高考数学理科考点解析及考点分布表
2024年高考数学新增高频考点(解析版)
(多拿20分)2024年高考数学新增高频考点专题突破新增高频考点1：复数的三角表示新增高频考点2：三角函数的积化和差公式新增高频考点3：三角函数的和差化积公式新增高频考点4：投影向量新增高频考点5：百分位数新增高频考点6：点、线、面距离公式新增高频考点7：条件概率新增高频考点8：全概率公式新增高频考点9：贝叶斯公式新增高频考点10：二项分布中的最大项2023年高考数学新增高频考点专题突破一．复数的三角表示(共5小题)1已知复数z 1=2cos π12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6，则z 1z 2的代数形式是()A.6cosπ4+i sin π4B.6cos π12+i sin π12 C.3-3i D.3+3i2若复数z =r (cos θ+i sin θ)(r >0，θ∈R )，则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数z =32+12i 的三角形式正确的是()A.cos π6+i sinπ6 B.sin π6+i cos π6 C.cos π3+i sin π3 D.sin π3+i cos π33已知复数z =cos θ+i sin θ(i 为虚数单位)，则()A.|z |=2B.z 2=1C.z ⋅z =1D.z +1z为纯虚数4复数z =cos -2π5+i sin -2π5 的辐角主值为()A.8π5B.-8π5C.2π5D.-2π55任何一个复数z =a +bi (其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z =r (cos θ+i sin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ)(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数cos π8+i sin π8 m (m ∈N *)为纯虚数，则正整数m 的最小值为()A.2B.4C.6D.8二．三角函数的积化和差公式(共5小题)6设直角三角形中两锐角为A 和B ，则cos A cos B 的取值范围是()A.0，12B.(0，1)C.12，1 D.34，17利用积化和差公式化简sin αsin π2-β 的结果为()A.-12[cos (α+β)-cos (α-β)]B.12[cos (α+β)+cos (α-β)]C.12[sin (α+β)-sin (α-β)]D.12[sin (α+β)+sin (α-β)]8已知cos α+cos β=12，则cos α+β2cos α-β2的值为．9已知sin (α+β)•sin (β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β的值为．10已知α，β为锐角，且α-β=π6，那么sin αsin β的取值范围是．三．三角函数的和差化积公式(共5小题)11对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是()A.2sin α•cos β=sin (α+β)+sin (α-β)B.2cos α•sin β=sin (α+β)+cos (α-β)C.cos α+cos β=2sin α+β2⋅sin α-β2D.cos α-cos β=2cos α+β2⋅cosα-β212在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a +c =2b ，则tan A2•tan C 2的值为(参考公式：sin A +sin C =2sin A +C 2cos A -C2)()A.2B.12C.3D.1313已知sin α+sin β=2165，cos α+cos β=2765，则sin β-sin αcos β-cos α=．14已知sin α+sin β=14，cos α+cos β=13，则tan (α+β)的值为．15在△ABC 中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B +cos C =sin B +sin C ，则△ABC 为三角形．四．投影向量(共5小题)16已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，则向量a -b在向量b 上的投影向量为()A.-12aB.-12bC.32bD.-32b17已知平面向量a =(-2，λ)，b =(1，1)，且a ⊥b ，则a -b 在b方向上的投影向量的坐标为()A.(1，1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(-1，-1)18在正△ABC 中，向量AB 在CA上的投影向量为()A.12CAB.-12CAC.32CAD.-32CA19设a ，b 是两个单位向量，若a +b 在b 上的投影向量为23b，则cos ‹a ，b ›=()A.-13B.13C.-223D.22320已知|a |=2|b |，若a 与b的夹角为120°，则2b -a 在a 上的投影向量为()A.3-3aB.-32aC.-12aD.3a五．百分位数(共5小题)21学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是．22为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()A.76B.77C.78D.8023某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是()件数7891011人数37541A.8.5B.9C.9.5D.1024某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A.频率分布直方图中a 的值为0.012B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为11025某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm )的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为．六．点、线、面间的距离(共3小题)26如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，∠BAE =π2，AB =AD =AE =2BC =2，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．27如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB =AE =2BF =2．(1)证明：CF ∥平面ADE ；(2)在棱EC 上有一点M (不包括端点)，使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，求点M 到平面BCF 的距离．28如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB 所成的角的余弦值为255，求点P 到平面AEF 的距离．七．条件概率(共8小题)29已知事件A 、B 满足P (A |B )=0.7，P (A)=0.3，则()A.P (A ∩B )=0.3B.P (B |A )=0.3C.事件A ，B 相互独立D.事件A ，B 互斥30已知P (A )=13，P (B |A )=23，P (B |A )=14，则P (B )=，P (A|B )=．31研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若P (A )=415，P (B )=215，P (C )=710，则P (B |A )=．32已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()A.0.75B.0.8C.0.76D.0.9533为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12．(注：比赛结果没有平局)(Ⅰ)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(Ⅱ)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(Ⅲ)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率．34某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.611D.61735人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．36某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1=110，P 2=19，P 3=18．(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．八．全概率公式(共2小题)37某铅笔工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为()A.0.92B.0.08C.0.54D.0.3838假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()A.18B.320C.740D.15九．贝叶斯公式(共2小题)39对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取若干名患者，检测发现其中感染了“普通型毒株”、“奥密克戎型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为5：3：2．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“奥密克戎毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为78%、60%、75%，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是；若已知这款新药对“新冠病毒”有效，求该药对“奥密克戎毒株”的有效率是．40英国数学家贝叶斯(1701-1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A ，B ，A(A 的对立事件)存在如下关系：P (B )=P (B |A )•P (A )+P (B |A )•P (A)．若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为()A.0.01B.0.0099C.0.1089D.0.1十．二项分布中的最大项(共3小题)41若X ~B 100，13 ，则当k =0，1，2，⋯，100时()A.P (X =k )≤P (X =50)B.P (X =k )≤P (X =32)C.P (X =k )≤P (X =33)D.P (X =k )≤P (X =49)42已知随变量从二项分布B 1001，12，则()（多选）A.P (X =k )=C k100112 1001 B.P (X ≤301)=P (X ≥701)C.P (X >E (X ))>12D.P (X =k )最大时k =500或50143经检测有一批产品合格率为75%，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P (ξ=k )取得最大值时k 的值为．(多拿20分)2023年高考新增高频考点专题突破新增高频考点1：复数的三角表示新增高频考点2：三角函数的积化和差公式新增高频考点3：三角函数的和差化积公式新增高频考点4：投影向量新增高频考点5：百分位数新增高频考点6：点、线、面距离公式新增高频考点7：条件概率新增高频考点8：全概率公式新增高频考点9：贝叶斯公式新增高频考点10：二项分布中的最大项参考答案与试题解析一．复数的三角表示(共5小题)已知复数z 1=2cos π12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6 ，则z 1z 2的代数形式是()+i sin π4B.6cos π12+i sin π12 D.3+3i【解析】：∵z 1=2cosπ12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6 ，∴z 1z 2=6cos π12+i sin π12 cos π6+i sin π6=6cos π12cos π6-sin π12sin π6 +cos π12sin π6+sin π12cos π6 i=6cos π12+π6 +i sin π12+π6=6cos π4+i sin π4 =622+22i=3+3i ，故选：D ．z =r (cos θ+i sin θ)(r >0，θ∈R )，则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数z =32+12i 的三角形式正确的是()A.cos π6+i sinπ6 B.sin π6+i cos π6 C.cos π3+i sin π3 D.sin π3+i cos π3【解析】：z =32+12i 的模为1，辐角为π6，则复数z =32+12i 的三角形式为cos π6+i sin π6．故选：A ．z =cos θ+i sin θ(i 为虚数单位)，则()A.|z |=2B.z 2=1C.z ⋅z =1D.z +1z为纯虚数【解析】：对于A ，|z |=cos 2θ+sin 2θ=1，故A 错误，对于B ，z 2=(cos θ+i sin θ)2=cos 2θ+2sin θcos θi +i 2sin 2θ=cos 2θ-sin 2θ+2cos θsin θi ，故B 错误，对于C ，z ⋅z=(cos θ+i sin θ)(cos θ-i sin θ)=cos 2θ+sin 2θ=1，故C 正确，对于D ，z +1z =cos θ+i sin θ+1cos θ+i sin θ=cos θ+i sin θ+cos θ-i sin θ(cos θ+i sin θ)(cos θ-i sin θ)=2cos θ，故D 错误．故选：C ．=cos -2π5 +i sin -2π5的辐角主值为()B.-8π5C.2π5D.-2π5=cos -2π5 +i sin -2π5 ，∴复数z 的辐角为2k π-2π5，k ∈Z ，∴复数z 的辐角主值为2π-2π5=8π5．5任何一个复数z =a +bi (其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z =r (cos θ+i sin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ)(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数cos π8+i sin π8m(m ∈N *)为纯虚数，则正整数m 的最小值为()A.2B.4C.6D.8【解析】：∵复数cosπ8+i sin π8 m =cos m π8+i sin m π8为纯虚数，∴cos m π8=0，sin m π8≠0，∴m π8=k π+π2，k ∈Z ，根据m ∈N *，可得正整数m 的最小值为4，此时，k =0，故选：B ．二．三角函数的积化和差公式(共5小题)6设直角三角形中两锐角为A 和B ，则cos A cos B 的取值范围是()A.0，12B.(0，1)C.12，1 D.34，1【解析】：直角三角形中两锐角为A 和B ，A +B =C =π2，则cos A cos B =12[cos (A -B )+cos (A +B )]=12cos (A -B )，再结合A -B ∈-π2，π2，可得cos (A -B )∈(0，1]，∴12cos (A -B )∈0，12 ，故选：A ．