③，若则所以故③错误；对于④，函数当时，函数取得最小值，故④正确.综上，共有1个错误. 故答案为：1三、解答题17．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值： (1)y ＝3－2sin x ； (2)y ＝sin .【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.(2)令z ＝， ∵－1≤sin z ≤1，∴y ＝sin 的最大值为1，最小值为－1.又使y ＝sin z 取得最大值的z 的集合为{z |z ＝2k π＋，k ∈Z}，由＝2k π＋，得x ＝6k π＋π，∴使函数y ＝sin 取得最大值的x 的集合为{x |x ＝6k π＋π，k ∈Z}．同理可得使函数y ＝sin 取得最小值的x 的集合为{x |x ＝6k π－π，k ∈Z}． 18．已知，求的最值．【答案】，【解析】∵，∴，∴，∵，∴，解得，∴当时，，当时，．19．已知函数=(其中)的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最高点为(1)求的解析式和单调增区间;(2)当],求的值域.【答案】（1）；（2）【解析】(1)由最高点为得，由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，由点在图象上得=,，故=,.又，故=，令,解得，所以函数在上单调递增.(2)],，当=，即时，取得最大值2；当=，即时，取得最小值-1，故的值域为[-1,2].20．已知=.(1)求函数的对称轴和对称中心;8(2)求函数的最大值,并写出取最大值时自变量的集合;(3)用五点作图法画出函数在一个周期内的图象.【答案】（1）对称轴:,对称中心:；(2)最大值为,的取值集合=；（3）见解析(2)令，解得，故函数最大值为2,的取值集合=(3)如图所示21．已知函数（A＞0，＞0，＜π）的一段图象如图所示．（1）求函数的单调增区间；（2）若，，求函数的值域．【答案】（1）函数的单调增区间为，，；（2）函数的值域为，. 【解析】9（1）求得，，∴函数的单调增区间为，，（2）∵，∴，∴当时，，当时，∴函数的值域为，22．已知函数在一个周期内的部分对应值如下表：0 2 0（1）求的解析式；（2）求函数的最大值及其对应的的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由表格可知，，的周期，所以.又由，所以.所以.（2）.由，所以当时，有最大值；10因为所以或。