7利用积化和差公式化简sin αsin π2-β的结果为()A.-12[cos (α+β)-cos (α-β)] B.12[cos (α+β)+cos (α-β)]C.12[sin (α+β)-sin (α-β)]D.12[sin (α+β)+sin (α-β)]【解析】：sin αsin π2-β =sin αcos β=12[sin (α+β)+sin (α-β)]故选：D ．8已知cos α+cos β=12，则cos α+β2cos α-β2的值为 14 ．【解析】：∵cos α+cos β=12，∴cos α+β2cos α-β2=12cos α+β2-α-β2 +cos α+β2+α-β2 =12(cos α+cos β)=12×12=14．故答案为：14．9已知sin (α+β)•sin (β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β的值为 m ．【解析】：由已知得：sin (α+β)•sin (β-α)=cos2α-cos2β2=(2cos 2α-1)-(2cos 2β-1)2=cos 2α-cos 2β=m10已知α，β为锐角，且α-β=π6，那么sinαsinβ的取值范围是 0，32 ．【解析】：∵α-β=π6∴sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]=-12cos(α+β)-32=-12cos2β+π6-32∵β为锐角，即0<β<π3∴π6<2β+π6<5π6，∴-32<cos2β+π6<32∴0<-12cos2β+π6-32<32故答案为：0，3 2三．三角函数的和差化积公式(共5小题)11对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是()A.2sinα•cosβ=sin(α+β)+sin(α-β)B.2cosα•sinβ=sin(α+β)+cos(α-β)C.cosα+cosβ=2sinα+β2⋅sinα-β2D.cosα-cosβ=2cosα+β2⋅cosα-β2【解析】：sin(α+β)+sin(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ-cosαsinβ=2sinαcosβ，故选：A．12在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，则tan A2•tan C2的值为(参考公式：sin A+sin C=2sin A+C2cos A-C2)()A.2B.12C.3 D.13【解析】：∵a+c=2b，∴由正弦定理得sin A+sin C=2sin B=2sin(A+C)，即2sin A+C2cos A-C2=4sin A+C2cos A+C2，在三角形中sin A+C2≠0，∴cos A-C2=cos A+C2，即cosαA2cos C2+sin A2sin C2=2cos A2cos C2-2sin A2sin C2，即3sin A2sin C2=cos A2cos C2，即sin A2sin C2cos A2cos C2=13，即tan A2•tan C2=13，故选：D．13已知sinα+sinβ=2165，cosα+cosβ=2765，则sinβ-sinαcosβ-cosα= -97 ．【解析】：sin α+sin β=2165，可得2sin α+β2cos α-β2=2165⋯①cos α+cos β=2765，2cos α+β2cos α-β2=2765⋯②．①②可得sin α+β2cosα+β2=2127=79．sin β-sin αcos β-cos α=-2cos α+β2sin α-β22sin α+β2sin α-β2=-cos α+β2sinα+β2=-97．故答案为：-97．14已知sin α+sin β=14，cos α+cos β=13，则tan (α+β)的值为 247 ．【解析】：由sin α+sin β=14，得2sinα+β2cos α-β2=14，由cos α+cos β=13，得2cos α+β2cos α-β2=13，两式相除，得tanα+β2=34，则tan (α+β)=2tan α+β21-tan 2α+β2=2×341-34 2=247故答案为：24715在△ABC 中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B +cos C =sin B +sin C ，则△ABC 为直角三角形．【解析】：由cos B +cos C =sin B +sin C 得到2cosB +C 2cos B -C 2=2sin B +C 2cos B -C2两边同除以2cos B -C 2得sin B +C 2=cos B +C 2即tan B +C2=1，由0<B <π，0<C <π，得到B +C 2∈(0，π)，所以B +C 2=π4即B +C =π2，所以A =π2，则△ABC 为直角三角形．故答案为：直角四．投影向量(共5小题)16已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，则向量a -b在向量b 上的投影向量为()A.-12aB.-12bC.32bD.-32b【解析】：因为两个单位向量a 和b的夹角为120°，所以a ⋅b =|a |⋅|b |cos120°=1×1×-12=-12，所以(a -b )⋅b =a ⋅b -b 2=-12-1=-32，故所求投影向量为(a-b )⋅b |b |⋅b =-32b．故选：D ．17已知平面向量a =(-2，λ)，b =(1，1)，且a ⊥b ，则a -b 在b方向上的投影向量的坐标为()A.(1，1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(-1，-1)【解析】：已知a =(-2，λ)，b =(1，1)，由于a ⊥b ，所以a ⋅b=(-2)×1+λ×1=0，解得λ=2，所以a =(-2，2)，b =(1，1)，得a -b=(-3，1)，则(a -b )⋅b=(-3)×1+1×1=-2，|b |=12+12=2，故a -b 在b 方向上的投影为(a -b )⋅b|b |=-22=-2，得a -b 在b方向上的投影向量为-2⋅b 2=(-1，-1)．故选：D ．18在正△ABC 中，向量AB 在CA上的投影向量为()A.12CA B.-12CA C.32CA D.-32CA【解析】：AB 与CA 的夹角为2π3，则cos ‹AB ，CA ›=-12，根据投影向量的定义有：AB 在CA 上的投影向量为|AB |⋅cos ‹AB ，CA ›⋅CA|CA |=-12CA ．故选：B ．19设a ，b 是两个单位向量，若a +b 在b 上的投影向量为23b，则cos ‹a ，b ›=()A.-13B.13C.-223D.223【解析】：∵a +b 在b 上的投影向量为23b，∴(a+b )⋅b |b |⋅b |b |=23b ，∴a ⋅b =-13，∵|a|=|b |=1，∴由向量的夹角公式可知，cos ‹a ，b ›=a ⋅b |a ||b |=-13．故选：A ．20已知|a |=2|b |，若a 与b的夹角为120°，则2b -a 在a 上的投影向量为()A.3-3aB.-32aC.-12aD.3a【解析】：∵|a|=2|b |，a 与b 的夹角为120°，∴(2b -a )⋅a =2a ⋅b -a 2=2|a |⋅12|a | ⋅cos120°-a 2=-32a 2，∴2b -a 在a 上的投影向量为：(2b -a )⋅a |a |⋅a|a |=-32a ．故选：B ．五．百分位数(共5小题)21学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是90分．【解析】：8名学生的成绩从小到大排列为：63，68，76，77，82，88，92，93，因为8×75%=6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即12×(88+92)=90(分)．故答案为：90分．22为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()A.76B.77C.78D.80【解析】：记构成的等差数列为{a n }，则a n =70+2(n -1)=2n +68，∵10×40%=4，∴这10个班级的平均成绩的第40百分位数为a 4+a 52=76+782=77，故选：B ．23某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是()件数7891011人数37541A.8.5B.9C.9.5D.10【解析】；抽取的工人总数为20，20×75%=15，那么第75百分位数是所有数据从小到大排序的第15项与第16项数据的平均数，第15项与第16项数据分别为9，10，所以第75百分位数是9+102=9.5．故选：C ．24某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A.频率分布直方图中a 的值为0.012B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为110【解析】：由频率分布直方图可得，(a +0.01+0.03+0.035+0.01)×10=1，解得a =0.015，故A 错误，设第60百分位数为x ，则0.1+0.015+(x -70)×0.035=0.6，解得x =80，故B 正确，估计这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C 错误，估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为1000×0.01×10=100，故D 错误．故选：B ．25某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm )的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为10.8．【解析】：数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，所以12×80%=9.6，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8．故答案为：10.8．六．点、线、面间的距离计算(共3小题)26如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，∠BAE =π2，AB =AD =AE =2BC =2，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明：取DE 中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别为AE ，DE 中点，∴FG ∥AD ，FG =12AD ，又AD ∥BC ，BC =12AD ，∴BC ∥FG ，BC =FG ，∴四边形BCGF 为平行四边形，∴BF ∥CG ，又BF ⊄平面CDE ，CG ⊂平面CDE ，∴BF ∥平面CDE ．(2)∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面ABE ，又∠BAE =π2，则以A 为坐标原点，AB ，AE ，AD正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则F (0，1，0)，C (2，0，1)，D (0，0，2)，E (0，2，0)，∴CD =(-2，0，1)，DE =(0，2，-2)，FE =(0，1，0)，设平面CDE 的法向量n=(x ，y ，z )，则CD ⋅n=-2x +z =0DE ⋅n =2y -2z =0，令x =1，解得：y =2，z =2，∴n=(1，2，2)，∴点F 到平面CDE 的距离d =|FE ⋅n||n |=23．27如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB =AE =2BF =2．(1)证明：CF ∥平面ADE ；(2)在棱EC 上有一点M (不包括端点)，使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，求点M 到平面BCF 的距离．【答案】(1)证明：取AE 的中点G ，连接GD ，GF ，因为BF ∥EA ，且BF =12AE ，所以AG ∥BF 且AG =BF ，所以四边形AGFB 是平行四边形，所以GF ∥AB ，又因为ABCD 是菱形，所以AB ∥DC ，且AB =DC ，所以GF ∥DC 且GF =DC ，所以四边形CFGD 是平行四边形，CF ∥DG ，又CF ⊄平面ADE ，DG ⊂平面ADE ，所以CF ∥平面ADE ；解：(2)连接BD 交AC 于N ，取CE 中点P ，∵PN ∥AE ，EA ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥平面ABCD ，且CN ⊥BN ，∴以N 为原点，NC ，NB ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设在棱EC 上存在点M 使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，E (-1，0，2)，B (0，3，0)，C (1，0，0)，F (0，3，1)，A (-1，0，0)，D (0，-3，0)则设CM =λCE=λ(-2，0，2)(0<λ<1)，∴M (1-2λ，0，2λ)，所以DM =(1-2λ，3，2λ)，DB =(0，23，0)，BC =(1，-3，0)，FB=(0，0，-1)设平面DBM 的一个法向量为n=(x ，y ，z )，则n ⋅DM=0n ⋅DB =0，即(1-2λ)x +3y +2λz =023y =0 ，令y =0，x =-2λ，z =1-2λ，得n=(-2λ，0，1-2λ)，设平面FBC 的一个法向量为m=(a ，b ，c )，则m ⋅BC =0m ⋅FB =0，即a -3b =0-c =0 ，取b =1，得m=(3，1，0)，∴|cos ‹n ，m ›|=|m ⋅n ||m |⋅|n |=|-23λ|2(-2λ)2+(1-2i )2=155，解得λ=13或λ=1，又∵0<λ<1，∴λ=13，此时M 13，0，23 ，∴CM =-23，0，23 ，∴点M 到平面BCF 的距离d =|CM ⋅m||m |=2332=33．28如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB 所成的角的余弦值为255，求点P 到平面AEF 的距离．【解析】：(1)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ．因为ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ，又因为PA ∩AB =A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ，所以AE ⊥BC ．因为PA =AB ，E 为线段PB 的中点，所以AE ⊥PB ，又因为PB ∩BC =B ，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ．又因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ．(2)因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)，E (1，0，1)，易知u=(0，1，0)是平面PAB 的法向量，设BF =t (t ∈[0，2])，则F (2，t ，0)，所以AE=(1，0，1)，AF =(2，t ，0)，所以|cos ‹AF ，u ›|=|AF ⋅u||AF ||u |=1-255 2，即t t 2+4=55，得t =1，所以AF =(2，1，0)，设n=(x 1，y 1，z 1)为平面AEF 的法向量，则n ⋅AE=0，n ⋅AF =0，，所以平面AEF 的法向量n=(-1，2，1)，又因为AP=(0，0，2)，所以点P 到平面AEF 的距离为d =|AP ⋅n ||n |=26=63，所以点P 到平面AEF 的距离为63，由(1)可知，∠BAF 是直线AF 与平面PAB 所成的角，所以cos ∠BAF =AB AF =AB AB 2+BF 2=255，解得BF =12AB =12BC ，故F 是BC 的中点，所以AF =AB 2+BF 2=5，AE =12PB =2，EF =AF 2-AE 2=3，所以△AEF 的面积为S △AEF =12AE ⋅EF =62，因为PA =AB =2，△PAE 的面积为S △PAE =12S △PAB =14PA ⋅AB =1，设点P 到平面AEF 的距离为h ，则有V P -AEF =13S △AEF ⋅h =66h =V F -PAE =13S △PAE ⋅BF =13，解得h =63，所以点P 到平面AEF 的距离为63．七．条件概率(共8小题)A 、B 满足P (A |B )=0.7，P (A)=0.3，则()A.P (A ∩B )=0.3B.P (B |A )=0.3C.事件A ，B 相互独立D.事件A ，B 互斥【解析】：根据题意，设P (B )=x ，由于P (A |B )=0.7，则P (AB )=P (B )P (A |B )=0.7x ，P (A )=1-P (A)=0.7，则P (A )P (B )=0.7x ，则有P (AB )=P (A )P (B )，事件A ，B 相互独立．不确定x 的值，P (A ∩B )=P (AB )=0.7x ，A 错误；P (B |A )=P (AB )P (A )=x ，B 错误；由于A 、B 相互独立，事件A 、B 可能同时发生，则事件A 、B 一定不互斥，D 错误．故选：C ．P (A )=13，P (B |A )=23，P (B |A )=14，则P (B )= 1936 ，P (A |B )= 319 ．【解析】：P (A )=13，则P (A )=1-P (A )=23，故P (B )=P (AB )+P (A B )=P (A )P (B |A )+P (A )P B |A )=23×23+13×14=1936，P (A |B )=P (AB )P (B )=13×141936=319．故答案为：1936，319．31研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若P (A )=415，P (B )=215，P (C )=710，则P (B |A )= 38 ．【解析】：由题意可知P (C )=P (A ∩B )=710，则P (A ∪B )=1-P (A ∩B )=1-710=310．又P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (AB )，所以P (AB )=P (A )+P (B )-P (A ∪B )=415+215-310=110，则P (B |A )=P (AB )P (A )=110415=38．故答案为：38．32已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()A.0.75B.0.8C.0.76D.0.95【解析】：设买到的产品是甲厂产品为事件A ，买到的产品是乙厂产品为事件B ，则P (A )=0.8，P (B )=0.2，记事件C ：从该地市场上买到一个合格产品，则P (C |A )=0.75，P (C |B )=0.8，所以P (C )=P (AC )+P (BC )=P (A )P (C |A )+P (B )P (C |B )=0.8×0.75+0.2×0.8=0.76．故选：C ．33为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M 对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12．(注：比赛结果没有平局)(Ⅰ)求甲队明星队员M 在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(Ⅱ)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(Ⅲ)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M 上场的概率．【解析】：(Ⅰ)事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件A j =“甲队第j 局获胜”，其中j =1，2，3，4，A j 相互独立．又甲队明星队员M 前四局不出场，故P (A j )=12，j =1，2，3，4，B =A 1 A 2A 3A 4+A 1A 2 A 3A 4+A 1A 2A 3 A 4，所以P (B )=C 13×124=316．(Ⅱ)设C 为甲3局获得最终胜利，D 为前3局甲队明星队员M 上场比赛，由全概率公式知，P (C )=P (C |D )P (D )+P (C |D )P (D)，因为每名队员上场顺序随机，故P (D )=C 24A 33A 35=35，P (D )=1-35=25，P (C |D )=122×34=316，P C |D )=123=18， 所以P (C )=316×35+18×25=1380．(Ⅲ)由(2)，P (D |C )=P (CD )P (C )=P (C |D )P (D )P (C )=316×351380=913．34某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.611D.617【解析】：需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，设事件A 表示“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”，B 表示“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”，P (A )=C 23C 24+C 33C 14+C 23C 14C 34C 25=1720，P (AB )=C 23C 14C 34C 25=310，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：P (B |A )=P (AB )P (A )=3101720=617．故选：D ．35人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．【解析】：设试验一次，“取到甲袋”为事件A 1，“取到乙袋”为事件A 2，“试验结果为红球”为事件B 1，“试验结果为白球”为事件B 2，(1)P (B 1)=P (A 1)P (B 1|A 1)+P (A 2)P (B 1|A 2)=12×910+12×210=1120；所以试验一次结果为红球的概率为1120．(2)①因为B 1，B 2是对立事件，P (B 2)=1-P (B 1)=920，所以P A 1|B 2)=P (A 1B 2)P (B 2)=P (B 2|A 1)P (A 1)P (B 2)=110×12920=19，所以选到的袋子为甲袋的概率为19；②由①得P (A 2|B 2)=1-P A 1|B 2)=1-19=89，中取到红球的概率为：P 1=P (A 1|B2)P (B1|A1)+P (A2|B2)910+89×210=518，方案二中取到红球的概率为：P 2=P (A 2|B 2)P (B 1|A 1)+P (A 1|B 2)P B 1|A 2)=89×910+19×210=3745， 所以方案二中取到红球的概率更大．该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1=110，P 2=19，P 3=18．(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．【解析】：(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P =1-1-110 ×1-19 ×1-18=310．(2)设该批次智能自动检测合格为事件A ，人工抽检合格为事件B ，则P (A )=910，P (AB )=1-310=710，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )=P (AB )P (A )=710910=79．八．全概率公式(共2小题)乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为()A.0.92B.0.08C.0.54D.0.38【解析】：甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍，则从这种铅笔中任取一件抽到甲生产线的概率为0.6，抽到乙生产线的概率为0.4，从这种铅笔产品中任取一件，则取到次品的概率为0.6×10%+0.4×5%=0.08，所以取到合格产品的概率为1-0.08=0.92．故选：A ．第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()A.18B.320C.740D.15【解析】：设事件A i 表示从第i (i =1，2)箱中取一个零件，事件B 表示取出的零件是次品，则P (B )=P (A 1。
高考数学复习考点题型专题讲解48 随机变量及其分布
高考数学复习考点题型专题讲解专题48 随机变量及其分布高考定位离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.1.(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.答案16 35 127解析由题意知P(ξ＝2)＝C12C24＋C22C14C37＝1635.ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ＝1)＝C26C37＝1535＝37，P(ξ＝3)＝C23C37＝335，P(ξ＝4)＝1C37＝135，所以ξ的分布列为E(ξ)＝1×37＋2×1635＋3×335＋4×135＝127.2.(2022·北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)解(1)甲在以往的10次比赛成绩中，有4次比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)，故由频率估计概率可得，甲获得优秀奖的概率为0.4.(2)设甲获得优秀奖为事件A1，乙获得优秀奖为事件A2，丙获得优秀奖为事件A3，则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.5.X的可能取值为0，1，2，3，故P(X＝0)＝P(A－1A－2A－3)＝0.6×0.5×0.5＝320，P(X＝1)＝P(A1A－2A－3)＋P(A－1A2A－3)＋P(A－1A－2A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝820＝25，P(X＝2)＝P(A1A2A－3)＋P(A1A－2A3)＋P(A－1A2A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝7 20，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝0.4×0.5×0.5＝220＝110.∴X的分布列为∴E(X)＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为1 4，甲获得9.80的概率为1 10，乙获得9.78的概率为1 6 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.热点一分布列的性质及应用离散型随机变量X的分布列为则(1)p i≥0，i＝1，2，…，n.(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n .(4)D (X )＝∑n i ＝1[x i－E (X )]2p i .(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ). 例1 (1)(多选)设离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量Y ＝－3X ＋1，且E (X )＝3，则( ) A.m ＝0.1 B.n ＝0.1 C.E (Y )＝－8 D.D (Y )＝－7.8(2)已知随机变量ξ的分布列如表所示，若E (ξ)＝D (ξ)，则下列结论中不可能成立的是( )A.a ＝13B.a ＝23C.k ＝12D.k ＝32答案 (1)BC (2)D解析 (1)由E (X )＝1×m ＋2×0.1＋3×0.2＋4×n ＋5×0.3＝3，得m ＋4n ＝0.7， 又由m ＋0.1＋0.2＋n ＋0.3＝1， 得m ＋n ＝0.4，从而得m ＝0.3，n ＝0.1，故A 选项错误，B 选项正确；E (Y )＝－3E (X )＋1＝－8，故C 选项正确；因为D (X )＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6， 所以D (Y )＝(－3)2D (X )＝23.4，故D 选项错误. (2)由题意得E (ξ)＝ka ＋(k －1)(1－a )＝k －1＋a ，D (ξ)＝[k －(k －1＋a )]2·a ＋[k －1－(k －1＋a )]2·(1－a )＝a (1－a ). 因为E (ξ)＝D (ξ)， 所以k －1＋a ＝a (1－a )， 所以k ＝1－a 2，又⎩⎨⎧a ≥0，1－a ≥0，所以0≤a ≤1， 所以k ＝1－a 2∈[0，1]，故k ＝32不成立.规律方法 分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.训练1 (1)(2022·温州模拟)已知随机变量X ，Y 的分布列如下：则( )A.D(X)＝3D(Y)B.D(Y)＝3D(X)C.D(X)＝9D(Y)D.D(Y)＝9D(X)(2)(2022·长沙模拟)设a>0，若随机变量ξ的分布列如下：则下列方差值中最大的是( )A.D(ξ)B.D(|ξ|)C.D(2ξ－1)D.D(2|ξ|＋1)答案(1)D (2)C解析(1)从表中可知Y＝3X－1，∴D(Y)＝D(3X－1)，∴D(Y)＝9D(X)，故选D.(2)由题意知a＋2a＋3a＝1，a＝1 6，E(ξ)＝－1×16＋0×13＋2×12＝56，E(|ξ|)＝1×16＋0×13＋2×12＝76，D(ξ)＝16×⎝⎛⎭⎪⎫－1－562＋13×⎝⎛⎭⎪⎫0－562＋12×⎝⎛⎭⎪⎫2－562＝5336，D(|ξ|)＝16×⎝⎛⎭⎪⎫1－762＋13×⎝⎛⎭⎪⎫0－762＋12×⎝⎛⎭⎪⎫2－762＝2936.D(ξ)>1>D(|ξ|)，D(2ξ－1)＝4×5336＝539，D(2|ξ|＋1)＝4×2936＝299.所以D(2ξ－1)最大.热点二随机变量的分布列1.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，E(X)＝n·M N .考向1 二项分布例2 (2022·南昌模拟)接种新冠疫苗可以有效降低感染新冠肺炎的概率.某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种.假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码(产生每个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.(1)求这四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的概率；(2)记甲，乙，丙，丁四个人中接种A 种疫苗的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.