专题练第13练三角函数的图象与性质

第13练三角函数的图象与性质1．(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x | D ．f (x )＝sin|x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．2．(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )等于( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12 B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 答案 B解析依题意，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4―――――――――――――→将其图象向左平移π3个单位长度 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的图象――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12的图象． 3．(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4 D ．π 答案 A解析 f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增，则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4.4．(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋b (ω>0)的最小正周期为T .若2π3<T <π，且y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2中心对称，则f ⎝⎛⎭⎫π2等于( ) A ．1 B.32 C.52 D ．3答案 A解析因为2π3<T <π，所以2π3<2πω<π，解得2<ω<3.因为y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2中心对称，所以b ＝2，且sin ⎝⎛⎭⎫3π2ω＋π4＋b ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫3π2ω＋π4＝0，所以3π2ω＋π4＝k π(k ∈Z )，又2<ω<3，所以13π4<3π2ω＋π4<19π4，所以3π2ω＋π4＝4π，解得ω＝52，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫52x ＋π4＋2，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫52·π2＋π4＋2＝sin 3π2＋2＝1.故选A. 5．(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3B ．sin ⎝⎛⎭⎫π3－2xC ．cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D ．cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2x答案 BC解析由图象知T 2＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故A 错误；由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 知B 正确；由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6知C 正确；由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫2x －5π6 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2x ，知D 错误． 6．(2022·全国甲卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫53，136 B.⎣⎡⎭⎫53，196 C.⎝⎛⎦⎤136，83 D.⎝⎛⎦⎤136，196答案 C解析由题意可得ω>0，故由x ∈(0，π)，得ωx ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，πω＋π3. 根据函数f (x )在区间(0，π)上恰有三个极值点，知5π2<πω＋π3≤7π2，得136<ω≤196.根据函数f (x )在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋π3≤3π，得53<ω≤83.综上，ω的取值范围为⎝⎛⎦⎤136，83.7．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0中心对称，则( )A ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π12上单调递减 B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12上有两个极值点 C ．直线x ＝7π6是曲线y ＝f (x )的对称轴D ．直线y ＝32－x 是曲线y ＝f (x )的切线答案 AD解析因为函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0中心对称，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝0，可得4π3＋φ＝k π(k ∈Z )，结合0<φ<π，得φ＝2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 对于A ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，5π12时，2x ＋2π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，3π2，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π12上单调递减，故A 正确；对于B ，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，11π12时，2x ＋2π3∈⎝⎛⎭⎫π2，5π2，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12上只有一个极值点，故B 不正确；对于C ，因为f ⎝⎛⎭⎫7π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×7π6＋2π3＝sin 3π＝0，所以x ＝7π6不是曲线y ＝f (x )的对称轴，故C 不正确；对于D ，因为f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，若直线y ＝32－x 为曲线y ＝f (x )的切线，则由2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，得2x ＋2π3＝2k π＋2π3(k ∈Z )或2x ＋2π3＝2k π＋4π3(k ∈Z )，所以x ＝k π(k ∈Z )或x ＝k π＋π3(k ∈Z )．当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )＝32，则由32＝32－k π(k ∈Z )，解得k ＝0；当x ＝k π＋π3(k ∈Z )时，f (x )＝－32，方程－32＝32－k π－π3(k ∈Z )无解．综上所述，直线y ＝32－x 为曲线y ＝f (x )的切线，故D 正确．综上所述，选AD.8．(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫－7π4⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫4π3>0的最小正整数x 为________．答案 2解析由题图可知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，得T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ)．点⎝⎛⎭⎫π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以f ⎝⎛⎭⎫－7π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－7π4－π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π3＝2cos π3＝1，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3－π6＝2cos 5π2＝0，所以⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫－7π4⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫4π3>0，即[f (x )－1]·f (x )>0，可得f (x )>1或f (x )<0，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6>12或cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6<0. 当x ＝1时，2x －π6＝2－π6∈⎝⎛⎭⎫π3，π2， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎝⎛⎭⎫0，12，不符合题意；当x ＝2时，2x －π6＝4－π6∈⎝⎛⎭⎫π，7π6，cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6<0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x 为2.9．(2022·郑州模拟)若直线x ＝5π24是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2图象的一条对称轴，则f (x )的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤5π12＋2k π，17π12＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－7π12＋2k π，5π12＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤5π24＋k π，17π24＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－7π24＋k π，5π24＋k π(k ∈Z ) 答案 C解析因为直线x ＝5π24是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)图象的一条对称轴，所以5π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .又0<φ<π2，所以φ＝π12.由π2＋2k π≤2x ＋π12≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得5π24＋k π≤x ≤17π24＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π24＋k π，17π24＋k π(k ∈Z )．10．(2022·武汉质检)已知函数y ＝g (x )的图象与函数y ＝sin 2x 的图象关于直线x ＝π对称，将g (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到函数y ＝f (x )的图象，则函数y ＝f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－1，32 C.⎣⎡⎦⎤－32，1 D ．[0,1]答案 C解析设(x ，y )为g (x )图象上一点，则点(x ，y )关于直线x ＝π对称的点为(2π－x ，y )，由题意知点(2π－x ，y )在函数y ＝sin 2x 的图象上，则y ＝sin 2(2π－x )＝－sin 2x ，所以g (x )＝－sin 2x ，则f (x )＝－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－2π3，π3，则sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32，所以－32≤f (x )≤1. 11．(多选)(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0,0<φ<π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，则下列说法正确的是( ) A ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 B.⎝⎛⎭⎫5π6，1是函数g (x )图象的一个对称中心 C ．函数g (x )在⎝⎛⎭⎫π6，2π3上单调递减D ．若方程g (x )＝m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不相等的实数根，则32≤m ≤2 答案 AC解析由题意可得，函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，因为函数f (x )为偶函数，则φ＝π2＋k π，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1，向右平移π6个单位长度，得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，故A 正确； g ⎝⎛⎭⎫5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×5π6＋π6＋1＝－12＋1＝12≠1，故B 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3时，2x ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，g (x )单调递减，故C 正确；当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，若方程g (x )＝m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不相等的实数根，则32≤m <2，故D 错误． 12．(多选)(2022·重庆模拟)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称C ．函数f (x )在(－2π，2π)内的所有零点之和为2π3D ．将函数f (x )图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移5π6个单位长度后得到函数y ＝cos x 的图象答案 AB解析由题图知T ＝2×⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，则A 正确； ∴ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝0，|φ|<π2， ∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. f ⎝⎛⎭⎫－π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1， ∴直线x ＝－π12是f (x )图象的一条对称轴，则B 正确；在x ∈(－2π，2π)时，令t ＝2x －π3∈⎝⎛⎭⎫－4π－π3，4π－π3，作出y ＝sin t 的图象，如图，由正弦函数图象知，y ＝sin t 在t ∈⎝⎛⎭⎫－4π－π3，4π－π3上的所有零点之和为t A ＋t B ＋t C ＋t D ＋t O ＋t E ＋t F ＋t G ＝t A ＝－4π，∴f (x )在(－2π，2π)内的所有零点之和为－4π＋π32＝－11π6，则C 错误；f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的横坐标扩大2倍，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，向右平移5π6个单位长度，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x －7π6，并不是y ＝cos x ，则D 错误． 13．(2022·淮南模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－m ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π6有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则m (x 1＋2x 2＋x 3)的范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤5π6，5π3 B.⎣⎡⎭⎫5π6，5π3 C.⎣⎡⎦⎤5π3，10π3 D.⎣⎡⎭⎫5π3，10π3答案 D解析令z ＝2x ＋π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π6时，z ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π2， y ＝sin z ⎝⎛⎭⎫z ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π2与y ＝m 2的图象如图所示，∴m 2∈⎣⎡⎭⎫12，1，故m ∈[1,2)，由对称性可知z 1＋z 2＝π，z 2＋z 3＝3π， ∴z 1＋2z 2＋z 3＝4π，又z 1＋2z 2＋z 3＝2x 1＋π6＋4x 2＋π3＋2x 3＋π6＝2(x 1＋2x 2＋x 3)＋2π3，∴x 1＋2x 2＋x 3＝5π3，∴m (x 1＋x 2＋x 3)∈⎣⎡⎭⎫5π3，10π3.14．(多选)(2022·邵阳模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的零点按照由小到大的顺序依次构成一个公差为π2的等差数列，函数g (x )＝f (x )＋12f ′(x )的图象关于原点对称，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 B ．∀x 1，x 2∈R ，|f (x 1)－g (x 2)|≤1＋ 2C ．把g (x )的图象向右平移π8个单位长度即可得到f (x )的图象D ．若f (x )在[0，a )上有且仅有两个极值点，则a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤7π8，11π8 答案 BD解析由题意可知，函数两个相邻的零点之差的绝对值为π2，设函数f (x )的周期为T ，则T 2＝π2，即T ＝π，即2π|ω|＝π，又ω>0，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∴g (x )＝f (x )＋12f ′(x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4，又函数g (x )的图象关于原点对称，即g (x )为奇函数， ∴φ＋π4＝k π，k ∈Z ，∴φ＝－π4＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π4，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， ∴g (x )＝2sin 2x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2x ∈(0，π)， ∴2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4，结合正弦函数性质知f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不单调，故A 错误； ∀x 1，x 2∈R ，函数f (x 1)的值域为[－1,1]，函数g (x 2)的值域为[－2，2]， ∴|f (x 1)－g (x 2)|≤1＋2，故B 正确；g (x )的图象向右平移π8个单位长度得到y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，故C 错误； ∵x ∈[0，a )，∴2x ∈[0,2a )， ∴2x －π4∈⎣⎡⎭⎫－π4，2a －π4，利用正弦函数的性质知，要使函数f (x )在[0，a )上有且仅有两个极值点，则需满足3π2<2a －π4≤5π2，解得7π8<a ≤11π8，∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤7π8，11π8，故D 正确．15．(2022·洛阳质检)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2满足下列条件：①f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝0；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π12与⎝⎛⎭⎫π12，π3上具有相反的单调性；③∀x 1，x 2∈R ，f (x 1)f (x 2)≤4，并且等号能取到．则f ⎝⎛⎭⎫5π36＝________. 答案3解析由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝0可知， f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称，由f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π12与⎝⎛⎭⎫π12，π3上具有相反的单调性可知，直线x ＝π12是f (x )的图象的一条对称轴，又π4∈⎝⎛⎭⎫π12，π3，所以f (x )的最小正周期T 满足 T 4＝π4－π12＝π6，所以T ＝2π3，所以2πω＝2π3，所以ω＝3，所以f (x )＝A cos(3x ＋φ)，由余弦函数的性质，得3×π12＋φ＝0＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π4.由∀x 1，x 2∈R ，－A ≤f (x 1)≤A ，－A ≤f (x 2)≤A 可知，f (x 1)f (x 2)≤A 2，又f (x 1)f (x 2)≤4，且等号都能取到，所以A 2＝4，则A ＝2，故f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， f ⎝⎛⎭⎫5π36＝2cos π6＝ 3. 16．(2022·晋中模拟)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，且在⎝⎛⎭⎫π3，π2上单调递增，则满足条件的ω的最大值为________．答案133解析 f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，由2k π－π2≤ωx ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k πω－5π6ω≤x ≤2k πω＋π6ω，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k πω－5π6ω，2k πω＋π6ω(k ∈Z )．由题意知⎝⎛⎭⎫π3，π2⊆⎣⎡⎦⎤2k πω－5π6ω，2k πω＋π6ω，k ∈Z ， ∴⎩⎨⎧2k πω－5π6ω≤π3，π2≤2k πω＋π6ωk ∈Z ，∴6k －52≤ω≤4k ＋13，k ∈Z .∵ω>0，∴当k ＝0时，－52≤ω≤13；∴0<ω≤13，当k ＝1时，72≤ω≤133；当k ≥2，k ∈Z 时，ω∈∅，∴ωmax ＝133.[考情分析] 高考必考内容，重点考查三角函数的图象与性质及三角函数图象变换的正用、逆用，多以选择题和填空题的形式考查，也在解答题中出现，难度中等．一、三角函数的图象及变换核心提炼图象变换 (先平移后伸缩)y ＝sin x ―――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)． (先伸缩后平移)y ＝sin x ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin ωx ――――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)．练后反馈题目 2 10 11 14 正误错题整理：二、三角函数的解析式核心提炼确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：五点法、特殊点法．练后反馈题目 5 8 15 正误错题整理：三、三角函数的性质核心提炼三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．练后反馈题目 1 3 4 6 7 9 12 13 16 正误错题整理：1．[T5补偿](2022·成都模拟)函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的图象如图所示，现将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度，所得图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 C ．y ＝2cos 2x D ．y ＝2sin 2x答案 D解析由题图可知，f (x )过点⎝⎛⎭⎫π12，2，又0<φ<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 将f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin 2x . 2．[T7补偿](2022·宝鸡模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x ，给出下列结论，正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上单调递减 C ．函数f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫－π8，0对称D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度，再向下平移1个单位长度得到答案 B解析由题意，得函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，所以A 错误；由x ∈⎣⎡⎦⎤π8，5π8，可得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上单调递减，所以B 正确；由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1，令2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，可得x ＝－π8，所以函数f (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－π8，－1，所以C 错误；由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度，得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，再向下平移1个单位长度，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，所以D 错误． 3．[T15补偿](2022·赤峰模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋b (ω>0)的最小正周期为T ，若2π3<T <π，且函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2中心对称，将y ＝f (x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后关于y 轴对称，则φ的最小值为( ) A.π2 B.π10 C.3π10 D ．π 答案 B解析函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋b (ω>0)的最小正周期为T ，则T ＝2πω，由2π3<T <π，得2π3<2πω<π， ∴2<ω<3，∵y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2中心对称， ∴b ＝2，且sin ⎝⎛⎭⎫3π2ω＋π4＝0，则3π2ω＋π4＝k π，k ∈Z ， ∴ω＝23⎝⎛⎭⎫k －14，k ∈Z ，取k ＝4，可得ω＝52.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫52x ＋π4＋2，将y ＝f (x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到f (x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫52x ＋52φ＋π4＋2，由于f (x ＋φ)是偶函数，所以52φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ⇒φ＝π10＋25k π，k ∈Z ，当k ＝0时，φ取最小值，为π10. 4．[T6补偿](2022·合肥模拟)已知函数f (x )＝sin πωx －3cos πωx (ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤103，236 B.⎣⎡⎭⎫103，133 C.⎝⎛⎦⎤176，133 D.⎝⎛⎦⎤176，236答案 A解析 f (x )＝sin πωx －3cos πωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πωx －π3，因为x ∈(0,1)，所以πωx －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，ωπ－π3，因为函数f (x )＝sin πωx －3cos πωx (ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，由图象(图略)得3π<ωπ－π3≤7π2，解得103<ω≤236，所以实数ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤103，236.5．[T11补偿](多选)已知函数f (x )＝sin|x |－3|cos x |，下列关于函数f (x )的说法正确的有( ) A ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤7π6，3π2上单调递增 B ．2π是函数f (x )的周期 C ．函数f (x )的值域为[－2,1]D ．函数f (x )在[－2π，2π]内有4个零点答案 ACD解析 ∵函数f (x )＝sin|x |－3|cos x |，定义域为R ， f (－x )＝sin|－x |－3|cos(－x )| ＝sin|x |－3|cos x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．当x ∈⎣⎡⎦⎤7π6，3π2时，cos x <0， f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤3π2，11π6，此时f (x )单调递增，故A 正确； ∵f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3－3cos π3＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，而f ⎝⎛⎭⎫－π3＋2π＝f ⎝⎛⎭⎫5π3＝－3≠f ⎝⎛⎭⎫－π3， ∴2π不是函数f (x )的周期，故B 错误；当x ∈⎣⎡⎭⎫2k π，π2＋2k π，k ∈N 或⎣⎡⎭⎫3π2＋2k π，2π＋2k π，k ∈N 时，|cos x |＝cos x ，此时f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，当x ∈⎣⎡⎭⎫π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈N 时，|cos x |＝－cos x ，此时f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，当x ≥0时，2π是函数的一个周期，故考虑x ∈[0,2π]时，函数的值域，当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， x －π3∈⎣⎡⎭⎫－π3，π6，此时f (x )单调递增，f (x )∈[－3，1)；当x ∈⎣⎡⎭⎫π2，3π2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， x ＋π3∈⎣⎡⎭⎫5π6，11π6，此时f (x )先减后增，f (x )∈(－2,1]；当x ∈⎣⎡⎭⎫3π2，2π时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， x －π3∈⎣⎡⎭⎫7π6，5π3，此时f (x )先减后增，f (x )∈[－2，－1)，综上可知，f (x )∈[－2,1]，故C 正确；当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (0)·f ⎝⎛⎭⎫π2<0，且函数单调递增，故存在1个零点；当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，7π6时，f ⎝⎛⎭⎫π2·f ⎝⎛⎭⎫7π6<0，且函数单调递减，故存在1个零点；其他区域无零点，故当x ∈[0,2π]时，函数有2个零点， ∵函数为偶函数，∴函数f (x )在[－2π，2π]内有4个零点，故D 正确．6．[T16补偿](2022·南宁模拟)f (x )＝3cos 2x －sin x cos x 在[－m ，m ]上单调递减，则实数m 的最大值是________．答案π12解析依题意知f (x )＝32(1＋cos 2x )－12sin 2x ＝32－⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝32－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由－π2≤2x －π3≤π2，得－π12≤x ≤5π12，因此，函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－π12，5π12，因为f (x )在[－m ，m ]上单调递减，于是得[－m ，m ]⊆⎣⎡⎦⎤－π12，5π12，即⎩⎨⎧0<m ≤5π12，－π12≤－m <0，解得0<m ≤π12，所以实数m 的最大值是π12.。