解 (1)记四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的事件为M ， 则P (M )＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，所以四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的概率为3281. (2)由题意可知，X 的取值依次为0，1，2，3，4，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，P (X ＝k )＝C k4⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－k(k ＝0，1，2，3，4)，故随机变量X 的分布列：故E (X )＝4×13＝43.考向2 超几何分布例3(2022·烟台模拟)2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办.某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况(单位：分钟)，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85%分位数；(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200，280]的学生中抽取6人.若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在[200，240)的人数为X，求X的分布列和数学期望.解(1)由题意，40×(0.000 5＋0.002×2＋2a＋0.006＋0.006 5)＝1，解得a＝0.004. 由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为40×(0.000 5＋0.002＋0.004＋0.006＋0.006 5)＝0.76.观看时长在240分钟以下占比为0.76＋40×0.004＝0.92.所以85%分位数位于[200，240)内，85%分位数为200＋40×0.85－0.760.92－0.76＝222.5.(2)由题意，观看时长[200，240)、[240，280]对应的频率分别为0.16和0.08，所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取4人和2人.于是抽取的3人中观看时长在[200，240)中的人数X的所有可能取值为1，2，3.所以，P(X＝1)＝C14·C22C36＝15，P(X＝2)＝C24·C12C36＝35，P(X＝3)＝C34C36＝15.X的分布列为所以，E(X)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.规律方法求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.训练2(2022·茂名二模)冰壶是冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为13，14；甲、乙得2分的概率分别为25，12；甲、乙得1分的概率分别为15，16.(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X ，求X 的分布列和期望. 解 (1)由题意知，甲得0分的概率为1－13－25－15＝115，乙得0分的概率为1－14－12－16＝112，所以甲、乙两人所得分数相同的概率为 13×14＋25×12＋15×16＋115×112＝2990. (2)X 可能取值为0，1，2，3，4，5，6， 则P (X ＝0)＝115×112＝1180，P (X ＝1)＝115×16＋15×112＝136，P (X ＝2)＝115×12＋15×16＋25×112＝110，P (X ＝3)＝115×14＋15×12＋25×16＋13×112＝1990，P (X ＝4)＝15×14＋25×12＋13×16＝1136， P (X ＝5)＝25×14＋13×12＝415，P(X＝6)＝13×14＝112，所以，随机变量X的分布列为所以E(X)＝0×1180＋1×136＋2×110＋3×1990＋4×1136＋5×415＋6×112＝4712.热点三正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.例4 (1)(2022·滨州二模)设随机变量X～N(μ，σ2)，则“μ≥1”是“P(X＜2)＜1 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)(2022·沈阳模拟)已知某种袋装食品每袋质量(单位：g)X～N(500，16).P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3，则下面结论正确的是( )A.σ＝4B.P(496≤X≤504)＝0.954 5C.随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量在区间[492，504]的约8 186袋D.随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量小于488 g的一定不多于14袋答案(1)B (2)AC解析(1)当μ＝1时，根据正态曲线的对称性可知P(X＜2)＞1 2，故μ≥1不是P(X＜2)＜12的充分条件；反之，若P(X＜2)＜1 2，由对称性可知μ≥1，故μ≥1是P(X＜2)＜12的必要条件；故μ≥1是P(X＜2)＜12的必要不充分条件.故选B.(2)对于A，∵袋装食品每袋质量(单位：g)X～N(500，16)，∴σ＝4，故A正确；对于B，P(496≤X≤504)＝P(500－4≤X≤500＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，故B错误；对于C，∵P(500≤X≤504)＝12P(496≤X≤504)＝12×0.682 7＝0.341 35，P(492≤X≤500)＝12P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝12×0.954 5＝0.477 25，∴P(492≤X≤504)＝P(492≤X≤500)＋P(500≤X≤504)＝0.818 6，10 000×0.818 6＝8 186，故随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量在区间[492，504]的约8 186袋，故C正确；对于D，P(X≤488)＝12[1－P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)]＝12(1－0.997 3)＝0.001 35，10 000×0.001 35＝13.5，故随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量小于488 g的约为13.5袋，但抽取时有可能多于14袋，故D错误.故选AC.规律方法利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用：(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0).(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a).训练3 (1)设随机变量ξ～N(μ，1)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(0≤ξ≤1)等于( )(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5)A.0.158 7B.0.135 9C.0.271 8D.0.341 3(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.答案(1)B (2)0.14解析(1)∵函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点，即一元二次方程x2＋2x－ξ＝0无实根，∴Δ＝4＋4ξ＜0，即ξ＜－1，又f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，∴P (ξ＜－1)＝0.5，由正态曲线的对称性知μ＝－1， ∴ξ～N (－1，1)，∴μ＝－1，σ＝1，∴μ－σ＝－2，μ＋σ＝0，μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝1， ∴P (－2≤ξ≤0)≈0.682 7，P (－3≤ξ≤1)≈0.954 5，∴P (0≤ξ≤1)＝12[P (－3≤ξ≤1)－P (－2≤ξ≤0)]≈0.954 5－0.682 72＝0.135 9.(2)因为X ～N (2，σ2)， 所以P (X >2)＝0.5，所以P (X >2.5)＝P (X >2)－P (2<X ≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.一、基本技能练1.(2022·金华模拟)已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则数学期望E (ξ)为( ) A.45B.910 C.1 D.65答案 D解析 ξ可取0，1，2， P (ξ＝0)＝C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 12C 13C 25＝610，P (ξ＝2)＝C 23C 25＝310，∴E(ξ)＝0×110＋1×610＋2×310＝65，故选D.2.(2022·海南模拟)已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(X＜0)·P(X＞6)＝0.04，则P(0＜X＜3)＝( )A.0.2B.0.3C.0.4D.0.1答案 B解析因为随机变量X～N(3，σ2)，所以曲线关于x＝3对称，且令P(X＜0)＝P(X＞6)＝t，∴t2＝0.04，∴t＝0.2，即P(X＜0)＝P(X＞6)＝0.2，∴P(0＜X＜3)＝0.5－P(X＜0)＝0.3，故选B.3.设随机变量X，Y满足Y＝3X－1，X～B(2，p)，若P(X≥1)＝59，则D(Y)等于( )A.4B.5C.6D.7 答案 A解析由题意可得，P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02(1－p)2＝5 9，解得p＝1 3，则D(X)＝np(1－p)＝2×13×23＝49，D (Y )＝32D (X )＝4.故选A.4.(2022·武汉模拟)已知随机变量X ～N (1，σ2)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a )，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6的展开式中常数项为( ) A.－240 B.－60 C.240 D.60 答案 D解析 根据正态分布曲线关于直线x ＝1对称，且P (X ≤0)＝P (X ≥a )，可得a ＝2，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6，通项为T r ＋1＝C r 6(x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x6－3r 2，若此项为常数项，则6－3r ＝0，解得r ＝2， 所以常数项为(－2)2C 26＝60，故选D.5.(2022·广州二模)某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布ξ～N (10，σ2)，根据检测结果可知P (9.98≤ξ≤10.02)＝0.98，某公司购买该种包装的大米2 000袋，则大米质量在10.02 kg 以上的袋数大约为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 答案 B解析 因为大米质量ξ～N (10，σ2)，且P (9.98≤ξ≤10.02)＝0.98， 则P (ξ＞10.02)＝1－P （9.98≤ξ≤10.02）2＝0.01，所以大米质量在10.02 kg 以上的袋数大约为2 000×0.01＝20.故选B.6.(多选)若随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝0)＝13，E (X )，D (X )分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( ) A.P (X ＝1)＝23B.E (3X ＋2)＝4C.D (3X ＋2)＝2D.D (X )＝49答案 ABC解析 ∵随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝0)＝13，∴P (X ＝1)＝23，E (X )＝0×13＋1×23＝23，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×23＝29，在A 中，P (X ＝1)＝23，故A 正确；在B 中，E (3X ＋2)＝3E (X )＋2＝3×23＋2＝4，故B 正确；在C 中，D (3X ＋2)＝9D (X )＝9×29＝2，故C 正确；在D 中，D (X )＝29，故D 错误.7.已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，P (ξ≤6)＝0.84，则P (ξ≤0)＝________. 答案 0.16解析 因为随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)， 所以P (ξ≤0)＝P (ξ≥6)，又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16.8.已知某小组7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗.从这7人中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X的数学期望为________；记“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”为事件A，则P(A)＝________.答案12 7 6 7解析由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝C33C37＝135，P(X＝1)＝C14C23C37＝1235，P(X＝2)＝C24C13C37＝1835，P(X＝3)＝C34C37＝435，∴E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝1235＋1835＝67.9.(2022·宁波二模)一个袋中装有大小质地完全相同的m个红球和2m个白球(m∈N*)，从中任取3个球.记取出的白球个数为ξ，若P(ξ＝1)＝15，则m＝________，E(ξ)＝________. 答案 2 2解析根据题意，取出的三个球中恰好有一个白球的概率为P(ξ＝1)＝C12mC2mC33m＝15，解得m＝2.所以袋中有2个红球，4个白球，则取出的三个球中白球个数ξ的可能取值为1，2，3，所以P(ξ＝1)＝15，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C36＝15，∴E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.10.甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局.根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3∶2获胜的概率为________.答案0.18解析由题意知，甲队以3∶2获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜两局，有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，其概率为C23×0.62×0.4×0.5×0.5＋C13×0.6×0.42×0.5×0.5＝0.18.11.(2022·唐山模拟)甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局(在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛)中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4.(1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了ξ局比赛，求随机变量ξ的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；(2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？解(1)由题意知：ξ的可能取值为3，4，5.则P(ξ＝3)＝0.63＋0.43＝0.28；P(ξ＝4)＝C13×0.4×0.63＋C13×0.6×0.43＝0.374 4；P(ξ＝5)＝C24×0.42×0.62＝0.345 6. 则ξ的分布列为∵0.374 4＞0.345 6＞0.28，∴进行四局比赛的可能性最大.(2)作为甲队领队，希望甲队最终获胜，若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为p 1＝0.63＋C13×0.4×0.63＋C24×0.42×0.62×0.5＝0.648；若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为p 2＝0.62＋C12×0.4×0.6×0.5＝0.6；∵p1＞p2，∴作为甲队领队，希望采用五局三胜制.12.(2022·济宁模拟)血液检测是诊断是否患疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性(即样本携带病毒)的概率均为p(0＜p＜1).现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”. (1)若p ＝13，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列；(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p 的取值范围. 解 (1)由题意知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则P (X ＝0)＝C 04⎝⎛⎭⎪⎫1－134＝1681；P (X ＝1)＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝3281；P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝2481＝827；P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝881；P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181.则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列为(2)方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4.方案二中，设化验次数为Y ，则Y 的所有可能取值为2，4，6. 每组两个样本化验呈阴性的概率为(1－p )2，设x ＝(1－p )2. 则P (Y ＝2)＝x 2；P (Y ＝4)＝C 12x (1－x )； P (Y ＝6)＝(1－x )2.所以E (Y )＝2×x 2＋4×C 12x (1－x )＋6×(1－x )2＝6－4x .若方案二比方案一更“优”，则E (Y )＝6－4x ＜4，解得x ＞12，即x ＝(1－p )2＞12，解得0＜p ＜1－22.所以当0＜p ＜1－22时，方案二比方案一更“优”. 二、创新拓展练13.(多选)(2022·苏州模拟)已知随机变量X 服从二项分布B (4，p )，其数学期望E (X )＝2，随机变量Y 服从正态分布N (p ，4)，且P (X ＝3)＋P (Y ＜a )＝1，则( ) A.p ＝14B.p ＝12C.P (Y ＞1－a )＝14D.P (Y ＞1－a )＝34答案 BD解析 由题意知E (X )＝np ＝4p ＝2，即p ＝12，P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫124－3＝14，∴P (Y ＜a )＝34，由于Y ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，对称轴x ＝12，所以P (Y ＞1－a )＝P (Y ＜a )＝34.故选BD.14.(多选)(2022·南京模拟)下列命题中，正确的命题的选项为( ) A.已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝23B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ≤0)＝12－pD.某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，X ～B (10，0.8)，则当X ＝8时概率最大 答案 BCD解析 对于A ，⎩⎨⎧E （X ）＝np ＝30，D （X ）＝np （1－p ）＝20，解得⎩⎨⎧p ＝13，n ＝90，A 错误； 对于B ，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B 正确；对于C ，ξ服从正态分布N (0，1)，P (－1＜ξ≤0)＝P (0≤ξ＜1)＝12－P (ξ＞1)＝12－p ，C 正确；对于D ，X ～B (10，0.8)，则P (X ＝k )＝C k 100.8k ×0.210－k， 由⎩⎨⎧C k 100.8k ×0.210－k ≥C k －1100.8k －1×0.211－k，C k 100.8k ×0.210－k ≥C k ＋1100.8k ＋1×0.29－k，解得395≤k≤445，因为k∈N*，所以k＝8.D正确.15.(多选)(2022·福州模拟)在某独立重复试验中，事件A，B相互独立，且在一次试验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1－p，其中p∈(0，1).若进行n次试验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列说法正确的是( )A.E(X)＝E(Y)B.D(X)＝D(Y)C.E(Z)＝D(X)D.n·D(Z)＝D(X)·D(Y)答案BC解析因为E(X)＝np，E(Y)＝n(1－p)，即A错误；因为D(X)＝np(1－p)，D(Y)＝n(1－p)p，即B正确；因为A，B相互独立，所以P(AB)＝p(1－p)，所以E(Z)＝np(1－p)＝D(X)，即C正确；因为nD(Z)＝n2p(1－p)[1－p(1－p)]，D(X)D(Y)＝n2p2(1－p)2，即D错误.故选BC.16.(2022·徐州模拟)在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X～B(n，p)，记p k＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.在研究p k的最大值时，小组同学发现：若(n＋1)p为正整数，则k＝(n＋1)p时，p k＝p k－1，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p为非整数，当k取(n＋1)p的整数部分时，则p k是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为________的概率最大.答案 18解析 继续再进行80次投掷试验，出现点数为1的次数X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫80，16，由k ＝(n ＋1)p ＝81×16＝272＝13.5，结合题中的结论可知，当k ＝13时，概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次， 所以出现18次的概率最大.17.(2022·日照模拟)春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20～10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20～9：40记作区间[20，40)，9：40～10：00记作[40，60)，10：00～10：20记作[60，80)，10：20～10：40记作[80，100]，例如：10点04分，记作时刻64.(1)估计这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为了对数据进行分析，现采用分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X 为9：20～10：00之间通过的车辆数，求X 的分布列与数学期望；(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1 000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数(结果保留到整数).参考数据：若T～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤T≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤T≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤T≤μ＋3σ)＝0.997 3.解(1)这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10：04.(2)结合频率分布直方图和分层随机抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60)这一区间内的车辆数，即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.所以P(X＝0)＝C46C410＝114，P(X＝1)＝C14C36C410＝821，P(X＝2)＝C24C26C410＝37，P(X＝3)＝C34C16C410＝435，P(X＝4)＝C44C410＝1210.所以X的分布列为所以E(X)＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝85.(3)由(1)得μ＝64，σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，所以σ＝18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100)通过的车辆数，由T～N(64，182)，得P(64－18≤T≤64＋2×18)＝P（μ－σ≤T≤μ＋σ）2＋P（μ－2σ≤T≤μ＋2σ）2＝0.818 6，所以估计在9：46～10：40之间通过的车辆数为1 000×0.818 6≈819(辆).。
高考数学知识点大全
高考数学知识点大全高考数学知识点大全11.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);8.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
高考数学259个核心考点
高考数学259个核心考点
高考数学的核心考点有很多，以下是其中的259个核心考点：
1. 数与代数
2. 算术平方根与整式的乘法
3. 二次函数的图像与性质
4. 二次函数与一次函数的关系
5. 二次函数与一次函数的交点
6. 二次函数与直线的交点
7. 二次函数与直线的位置关系
8. 二次函数与直线的性质
9. 二次函数与直线的方程
10. 二次函数与直线的解析式
11. 二次函数与直线的参数方程
12. 二次函数与直线的斜率
13. 二次函数与直线的截距
14. 二次函数与直线的判别式
15. 二次函数与直线的判定条件
16. 二次函数与直线的判定方法
17. 二次函数与直线的判定原理
18. 二次函数与直线的判定公式
19. 二次函数与直线的判定规则
20. 二次函数与直线的判定标准
21. 二次函数与直线的判定指标
22. 二次函数与直线的判定模型
23. 二次函数与直线的判定原则
24. 二次函数与直线的判定准则
25. 二次函数与直线的判定方式
26. 二次函数与直线的判定角度
27. 二次函数与直线的判定弧度
28. 二次函数与直线的判定角度制
29. 二次函数与直线的判定弧度制
30. 二次函数与直线的判定角度单位。
2023年高考数学(理科)一轮复习——离散型随机变量及其分布列
感悟提升
分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机 变量在某个范围内的概率.
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考点二 离散型随机变量的分布列
例1 (12分)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行 “庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活 动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小 组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色， 再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记 它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.
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6.(2021·郑州检测)设随机变量X的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
5 则P(|X－3|＝1)＝___1_2____.
解析 由13＋m＋14＋16＝1，解得 m＝14， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝152.
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考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
索引
P(ξ＝1)＝CC13·C29 16＝1386＝12， P(ξ＝2)＝CC23·C29 06＝336＝112.
所以ξ的分布列为
ξ 012
P
5 12
1 2
1 12
索引
感悟提升
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超 几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查 某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古 典概型.