三角函数的图象和性质(解析版)

三角函数的图象和性质一、选择题 1．“06x π<<”是“1sin 2x <”的（） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要【答案】A 【解析】由17ππsin 2π,2π266x xk k 骣琪<尬-++琪桫，很明显0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭是7ππ2π,2π66k k 骣琪-++琪桫的真子集，故“06x π<<”是“1sin 2x <”的充分条件故选：A2．函数1sin y x =-，[]0,2x π∈的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】当0x =时，1y =；当2x π=时，0y =；当πx =时，1y =；当3π2x =时，2y =；当2x π=时，1y =.结合正弦函数的图像可知B 正确. 故选：B.3．函数35sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是（） A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为4π的偶函数D.最小正周期为4π的奇函数【答案】A 【解析】依题意5cos 2y x =-，所以最小正周期为2ππ2=，且为偶函数. 故选：A.4.下列函数中，周期是12的函数是（） A.sin y x π= B.cos 2y x =C.sin2xy π=D.sin 4y x π=【答案】D 【解析】sin πy x =的最小正周期为2π2π=，cos 2y x =的最小正周期为2ππ2=，sin 2x y π=的最小正周期为2π4π2=，sin 4y x π=的最小正周期为2π14π2=. 故选：D. 5．使3cos2xy =-取最小值的x 的集合是（） A.{|4,}x x k k π=∈Z B.{|2,}x x k k π=∈ZC.{|,}x x k k π=∈ZD.3|,2x x k k π⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】A 【解析】由于1cos12x -≤≤，所以当2π,4π2xk x k ==时，函数3cos 2x y =-取得最小值为2.故使3cos 2x y =-取最小值的x 的集合是{|4,}x x k k π=∈Z . 故选A.6．函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的一条对称轴方程为（） A.6x π=B.512x π=C.23x π=D.23x π=-【答案】B【解析】函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令()26x k k ππ+=∈Z ，则,212k x k ππ=-∈Z ，当1k =时，512x π=，故选B .7．在[]0,2π上，满足2sin x ≥的x的取值范围是（） A.06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】如图所示，在同一坐标系内作出sin y x =在[]0,2π上的图像和22y =的图像.由图可知：满足2sin 2x ≥的x 的取值范围是3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.8．下面哪个点不是函数tan 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像的对称点（） A.(0,0) B.,04π⎛⎫⎪⎝⎭ C.,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.,02π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】函数tan 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心横坐标满足：222kx ππ+=，解得：()44k x k Z ππ=-∈，令1k =可得：0x =，则选项A 中的点是函数的对称点；令2k =可得：4x π=，则选项B 中的点是函数的对称点；令3k =可得：2x π=，则选项D 中的点是函数的对称点；注意到443k x πππ=-=没有整数解，故,03π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数的对称点. 故选：C.9．下列函数中，同时满足以下三个条件的是（） ①在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数；②最小正周期为2π；③是奇函数. A.tan y x = B.cos y x =C.tan2x y =- D.tan2x y = 【答案】D 【解析】对于A 选项中的函数tan y x =，该函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，最小正周期为π，且为奇函数，A 选项中的函数不符合条件；对于B 选项中的函数cos y x =，该函数0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，最小正周期为2π，且为偶函数，B 选项中的函数不符合条件；对于C 选项中的函数tan2x y =-，当02x π<<时，024x π<<，则该函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，最小正周期为212ππ=，且为奇函数，C 选项中的函数不符合条件；对于D 选项中的函数tan 2x y =，该函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，最小正周期为2π，且为奇函数，D 选项中的函数符合条件.故选：D.10．（2019·四川高三月考（理））若函数()sin(2)(0)f x x ϕϕ=+>的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ϕ的最小值为（） A.12πB.6πC.3π D.512π 【答案】C 【解析】由f (x )＝sin （2x +φ），令23π⨯+φ＝kπ，（k ∈z ）得：φ23k ππ=-，（k ∈z ）又φ＞0，所以k =1时则φmin 3π=，故选：C ．11．（2019·湖北高三月考（理））下列不等式正确的是（） A.3sin130sin 40log 4︒>︒> B.tan 226ln0.4tan 48︒<<︒ C.()cos 20sin65lg11-︒<︒< D.5tan 410sin80log 2︒>︒>【答案】D 【解析】∵3sin 401log 4︒<<ln0.40tan 226<<︒，()cos 20cos20sin70sin65-==>︒︒︒︒，∴排除A ，B ，C51tan 410tan 501sin80log 22︒=︒>>︒>> 故答案选D .12．（2019·全国高三月考）设函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若对任意的实数,()6x f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，则ω取最小值时，()f π=（）C.D.【答案】B 【解析】由题意可知sin 163ππω⎛⎫-=⎪⎝⎭，得2()632k k πππωπ-=+∈Z ，则125()k k ω=+∈Z ，可得ω的最小值为5，此时()2sin 53f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()2sin 52sin 33f ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭B ．二、填空题13．（2018·上海曹杨二中高一期中）函数tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为________. 【答案】5,()66k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭【解析】令,232k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈，所以tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为5,()66k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭.故答案为：5,()66k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭14．（2019·上海市市北中学高三期中）函数cos 2xy =，4[,]32x ππ∈-的最小值为________. 【答案】12- 【解析】因为4[,]32x ππ∈-，所以2[,]234x ππ∈-，所以12cos()cos cos01232xπ-=-≤≤=，即cos 2x y =的最小值为12-. 故答案为：12-. 15．已知0πx <<且sin cos x x >，则x 的取值范围是___________. 【答案】,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】当,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，sin 0,cos 0x x >≤，满足sin cos x x >；当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，sin 0,cos 0x x >>，不等式sin cos x x >等价于tan 1tan 4x π>=，结合正切函数的单调性可得,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，综上可得，x 的取值范围是,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭．16．若函数cos y a x b =+的最大值为1，最小值为7-，则3sin y ab x =+的最大值为_____，最小值为______．【答案】15 9- 【解析】因为cos x 的最小值为1,-,最大值为1,所以当0a >时，有17a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得43a b =⎧⎨=-⎩；当0a <时，有71a b a b +=-⎧⎨-+=⎩，解得43a b =-⎧⎨=-⎩．所以3sin 312sin y ab x x =+=±，因为sin x 的最小值为1-,最大值为1,所以312sin y x =±的最大值为15，最小值为9-．故答案为:15;-9. 三、解答题17．（2019·江西丰城九中高一月考）求函数：22()2cos 3sin 3[,]63f x x x x ππ=++∈的值域【答案】49[6,]8【解析】因为22()2cos 3sin 3[,]63f x x x x ππ=++∈，所以22()2sin 3sin 5[,]63f x x x x ππ=-++∈，令2sin ,[,]63t x x ππ=∈，则1[,1]2t ∈，所以2234912352(),[,1]482y t t t t =-++=--+∈，当3t 4=时，max 498y =，当12t =或1t =时，min 6y =，所以22()2cos 3sin 3[,]63f x x x x ππ=++∈的值域为49[6,]8. 18．用“五点法”作出函数12sin y x =-，(),x ππ∈-的简图，并回答下列问题：（1）观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间. ①1y >；②1y <.（2）若直线y a =与12sin y x =-，(),x ππ∈-的图像有两个交点，求a 的取值范围. 【答案】（1）①当(),0x π∈-时，1y >；②当()0,x π∈时，1y <（2）()()1,11,3-U 【解析】【解】列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图：（1）由图像可知，图像在直线1y =上方部分时1y >，在直线1y =下方部分时1y <，所以①当(),0x π∈-时，1y >；②当()0,x π∈时，1y <.（2）由图像可知，当直线y a =与12sin y x =-，(),x ππ∈-的图像有两个交点时，13a <<或11a -<<，所以a 的取值范围是()()1,11,3-U19．设0>ω，若函数()sin f x x ω=在区间,55ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的取值范围. 【答案】502ω<… 【解析】()sin f x x ω=Q ，()0ω>的单调递增区间为22,,()22k k k ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z , 且函数()f x 在区间,55ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ,,5522ππππωω⎡⎤⎡⎤∴-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得25ππω…，从而502ω<…. 20．（2019·福建高三月考（理））已知函数()2sin(2)4f x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及最小值. 【答案】（1）周期T π=，增区间为3,,88k k k ππππ⎡⎤-+∈Z ⎢⎥⎣⎦（2）最大值为2，最小值为-1 【解析】（1）f （x ）2=sin （2x 4π+）， ∵ω＝2，∴最小正周期T 2πω==π，由2k π2π-≤2x 4π+≤2k π2π+（k ∈Z），解得k π38π-≤x ≤k π8π+（k ∈Z），故函数f （x ）的单调增区间是[k π38π-，k π8π+]（k ∈Z）；（2）当x ∈[4π-，4π]时，（2x 4π+）∈[4π-，34π]，故当2x 42ππ+=，即x 8π=时，f （x ）有最大值2，当2x 44ππ+=-，即x 4π=-时，f （x ）有最小值﹣1．21．（2019·广东高三月考（文））已如函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1|12y y ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ 【解析】（1）由图形可得1A =，2123622T πππω-==⋅，解得2ω=． ∵()y f x =过点,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即2()32k k Z ππϕπ+=+∈． ∴2()6k k Z πϕπ=+∈．又||2ϕπ<，6π=ϕ．∴()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由64x ππ-≤≤，则22663x πππ-≤+≤，当ππ266x +=-，即6x π=-时，得min 12y =-，当262x ππ+=，即6x π=时，得max 1y =，所以()f x 的值域为1|12y y ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. 22．已知函数()sin cos x f x x=．（1）求函数()f x 的定义域；（2）用定义判断函数()f x 的奇偶性；（3）在[],ππ-上作出函数()f x 的图象．【答案】（1）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（2）奇函数,见解析；(3)见解析【解析】（1）由cos 0x ≠,得2x k ππ≠+（k Z ∈）,所以函数()f x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. （2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称,因为()()()()sin sincoscosx xf x f xxx---===--,所以()f x是奇函数. （3）()tan,22tan,22x xf xx x xππππππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪--≤<-<≤⎪⎩或,所以()f x在[],ππ-上的图象如图所示,。

数学三角函数的图象与性质试题答案及解析

数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.将函数的图象向右平移个单位长后与直线相交，记图象在轴右侧的第个交点的横坐标为，若数列为等差数列，则所有的可能值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位长得，由题意知，与函数的图象的最高点或最低点相交时满足题意，此时或得即或，故选C.2.已知函数（，m是实数常数）的图像上的一个最高点，与该最高点最近的一个最低点是，(1)求函数的解析式及其单调增区间；(2)在锐角三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，角A的取值范围是区间M，当时，试求函数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(1)∵，∴.∵和分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，∴解得∴.由，解得.∴函数的单调递增区间是.(2)∵在中，，∴.∴，且，可解得：. ∴.当时，，考察正弦函数的图像，可知，.∴，即函数的取值范围是【考点】本题考查三角变换、三角函数的图象和性质、向量的数量积和解三角形等知识，意在考查学生的数形结合能力，整体思想的运用.3.（本题满分12分）已知，．（I）求函数的单调递增区间；（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？【答案】（I），（II）见解析【解析】（Ⅰ）由已知，4分当，，即，时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为，． 7分（II）函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标缩为原来的倍得到函数的图象；再将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象． 12分另法：函数图象上各点的横坐标缩为原来的倍，得到函数的图象；然后使图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象． 12分【考点】本题考查平面向量的坐标运算、三角恒等变换、三角函数图象得到变换等基础知识，意在考查考生的数学运算能力、作图视图的能力及应用数学知识解决问题的能力.4.函数的图象如图所示，则 .【答案】．【解析】由图象知，由的图象关于点以及直线对称知，，又，【考点】本题考查三角恒等变换、三角函数图象及其性质等知识，意在考查读图、识图、计算以及推理能力．5.如图所示，是函数图象的一部分．则的值为（）A．B．C．D．【答案】【解析】观察图象知，，即；将点代入得，结合，，即函数解析式为.所以，，故选.【考点】本题考查正弦型函数的图象和性质，三角函数的诱导公式等基础知识，意在考查计算能力及视图用图能力．6.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A．B．C．D．【答案】B【解析】得到的偶函数解析式为，显然【考点】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.7.已知函数。

高考数学复习第21讲三角函数的图象和性质(一)

主题二函数第四章三角函数与解三角形
第21讲三角函数的图象和性质
研题型 ·融会贯通
分类解析三角函数的性质
|sinx|，sinx≥cosx， (1) (2021·深圳二模)(多选)已知函数 f(x)＝|cosx|，sinx<cosx，下列结论中正确的是( AD ) A. f(x)的值域是[0,1] B. f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数 C. f(x)在π，32π上单调递增 D. f(x)在[0,2π]上有 2 个零点
故 B 正确；令 x＝π6，则 f(x)＝cosπ6＋π3＝0，故 C 正确；令 2kπ≤x＋π3≤π＋2kπ，k∈Z，
得－π3＋2kπ≤x≤23π＋2kπ，k∈Z，可知 f(x)在π2，23π上单调递减，在23π，π上单调递增，
故 D 错误．
Thank you for watching
A. f(x)的值域为[－1,1]
B. 当且仅当 x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，函数 f(x)取得最大值
C. 函数 f(x)的最小正周期是 π
D. 当且仅当 x∈2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)>0
【解析】
f(x)＝sin cos
x，sin x，sin
x<cos x， x≥cos x，
作出函数
f(x)的大致图象如图所示，由图象
知函数 f(x)的值域为－1， 22，故 A 错误；当且仅当 x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，函数 f(x)取得
最大值 22，故 B 正确；f(x)的最小正周期为 2π，故 C 错误；从图象易得，当且仅当 x∈
2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)>0，故 D 正确．
y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的性质已知函数 f(x)＝sin2x－ 3cos2x，x∈R. (1) 求 f(x)的最小正周期；【解答】因为 f(x)＝sin2x－ 3cos2x＝2sin2x－3π，故 f(x)的最小正周期为 T＝22π＝π. (2) 若 h(x)＝f(x＋t)的图象关于点－π6，0对称，且 t∈(0，π)，求 t 的值；【解答】由(1)知 h(x)＝2sin2x＋2t－π3.令 2×－π6＋2t－π3＝kπ(k∈Z)，得 t＝k2π＋π3 (k∈Z)．又 t∈(0，π)，故 t＝π3或56π.