2020年高考理科数学之高频考点解密28二项式定理(解析版)
2020年高考理科数学之高频考点解密28二项式定理(解析版)一、二项式定理的概念二项式定理是数学中非常重要的一个定理，它描述了二项式展开式的规律。
二项式定理的公式如下：$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{nk}b^k$其中，$C_n^k$ 表示组合数，表示从n个不同元素中选取k个元素的组合方式的总数。
组合数的计算公式为：$C_n^k = \frac{n!}{k!(nk)!}$其中，$n!$ 表示n的阶乘，即从1乘到n的连乘积。
二、二项式定理的应用1. 求解二项式展开式的系数：二项式定理可以帮助我们求解二项式展开式的系数。
例如，求解 $(x+2)^3$ 的展开式，可以使用二项式定理来计算各项的系数。
2. 求解二项式展开式的项数：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的项数。
例如，求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项，可以使用二项式定理来计算。
3. 求解二项式展开式的通项公式：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的通项公式。
例如，求解 $(x+y)^4$ 的展开式的通项公式，可以使用二项式定理来推导。
三、二项式定理的例题解析为了更好地理解二项式定理的应用，下面我们将通过几个例题来进行解析。
例题1：求解 $(x+3)^4$ 的展开式。
解析：根据二项式定理，$(x+3)^4$ 的展开式可以表示为：$(x+3)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k x^{4k}3^k$计算各项的系数，得到展开式为：$(x+3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$例题2：求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项。
解析：根据二项式定理，$(x+1)^5$ 的展开式的项数等于 $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$。
计算各项的系数，得到展开式的项数为：$C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$因此，$(x+1)^5$ 的展开式共有32项。
2021年全国统一高考理科数学试卷(全国甲卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考理科数学试卷(全国甲卷)(含详细解析)2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号；2.选择题用铅笔在答题卡上涂黑选项，非选择题在答题卡上作答；3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。
1.(5分) 设集合M={x|0<x<4}，N={x|≤x≤5}，则M∩N=（）A。
{x|0<x≤} B。
{x|≤x<4} C。
{x|4≤x<5} D。
{x|0<x≤5}2.(5分) 对某地农村经济情况进行抽样调查，得到收入频率分布直方图。
下列结论中不正确的是（）A。
低于4.5万元的农户比率估计为6%B。
不低于10.5万元的农户比率估计为10%C。
农户年收入平均值不超过6.5万元D。
有一半以上的农户年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.(5分) 已知，则z=（）A。
-1-i B。
-1+i C。
+i D。
-i4.(5分) 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（）1.5、1.2、0.8、0.65.(5分) 已知双曲线C的两个焦点为F1和F2，点P在C上且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（）A.≈1.259 B。
C。
D.6.(5分) 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E、F、G。
该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（）A。
B。
C。
D.7.(5分) 等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:{Sn}是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.(5分) 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一。
2024年 北京高考 数学 考点
2024年北京高考数学考点2024年北京高考数学考点一、选择题选择题是高考数学中的常见题型，也是考察学生基础知识掌握和解题能力的重要方式。
2024年北京高考数学考点中的选择题可能涉及以下几个方面：1. 函数与方程：考查学生对函数性质、方程解的理解和运用能力。
例如，可能会涉及到一元二次函数、指数函数、对数函数等的性质和应用。
2. 数列与数学归纳法：考查学生对数列的定义、递推关系和通项公式的掌握程度，以及数学归纳法的运用能力。
3. 图形与几何：考查学生对平面几何和立体几何的理解和运用能力。
例如，可能会涉及到平面直角坐标系、圆的性质、三角形的相似与全等等内容。
4. 概率与统计：考查学生对概率和统计的基本概念和计算方法的理解和应用能力。
例如，可能会涉及到事件的概率计算、频率和概率的关系等内容。
二、解答题解答题是高考数学中的较为复杂和灵活的题型，要求学生具备较高的思维能力和解决问题的能力。
2024年北京高考数学考点中的解答题可能涉及以下几个方面：1. 函数与导数：考查学生对函数和导数的理解和运用能力。
例如，可能会涉及到函数的极值、最值、导数应用题等内容。
2. 三角函数与向量：考查学生对三角函数和向量的性质和运用能力。
例如，可能会涉及到三角函数的图像、三角函数的恒等变换、向量的模、方向和运算等内容。
3. 平面向量与解析几何：考查学生对平面向量和解析几何的理解和应用能力。
例如，可能会涉及到平面向量的线性运算、平面向量的共线与垂直、解析几何的平面方程等内容。
4. 数列与数学归纳法：考查学生对数列的性质和运算能力。
例如，可能会涉及到递推数列的通项公式、数学归纳法证明等内容。
三、解析题解析题是高考数学中的较为综合和综合运用能力的题型，要求学生能够将所学的知识和方法灵活运用到解决实际问题中。
2024年北京高考数学考点中的解析题可能涉及以下几个方面：1. 函数与方程：考查学生对函数性质、方程解和问题求解的综合运用能力。
2023全国高考数学试卷全国卷一 考点
2023全国高考数学试卷全国卷一考点
2023年全国高考数学试卷全国卷一的考点主要包括以下几个方面：
1. 函数与导数：主要考查函数的性质、导数的计算和应用，以及函数与导数的综合应用。
2. 三角函数：主要考查三角函数的性质、图像和变换，包括正弦、余弦、正切等函数的性质和图像，以及三角函数在各象限内的符号特点等。
3. 立体几何：主要考查空间几何体的性质、空间几何体的三视图、空间几何体的表面积和体积，以及空间中点线面的位置关系等。
4. 解析几何：主要考查直线的方程、圆的方程、圆锥曲线的标准方程和性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系等。
5. 概率与统计：主要考查概率的基本概念、随机变量的分布和数字特征，以及统计学的相关知识。
6. 排列组合与二项式定理：主要考查排列组合的基本概念和计算方法，以及二项式定理的应用等。
7. 复数：主要考查复数的概念、复数的运算和复数的几何意义等。
8. 平面解析几何：主要考查直线的方程、圆的方程、椭圆的标准方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系等。
9. 参数方程与极坐标：主要考查参数方程和极坐标的基本概念、转换关系以及各坐标之间的应用等。
以上是2023年全国高考数学试卷全国卷一的考点概述，具体题型和难度可能会根据不同地区和不同年份有所差异。
考生在备考时应该全面复习，掌握各种题型和知识点，注重基础知识的巩固和应用能力的提升。
2020年高考理科数学之高频考点解密19 椭圆(解析版)
解密19 椭圆考点1 椭圆的定义与标准方程调研1 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆，则有0,0,m n m n >>≠，所以“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B ．调研2 过椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的上顶点与右顶点的直线方程为240+-=x y ，则椭圆C 的标准方程为A ．221164+=x yB ．221204+=x yC ．221248+=x yD ．221328+=x y【答案】A【解析】直线方程为240+-=x y ，令x =0，则y =2，得到椭圆的上顶点坐标为（0，2），即b =2， 令y =0，则x =4，得到椭圆的右顶点坐标为（4，0），即a =4，从而得到椭圆方程为221164+=x y ，故选A ． 调研3 椭圆x 24+y 2t=1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为________________．【答案】(3，4)∪(4，254) 【解析】当t >4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a =√t ，b =2，c =√t −4，由题意可得a −c =√t −√t −4>1，解得4<t <254；当0<t <4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a =2，b =√t ，c =√4−t ，由题意可得a −c =2−√t −4>1，解得3<t <4；综上可知，实数t 的取值范围是(3，4)∪(4，254)．☆技巧点拨☆求椭圆的方程有两种方法：（1）定义法，根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．（2）待定系数法，这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：①做判断，根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）；②设方程，根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>；③找关系，根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）；④得椭圆方程，解方程组，将解代入所设方程即可． 【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且．考点2 椭圆的简单几何性质调研1 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0，b >0)的长轴两端点为(−4，0)，(4，0)，离心率为12，则短轴长为 A ．8 B ．4 C ．4√3 D ．2√3【答案】C【解析】由椭圆的性质得a =4，e =ca =12，则c =2， 又b 2=a 2−c 2=16−4=12，即b =2√3， 所以短轴长为2b =4√3．故选C ． 调研2 已知椭圆C ：x 236+y 227=1的右焦点为F ，点P(1，3)，若点Q 是椭圆C 上的动点，则ΔPQF 周长的最大值为 A ．2√13 B ．17 C ．30 D ．17+√13【答案】D【解析】设椭圆C 的左焦点为F ′，则△PQF 的周长l =|QF |+|QP |+|PF |=2a −|QF ′|+|QP |+|PF |≤2a +|PF ′|+|PF |=12+5+√13=17+√13，当点Q 为PF ′的延长线与椭圆C 的交点时取等号，故选D ．调研3 若椭圆2214x y m+=上一点到两焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为A B 7C ．7D ．37或59【答案】A【解析】由题意得，230a m =->，即3m >，若24a =，即2a =，则34m -=，74m =>，不合题意，因此2a m =，即a =3m =-，解得9m =，即3a =，c ==离心率为e =．故选A ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题．在解决此类问题时，要充分利用椭圆的定义，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长2a ），在焦点位置不确定的情况，有必要分两种情况（其焦点在x 轴或是y 轴）进行讨论，从而解决问题．调研4 已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为A ．(0－1)B ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2⎛ ⎝⎭D ．－1,1)【答案】D【解析】由正弦定理可得：122112sin sin MF MF MF F MF F =∠∠，结合题意可得12MF MF ca=，所以1212MF MF MF MF caa c+==+，根据椭圆的定义可得122MF MF a +=，所以12acMF a c=+，222a MF a c=+，易知21MF MF >.因为M 为椭圆上一点，所以2a c MF a c -<<+，即22a a c a c a c-<<++，整理得2220c ac a +->，所以2210e e +->11e <<. 故选D ．☆技巧点拨☆1．利用椭圆几何性质解题时的注意点及技巧：（1）注意椭圆几何性质中的不等关系，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系；（2）利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．2．求椭圆离心率问题的一般思路：求椭圆离心率或其范围时，一般是根据题意设出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2，消去b 即可求得离心率或离心率的范围．考点3 直线与椭圆的位置关系调研1 已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C 的标准方程为A ．22=1128x y + B ．22=1124x y + C ．22=132x y + D ．22=13x y + 【答案】C【解析】由△AF 1B 的周长为，可知1212|||||4|||AF AF BF BF a +++==，解得a =(M N ，设点00(,)A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，=23-，即22002(3)3y x =--①．又2200213x y b +=，所以22200(1)3x y b =-②，由①②解得22b =，所以椭圆C的标准方程为22132x y +=．故选C ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义可得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积可得出关系式，考查了斜率的坐标表示以及点在椭圆方程上的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点．数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题．调研2 过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线与椭圆22221(0)+=>>x y a b a b相交于A ，B 两点，若=u u u v u u u v AP PB ，则该椭圆的离心率为 A ．12 B．2 C．3D．3【答案】C【解析】设()()1122，，，A x y B x y ，=Q u u u v u u u vAP PB ，∴P 是线段AB 的中点，则1232+=x x ，1212+=y y ，过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线方程为()13-=--y x ，即4=-+y x ，联立直线与椭圆方程22221(0)+=>>x y a b a b 得222241⎧⎪⎪-+⎨=⎩+=y x x y ab ，整理得()22222228160+-+-=a b x a x a a b ， 212228∴+=+a x x a b ，()212122288+=-++=+b y y x x a b， 代入1232+=x x 得223，=a b则椭圆的离心率3=====c e a ．故选C ．调研3 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，短轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点N(0，2)作两条直线，分别交椭圆C 于A ，B 两点（异于N 点）．当直线NA ，NB 的斜率之和为定值t(t ≠0)时，直线AB 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题意知ca =√22，2b =4，a 2−c 2=b 2，解得a =2√2，b =2，c =2， 所以椭圆方程为x 28+y 24=1．（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由k NA +k KB =t ，得kx 1+m−2x 1+kx 2+m−2x 2=t ，整理得2kx 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)=tx 1x 2 (∗)，联立{y =kx +m x 2+2y 2=8，消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， 由题意知二次方程有两个不等实根，∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，代入(∗)得2k(2m 2−8)1+2k 2−4km(m−2)1+2k 2=t(2m 2−8)1+2k 2，整理得(m −2)(4k −tm −2t)=0． ∵m ≠2，∴m =4k t−2，∴y =kx +4k t−2，即y +2=k(x +4t )．所以直线AB 过定点(−4t ，−2)．当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，A(x 0，y 1)，B(x 0，y 2)，其中y 2=−y 1． ∴y 1+y 2=0， 由k NA +k NB =t ，得y 1−2x 0+y 2−2x 0=y 1+y 2−4x 0=−4x 0=t ，∴x 0=−4t．∴当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 也过定点(−4t ，−2)． 综上所述，直线AB 恒过定点(−4t ，−2)．调研4 已知椭圆C ： 2222x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ． （1）求椭圆C 的长轴长与离心率；（2）若不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点M ，直线1A Q 与2A P 交于点N ．