专题01 三角函数的图象与性质(解析版)

专题01 三角函数的图象与性质【要点提炼】1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得. (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ――——————————→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――——————————→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝sin ωx ―————————————―→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位 y ＝sin(ωx ＋φ)————————————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).考点一三角函数的图像与性质考向一三角函数的定义与同角关系式【典例1】 (1)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解析 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，且tan α＜cos α＜sin α，∴yx ＜x ＜y ，解之得－1＜x ＜0，且0＜y ＜1.故点P (x ，y )所在的圆弧是EF ︵.(2)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 答案 (1)C (2)B探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.【拓展练习1】 (1)(2020·唐山模拟)若cos θ－2sin θ＝1，则tan θ＝( ) A.43B.34C.0或43D.0或34(2)(2020·济南模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________.解析 (1)由题意可得⎩⎨⎧cos θ－2sin θ＝1，cos 2θ＋sin 2θ＝1，解得⎩⎨⎧sin θ＝0，cos θ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－45，cos θ＝－35，所以tan θ＝0，或tan θ＝43.故选C.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋2π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－45.答案 (1)C (2)－45考向二三角函数的图象及图象变换【典例2】 (1)(多选题)(2020·新高考山东、海南卷)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x(2)(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A.－2B.－ 2C. 2D.2解析 (1)由图象知T 2＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，故A 错误；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 知B 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6知C 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x 知D 错误.综上可知，正确的选项为BC. (2)由f (x )是奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0. 所以g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，所以g (x )＝A sin x ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.答案 (1)BC (2)C探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.2.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.【拓展练习2】 (1)(多选题)(2020·济南历城区模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象.若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的可能取值为( ) A.－59π12B.－35π6C.25π6D.49π12(2)(2020·长沙质检)函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜2π)的部分图象如图所示，已知g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝3，函数y ＝f (x )的图象可由y ＝g (x )图象向右平移π3个单位长度而得到，则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin 2xB.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.f (x )＝－2sin 2xD.f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 (1)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的图象.由g (x 1)g (x 2)＝9，知g (x 1)＝3，g (x 2)＝3，所以2x ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π12＋k π，k ∈Z .由x 1，x 2∈[－2π，2π]，得x 1，x 2的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π12，－11π12，π12，13π12.当x 1＝－23π12，x 2＝13π12时，2x 1－x 2＝－59π12；当x 1＝13π12，x 2＝－23π12时，2x 1－x 2＝49π12.故选AD.(2)由函数g (x )的图象及g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝3，知直线x ＝5π12为函数g (x )的图象的一条对称轴，所以T 4＝5π12－π6＝π4，则T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，所以g (x )＝A sin(2x ＋φ)，由题图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为“五点法”作图中的第三点，则2×π6＋φ＝π，解得φ＝2π3，由g (0)＝3，得A sin 2π3＝3，又A ＞0，所以A ＝2，则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，所以g (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象对应的解析式为f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋2π3＝2sin 2x ，故选A. 答案 (1)AD (2)A 考向三三角函数的性质【典例3】 (1)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π(2)(2020·天一大联考)已知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝( ) A.83 B.143 C.8 D.4 (3)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________. 解析 (1)f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4.所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，∴f (x )在x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝π4处取得最小值.因此π4ω－π6＝2k π＋π，即ω＝8k ＋143，k ∈Z .①又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3无最大值，且ω＞0，∴T ＝2πω≥π3－π6＝π6，∴0＜ω≤12.②由①②知ω＝143.(3)f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案 (1)A (2)B (3)π2探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间).【拓展练习3】 (1)(多选题)(2020·济南质检)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A.φ＝5π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )的图象的一个对称中心 C.f (φ)＝－2D.x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴(2)(多选题)关于函数f (x )＝|cos x |＋cos|2x |，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数 B.π是f (x )的最小正周期C.f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增D.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，54π时，f (x )的最大值为2解析 (1)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3的图象，∵其关于y 轴对称，∴φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋5π6，k ∈Z .又0<φ<π，∴当k ＝0时，φ＝5π6，故A 正确；f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )的图象的一个对称中心，故B 正确；因为f (φ)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝2，故C错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2，则x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴，故D 正确.故选ABD.(2)f (x )＝|cos x |＋cos|2x |＝|cos x |＋cos 2x ＝|cos x |＋2cos 2x －1＝2|cos x |2＋|cos x |－1，由f (－x )＝2|cos(－x )|2＋|cos(－x )|－1＝f (x )，且函数f (x )的定义域为R ，得f (x )为偶函数，故A 正确.由于y ＝|cos x |的最小正周期为π，可得f (x )的最小正周期为π，故B 正确. 令t ＝|cos x |，得函数f (x )可转化为g (t )＝2t 2＋t －1，t ∈[0，1]，易知t ＝|cos x |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π4上单调递减，由t ∈[0，1]，g (t )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋142－98，可得g (t )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π4上单调递减，故C 错误.根据f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，54π上递减，∴f (x )在x ＝π时取到最大值f (π)＝2，则D 正确. 答案 (1)ABD (2)ABD考向四三角函数性质与图象的综合应用【典例4】 (2020·临沂一预)在①f (x )的图象关于直线x ＝5π6ω对称，②f (x )＝cos ωx －3sin ωx ，③f (x )≤f (0)恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面横线处.若问题中的ω存在，求出ω的值；若ω不存在，请说明理由.设函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2，_____________________________.是否存在正整数ω，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解若选①，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，代入x ＝5π6ω，解得φ＝k π－5π6，k ∈Z .因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，ωπ2＋π6.若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2＋π6≤π，解得0<ω≤53.所以存在正整数ω＝1，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.若选②，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下： f (x )＝cos ωx －3sin ωx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝2cos(ωx ＋φ)，且0≤φ≤π2，所以φ＝π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，ωπ2＋π3. 若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2＋π3≤π，解得0<ω≤43.所以存在正整数ω＝1，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.若选③，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：因为f (x )≤f (0)恒成立，即f (x )max ＝f (0)＝2cos φ＝2，所以cos φ＝1.因为0≤φ≤π2，所以φ＝0，所以f (x )＝2cos ωx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ωπ2. 若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2≤π，解得0<ω≤2.所以存在正整数ω＝1或ω＝2，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【拓展练习4】 (2020·威海三校一联)已知函数f (x )＝2cos 2ω1x ＋sin ω2x . (1)求f (0)的值；(2)从①ω1＝1，ω2＝2，②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 (1)f (0)＝2cos 20＋sin 0＝2. (2)选择条件①.f (x )的一个周期为π.当ω1＝1，ω2＝2时，f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝(cos 2x ＋1)＋sin 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x ＋22cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，7π12.所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，则1－2≤f (x )≤1＋ 2. 当2x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π8时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上取得最小值1－ 2.选择条件②.f (x )的一个周期为2π.当ω1＝1，ω2＝1时，f (x )＝2cos 2x ＋sin x ＝2(1－sin 2x )＋sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋178.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，所以sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.所以当sin x ＝－1，即x ＝－π2时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上取得最小值－1.【专题拓展练习】一、选择题（1～10题为单项选择题，11～15题为多项选择题） 1．函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π【答案】D 【详解】因为22cos 211213()cos cos 232232x f x x x πππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期为π.2．把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为（） A ．sin y x = B ．cos y x =C ．sin()4y x π=+D ．sin y x =-【答案】B 【详解】把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2sin(2)cos 242y x x x ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为cos y x =. 3．若16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，则ω=（） A ．3 B ．32C ．34D ．12【答案】B 【详解】解：由题意得，52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，则243ππω=，得32ω=．故选：B4．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间是（） A ．(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()44k ,k k Z ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦D ．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【详解】将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，所以()2sin 22sin 2663g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，即函数()g x 的单调递增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.5．函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像最近两对称轴之间的距离为2π，若该函数图像关于点()0m ,成中心对称，当0,2m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时m 的值为（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 【答案】D 【详解】()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期2π2ω2T ππ==⨯=,2ω∴=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,6x k k Z ππ+=∈,则212k x ππ=-, ∴函数f (x )的对称轴心为,0212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭,k Z ∈, 所以212k m ππ=-，当0,2122k m πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦时,解得：17,66k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 又5π,1,12k Z k m ∈∴=∴=, 6．已知函数()22sin 23sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（）A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点【答案】B 【详解】()22sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故最大值为2，A 错22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故关于3x π=对称，B 对最小正周期为22ππ=，C 错 ()26x k k Z ππ-=∈解得()122k x k Z ππ=+∈，12x π=和712x π=都是零点，故D 错. 7．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【答案】B 【详解】因为()g x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=，所以()()7,62,4422121,442T T n n T n N πππωπππωπππω*⎧-≤=⎪⎪⎪-≥=⎨⎪⎪---==∈⎪⎩得263ω≤≤，423n ω-=，n *∈N ，所以242633n -≤≤，解得15n ≤≤.即1,2,3,4,5n =，可得23ω=，102,3，143，6，经检验均符合题意，所以ω的取值共有5个.8．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】D 【详解】由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+.将点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈；||2ϕπ<， ∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ()()3sin 23sin 233g x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=--≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误；∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 不正确. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z ππ=+∈. 故C 错误；由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故D 正确；9．设函数()sin 2cos 2f x a x b x =+，其中,,0a b R ab ∈≠，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则以下结论：①函数()f x 的图象关于11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；③函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数；④函数()f x 的图象关于()26k x k Z ππ=+∈对称．其中正确的说法是（） A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．①③④【答案】D 【详解】解：由辅助角公式得：())f x x ϕ=+，由()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立，得22()62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以2()6k k Z πϕπ=+∈，取6π=ϕ，从而()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得①正确，由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数的增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，②不正确，根据正弦函数的奇偶性易得③显然正确，由2()62x k k Z πππ+=+∈，得对称轴为()26k x k Z ππ=+∈，④正确， 10．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （AB BC =）中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】A 【详解】不妨设51AB =，则2BC =，所以()512l BE π==⨯，()25135ED =-=所以(352m EG π==⨯，(5135254CG =-=，所以()()254522n GI ππ==⨯=，所以(())3525451222m n l πππ⨯+⨯=⨯==+，故①正确；(2222735354m π-⨯==，))273551522l n ππ-⨯⨯=⋅=，所以2m l n =⋅，故②正确；))35551522l n ππ-⨯++==，((2235352m ππ=⨯⨯-=-，所以2m l n ≠+，故③不正确；11l nl n l n++===⋅(1132mπ==⨯211m l n≠+，故④不正确；所以①②正确，11．已知函数()3sin sin3f x x x=+，则（）A．()f x是奇函数B．()f x是周期函数且最小正周期为2πC．()f x的值域是[4,4]-D．当(0,)xπ∈时()0f x>【答案】ABD【详解】A.()3sin()sin(3)3sin sin3()f x x x x x f x-=-+-=--=-，故()f x是奇函数，故A正确；B.因为siny x=的最小正周期是2π，sin3y x=的最小正周期为23π，二者的“最小公倍数”是2π，故2π是()f x的最小正周期，故B正确；C.分析()f x的最大值，因为3sin3x≤，sin31x≤，所以()4f x≤，等号成立的条件是sin1x=和sin31x=同时成立，而当sin1x=即2()2x k kππ=+∈Z时，336()2x k kππ=+∈Z，sin31x=-故C错误；D.展开整理可得()2()3sin sin cos2cos sin2sin4cos2f x x x x x x x x=++=+，易知当(0,)xπ∈时，()0f x>，故D正确.12．设函数cos2()2sin cosxf xx x=+，则（）A．()()f x f xπ=+B．()f x的最大值为12C．()f x在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增D．()f x在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】AD【详解】()f x的定义域为R，且cos2()2sin cosxf xx x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤当15y =时，有1cos ,sin 44ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max 15y =，故B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确．当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin 20x -<<，故314sin 21x -<+<，因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，故14sin 20x +=在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一解0x ，故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 13．若将函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是（） A ．g (x )的最小正周期为πB ．g (x )在区间[0，2π]上单调递减C ．x =12π是函数g (x )的对称轴 D ．g (x )在[﹣6π，6π]上的最小值为﹣12【答案】AD 【详解】函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度后得()cos 2812g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π，A 正确；222()3k x k k Z ππππ≤+≤+∈()63k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈为g (x )的所有减区间，其中一个减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 错；令23x k ππ+=，得6,2kx k Z ππ=-+∈，故C 错； x ∈[﹣6π，6π]，220,33x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1cos(2),132x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，故 D 对 14．下列说法正确的是（） A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x x π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t =【答案】ACD 【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=--=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos 2x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈，令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-， ()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min 1g t g===-所以，函数()f x 的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥，12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D选项，()2222 22sin cos222costx t x x xf xx x⎛⎫+++⎪⎝⎭=+()()2222cos sin sin2cos2cost x x t x x t x xtx x x x++⋅+⋅+==+++，所以，()()()()22sin sin2cos2cost x x t x xf x t tx xx x--+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t∴+-=，所以，函数()f x的图象关于点()0,t对称，所以，22a b t+==，可得1t=，D对. 15．如图是函数()sin()(0,0,||)f x A x Aωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（）A．2ω=B．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数，()f x的一个对称中心C．2π3ϕ=D．函数()f x在区间4ππ,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数【答案】ACD【详解】由题知，2A=，函数()f x的最小正周期11π5π2π1212T⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以2π2Tω==，故A正确；因为11π11π11π2sin22sin212126fϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11ππ2π62kϕ+=+，k Z∈，解得4π2π3kϕ=-，k Z∈，又||ϕπ<，所以2π3ϕ=，故C正确；函数()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为ππ2ππ2sin 22sin 06633f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+==≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫-⎪⎝⎭不是函数()f x 的一个对称中心，故B 错误；令π2π3π2π22π232m x m +≤+≤+，m Z ∈，得π5ππ1212m x mx -≤≤+，m Z ∈，当1m =-时，13π7π1212x -≤≤-，因为4π13π7ππ,,51212⎡⎤⎡⎤--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在区间4ππ,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故D 正确．。

(完整版)三角函数的图象与性质练习题及答案

三角函数的图象与性质练习题一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形．其中正确的序号为( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示，则当t =1001秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________． 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 15．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．三角函数的图象与性质练习题及答案一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( B ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( A ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( C ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( D ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形．其中正确的序号为( C )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( A )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( A )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( D ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( D ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示，则当t =1001秒时，电流强度是( A )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( A )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________．⎣⎡⎦⎤98π＋3k π，21π8＋3k π (k ∈Z ) 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 31415．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) ②③16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 2 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14，∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)f (x )＝21＋cos 2ωx2＋sin 2ωx ＋1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2＝2⎝⎛⎭⎫sin 2ωx cos π4＋cos 2ωx sin π4＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2，所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z )时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是2＋2，此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝π16＋k π2，k ∈Z .19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．解 f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为T ＝π，所以ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，32. (2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，所以2ω⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ω＝32k ＋12 (k ∈Z )，又0<ω<2，所以－13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象可知，函数的最大值M =3，最小值m =-1，则A =,1213,22)1(3=-==--b ，又π)6π32(2=-=πT ，∴2ππ2π2===T ω，∴f (x )=2sin(2x +φ)+1，将x =6π，y =3代入上式，得1)3π(=+ϕ ∴π22π3πk +=+ϕ，k ∈Z ，即φ=6π+2k π，k ∈Z ，∴φ=6π， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1. (2)由2x +6π=2π+k π，得x =6π+21k π，k ∈Z ， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1的对称轴方程为 216π+=x k π，k ∈Z. 21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12. 由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32. ∵0<x <π，∴－π12<2x －π12<2π－π12. ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π， ∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6. 22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；π4x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2 2.当。

专题4-2 三角函数图像与性质归类-(原卷版)

专题4-2 三角函数图像与性质归类目录一、热点题型归纳【题型一】平移1：正弦←→余弦 (1)【题型二】平移2：识图平移 (3)【题型三】平移3：恒等变形平移 (4)【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质 (5)【题型五】平移5：最小平移 (6)【题型六】平移6：求w 最值 (7)【题型七】正余弦函数对称轴 (8)【题型八】正余弦对称中心 (9)【题型九】三角函数周期 (9)【题型十】单调性与最值 (11)【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值 (11)【题型十二】三角函数零点 (12)【题型十三】图像与性质：x1与x2型 (13)【题型十四】三角函数最值 (14)【题型十五】万能代换与换元 (15)【题型十六】图像和性质综合 (15)二、真题再现 (16)三、模拟检测 (178)【题型一】平移1：正弦←→余弦【典例分析】（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若()f x 的图象向右平移π12个单位后，得到函数()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则（）A ．6π=ϕB ．π4ϕ= C ．π3ϕ= D ．2π5ϕ=1（2023·全国·高三专题练习）已知直线8x π=是函数()2sin(2)||2πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭f x x 的图像的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图像，可把函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（）A ．向左平移24π个单位长度B ．向右平移24π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度2.（2022·全国·高三专题练习）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移712π个单位长度B ．向右平移712π个单位长度 C ．向左平移724π个单位长度D ．向右平移724π个单位长度3.（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移5π24个单位 B ．向右平移7π24个单位 C ．向右平移5π24个单位D ．向左平移7π24个单位【题型二】平移2：识图平移【典例分析】（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））如图，函数()()π2sin 0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像过()π,0,2π,22⎛⎫⎪⎝⎭两点，为得到函数()()2cos g x x ωϕ=-的图像，应将()f x 的图像（）A ．向右平移7π6个单位长度 B ．向左平移7π6个单位长度 C ．向右平移5π2个单位长度D ．向左平移5π2个单位长度()++(0)0Asin x b A ，的步骤和方法：确定函数的最大值M 和最小值2M mA ，2M mb；：确定函数的周期T ，则可2T得＝；：常用的方法有代入法和五点法．把图象上的一个已知点代入(此时A b ，，已知)或代入图象与直线y b ＝的交点求解注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．五点法”中的某一个点为突破口．【变式演练】1.（2022·河南·高三阶段练习（理））函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω且0πϕ<<）在一个周期内的图象如图所示，将函数()y f x =图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则π3g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）AB ．1C ．－1D ．2.（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的(0)m m >倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的(0)n n >倍，横坐标不变，得到如图所示的函数()f x 的部分图象，则,,m n ϕ的值分别为（）A ．22,2,3m n πϕ===B ．12,2,23m n πϕ===C ．2,2,3m n πϕ===D ．1,2,23m n πϕ===3.（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．12 B ．12-C D ．【题型三】平移3：恒等变形平移【典例分析】（2022·湖北·高三开学考试）要得到2()sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象（） A ．向左平移24π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()sin 2cos g x x x =+的图象，则()g ϕ=（）A ．65B ．115C ．15 D ．852.（2022·全国·高三专题练习）为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度3.（【百强校】2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学）设()cos 22f x x x =，把()y f x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位后，恰好得到函数()cos 22g x x x =-的图象，则ϕ的值可以为（） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线3x π=对称，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．0D ．12)+)00((Asin x A ，两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。