求证：直线MN 垂直于x 轴．【思路分析】（1）由椭圆C 的方程可化为2212x y +=，可得1,1a b c ===，则长轴长为2a =，离心率2c e a ==；（2）设直线1A P 的方程为1(y k x =，2A Q 的方程为2(y k x =， 联立可得2121)M k k x k k +=-，同理可得4343)N k k x k k +=-，可证明1412k k =-且2312k k =-，从而可得N M x x =，进而可得结果．【解析】（1）椭圆C 的方程可化为2212x y +=，所以1,1a b c ===．所以长轴长为2a =，离心率c e a == （2）显然直线1A P 、2A Q 、1A Q 、2A P 都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线1A P的方程为1(y k x =，2A Q的方程为2(y k x =，联立可得)2121M k k x k k +=-．同理可得)4343N k k x k k +=-．下面证明141.2k k =-设()00,P x y ，则220022x y +=．所以22001422001222y y k k x y ====---．同理231.2k k =-所以1221211211(22)112)2N M k k k k x x k k k k --++===----，所以直线MN 垂直于x 轴． 【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．☆技巧点拨☆1．直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，难度为中高档，常作为压轴题出现，大致在第20题的位置． 2．直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件，寻找满足条件的关于a ，b ，c 的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．（2）关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．特别对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解． 3．具体解题步骤：对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理．（1）设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x ＝my ＋b 的形式．（2）联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系．（3）一般涉及弦的问题，要用到弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|．1．（湖北省2019届高三1月联考）已知椭圆C ：y 2a 2+x 216=1(a >4)的离心率是√33，则椭圆C 的焦距为 A ．2√2 B ．2√6 C ．4√2 D ．4√6【答案】C【解析】由题可得e =c a =√33，则a =√3c ，所以c 2=a 2−b 2=3c 2−16，所以c 2=8，因此椭圆C 的焦距为2c =4√2．故选C ．2．（湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学）“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程22126x ym m +=--表示椭圆，则206026->->-⎨⎩≠⎪-⎧⎪m m m m，解得26m <<且4m ≠， 所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．3．（云南省玉溪市玉溪第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为A B ．2-CD 1【答案】A【解析】设()10PF m m =>，则22PF a m =-，222QF m a =-，142QF a m =-，因为11QF =，故(4m a =-.因为222212124PF PF F F c +==，所以()()2224244a a a c ⎡⎤-+--=⎣⎦，整理得到2436c a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭c a ==故选A ．4．（黑龙江省双鸭山市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，12π2∠=F AF ，连接2AF y 交轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为A ．13B ．3C ．58D 【答案】D【解析】设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ． 如图所示，由题意可得：Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，∴122|||1|||||3==AF OM AF OF ．则m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．化为：m 2223b =，n 2＝9m 2＝6b 2．∴223b +6b 2＝4c 2，∴()2253a c -=c 2，化为：c a =． 故选D ．5．（黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，直线l 过左焦点且倾斜角为π3，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为 AB．5CD【答案】D【解析】由题意知，椭圆的左焦点为(),0c -，长轴长为2a ，焦距为2c ， 设直线l的方程为：)y x c =+0y -=， 则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为()0,0，半径为a ，∴圆心到直线l的距离d ==，2c ∴==，整理得：2247c a =，∴椭圆的离心率为c a ==故选D.6．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为A ．9(0,]5B ．C ．(0,3D ．1(,]32【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为F '，P 为短轴的上端点，连接,AF BF ''，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,A B 关于原点对称，则||||=OA OB ， 又||||'=OF OF ，∴四边形AFBF '为平行四边形，||||'∴=AF BF ，又26AF BF BF BF a '+=+==，解得：3a =， 点P 到直线l 距离：3655b d -=≥，解得：2b ≥2=≥，0c ∴<≤，3c e a ⎛∴=∈ ⎝⎦. 故选C .7．（山东省淄博市实验中学2019-2020学年高三上学期第一次学习检测数学试题）已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122+e e 的最小值为 AB ．3C ．6D【答案】C 【解析】如图，设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 由题意可知：1222F F F P c ==， 又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=Q ，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c c e c a ca ++=+=Q ， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++，22222a cc a +≥=Q ，当且仅当2222a c c a =时等号等立，2122∴+e e 的最小值为6， 故选C ．8．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学）已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是 A ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为122F F c =,1PF t =， 由题意可得122,2+=-=t c a t c a ，122,2t a c t a c ∴=-=+，1222a c a c ∴-=+，即12a a c -=，12111e e ∴-=，即2121e e e =+，2222122222211111e e e e e e e e e ∴-=-==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由21e >可知2101e <<， 令21(0,1)x e =∈，2(0,2)y x x ∴=+∈， 所以2112e e ->，故选D ． 9．（福建省南安市侨光中学2020届高三上学期第一次阶段考数学）已知点M，0)，椭圆22+14x y =与直线y ＝k (x交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________. 【答案】8【解析】直线(=+y k x 过定点N （）， 由题设知M 、N 是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN +AM =2a =4，BM +BN =2a =4．则△ABM 的周长为AB +BM +AM =（AN +BN ）+BM +AM =（AN +AM ）+（BN +BM ）=8， 故答案为8．10．（广东省雷州市2019届高三上学期期末考试）已知A 、B 分别为椭圆x 29+y 2b =1（0<b <3）的左、右顶点，P 、Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，若点A 到直线y =√1−mnx 的距离为1，则该椭圆的离心率为________________．【答案】√24【解析】设P(x 0，y 0)，则Q(x 0，−y 0)，m =y 0x 0+3，n =−y 0x 0−3，∴mn =−y 02x2−9，又P(x 0，y 0)在椭圆x 29+y 2b 2=1上，∴y 02=−b 29(x 02−9)，∴mn =b 29，点A 到y =√1−mnx的距离为1===d ，解得b 2=638，c =2√2e =c3=√24．11．（河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第二次联考）某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a2+y 2b 2=1的离心率e >√32的概率是________________． 【答案】13 【解析】由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率e >√32，可得当a >b 时，e =c a=√a2−b 2a>√32，即得a 2>4b 2；当a <b时，e =c b =√b 2−a 2b >√32，即得b 2>4a 2．同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有6×6=36种情况，满足上述关系的有：(3，1)，(1，3)，(4，1)，(1，4)，(5，1)，(1，5)，(5，2)，(2，5)，（6，1），(1，6)，（6，2），(2，6)，共12种情况， 所以所求概率为1236=13．12．（四川省绵阳市2019届高三第二次诊断性考试）已知点P 是椭圆C ：x 29+y 2=1上的一个动点，点Q是圆E ：x 2+(y −4)2=3上的一个动点，则｜PQ ｜的最大值是________________． 【答案】4√3【解析】由圆E ：x 2+（y ﹣4）2＝3可得圆心为E （0，4），又点Q 在圆E 上，∴|PQ |≤|EP |+|EQ |＝|EP |+√3（当且仅当直线PQ 过点E 时取等号）． 设P （x 1，y 1）是椭圆C 上的任意一点，则x 129+y 12=1，即x 12=9−9y 12，∴|EP |2=x 12+(y 1−4)2=9−9y 12+(y 1−4)2=−8(y 1+12)2+27．∵y 1∈[−1，1]，∴当y 1＝﹣12时，|EP |2取得最大值27，即|PQ |≤3√3+√3=4√3， ∴|PQ |的最大值为4√3．13．（四川省眉山市2019-2020学年高三第二次诊断性考试数学）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点()0,P t ，斜率为k 的直线l 交椭圆于,M N 两点，设直线,OM PN （O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围.【解析】（1）由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为：22142+=x y .（2）设直线l 的方程为,y kx t =+由221,42,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()222214240.k x ktx t +++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222424,.2121kt t x x x x k k --+==++ 而()12121212221211242,2t x x y y kx t kx tk k k k x x x x x x t +++-+=+=+=+=- 由12,k k k λ+=得24.2kk t λ-=- 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242.t λ=- 由题意，点()0,P t 在椭圆内，故24022t λ≤=-<，解得 2.λ≥所以λ的取值范围是[)2,.+∞ 14．（河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==， 从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =． 由215x x =5(32)k =+， 两边平方，整理得2182580k k ++=， 解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去； 当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．15．（湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高三上学期第六次月考数学）如图，已知椭圆P:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴A 1A 2，长为4，过椭圆的右焦点F 作斜率为k （k ≠0）的直线交椭圆于B 、C 两点，直线BA 1，BA 2的斜率之积为−34.（1）求椭圆P 的方程；（2）已知直线l:x =4，直线A 1B ，A 1C 分别与l 相交于M 、N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC ⊥EF . 【解析】（1）设B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 因点B 在椭圆上，所以x 12a 2+y 12b 2=1，故y 12=b 2a 2(a 2−x 12). 又A 1(−a,0)，A 2(a,0)， 所以k BA 1⋅k BA 2=y 1x1+a⋅y 1x 1−a =−b 2a2，即b 2a 2=34， 又a =2，所以b =√3， 故椭圆P 的方程为x 24+y 23=1.（2）设直线BC 的方程为：y =k (x −1)，B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 联立方程组{x 24+y 23=1y =k (x −1)，消去y 并整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3.直线A 1B 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4得y M =6y 1x1+2，同理，y N =6y 2x2+2；所以y E =12(y M +y N )=3(y 1x1+2+y 2x2+2)=6kx 1x 2+3k (x 1+x 2)−12kx 1x 2+2(x 1+x 2)+4， 代入化简得y E =−3k ，即点E (4,−3k )， 又F (1,0)， 所以k EF k BC =−3k3⋅k =−1，所以BC ⊥EF .16．（江西省红色七校2019-2020学年高三第一次联考数学）已知点()2,1M 在椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB ⋅=-u u u r u u u r．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()1,0E ，过点()2,1M 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】（1）由已知可得()()2,12,13a a -----=-g ，解得28a =，又点()2,1M 在椭圆C 上，即2222118b+=，解得22b =，所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=.（2）设()11N x y ,，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为()21y k x =-+， 代入椭圆方程，消去y 得()()()2222418244410k x k kx kk ++-+--=，则有()2124441241k k x k --=+，即()212244141k k x k --=+，21244141k k y k --+=+， 且判别式()216210=+>k ∆，即12k ≠-， 又点E 总在以MN 为直径的圆内，所以必有0EM EN u u u u v u u u v⋅<，即有()()11111,1,110x y x y -=+-<g ，将1x ，1y 代入得222248344104141k k k k k k ----++<++，解得16k >-，所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 17．（四川省成都市第七中学2019-2020学年高三上学期一诊模拟数学）已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0),F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0). （1）求椭圆C 的方程;（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，设点N(3,2)，直线AN,BN 的斜率分别为k 1,k 2，问k 1+k 2是否为定值?并证明你的结论.【解析】（1）依题意，c =√2，a 2−b 2=2. ∵点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴b =|OM |=1，∴a =√3. ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1. （2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1，y =±√63.设1,3⎛⎝⎭A，1,3⎛- ⎝⎭B，则122233222++=+=k k 为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1=-y k x .将()1=-y k x 代入2213+=x y 整理化简，得()2222316330+-+-=k x k x k . 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631+=+k x x k ，21223331-=+k x x k .又()111=-y k x ，()221=-y k x ， 所以1212122233--+=+--y y k k x x ()()()()()()122112232333--+--=--y x y x x x ()()()()()1221121221321393⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++k x x k x x x x x x ()()()121212121212224693⎡⎤-++-++⎣⎦=-++x x k x x x x x x x x22222222226336122246313131633933131⎡⎤--⨯+⨯-⨯+⎢⎥+++⎣⎦=--⨯+++k k k k k k k k k k k ()()2212212621+==+k k . 综上得k 1+k 2为常数2.1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ． 2．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．3．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP的斜率为6可得2tan PAF ∠=所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ． 4．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223(),a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===，故选A ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.6．（2017新课标全国Ⅱ理科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【答案】（1） 222x y +=；（2）证明见解析．【思路分析】（1）设出点P 的坐标，利用=NP u u u r u u u r得到点P 与点M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=；（2）利用1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 可得坐标之间的关系：2231m m tn n --+-=，结合（1）中的结论整理可得OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r，据此即可得出结论．【解析】（1）设()()00,,,P x y M x y ，设()0,0N x ，()()00,,0,NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r．由=NP u u u r u u u r得00,2x x y y ==，因为()00,M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知()1,0F -．设()()3,,,Q t P m n -，则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，()(),,3,OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r．由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n+=，故330m tn +-=，所以OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r．又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． （4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．7．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）2y x =-或2y x =；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-，所以AM 的方程为2y x =-2y x =-． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．8．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【思路分析】（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点．另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=． （2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2， 如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，2），（t，2-）．则121k k +=-=-，得2t =，不符合题设． 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=． 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+． 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-． 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．9．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，公差为28或28-． 【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=．由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r ．于是1||22x FA ===-u u u r ，同理2||22x FB =-u u u r ，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ，故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列．设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r ①． 将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=，故121212,28x x x x +==，代入①解得||28d =，所以该数列的公差为28或28-．。
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高考数学理科考点解析及考点分布表
This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012. 2018年高考数学（理科）考点解析 一、考核目标与要求 数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法（所谓三基），考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识、创新意识（五种能力、两种意识）。具体考试内容根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》、教育部考试中心颁布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·课程标准实验）》确定。 关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下： 1．知识要求 知识是指《课程标准》所规定的必修课程、选修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能。 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明． 对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次（分别用A、B、C表示），且高一级的层次要求包含低一级的层次要求． （1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别、认识它。 “了解”层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等。 （2）理解（B）：要求对所列知识内容有较深刻的理性的认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。 “理解”层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等。 （3）掌握（C）：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。 “掌握”层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等。 2．能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力及应用意识和创新意识。 （1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。 （2）抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断。 （3）推理论证能力：会根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性的初步的推理能力．推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明。 （4）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确的运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。 （5）数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断、解决给定的实际问题。数据处理能力主要依据统计中的方法对数据整理、分析，并解决给定实际问题。 （6）应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决。 （7）创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题． 3．个性品质要求 个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义。 就考试而言，要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。 4．考查要求 数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间内在联系的深刻性，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构． （1）对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。考查应注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度设计问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。 （2）对数学思想方法的考查，是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必然要与数学知识相结合，从数学学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，从而反映考生对数学思想方法的掌握程度． 数学思想方法主要包括：函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般、有限与无限，或然与必然等，其基本含义如下： 函数与方程的思想：函数思想就是利用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获解。方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程问题，然后通过解方程(组)使问题获解。函数与方程的思想既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。 数形结合的思想：数形结合的思想就是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、 代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。数形结合思想是数学的规律性 与灵活性的有机结合，通过“以形助数，以数辅形”，变抽象思维为形象思维，使复杂问 题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，有利于达到优化解题的目的。 分类与整合的思想：分类与整合就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。分类与整合就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想。 化归与转化的思想：化归与转化的思想是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某些数学知识，将问题进行等价转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化、未知问题已知化等，进而达到解决问题的数学思想。 特殊与一般的思想：特殊与一般的思想就是通过对问题的特殊情形(如特殊函数、特殊数列、特殊点、特殊位置、特殊值、特殊方程等)的解决，寻求一般的、抽象的、运动变化的、不确定的等问题的解决思路和方法的数学思想。 有限与无限的思想：有限与无限的思想就是通过对有限情形的研究和解决，使无限情形的问题得以解决；反之当积累了解决无限问题的经验之后，也可以将有限问题转化成无限问题来解决，即无限化有限，有限化无限的解决问题的数学思想． 数学方法主要包括归纳推理、类比推理、演绎推理、综合法、分析法、反证法等，其基本含义如下： 归纳推理：归纳推理就是从个别事实中推演出一般性的结论，依据特殊现象推断出一般现象，从己知的特殊的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题等的推理．简言之，归纳推理是由特殊到一般的推理。 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 演绎推理：演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理。 综合法：综合法就是利用已知条件和数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．即
11223PQQQQQ
nQQ (其中P表示己知条件，Q表示结论)．综合法是“执因导果”，从已知出发，顺着推理，逐渐地靠近结论。 分析法：分析法就是从结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)的证明方法．即11223QPPPPP得到一个明显成立的条件。分析法是
“执果索 因”，从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知。 反证法：反证法就是假设原命题不成立，经过正确的推理，得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法．它是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得，主要步骤是：否定结论一推导出矛盾一结论成立。 （3）对数学能力的考查，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，体现对考生各种数学能力的要求．高考的数学命题，强调“以能力立意”，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．能力的考查以推理论证能力和抽象概括能力的考查为核心，全面涉及各种数学能力，并要切合考生实际，强调其科学性、严谨性、抽象性，强调探究性、综合性和应用性。对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上；对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查，考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要是考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力． 对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式．应用问题的命题要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要充分考虑中学数学教学的实际和考生的年龄特点， 并结合考生具有的实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的实际水平． 对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查．在考试中通过创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题进行考查。试题设计要注重问题的多样化，体现思维的发散性，着眼数学主体内容、体现数学素质；试题主要以反映数、形运动变化及其相互联系的问题出现，主要为研究型、探索型、开放型等类型的问题． 数学学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力体现对考生综合数学素养和数学学习现状及潜能的考查． 二、考试形式与试卷结构 试题难度: 试题按其难度分为容易题、中等难度题和难题．难度在以上的试题为容易题，难度为—的试题是中等难度题，难度在以下的试题为难题．试卷由三种难度的试题组成，并以中等难度题为主．命题时根据有关要求和教学实际合理控制三种难度试题的分值比例（大致控制在3:5:2）及全卷总体难度． 理科数学高考知识要点统计表