三角函数的图象与性质-2023届高三数学一轮复习题型训练(含解析)

三角函数的图象与性质题型（一）三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系1．已知点()5,P m -为角α终边上一点，2αβ=，且1cos 2tan 226sin 2βββ++=，则m =（） A ．2B ．2±C ．1D ．±12．已知点(,22)P x 是角α终边上一点，且1cos 3α=-，则πcos()6α+等于（）A ．3226+-B ．3226+ C ．3226- D ．2236- 3．已知2sin cos 3θθ+=，则tan tan 2πθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（）A ．97-B ．187-C ．718 D ．794．设0απ<<，7sin cos 13αα+=，则1tan 1tan αα-+的值为（） A ．177B ．717C ．177-D ．717-5．若tan 2θ=-，则()sin cos sin 1sin 2θθθθ+=+（）A ．56-B ．52C ．52-D ．566．已知sin 2sin 026ππαα⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23sin cos 12cos ααα⋅+=__________．题型（二）三角函数的图象与解析式1．已知()()()0,0,f x Asin x A ωϕωωπ=+>><的一段图象如图所示，则（） A ．()324f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 的单调递增区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()f x 的图象向左平移58π个单位后得到的是一个奇函数的图象2．如图是函数()sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象，将()f x 的图象上所有的点向右平行移动4π个单位长度可得()g x 的图象，则()g x =（）A ．sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．cos 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．已知函数()sin cos f x x x =-经过变换可得()sin 2cos2g x x x =+，则下列变换正确的是（）A ．先将()f x 的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍B ．先将()f x 的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍C ．先将()f x 的图象向左平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍D ．先将()f x 的图象向左平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍题型（三）三角函数的性质及应用1．设函数()21cos cos 2f x x x x =-，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为π B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．将函数cos2y x =的图象向左平移6π个单位可以得到函数()f x 的图象 D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减2．已知函数()2cos 21f x x x =-+，下列结论中正确的有_______ （1）()f x 的图象关于,112π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称（2）()f x 在511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减（3）()f x 的图象关于3x π=对称（4）()f x 的最大值为33．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，()sin(2)g x A x ωϕ=-，给出以下说法：①将()y f x =的图象向左平移34个单位长度可以得到()g x 的图象；②()g x 的图象关于直线x =1对称； ③()g x 的图象关于点5(,0)2成中心对称；④()g x 在719(,)44上单调递减.其中所有正确说法的编号是___________【课后精练】一、单选题1．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该壁画的扇面面积约为（）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm2．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（）A B C D 3．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为23π，AB 长为403π，CD 长为10π，则扇面ABCD 的面积为（）A ．1753πB ．3503πC ．21759πD ．23509π4．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（）． A ． B ．C ．D ．5．已知函数()()2sin ),2(f x x o πωϕωϕ=+>≤图象相邻两条对称轴间的距离为π，且对任意实数x ，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．将函数()y f x =图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则关于函数()()y f x g x =+描述不正确的是（）A ．最小正周期是2πBC ．函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．图象关于直线4x π=对称6．已知(0,)απ∈，且2cos2cos 1αα+=，则tan α=（）A B ．53C D 7．将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()cos2y g x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A B ．2- C ．D ．32-三角函数的图象与性质题型（一）三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系1．已知点()5,P m -为角α终边上一点，2αβ=，且1cos 2tan sin 2βββ++=，则m =（） A ．2 B ．2± C ．1 D ．±1【答案】C 【详解】因为点()5,P m -在角α的终边上，所以sin α=因为2cos 212cos cos sin 22sin cos sin βββββββ+==，所以1cos 2cos sin 12tansin 2sin cos sin cos sin 2ββββββββββ++=+===sin sin 2αβ===1m =. 故选：C.2．已知点(,P x 是角α终边上一点，且1cos 3α=-，则πcos()6α+等于（）A ．BCD 【答案】A 【详解】因点(,P x 是角α终边上一点，则有cos α，而1cos 3α=-，13=-，解得1x =-，则sin α==因此，π11cos()cos cos sin sin ()66632ππααα+=-=--=所以πcos()6α+等于6-.故选：A3．已知sin cos θθ+=tan tan 2πθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（）77189【答案】B 【详解】由sin cos 3θθ+=，两边平方得212sin cos 9θθ+=，则7sin cos 18θθ=-，则sin sin sin cos 1182tan tan 2cos cos sin sin cos 7cos 2πθπθθθθθπθθθθθθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+-=+=+==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. 故选：B.4．设0απ<<，7sin cos 13αα+=，则1tan 1tan αα-+的值为（） A ．177B ．717C ．177-D ．717-【答案】C 【详解】由7sin cos 13αα+=，平方得到491sin 2169α+=，49120sin 21216916s 9in cos ααα∴=-=-=， 0απ<<，∴2απ<<π， cos 0α∴<，而sin 0α>，cos sin 0αα∴-<；令cos sin (0)t t αα=-<，则21sin 2t α=-，21202891sin 21169169t α∴=-=+=，0t < 1713t ∴=-∴1tan cos sin 13131717(cos sin )()1tan cos sin 77137αααααααα--==-=⨯-=-++，故选：C ．5．若tan 2θ=-，则()sin cos sin 1sin 2θθθθ+=+（）6226【答案】B 【详解】由题意可得：()()22sin cos sin cos 1sin 1sin 2sin sin cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθ++==+++22222sin cos 1tan 5sin sin cos tan tan 2θθθθθθθθ++===++. 故选：B.6．已知sin 2sin 026ππαα⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23sin cos 12cos ααα⋅+=__________．【答案】6 【详解】因为sin 2sin 026ππαα⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos 2sin cos 2cos sin 066ππααα-+=，即2cos 3sin αα=，所以23tan 3α=，所以222223sin cos 12cos 3tan 122123sin cos 12cos 64sin cos tan 113αααααααααα++++====+++．故答案为：6应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误。

高考数学解答题(新高考)三角函数的图象与性质(零点或根的问题)(典型例题+题型归类练)(解析版)

专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍()()sin f x A x k ωϕ=+=实根问题，换元法令t x ωϕ=+将函数()f x 化简为sin y A t =，在利用正弦函数sin t 的图象来解决交点（根，零点）的问题.二、典型例题例题1．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图像如图所示. (1)求函数()f x 的解析式； (2)设02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.第（2）问思路点拨：本小题要求时，方程有两个根，求的取值范围,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，作出函数的图象，根据图象讨论的的个数.图象可知：与的图象在内有两个不同的交点时，，故实数的取值范围为.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()1,2(1)显然2A =，又1121212T ππππω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 06πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以()Z 6k k πϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以所求的函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，即()y f x =与y m =的图像在02x π<<内有两个不同的交点，令26t x π=+，则7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作出函数2sin y t =的图像如下：由图像可知：2sin y t =与y m =的图像在7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点时，12m <<，故实数m 的取值范围为()1,2.例题2．（2022·山东德州·高一期中）已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()1cos ,cos sin 2b x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()01ω<≤，函数()1f x a b =⋅+，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[]0,x π∈时，讨论方程()0f x m -=的根的情况．【答案】(1)()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)答案见解析(1)已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()()1cos ,cos sin 012b x x x ωωωω⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，第（2）问思路点拨：本小题要求时，讨论方程的根的情况,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，则讨论方程的根的情况，转化为的根的情况.作出的图象.1．当或，即或时，有0个根； 2．当或，即或时，有1个根；3．当或，即或时，有2个根；4．当，即时，有3个根由图象可知则()12cos 21sin 2126f x x x x πωωω⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由于直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．所以26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭或0，所以2662k πππωπ⋅⋅+=+，()k ∈Z ，所以31k ω=+．由于01ω<≤，所以，当0k =时，1ω=，所以()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)由题意得sin 216x m π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令26u x π=+，13,66u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sin 1u m =-，如图．1．当11m ->或11m -<-，即0m <或2m >时，()f x 有0个根； 2．当11m -=或11m -=-，即0m =或2m =时，()f x 有1个根； 3．当1112m <-<或1112m -<-<，即322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；4．当112m -=，即32m =时，()f x 有3个根综上，当0m <或2m >时，()f x 有0个根；当0m =或2m =时，()f x 有1个根；当322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；32m =时，()f x 有3个根．例题3．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数()2sin f x x =，将()f x的图象向右平移3π个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象. (1)求函数()g x 的解析式及单调递增区间； (2)方程()25g x =在17,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的根从小到大依次为123,,x x x ，求1232x x x ++的值.第（2）问思路点拨：方程在上的根从小到大依次为，求的值.可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则其中，；即，，，，.根据图象作答转化为：方程在有个解，作出图象和问题转化作图象，找交点【答案】(1)()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)123823x x x π++= (1)2sin 33f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2sin 23g x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭；令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z(2)令()22sin 235g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1sin 235x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；17,612x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，520,32x ππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，设23x πθ=-，其中50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1sin 5θ=，结合正弦函数5sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的图象可知：方程1sin 5θ=在50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有3个解123,,θθθ，其中12θθπ+=，233θθπ+=；即122233x x πππ-+-=，2322333x x πππ-+-=，1256x x π∴+=，23116x x π+=，123823x x x π∴++=. 三、题型归类练1．（2022·河南驻马店·高一期中（理））已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π． (1)求函数()f x 的解析式；(2)()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；2m <.(1)角ϕ的终边经过点(1,P ，∴tan ϕ=∵02πϕ-<<，∴3πϕ=-，由()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，∴3ω=，∴()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)∵()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，即()y f x =与y m =的图象在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点，令33t x π=-，由0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，即2sin y t =与y m =在2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上有两个交点，2m <.2．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)m ⎡∈⎣，12(1)解：)()2cos cos 1f x xx x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x 的周期为T ，则,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则228888T AB BC π⋅=-=-，所以T π=．故22T ππω==，故1ω=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(2)由题意，函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的零点，1x ，2x ，3x ，即曲线()y f x =与y m =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的交点．设26t x π=+，当130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则2sin y t =，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m ⎡∈⎣，12t t π+=，233t t π+=，所以12324t t t π++=，即12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即123523x x x π++=，所以12351cos(2)cos32π++==x x x ．3．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知函数()()2sin cos 23f x x x x π=+． (1)求函数f (x )的最小正周期T 及()1003f π的值；(2)若关于x 的方程()12f x a π+=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)最小正周期π，(2)1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.(1)解：()2sin cos 3f x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12sin cos 2x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos x x x x =1sin22x x =1sin22x =T π=，100133sin 233323f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)解：sin 22126f x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 23023662x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，设32,[,]662t x t πππ=+∈，所以sin 2t a =有两个解，结合图像可知1212a ≤< 故1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．4．（2022·山东潍坊·高一期中）已知函数()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()y f x k =-在区间130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点12,x x ，求k 的取值范围，并求12x x +的值．【答案】(1)最小正周期π，单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)k 的范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，12x x +为53π或23π.(1)因为()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()3cos 223sin cos sin cos 2x x x x x x =++-()22cos 223sin c 3s 2o x x x x =+-cos 223cos 223x x x =- 63sin 2x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==，令222262k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，则()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)由题意，()0f x k -=在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个解12,x x ，即()y f x =与y k =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点，由130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,266x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图象如下，由图知：k 的取值范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，设3sin y t =与y k =在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的两个交点的横坐标分别为12,t t ，当33,2k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时12,t t 关于32t π=对称，即12,x x 关于56x π=对称，则1253x x π+=；当()0,3k ∈时12,t t 关于2t π=对称，即12,x x 关于3x π=对称，则1223x x π+=；综上，12x x +的值是53π或23π. 5．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，且()g x 为偶函数．(1)求函数()f x 和()g x 的解析式；(2)若对a ∀，[]0,b m ∈．当a b <时，都有()()()()f b f a g a g b ->-成立，求m 的取值范围；(3)若关于x 的方程()()f x g x k +=在130,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，求k 的取值范围和123422x x x x +++的值．【答案】(1)()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()cos2g x x =(2)012m π<≤.(3)32<k ，132π (1)由题意()sin 263g x f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，即sin 2sin 233x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，而2πϕ<，故0k =，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()sin 2cos 22π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭g x x x ． (2)对a ∀，[]0,b m ∈，a b <，都有()()()()f b f a g a g b ->-，()()()()f b g b f a g a +>+，设()()()h x f x g x =+，则()h x 在[]0,m 单调递增．又()()()3sin 2cos 22cos 22623h x f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令23u x π=+，则,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，y u =在,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦递增，故232m ππ+≤，012m π<≤．(3)()()()23h x f x g x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令23t x π=+，则14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sint =恰有4个不等实根1t ，2t ，3t ，4t ，则32<k ，不妨设1234t t t t <<<，函数()sin t t ϕ=，14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与函数y =4个交点，如图所示（略），()sin t t ϕ=在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，57,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，914,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1433ππϕϕ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭591222πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，37122ππϕϕ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12322t t π+=，23522t t π+=，34722t t π+=，12342215t t t t π+++=， ()1234222215x x x x ππ++++=，123413222x x x x π+++=． 6．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ≤）的部分图象大致如图．(1)求()f x 的单调递增区间．(2)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数()g x 的图象．若关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)[)1,2 (1)根据图象，可得1A =，由124312πππω⋅=-，得2ω=．所以()()cos 2f x x φ=+，由2012πϕ⨯+=，得6πϕ=-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令2226k x k ππππ-≤-≤，Z k ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈． (2)将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ：cos 2sin 2466y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则需直线y m =与2sin y t =的图象在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦两个不同的公共点．画出2sin y t =在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的简图如下：1,2．所以实数m的取值范围为[)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第 1 页共 7 页难点15 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●难点磁场

(★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－2)＞0,试证不等式f(x)=)sincos()sincos(xx

＜2对一切非零实数都成立. ●案例探究［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围. 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一：∵z1=2z2，

∴m+(2－m2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴sin222cos22mm

∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－41)2－89. 当sinθ=41时λ取最小值－89，当sinθ=－1时，λ取最大值2.

解法二：∵z1=2z2 ∴sin222cos22mm

∴222sin2cos2mm, ∴4)22(4222mm=1. ∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t≤4, 第 2 页共 7 页

令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,则0)4(0)0(424300ff或f(0)·f(4)≤0 ∴0220434589或或 ∴－89≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－89，2］. ［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题. 错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. 解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：







20021sin4sincoscosgtvLhtvLS



由①②整理得：v0cosθ=.21sinsin,cos0gttLvtL ∴v02+gLsinα=41g2t2+22tL≥2222412tLtg=gL 运动员从A点滑至O点，机械守恒有:mgh=21mv02, ∴v02=2gh,∴L≤)sin1(2)sin1(20gghgv=200(m)

即Lmax=200(m),又41g2t2=22222tLthS.

① ② 第 3 页共 7 页

∴cos22coscos,20gLghtvLSgLt 得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值为200米，当L最大时，起跳仰角为30°. ［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式.

命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目. 知识依托：依据图象正确写出解析式. 错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母. 技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式. 解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)； (2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.

∴221=14－6,解得ω=8,由图示A=21(30－10)=10，b=21(30+10)=20，这时

y=10sin(8x+φ)+20,将x=6,y=10代入上式可取φ=43π.综上所求的解析式为y=10sin(8x+

43π)+20,x∈［6,14］.

●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有： 1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用. 2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强. 3.三角函数与实际问题的综合应用. 此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用. ●歼灭难点训练一、选择题 1.(★★★★)函数y=－x·cosx的部分图象是( ) 第 4 页共 7 页

2.(★★★★)函数f(x)=cos2x+sin(2+x)是( ) A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数二、填空题

3.(★★★★)函数f(x)=(31)｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________.

4.(★★★★★)设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－4,3，］上单调递增，则ω的取值范围是_________. 三、解答题 5.(★★★★)设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0. (1)求证：b+c=－1； (2)求证c≥3； (3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b，c的值. 6.(★★★★★)用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值. 7.(★★★★★)有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.

8.(★★★★)设－6≤x≤4，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小值.

9.(★★★★★)是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+85a－23在闭区间［0，2］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.

参考答案难点磁场

证明：若x＞0，则α+β＞2∵α、β为锐角，∴0＜2－α＜β＜2;0＜2－β＜2,

∴0＜sin(2－α)＜sinβ.0＜sin(2－β)＜sinα，∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,∴0＜

sin

cosα＜1,0＜sincos＜1,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)=2.若x＜0,α+β＜2,∵α、

β为锐角，0＜β＜2－α＜2,0＜α＜2－β＜2,0＜sinβ＜sin(2－α),∴sinβ＜cos第 5 页共 7 页

α,0＜sinα＜sin(2－β),∴sinα＜cosβ,∴sincos＞1, sincos＞1, ∵f(x)在(－∞,0）上单调递增，∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立. 歼灭难点训练

一、1.解析：函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈(0, 2)时， y＜0. 答案：D

2.解析：f(x)=cos2x+sin(2+x)=2cos2x－1+cosx

=2［(cosx+81)2212］－1. 答案：D 二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－2,0］及［2,π］.而

f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－2,0］及［2,π］为f(x)的递减区间. 4.解：由－2≤ωx≤2，得f(x)的递增区间为［－2,2］，由题设得

.230,23: 4232],2,2[]4,3[解得三、5.解：(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0. 从而知f(1)=0∴b+c+1=0. (2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为b+c=－1,∴c≥3.

(3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－21c)2+c－()21(c)2,

当sinα=－1时，［f(sinα)］max=8,由0181cbcb解得b=－4,c=3. 6.解：如图，设矩形木板的长边AB着地，并设OA=x，OB=y，则a2=x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα).

∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤)cos1(22a (当且仅当x=y时取“=”号)，故此时